高考数学复习-圆锥曲线中的范围、最值问题（附答案）

圆锥曲线中的范围、最值问题

一、单项选择题

1.已知点P是抛物线C:y2=41上的动点，点尸到），轴的距离为d,Q（-3,3）,则|PQ|+d

的最小值为（）

A.5B.V30+1

C.V30-1D.4

2.（2024•安徽池州二模）己知实数乂），满足"浸+2）2=4（〃7>0）,若|x+2y|的最大值为4,

则"『（）

3.己知P是双曲线片・/=1上的动点,Q是圆（六4产上的动点，则P,Q两点间

的最短距高为（）

AS-2B.V6-1

C.V7-1D.2岳2

4.（2024•浙江联考一模）已知分别是双曲线C:>）2=］的左、右顶点，尸是双曲

线。上的一动点，直线PA,PB与尸1交于M,N两盘,APMNAPAB的外接圆面

积分别为NS,则金的最小值为（）

S2

A.-B.-

164

C.—D.l

4

5.己知点尸为抛物线C:/=4x的焦点，过点尸作两条互相垂直的直线人/2,直线/1

与。交于两点，直线八与。交于D,E两点，则HB|+9|DE|的最小值为（）

A.32B.48

C.64D.72

6.（2024•山东济南一模）若椭圆G和C2的方程分别为和1十

2222

2=4。9>0/>0且柏），则称G和。2为相似椭圆.已知椭圆G邑+一=1,。21+

匕“434

。二"0<2<1）,过C2上任意一点P作直线交Ci于MN两点，且丽+PA?=0,510△

MQN的面积最大时工的值为（）

C.-D.-

42

二、多项选择题

7.（2024•广东湛江高三检测）已知椭圆*1,且两个焦点分别为B,F2,P是

1o12

椭圆C上任意一点，以下结论正确的是（）

A.椭圆。的离心率为日

B.APQB的周长为12

C.IPRI的最小值为3

D.|PFi|.|PB|的最大值为16

8.（2024•河南周口高三检测）已知双曲线C:v--=1的左、右焦点分别为FI,F2,0

为坐标原点,为双曲线上两点，且满足前-砺,M为C上异于的动点，则

下列结论正确的是（）

AC的渐近线方程为广土恁

B.双曲线C的焦点到渐近线的距离为2连

C.当|A8|二|QB|时,Z\8F尸2的面积为6

D.设M4,M8的斜率分别为幻,丘则伏i+2依产的最小值为24

9.（2022•新高考11,10）已知0为坐标原点，过抛物线。:产=2/»（/»0）的焦点F的直

线与C交于A,B两点，点A在第一象限，点加5,0）,若依用二|4M|厕（）

A.直线AB的斜率为2遍

B.\OB\=\OF\

C.\AB\>4\OF\

D.NOAM+NO8M<180°

三、填空题

10.（2024•广东茂名模拟预测）已知抛物线C：f=4y,定点T（1,0）,M为直线上

一点，过M作抛物线C的两条切线8AB是切点，则△L48面积的最小值

为

11.已知点P是椭圆卷+三1（*0,）¥0）上的动点,分别为椭圆的左、右焦

251o

点,0是坐标原点，若加是//成尸2平分线上一点，且锹•丽=0,则I0M的取值范

围是•

12.已知FI,F2分别为椭圆真+《=1（。>/»0）的左、右焦点，满足砧•丽=0的点

M总在椭圆的内部，则此椭圆离心率的取值范围为.

四、解答题

13.（15分）（2022.浙江,21）如图，已知椭圆三十），2=1.设43是椭圆上异于P（（）,l）的两

JL4

点，且点Q（04在线段AB上，直线PA,PB分别交直线尸为+3于C,D两点.

⑴求点P到椭圆上点的距离的最大值;

（2）求|C0|的最小值.

14.（15分）（2023•全国甲，理20）己知直线12'+1=0与抛物线Cy2=2PMp>0）交于

4B两点，且用用二4同，

⑴求P；

（2）设F为C的焦点,MN为C上两点，前•丽=0,求△MNb面积的最小值.

答案：

l.DI•抛物线的准线方程为户-1,焦点厂(1,0),尸到直线x=-l的距离等于|P凡・•・

P到y轴的距离d=\PF\-\,Ad+\PQ\=\PF\+\PQ\-\.：.当pP,Q三点共线

时,|PF|+|PQ|取得最小值|QF|.・・・Q(-3,3),尸(1,0),・・・|。川=5,・・"+下。|的最小值为5-

2.D令x+2产f,则尸W16,则m＞0时,由d?2；2/=4整理得(4〃，+2))?・

4mrv+机--4=0,则廿)2・4(4"7+2)(m尸-4)20,整理得尸工匕如，则竺竺二16,解得

mm

1

m--.

2

3.AP是双曲线f・)2=l上的动点,Q是圆34)2+产=4上的动点，由已知圆(x-

4)2+),2=4的圆心为M(4,0),半径为2,P,Q两点间的最短距离就是P到圆的圆心的

距离的最小值减去半径，设P(xj),可知P)，2=l,即Vr21可得

|PM|二J(x-4)2+*=,2(X-2)2+7＞夕，当且仅当x=2时等号成立，所以P,Q两

点间的最短距离为近-2.

4.A由已知得,A(2O).6(2,O),由双曲线的对称性，不妨设尸(x,y)在第一象限，所以

.二所以加.二£.s=玄=.=*设直线PA的方程为

产依+2)次＞0,贝i|直线PB的方程为尸点(-E-2),同时令尤=1”则加=32,.=卷，所以

|此7|=3攵+三法＞0,设的外接圆的半径分别为八必由正弦定理

4k

2m二七，所以a=罂=苧之隼=,当且仅

\MN\\MN\

得,2门=

sinzMP/Vsin^APBSin乙4P8r2\AB\444

5.C因为直线/」/2,且与抛物线)a=4x都有2个交点，所以直线/1,/2的斜率均存

在且不为零，因为y2=4j的焦点尸(1,0),所以可设直线/)的方程为x=〃zy+lQ〃¥0),则

直线/2的方程为工=-$叶1,设A(MJl),Wr2j2),联立直线/|和抛物线C的方程，消去

x并整理得产4加)；-4=0/=16m2+16>()恒成立，则)1+)，2=4mjiy2=-4,由弦长公式得

\AB\=V1+m2V16m24-16=4(/??2+1)，同理可得|DE|=4(2+1).所以

|A3|+9|DE|=4(m2+i)+36(」7+1)=4(加+冬)+40264,当且仅当//=2,即加=±百

时等号成立，所以|A8|+9|DE|的最小值为64.故选C.

6.B当直线MN的斜率不存在时,设直线MN的方程为x=x^-2yfAWxoW2Vx联

"x2y2(X-%0，j2

立=1，可得1y=+0乂11所以|MN|二2bxJl-其所以△MON的面

积V3|.w|4PM+丽=0,可得P为MN的中点，所以P5),0),因为点

P在椭圆C2上，所以次二±20,所以Sm=2遍x回氏,当直线MN的斜率存

在时,设直线MN的方程为y=sx+f,联立(4+3—1■，消去)，，得(4*+3)氏2+8$戊+4己

ly=sx+t,

12=0,所以/二64『产-4(4『+3)(4於-12)=48(452--+3)>0,设M(xiJI),MX2,”),则

—提产由然,所以华==**二品，所以尸点坐标为G

言三,三),因为点尸在椭圆C2上，所以产=44*+3),因为原点O到直线MN的距

4s，+34s—3

离为由占JMNI=，1+S2|X2-XI|=V1+s2xJ(%1+%2)2-4%62,所以AMON的面积

S…」|川川-刈"罔严申=2帚跖叼X、时五至2百xVW).

综上,S/、MON=2愿x又0<A<l,MS/、MON=26X〃(1・/1)=2kx

卜九所以当2弓时,△MON的面积最大.

22

7.BD椭圆C:—+匕=1,则6/=4,/?=2V3,C=Va2-b2=2.于A项,e=£=3故A错

1612a2

误;对于B项,N于B的周长为IPFil+IP尸2|+西尸2|=2〃+2c=12,故B正确;对于C

项,|PFi|的最小值为a-c=2,故C错误;对于D项JPFIMPBIW"PF"，砌)’二/=16,当

4

且仅当|PR|=|P@|=4时等号成立，故D正确.

8.ACD由双曲线的方程可知。二应为二遍,c=2近，由题意可知,A,3两点关于。

点对称，设人（孙户）,8（-孙》）,/3（入”0）,对于A项,渐近线方程产±%=±gx,故A

正确;对于B项，焦点（2夜,0）到渐近线y二J石的距离d-=灰，故B不正

确;对于C项,由对称性可知,|。4|二|0*,|0B|二|0人|,故四边形4巧8"2为平行四边

形，当依与二尸|22|时,四边形AB8人为矩形,为直角三角形，故|4Fir+

2

\AF2\=|&尸2『二32,由双曲线定义可得依川-八22|二2迎,两边平方得|4川2-

2|AFi|・|4乃|+|4尸2『二8,故|人乃卜|4乃|二12,所以SABFM=勺八八卜1人后|=6,故C正确；

但.%=122

对于D项，设A5J，I）,MXOJO）,联立1226'可得钙=3,由于女k丝及/2=空,

|X1J1_]XO'X1XO-X1XJ+X1

I2-6-，

所以％生=^^=3,由（Ai+2k2）J储+4处+4%次2282次2二24,当且仅当匕=VS3¥

xo^xi2

时等号成立，故D正确.

9.ACD选项A,由题意知，点A在线段MF的垂直平分线上，则以二竺=%，所以

等-。

yl=2pxA=2p-：p=|p2(%>0).所以%二净,故kAH=2遍,故选项A正确;选项B,

由斜率为2乃可得直线A8的方程为广表吗,联立抛物线方程得广料）炉二0,

2

设8（加,泗）,则当p+**p,则*=-等，代入抛物线方程得（-粤）=2〃.加，解得将音

所以|0引2=好+*=4+¥=?/9,故选项B错误;选项

C,|A8|=：p+：+p=!|〃>2p=4|OQ,故选项C正确;选项D,由选项A,B

知,41,当?）,伙*-彳〃）,所以。4-。8二（）,白〃）•§-净）=?-p2=_）2<0,所以NAOB为

钝角.又拓5•丽=（《,枷）•（号，-净）=?-〃2=-|〃2<:（）,所以ZAMB为钝角.所以N

OAM+NO8M<180°.故选项D正确.故选ACD.

10.遍设M(xojo),M4MB的斜率分别为公出,且y)=|ro-l.过点M的切线方程为

Ayo=A(x-xo),联立《2、：4)"解得/-4日-2¥0+4+4入0=0,所以/=163-4(-

2xo+4+4Axo)=O,即2s-2质■o+xo-2=O,所以ki+%2=xo,kiZ2=号之设切点

4(笛J1)4(X2J2),由导数几何意义知怎二$1饱=吴,所以

AQki,k7）,BQk2,k；）,kAB=，，所以直线AB.y-k1=即

2k2-2的2

lAnixox-2y-2yo=O且2yo=xo-2,所以/A8：xor-2y-xo+2=0,直线AB恒过定点（1,1）,其到T

的距离为1,联立｛：；?；丫2'°。'得fZox+4,yo=0,所以xi+"2=2xo,xix2=4yo,即

（笛-"）?=4据-16yo=4诏-&vo+l6=4（xo-l）2+12212,所以S^TAB=^xIx|.n-X2|>V3.

11.(0,3)如图所示，设F1MPF2的延长线交于点Q,

因为瓦祈•而=0,所以PMJ_Fi。,又M户是NBPQ的平分线，所以△尸八。为等腰

三角形,|PR|=|PQ且M是尸I。的中点，又O是FiFi的中点，在△。吊F2

中,1。知1=3。/2|二：(|PQ-|P尸2|)二?|尸乃|-|尸乃|)4学八人|=3,当且仅当点P是椭圆长

轴的两个端点时，等号成立,而当点P是椭圆短轴两个端点时,|OM|=0,因为

.#0,)¥0,所以|OM的取值范围是(0,3).

12.(0净由西•碇=0,可知/BMF2=90°,即点M在以原点O为圆心，以

旧后|为直径的圆上.因此要使点M总在椭圆内部，只需cy/九又庐二届./可得£<

a

唱即0<6<唱

22

13.解⑴设4孙/),8。2,”),・・・。(0$在直线相上,，设直线AB为广区+/设

E(x»)为椭圆上除P之外的一点且P(0,1),则|PEF=()，-1y+/=()，-1>+12-12)2=-

11产2y+13=・l1廿+令+壹2]+5+13=/IO+$2+答,・・・.1.亦1,・・・当y=~

12\HT

时J阳2最大值为詈,J|PE|max

22

x+12y=12,-12k-9

⑵由.i得(12F+1]+12RE-9=0.则xi+x2='12k2+i'"X2~i2k2+1，直线

y=/ex4--

Ji-1

PA.y-l=(x-0),即)，=q+1,由%.i传!q-+少=2,而y\=kx\+-,••

xiy—x4-1Y1z/

xi

2kxi-l+的4肛—I3=(6k+3-2)%i-3(6k+l)x「3.

•x=2,.*.xc=，-(2/c+l)Xi-l,

2%(2/c+DXi-lyc=-/c+3=(2k+l)Xi-l(2k+l)x1-l,'

4Xj(6k+1%-3

C(：),

(2k+l)x「l'(2k+l)xrl

4^2(6fc+l)X2-3

同理,£)(•，),1

(2k+l)x2-l(2k+l]x2-l

24外2(6k+lM-3(6k+l)Xj[-3,2

CD\=[]+[(2k+l)x-lJ

(2〃+l)%i-l(2k+l)x-l1

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[(2k+l)%2-l][(2k+l)Xi-l]t(2k+l)X2-l\[(2k+l)X1-l].

_____________20(X1--)_____________

22

l(2fc+l)x1x2-(2fc+l)(x1+x2)+l]

y/20\X±-X2\

：.\CD\2

|(2fc+l)x1x2-(2k+l)(x1+x2)+l|

22

\/20144fc+9x4(12k+l)

(12/C2+1)2

|(2k+l，x(-9){2k+l>12kI

12k2+i12k2+i|

36(16/C2+1；