重难点01 规律探究型问题（复习讲义）解析版-2026年中考数学一轮复习

第一章数与式

重难点01规律探究型问题

目录

01深挖重难•固根基............................................2

02分层锤炼•验成效............................................33

固•重难考点

拓•创新能力

单侈项式规律

数阵类规律

跨学科类规律

数与式的规律问题个位数字规律

规通过观察已知等式求解

律

探通过观察已知等式，猜想第n个代数式

究

规律的验证与猜想

型

问

题图形固定累加型

图形渐变累加型

图形类问题

分区域累加型

图形循环类规律

-01-

深挖重难・固根暮

重难点一数与式的规律问题

理」一堂堂岁点丛

数与式规律探索是全国初中数学高频重难考点，常以选择、填空、解答题形式出现，核心考查逻辑推

理与代数建模能力，重难考点如下：

多类型数列/数阵的通项推导

核心要求：从等差、等比、平方/立方型、递推型（如相邻项差为新数列）、分组建模（如奇偶项分规律）

等数列，或三角形/矩形/螺旋数阵中，提炼通用通项公式。

关联难点：多维度数阵的行列规律拆解（如行内公差、列间递推），递推数列的“差数列〃转化，含符号

父哲（如（-1）”）的通项构建。

代数式（整式、分式、根式）的规律建模

核心要求：针对整式展开式（妇伍+与"的项数/系数规律）、分式裂项（如一!—型）、二次根式复

合形式（如的化简规律），总结结构规律并构建通用表达式。

关联难点：结合乘法公式（平方差、完全平方）的代数式规律推导，根式有理化后的规律提炼，分式裂

项的“通式逆推”。

周期型数式的周期识别与应用

核心要求：识别数/式的周期变化特征（如数字/符号/运算结果的重复周期），确定周期长度后求解

指定项、余数、求和问题。

关联难点：多周期叠加（如符号周期+数值周期）的规律拆解，周期起点的判断，结合整除性的周期项

计算。

规律的验证与拓展迁移

核心要求：对归纳的规律进行代数证明（如用整式运算验证通项），并迁移规律解决新场景问题（如规律

拓展到新数式组合、逆向求符合规律的项）。

关联难点：含参数规律的“参数范围确定”，规律的数学归纳法初步应用，复杂规律的跨题型迁移（如从

数阵到代数式求和）。

研•解题之道公

题型01单/多项式规律

方牧

1）把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题

的关键.

2）把一个多项式分解成若干单项式，分别找出每组单项式的规律是解决此类问题的关键.

【典例1】（2025•西藏•中考真题）观察下歹I」一组数：1.9,3.99,5.999,7.9999,9.99999,…按此规律，第

〃个数是（）

A.2.n-0.1"B.2n+1—0.1"

C.2几一1+0.9"D.2n-1-0.1n

【答案】A

【分析】本题考查了数字类规律探索，从整数和小数两个方面进行规律分析是解题关键.该组数的规律从

两方面分析：①整数部分：每次增加2；②小数部分：每次增加一个9,据此即可得到答案.

【详解】解：根据题中规律可得整数部分每次增加2,则第〃个数整数部分是2n-1,

小数部分每次增加一个9,则第〃个数小数部分有〃个9,

，第〃个数小数部分是1一0.1%

•••第n个数是2九一1+1—0.1n=2n-0.1",

故选：A.

【变式1-1]（2025•云南・中考真题）按一定规律排列的代数式：a,3a,5a,7a,9a,…，第八个代数式是（）

A.（2n-l）aB.（2n4-l）aC.（n+l）aD.2025a

【答案】A

【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，观察可知，每一个代数式都是只含有字母。的单项式,

其中系数是从1开始的连续的奇数，据此规律求解即可.

【详解】解：第1个代数式为a，

第2个代数式为3a,

第3个代数式为5a,

第4个代数式为7a,

第5个代数式为9a,

以此类推，可知，第〃个代数式是（2n一1）5

故选：A.

【变式1-2]（2025•河南•中考真题）观察2居4d,6炉,8/,...,根据这些式子的变化规律，可得第n个式子

为.

【答案】2nxn

【分析】本题是单项式规律题，根据给出的单项式发现一般规律是解题关键.分析已知式子，得到第九个式

子为2九，3即可得到答案.

【详解】解：第1个式子：2x=1x2•%1,

第2个式子：4x2=2x2.2,

第3个式子：6x3=3x2•%3,

第4个式子：8X4=4X2.X4,

观察发现，第九个式子为2几产，

故答案为：2n^

题型02数阵类规律

方汝

求第m排第n个数的时候，先求第m-1排最后一个数，然后加上n就是所求的数字了.例如：（m,n）=

m（m-1）

---------------+n

2

【典例2】（2024•四川绵阳•中考真题）如图，将全体正偶数排成一个三角数阵，从上向下数有无数多行，其

中第一行有1个数为2,第二行有2个数为4,6......第〃行有〃人数.......探究其中规律，你认为第〃行从左

至右第3个数不可能是（）

2

46

81012

14161820

2224262830

A.36B.96C.226D.426

【答案】C

【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给排列方式，发现从第三行起，第〃行的左起的第3

个数可表示为：n（n-1）+6（〃为大于等于2的整数）是解题的关键.

根据所给排列方式，发现每行展后一个数可表示为两个连续整数的积，据此发现笫三行开始的每行左起笫3

个数的规律即可解答.

【详解】解：由题知，1=1x2,6=2x3,12=3x4,20=4x5,30=5x6,

所以第〃行的最后一个数可表示为n（〃+1）,

则从第三行起，第〃行的左起的第3个数可表示为：n（n-l）+6（〃为大于等于2的整数）.

因为5x6+6=36,故A选项不符合题意；

因为9x10+6=96,故B选项不符合题意；

因为14x15+6=216,15x16+6=246且216V226V246,故C选项符合题意；

因为20x21+6=426,故D选项不符合题意.

故选：C.

【变式2・1】（2025•浙江•中考真题）【文化欣赏】

我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方（a+b）”展开式的系数

规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：

4

（a+b）4=a+4a3b+6a2b2+4ab3+力4.

【应用体验】

已知（无+2）4=x4+mx3+24x2+32%+16,则m的值为

左右

颦/积

本O

平的◎

方㊀G)㊀

；0。。0

豪O(0)㊅(0)㊀

心㊄㊉①㊄㊀

O@(D©(D@。

乘

【答案】8

【分析】本题考查了整式规律探究，根据(a+b)4=04+4038+60262+4。〃+/展开，即可求解.

【详解】解：(a+b)，=a4+4a3b+6azb2+4ab3+/,

:.(x4-2)4=%4+4x3•2+6x2-22+4x-23+24

=/+8x3+24/+32%+16,

•••m=8,

故答案为：8.

【变式2・2】（2024・四川凉山•中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题:

下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点......第九行有71个点......

容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10.

⑴探索：三角点阵中前8行的点数之和为，前15行的点数之和为,那么，前几行的点数之和为

46

⑵体验：三角点阵中前n行的点数之和（填"能"或"不能"；为500.

⑶运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第

二排4盆，第三排6盆......第九排2九盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？

【答案】（1）36：120；1n（n+1）

（2）不能

⑶一共能摆放20排.

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

（1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解：

（2）根据前〃行的点数和是500,即可得出关于〃的一元二次方程，解之即可判断：

（2）先得到前〃行的点数和是71S+1）,再根据题意得出关于〃的一元二次方程，解之即可得出〃的值.

【详解】（1）解:三角点阵中前8行的点数之和为l+2+3+4+5+6+7+8=；（l+8）x8=36,

前15行的点数之和为1+2+3+…+14+15=*1+15）x15=120,

那么，前几行的点数之和为1+2+3+…+7i=；（l+〃）X7i=^n（n+1）：

故答案为：36；120：1n（n+l）；

（2）解:不能,

理由如下：

由题意得gn（n+l）=500,

得九2+n—1000=0,

21=12-4x（-1000）=4001,

此方程无正整数解，

所以三角点阵中前〃行的点数和不能是500；

故答案为：不能：

（3）解：同理，前行的点数之和为2+4+6+…+2n=2xg（l+九）xn=n（n+1）,

由题意得九（九+1）=420,

得评+九一420=0,即（n+21）（几一20）=0,

解得九=20或九=一21（舍去），

••・一共能摆放20排.

题型03跨学科类规律

【典例3】（2025•四川乐山•中考真题）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四

种化合物的分子结构模型图，其中•代表碳原子，•代表氧原子，Of弋表氢原子.第1种如图1有4个氢

原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，......按照

这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（）

.碳原子

O氧原子

O氢原子

A.18B.20C.22D.24

【答案】B

【分析】本题主要考告了图形变化的规律，能根据所给图形发现氢原子个数的变化规律是解题的关键.根

据所给图形，依次求出分子结构模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题.

【详解】解：由所给图形可知，

第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：4=1x24-2：

第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：6=2x24-2；

第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：8=3X2+2；

所以第〃种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（2〃+2）个.

当九二9时，2九+2=2X9+2=20（个），

即第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是20个.

故选：B.

【变式3-1］（2023・四川遂宁•中考真题）烷煌是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为

燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护.通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷.....癸

烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为乙烷

的化学式为。2〃6,丙烷的化学式为……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式

为.

啖喳F咱沁…蓊…鬻"

甲烷乙烷丙烷……

【答案】012H26

【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解.

【详解】解：甲烷的化学式为CH"

乙烷的化学式为。2”6，

丙烷的化学式为C3H8……，

碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个，

十二烷的化学式为Cl2H26，

7/46

故答案为:Ci2”26・

【点睛】本题考查了规律题，找到规律是解题的关键.

【变式3・2】(2025•江西宜春•三模)烷垃是一类由碳、氢元素构成的有机化合物，如图是这类物质前三种化

合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子，如图，第1种有4个氢原子，第2种有6

个氢原子，第3种有8个氢原子，…，按此规律，则第2025种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是()

A.4048B.4050C.4052D.4054

【答案】C

【分析】根据题意，第一个结构模型中有4=4+(1-1)x2个氢原子，第二个结构模型中有6=4+(2-

1)X2个氢原子，第三个结构模型中有8=4+(3-1)X2个氢原子，由此得到第2025个结构噗型中有4+

(2025-1)x2=4052个氢原子，解答即可.

本题考查了规律探索，正确探索规律是解题的关键.

【详解】解：根据题意，第一个结构模型中有4=4+(1-1)x2个氢原子，

第二个结构模型中有6=4+(2-1)X2个氢原子，

第三个结构模型中有8=4+(3-1)X2个氢原子，

由此得到第2025个结构模型中有4+(2025-1)x2=4052个氢原子.

故选：C.

题型04个位数字规律

方力

求a"的末位数字的解题步骤：

1)通过观察乘方结果的末位数字，得到经过一个循环变换需要的次数，记为n.

2)用N除以n,当能整除时，a的N次方的末位数字就是。”的末位数字；当商b余m(OVmVn)时，a的N

次方的末位数字就是。"的末位数字

【典例4】(2025•山东日照•模拟预测)发现：71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,76=

117649......依据上述规律,通过计算判断6x(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)...(764+1)+1的结果的个位

数字是.

【答案】1

【分析】本题考查找规律，先由题中式子，联系到765一1=(7-1)(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)...(7644-

1),将原式化简得到6x(7+1)02+1)(74+1)08+1)…(7"+1)+1=7128一1+1,再由71=7,72=

8/46

49,73=343,74=2401,75=16807,76=117649......得到规律即可确定答案.由式子的特点化简,并

找注规律是解决问题的关键.

【详解】解：：765-1=(7-1)(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)...(764+1),

・•・6X(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)...(764+1)+7

=(7-1)(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)...(764+1)+1

=7128-1+1

=7128,

v71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,76=117649......

•••对于7S当7n=7”-3时，7n的结果的个位数字是7,

当71=7伏-2时，7〃的结果的个位数字是9,

当71=7软-1时，7n的结果的个位数字是3,

当71=7此时，7”的结果的个位数字是1,

综上所述，128=4x32,则7128的结果的个位数字是1,

故答案为：1.

【变式4-1](2025•浙江•模拟预测)若x=(1+3)(1+32)(1+3+)(1+38)...(1+3256),则％+3的个位数字

是.

【答案】3

【分析】本题考查有理数的乘方，解题的关键是计算前两项，得出工是10的倍数.

由1+3=4,1+32=10可得不是10的倍数，进而确定工的个位数字，求解即可.

【详解】解：=(1+3)(1+32)(1+39(1+38)...(1+3256)

=4X10x(1+34)(1+38)...(1+3256)

=40x(1+34)(1+38)...(1+3256)

・・・x是10的倍数,%的个位数字是0,

・・・x+3的个位数字为：0+3=3.

故答案为：3.

【变式4・2】(2025桑植县一模)探索规律：31=3,个位数字是3；32=9,个位数字是9；33=27,个

位数字是7；34=81,个位数字是1；35=243,个位数字是3；36=729,个位数字是9……那么3?。24的个

位数字是.

【答案】1

【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知3】、32、33、…、3%…这列数的个位数字每4个数

字为一个循环，个位数字分别为3,9,7,1,再由2024+4=506即可得到答案.

【详解】解：3】=3,个位数字是3；32=9,个位数字是9；33=27,个位数字是7；34=81,个位数字

是1；35=243,个位数字是3；36=729,个位数字是9,

9/46

以此类推，可知3】、32、33、…、3%…这列数的个位数字每4个数字为一个循环，个位数字分别为3,9,

7,1,

•••2024+4=506,

.•.32024的个位数字是1,

故答案为：1.

题型05通过观察已知等式求解

【典例5](2025•广东貂关•一模)观察下列等式：9x04-1=1,9x1+2=11,9x2+3=21,9x3+4=

31,...根据以上规律得出9x2024+2025的结果是()

A.20241B.20251C.20201D.20261

【答案】A

【分析】本题考查了数字类规律探索，川代数式表示等式的规律是解题的关键.观察前4个等式，并依此

类推，第n个等式为9(n—l)+n=105—l)+l,再代入n=2025即可得出答案.

【详解】解：第1个等式为9x0+1=1,

第2个等式为9xl+2=11,

第3个等式为9x2+3=21,

第4个等式为9x3+4=31,

依此类推，第n个等式为9(n-1)+n=10(n-1)+1,

当n=2025时，9x2024+2025=10x2024+1=20241.

故选:A.

【变式5-1](2023•内蒙古•中考真题)观察下列各式：

S=J1+专+*=1+*，S2=J1+±+或=1+点,$3=小+*+或=1+£，...

请利用你所发现的规律，计算：S1+52+-+S50=.

【答案】50部簪

OAOJL

【分析】直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案.

【详解】S1+$2+…+§50

111

=1+-----+1+----+…+1+----

1x22x350x51

11111

I223505V

=5嗤

故答案为:50号

10/46

【点睛】本题考查数字变化规律，正确将原式变形是解题的关键.

【变式5-2］（2024•山东德州•中考真题）观察下列等式：

则$0的值为.

【答案】詈/10号

【分析】本题考查了数字的规律的探究，算术平方根.通过前三个式子找出其中的规律即可.

【详解】解：小+1+齐|=i+:T

J1+l+l=Z=1+7-p

L.1.113,11

#+/正=石一1+厂了

•••Si=1+：-g=2-g

S2=l+1+|-1=3-1

53二1十1十1十：一"二4一；,

・♦金=5+1）一出=陪，

故答案为：詈.

【变式5・3】（2024•山东潍坊•中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表.记4切为数表中第i行第j列

位置的数字，如=4，0（3,2）=8，a（S,4）=22.若a（m,n）=2024,则m=,n=.

11/46

14—►516—>17

(tIt(

2—>361518

!t(

9<—8<—71419

t，

10—>11—>121320

25<—24<-2322<-21

I

26—>27—>2829—►—

【答案】452

【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，解题的关键是找出规律：当正整数为好时，若A为奇数，则好

在第k行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2歹U：若k为偶数,则依在第1行，第k列，下一个数

再下一列，上一个数在第2行.

【详解】解：由图中排布可知，当正整数为好时，

若A为奇数，则"2在第上行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2歹人

若卜为偶数，则/在第1行,第女列,下一个数再下一列.卜一个数在第2行：

=2024=2025-1=452-1,

而2025=452,在第45行，第1列，

・•・2024在第45行，第2列，

m=45,n=2,

故答案为：45,2.

题型06通过观察已知等式，猜想第n个代数式

【典例6】(2024年宁夏中考数学试题)观察下列等式：

第1个：1x2-2=22x0

第2个：4x3-3=32xl

第3个：9x4-4=42X2

第4个：16x5-5=52x3

按照以上规律，第〃个等式为.

【答案】n2(n+1)—(7?+1)=(?i+l)2(n—1)

【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，序号的平方乘以序号加1减去序号加1的结果等

于序号加1的平方乘以序号减1,据此可得答案.

【详解】解：观察算式可知，序号的平方乘以序号加1减去序号加1的结果等于序号加1的平方乘以序号

减1,

所以第九个等式为：n2(n4-1)-(n+1)=(n+l)2(n-1),

故答案为：n2(n+1)-(n+1)=(n4-l)2(n-1).

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【变式6-1](2025•海南•模拟预测)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,…这样的数称为“三角形数〃,

第ri个"三角形数”可表示为：1+2+3+4+•••+〃=曳誓，某数学兴趣小组对“三角形数〃展开探究.

⑴数学兴趣小组发现，每相邻两人"三角形数"的和有如下规律：

第1个等式:1+3=(1+I)2；

第2个等式：3+6=(2+1)2；

第3个等式：6+10=(3+1/：

第4个等式：10+15=(4+1)2,

按照以上规律，解决下列问题：

①写出第5个等式：_；

②写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并证明；

⑵数学兴趣小组还发现：1x8+1=9=32,3x8+1=25=52,6x8+1=49=72,即任意一个

三角形数乘8再加1都是一个完全平方数，请你对发现的该结论加以证明.

【答案】⑴①15+21=(5+1)2；②/2+-2131=5+1)2,见解析

⑵见解析

【分析】本题主要考查整式的混合运算的应用、因式分解，正确理解"三角形数”的概念是解题的关键.

(1)①根据题意即可写出第5个等式；

②根据题意即可写出第〃个等式，再进行求解即可；

(2)根据规律得到等式并化简即可证明.

【详解】(1)解：(1)①第5个等式：15+21=(5+1)2；

故答案为：15+21=(5+1)2；

②猜想：的#+空等3=(九+1)2；

证明如下：

等式左边=妁/+(计1,+2)

n2+nn2+3n+2

=2.2

2r)2+4n+2

二2

=(九+l)2.

等式右边=(n+1)2

•••等式左边=等式右边，

・••等式成立；

(2)发现：x8+1=4n2+4n+1=(2n+I)2,

13/46

证明如下：

等式左边=4n(n+1)4-1=4n2+4n+1,

等式右边=(2n+l)2=4n2+4n+1,

等式左边=等式右边，

•••等式成立,

二任意一个三角形数乘8再加1都是一个完全平方数.

【变式6-2](2025•安徽滁州•三模)观察以下等式:

第1个等式：杆共7=24；

第2个等式：/转=2xg;

第3个等式："去=2x";

第4个等式：/霜=2X?

按照以上规律，解决下列问题：

⑴写出第5个等式：

(2)写出你猜想的第〃个等式：_(用含〃的式子表示)，并证明.

【答案】⑴"白=2'/(2)

(2/+—7—=2x-不见解析

n2n4-n2n-l

【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，列代数式，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律.

(1)观察已知等式即可得第5个等式；

(2)结合(1)即可得第〃个等式，然后通过计算左边等于右边即可证明.

【详解】(1)

解：根据已知等式可知，第5个等式：=2xg,

故答案为：^+—^—=2x1；

(2)

解：第〃个等式：-+-4-=2X-\

n2n^-n2n-l

证明：左边=1+~7止不=若号=7^7=右边，

nn(2n-l)n(2n-l)2n-l

故猜想成立

题型07规律的验证与猜想

【典例7】(2025•安徽•模拟预测)初中学习过指数的运算，在指数的基础上，作另一种运算一一对数运算.给

Hi对数的定义:如果N=ax(a>0,且Q工1),那么数x叫做以。为底N的对数(logari出7几),记作:x=log”,

23

其中，。叫做对数的底数,N叫做真数.•・•21=2,Alog22=1；V2=4,/.log24=2：V2=8,.\log28=3；

14/46

4

V2=16,/.iog216=4；

(l)log24+log28=_：log232=：

(2)由题目给出的运算，猜想：k)&M+k)gaN=(。>0且。装1,M>0,N>0),并证明你的

猜想.

(3)根据(2)的探究，直接写出logaM-logaN=.

【答案】(1)5,5

(2)1。即MN

⑶1。&卷

【分析】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是弄清对数与乘方之间的关系，并熟练运用.

(1)根据对数与乘方之间的关系求解可得结论：

(2)根据所得结论进行推导可得结论；

(3)根据之前的探究，可得logaM-logaNnloa?

【详解】(1)解：・・・22=4,23=8,

/.log24=2,Iog28=3,

log24+log28=2+3=5,

•••25=32,

•••log232=5,

故答案为:St5；

(2)解：logflM+loga/V=\ogaMN,

验证:设logaM=x,logaN=y,

则a*=M,ay=N,

:.(f•ay=ax+y-MN,

x+y

logaa=logaMN=x+y,

•••logaMN=logaM+log“N,

故答案为：logaMN；

(3)解：根据之前的探究，可得logaM-log.N=log。*

验证：设loga"=X,logaN=y，

则a*=M,ay=N,

•••ax-ray=ax-y=二，

N

x>

logaa->=loga^=x-y,

•••loga^=IogaM-log0/V,

故答案为：loga^.

15/46

【变式7-1]（2025•安徽六安•模拟预测）阅读下面材料，并填空：

我们学过的一些代数公式很多都可以通过表示几何图形面枳的方法进行直观推导和解释，例如：平方差公

式、完全平方公式.

【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法推证：13+23+33+...+九3二?

【规律探索】观察下面表示几何图形面枳的方法：

1□阴影部分可以看成1个1x1的正方形，总面积=I2,得到#=P

阴影部分可以看成2个2x2的正方形，总面积=F+23,得到13+

B23=（1+2）2=32

（1）如图，阴影部分可以看成3个3x3的正方形，总面积=必+23+33,得到#+23+33=2=62；

【解决问题】

33332

（2）归纳猜想（不需要证明）：I+24-3+-+n==2（用含n的代数式表示）；

【拓展应用】

（3）根据以上结论，计算：23+43+63+…+383=（直接写答案）.

【答案】（1）（1+2+3）：（2）（1+2+3+...+n）；[3）288800

【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，解题关键在于构造正方形，找到规律后得到结论.

（1）如图构造正方形：4表示一个1x1的正方形，B,C,D表示2个2x2的正方形，E,F,G表示3个3x3

的正方形，而4区&。,瓦居6恰好可以拼成一个边长为（1+2+3）的大正方形，根据大正方形面积的两种表

示方法，可以得出炉+23+33；

（2）由以上几何图形的面积规律可猜测出#+23+33+…+/：

（3）提公因数23即可转化为本题已经探究出的规律进行求解.

【详解】解：（1）如图，

16/46

123

.4D

E

CB

GF

4表示一个1x1的正方形,8,C,。表示2个2X2的正方形,E,F,G表示3个3X3

的正方形，而4。C,£),E,产,G恰好可以拼成一个边长为(1+2+3)的大正方形，根据大正方形面积的两种表

示方法，可以得出13+23+33=(1+2+3y=62,

故答案为：(1+2+3)；

(2)根据以上规律可知，#+23+33+…+九3为一个边长为(1+2+3+…+71)的正方形面积，

故13+23+33+…+兀3=(1+2+3+...+71)2=[^y^]2,

故答案为：(1+2+3+...+ri)；

(3)十4°十6、十…十38?=2\1?十2,十3,十…十19，)-8x=288800,

故答案为:288800.

【变式7-2](2025•河南信阳•三模)一个三位数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位数叫作

"对称数"，如101,232,555等都是“对称数”.

【观察】101-(1+0+1)=99=9X11,

232-(2+3+2)=225=9x25,

555-(5+5+5)=540=9x60.

【猜想】

(1)将"对称数"减去其各位数字之和，所得结果能够被整除.

【验证】

(2)请你写出一个"对称数”(除101,232,555以外),并通过计算验证猜想.

(3)设一个对称数的百位数字与个位数字均为居十位数字为y,请你通过推理说明猜想是正确的.

【答案】(1)9；(2)见解析；(答案不唯一)(3)见解析

【分析】本题考查尾数的特征，用代数式表示“对称数〃减去各位数字之和的结果是正确解答的关键.

(1)任意取一个"对称数〃，按照题意求出这个“对称数〃减去各位数字之和，再将结果化为含有因数9的代

数式即可；

(2)根据题意写出一个"对称数"进行验证即可；

(3)用含有x、y的代数式表示这个"对称数〃减去各位数字之和，再将结果写成含有因数9的代数式即可.

【详解】(1)解：•••101-(1+0+1)=99=9x11,

232-(2+3+2)=225=9X25,

17/46

555-(5+5+5)=540=9x60,

•••“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除；

(2)例如："对称数”为313,

V313-(3+1+3)=306=9x34,

；对称数"313减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除；

(3)一个对■称数的百位数字与个位数字均为x,十位数字为y,则这个对称数〃为100x+10y+X=101%+

10y,

这个对称数减去其各位数字之和，所得的结果为：

101x+10y—(%+y+x)=99%+9y=9x(llx+y),

・•・一个对称数的百位数字与个位数字均为x,十位数字为y，这个“对称数〃减去其各位数字之和，所得结果

能够被9整除.

【变式7・3】(2025•福建•中考真题)阅读材料•，回答问题.

主题两个正数的积与商的位数探究

小明是一位爱思考的小学生.一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“46x2=92;35x

提出问

21=735;663X11=7293;186X362=67332\猜想：机位的正整数与〃位的正整数的乘

题

积是一个(m+n-1)位的正整数.

分析探

问题1小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例

究

小明的猜想激发了初中生小华的探究热情.为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移

到对除法的研究，小华将数的“位数〃与"数字〃的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记

数法表示为ax103则称这个数的位数是九+1,数字是

借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题.

命题：若正数力，B,。的位数分别为m，〃，p,数字分别为a,b,c,且力xB=C,则必有cNa

且c>b,或cVa且c<b.并且，当c>Q且c>b时,p=?n+n-1：当c<Q且c<b时，p=m+

推广延

n.

伸

证明：依题意知,A,R.。用科学记数法可分别表示为ax10时1/x1()n-i,cxIO")其中

a,b,c均为正数.

由Ax8=C,得abx10m+n-2=ex

即F=10P-mf+l.(*)

当cNa且eNb时，1,所以弓。V10,又吊冷>。所以10.由(*)知产=1,

所以p=m+九一1；

18/46

（-<1（-<b<10.

当c>a且c<b时，；，所以1京所以1<弛<10,

（->1^>a>l。

\cc

与（*）矛盾，不合题意；

当c<。且c>b时，一①一：

当c<a且c<b时，―②一.

综上所述，命题成立.

拓展迁

问题2若正数48的位数分别为〃?，〃，那么J的位数是多少？证明你的结论.

4

移

⑴解决问题1:

⑵请把①②所缺的证明过程补充完整：

（3）解决问题2.

【答案】（1）小明的猜想不正确，反例：3x4=12

⑵见解析

⑶当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是m-八+1：当力的数字小于B的数字时，的位数是m-n

DD

【分析】（1）举反例即可；

弛>b>]

.；一'，得IV些<10,不合题意；

y<a<10,0

②当c<a且cvb时，可得?>b1>l,可得iv^vioo,得?=10,即得p=m+n.

（3）设3=的数字分别为a,h,c,C的位数为x,则HxC=人.当aZb时，必有Q>c,m=n+x-l,

D

即x=m—九+1；当Q<b时，必有QVc,m=n+x,即x=m一〃.

【详解】（1）解：小明的猜想不正确.

反例：3x4=12.

（2）证明：①；，所以1：,所以IV弛V10,与（*）矛盾，不合题意：

（7<1,[y<a<10,c

②？>1,所以又日工abv100,所以IV100,

由（*）知弓二10,所以p=/n+zi.

（3）解：当4的数字大于或等于8的数字时，3的位数是加一九+1：

当力的数字小于4的数字时，3的位数是血-6

D

证明如下：

由已知,J,8的位数分别为加，〃，

19/46

设弓=C,A,B,C的数字分别为a,b,c,。的位数为x,则8xC=4

由小华的命题知，当a>b时,必有a>c,

此时，m=n+x—1,所以工=ni—n+1；

当a<匕时，必有a<c,

此时，m=n+x,所以x=7n—n.

综上所述，当4的数字大于或等于8的数字时，今的位数是m-n+l；

当A的数字小于B的数字时，3的位数是m-n,

【点睛】本小题考查判断命题的真假，科学记数法，整数指数累，制的运算，不等式的基本性质，代数推

理等基础知识，熟练掌握是解题的关键.

20/46

重难点二图形类规律问题

理•必备考点▲

图形类规律探索是全国初中数学高频重难考点，常以选择、填空、解答题形式出现，核心考查空间观

察与儿何建模能力，重难考点如下：

图形递推型的数量规律与通项推导

核心要求：从图形的“累加递推"（如每次增加固定数量的基本图形）、“分组建模”（如按奇偶次变化分规

律）中，提炼图形个数、线段数、交点数的通用通项公式。

关联难点：图形"增量变化”的拆解（如每次增加的图形单元与序号的关系），含多层嵌套图形（如嵌套

正方形/三角形）的数量递推规律。

图形变换（旋转、折叠、拼接）的规律分析

核心要求：识别图形旋转（如正多边形旋转的重合周期）、折叠（如折叠后对应线段/角度的规律）、拼

按（如小图形拼大图形的块数/边长规律）的变化规律，推导指定变换后的图形特征。

关联难点：多步旋转的周期叠加规律，折叠后“隐藏线段/角度"的规律关联，拼接图形的“边长-块

数〃非线性规律（如正方形拼大正方形的块数为平方数）。

点阵/网格图形的坐标与结构规律

核心要求：从点阵（如平面直角坐标系内的点列）、网格图形（如格点多边形）中，提炼点的坐标规律、

图形面积/周长的变化规律。

关联难点：点阵的“坐标递推"（如点列横/纵坐标分属不同数列），网格图形的“边长・面积”非线性

规律（如格点图形的皮克定理初步应用）。

图形规律的验证与拓展迁移

核心要求：通过几何性质（如全等、相似）验证图形规律，迁移规律解决新场景问题（如从基本图形规

律拓展到复合图形、逆向求符合规律的图形序号）。

关联难点：含参数图形的规律推导（如参数决定图形增量），图形规律与代数规律的结合（加用代数式表

示图形数量/面积），跨图形类型的规律迁移（如从三角形规律到多边形规律）。

研•解题之道M

题型01图形固定累加型

21/46

对于图形固定累加首先要确定基础图形中含所求图形的个数a,在确定出后•个图形在前一个图形的基础

上累加的所求图形的个数b（即固定累加图形个数），再根据固定累加的图形规律推导出与序数n有关的关

系式为a+b（n-1）.

【典例8】（2025•陕西・中考真题）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规

律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，.....

则第10个图案需要用矩形的个数为.

E&「一己一己一||」丁1

第1个第2个第3个

图①图②

【答案】21

【分析】本题主要考查的是图案的变