中考数学复习备考指南：圆的证明和计算类重难点综合问题 （学生版）

中考照考

的证明和计算类重难点综

合问题

备考指南〉

考点分布考查频率命题趋势

考点1不含三角函数的问题☆☆☆数学中考中，有关圆的证明与计算的部分，是每

年中考试卷解答题里必考的综合题，每年考查1

考点2含三角函数的问题☆☆

道题,分值为872分，一般略简单一些的会设置2

小问，综合一些的会设置3小问。一般会出现证

明某线段是切线，或者证明两个角相等，或者两

条线段相等。然后其他小问让计算某线段长度，

考点3创新型的问题☆☆

或者求某角的大小等。用到的知识比较综合，圆

周角定律、相似三角形性质、勾股定理、三角函

数以及数学思想方法。

☆☆☆代表必考点,☆☆代表常考点，☆星表示选考点。

画知识导图">

圆的证明与计算

不含三角函数圆的证明与计算含三角函数圆创新型圆的证明与计算

的证明与计算

夯实基础

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了jI知识清单”

1.判定切线的方法

（1）若切点明确，则“连，证_____"。常见手法有全等转化；平行转化；直径转化；中线转

化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；

（2）若切点不明确，则“作,证_______”。常见手法有角平分线定理；等腰三角形三线合一,

隐藏角平分线：总而言之，要完成两个层次的证明：

①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；

②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化，要善于进

行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.

2.与圆有关的计算

计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合,

形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。

特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而

化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：

（1）思想：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段

可求其它所有线段长）：③构造垂径定理模型弦长•半、弦心距、半径④构造勾股定理模型⑤构造

三角函数.

（2）思想：发出未知数表示美德线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的柜等关系建

立方程，解决问题。

（3）思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题,

通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。

3.圆中常用辅助线的添法顺口溜

半径与弦长计算，______来中间站。

圆上若有一切线，切点圆心连C

切线长度的计算，定理最方便。

要想证明是切线，—垂线仔细辨。

是直径，成半圆，想成—角径连弦。

弧有中点圆心连，一定理要记全。

圆周角边两条弦，—和弦端点连。

弦切角边切线弦，—对角等找完。

要想作个外接圆，各边作出—线。

还要作个内接圆，一角平分线梦圆

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如果遇到相交圆,不要忘作—弦

内外相切的两圆，经过一点公切线。

若是添上连心线，一点肯定在上面。

要作等角添个圆，证明题目少困难。

辅助线，是一线，画图注意勿改变。

假如图形较分散，—旋转去实验。

基本作图很关键，平时掌握要熟练。

解题还要多心眼,经常总结方法显。

切勿盲目乱添线,方法灵活应多变。

分析综合方法选,困难再多也会减。

虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

UI考点梳理二〉

考点1.不含三角函数的问题

【例题1】(2024甘肃临夏)如图，直线/与O。相切于点。，/B为OO的直径，过点A作4*1/

于点£,延长力8交直线,于点

(1)求讦：平分NC1R

(2)如果那T—LZ)C=3,求O。的半径.

【变式练1】(2024山东济南一模)如图，在。O中，直径/方与弦CQ相交于点“，连接/C、BD

(1)求证：△AECsADEB；

(2)连接力。，若力0=3,ZC=30°*求。。的半径.

【变式练2](2024湖北一模)如图，/B为。。的直径,E为0。上一点，点C为面的中点，过点

。作CO交力£的延长线于点。，延长。。交X8的延长线于点E

(1)求证：C。是的切线；

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(2)若。E=l,DC=2,求0。的半径长.

【例题2】(2024山东泰安)如图，力8是。。的直径，曲是O。的切线，点。为O。上任意一

点，点。为元的中点，连接BD交AC于点、“，延长BD与旗相交于点，若以必一1，tanB=L

2

则力〃的长为.

切，切点分别为C,D.若月8=10,PC=\2,则sin/。。等于()

【变式练2](2024江苏徐州一模)如图，△48。中，4B=4C,点D为BC上一点、,且4。=。。,

过4B,。三点作。。，/E是的直径，连接。£

(I)求证：AC是OO的切线：

(2)若sinC=且，AC=6,求。。的直径.

5

E

BD('

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考点3.创新型的问题

【例题3】（2024云南省）如图，力台是OO的直径，点〃'是OO上异于A、8的点.点。在

O。外，cm延长斯与C4的延长线交于点/，点留在比1的延长线上，

NAMN=/ABM，AMBM:AB・MN.点、H在直径AB上，//〃/）二90°，点“是线段诚的

中点.

（1）求/力”8的度数;

（2）求证；直线。"与OO相切;

（3）看一看，想一想，证一证：

以下与线段CH、线段切?、线段C处有关的三个结论：CE+EB<CB，CE+EB=CB，

C*+*8>C8,你认为哪个正确？请说明理由.

【变式练1］（2024广州一模）发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物

剖面图，图②是其示意图.图②中，点4在直线/上往复运动，推动点8做圆周运动形成00，AB

与6。表示曲柄连杆的两直杆，点C、。是直线/与。。的交点；当点力运动到£时，点台到毡C

当点力运动到少时，点8到达。.若力8=12，08=5,则下列结论正确的是（）

图1图2

A.时=%B.EF=\2

C.当力8与OO相切时，EA=4D.当OB1CD时,EA=AF

【变式练2］（2024福建一模）中国最迟在四千多年前的夏禹时代已有了马车，而目前考古发现最早

的双轮马车始见年代为商代晚期（河南安阳殷城）.小明在殷墟游玩时，见到了如图1的马车车厢模型,

他绘制了如图2的车轮侧面图.如图2,当过圆心。的车架如C的一端月落在地面上时，⑷C与。。的

另一个交点为点〃，水平地面切。。丁点"

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图1图2

⑴求证：ZJ+2ZC=90°；

（2）若力。=2m,48=3m,求。。的直径.

BI真题在线）

考点L不含三角函数的问题

1.（2024辽宁）如图，是△力8c的外接圆，力8是的直径，点。在前上，AC=BDf

“在历/的延长线上，/CEA=NCAD.

（1）如图1,求证：CE是OO的切线；

（2）如图2,若NCEA=2〃MB，04=8,求筋的长.

2.（2024深圳）如图，在△4BD中,AB=BD，OO为△力BO的外接圆，或居为的切线,

力。为。。的直径，连接。。并延长交潞于点£

(1)求证：DEA.BE；

(2)若AB=5y^，BE=5,求OO的半径.

考点2.含三角函数的问题

1.（2024福建省）如图，在中，ZBAC=90°,AB=AC,以为直径的OO交8C于点

D，力”1。。，垂足为凡8*的延长线交益于点

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（2）求证：AAEBsABEC；

（3）求证：力。与即互相平分.

2.（2024甘肃威武）如图，48是。。的直径，就二丽，点E在/。的延长线上，且

NADC二/AEB.

（1）求证：潞是OO的切线：

（2）当。。的半径为2,8。=3时，求的值.

3.（2024广西）如图，已知0。是△///。的外接圆，AB二AC点。，£分别是8C，/C的中

点,连接蜀£‘并延长至点凡便DK-a连接/F.

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）求证：4如与O。相切；

3

（3）若tan/胡。=一，8（：二12,求。0的半径.

4

考点3.创新型的问题

1.（2024广州）如图，在菱形力BC7）中，/C=120。.点“在射线8。上运动（不与点心点。

重合），关于力"的轴对称图形为△//讣

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（1）当N%/；=30。时，试判断线段打和线段力/）的数量和位置关系，并说明理由;

（2）若/8=6+6行，。。为△力〃”的外接圆，设。。的半径为

①求,的取值范围;

②连接/・7），直线"/）能否与O。相切？如果能，求8*的长度；如果不能，请说明理由.

专项练习〉

考点1.不含三角函数的问题

1.如图，在中，4BC=90°,以48为直径的。0交力。于点E,点。是8c边上的中点,

连接。E.

（1）求证：QE与。。相切；

（2）连接OC交0E于点R若。。的半径为3,DE=4,求的值.

2.如图，在△[8。中，AB二AC，以力B为直径的00交4c于点。，交线段。力的延长线于点

E，连接用P

E

(1)求证：BD=CD；

(2)若tanC=；,80=4,求/因・

2

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3.如图，在Rt△力中，〃1C8=900,以4C为直径作OO,交力B边于点。，在加上取一

点、E，使前=而，连接破'，作射线CE1交48边于点/口

(1)求证：ZA=ZAQ；；

4

(2)若力(；=8，cosNJC7,'=—，求斯及磁’的长.

5

考点2.含三角函数的问题

1.如图，△48。中，以为直径的。。交8C于点E,力石平分N8/1C,过点E作EOJ_4C于点

延长DE交AB的延长线于点P.

(1)求证：PE是。。的切线；

(2)若sin/P二BP=4,求CZ)的长.

3

考点3.创新型的问题

1.为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目.滚铁环器材

由铁环和推杆组成.小明对滚铁环的启动阶