高考数学复习讲义：抛物线 分层训练 （原卷版）

专题22抛物线

【练基础】

一、单选题

1.（2023春・全国•高三校联考阶段练习）如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲

面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通

讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面，A,3两点关于脑物线的对称轴

对称，

是抛物线的焦点，NAFB是馈源的方向角，记为0,焦点尸到顶点的距离f与口径d的比值4称为抛物面天线的焦

径比，它直接影响天线的效率与信噪比等.如果某抛物面天线馈源的方向角，满足，tan£=-4石，则其焦径比为

()

D-T

2.（2023.福建莆田.统考二模）已知尸为抛物线U丁=4、的焦点，4为C上的一点，AF中点的横坐标为2,贝力八厂1=

（）

A.3B.4C.5D.6

3.（2023•北京平谷•统考模拟预测）已知抛物线C：V=2px,点。为坐标原点，并且经过点尸（1,%），若点P到该

抛物线焦点的距离为2,则|OP|=（）

A.2>/2B.2+C.4D.y/5

4.（2023・新疆•统考一模）若〃是抛物线C:y2=2px（〃>0）的焦点，P是抛物线。上任意一点，P"的最小值为

且A,。是抛物线C上两点，|AF|+|M|=5,则线段AS的中点到1轴的距离为（）

A.3B.2C.-D.-

22

5.（2023・河南•校联考模拟预测）已知抛物线E:y2=4x的焦点为人过点尸的直线/交E于48两点，当/与圆

C:（x-3）2+（y-l）2=|相切时，A8的中点”到E的准线的距离为（）

6.(2023・陕西榆林・统考一模)如图1,某建筑物的屋顶像抛物线，是筑师通过抛物线的设计元素赋予了这座建筑轻

盈、极简和雕塑般的气质.若将该建筑外形弧线的一段按照一定的比例处理后可看成图2所示的抛物线

。:/=一20，(〃>0)的一部分，户为抛物线C上一点，尸为抛物线C的焦点，若NOFP=120,且粤，则〃=

()

7.(2023・辽宁・校联考模拟预测)已知抛物线。：)，2=2/»(〃>0)的焦点为尸，点〃在。上，点《一§0｝若

\AM\=^-\FM\,McosZMM=()

A.土旦B.土走

22

C.土苴D.±-

32

8.(2022・四川雅安・统考一模)过抛物线。：力=2外(〃>0)的焦点广且倾斜角为锐角的直线4与C交于两点A,B

(横坐标分别为勺，/，点A在第一象限)，4为。的准线，过点A与4垂直的直线与4相交于点若=|尸照,

则丛=()

XH

A.3B.6C.9D.12

二、多选题

9.(2023・安徽•统考一模)已知。为坐标原点，点4(250),8伽，加戈awO),线段A8的中点M在抛物线

Uf=20，(〃>())上，连接08并延长，与C交于点N,则()

A.C的准线方程为y=B.点8为线段ON的中点

C.直线AN与C相切D.C在点M处的切线与直线ON平行

10.(2023•全国•模拟预测)已知抛物线。：乂=20，(〃>0)的焦点为F,点A(2,l)在C上，P为。上的一个动点，则

答案第2页，共8页

（）

A.C的准线方程为尸-1B.若M（0,3）,则俨的最小值为2人

C.若M（3,5）,则△月的周长的最小值为IID.在x轴上存在点E,使得广为钝角

11.（2023•辽宁・辽宁实验中学校考模拟预测）已知抛物线C:/=2p），（p>0）的焦点为R斜率为=的直线4过点

4

尸交。于4,B两点,且点B的横坐标为4,直线A过点8交。于另一点M（异于点A）,交C的上线于点。，直线

AM交准线于点E,准线交y轴于点M则（）

A.C的方程为V=4yB.M=Y

C.［四<|AE|D.必.|必=4

12.（2023•江苏连云港•统考模拟预测）已知抛物线C：丁=2外（〃>0）的焦点为F,宜线/与C交于4（毛,为）

两点，其中点A在第一象限，点M是人8的中点，作MN垂直于准线，垂足为N,则下列结论正确的是（）

A.若直线/经过焦点F,且。4。4=-12，则〃=2

B.若4户=3/8,则直线/的倾斜角为亨

\AB\「

C.若以AB为直径的圆M经过焦点居则嬴i的最小值为加

D.若以A8为直径作圆M,则圆M与准线相切

三、填空题

13.（2023・湖北•统考模拟预测）已知”（1,2）为抛物线C:），2=2/"（p>0）上一点，过点7（0,1）的直线与抛物线。交

于A,B两点，且直线M4与的倾斜角互补，则|啊・|烟=.

14.（2023•山东威海•统考一模）已知椭圆£+£=1（。>6>0）的右焦点为R以尸为焦点的抛物线V=2/加（〃>0）

与椭圆的一个交点为M,若M/7垂直于x轴，则该椭圆的离心率为.

15.（2023•新疆乌鲁木齐•统考一模）设。为坐标原点，抛物线C：炉=2〃x（p>0）的焦点为尸，过点尸作x轴的垂

线交。于点尸，。为x轴正半轴上一点，且|。。=5,若NOPQ=45。，则C的准线方程为.

16.（2023•重庆沙坪坝•重庆南开中学校考模拟预测）已知抛物线丁=2**>0）,0（2,1）为抛物线内一点，不经过P点

的直线/：y=2r+,〃与抛物线相交于AB两点，连接人RB尸分别交抛物线于CD两点，若对任意直线/,总存在X,

使得AP=2PC,BP=APD（2>0,2^1）成立，则该抛物线方程为.

四、解答题

17.(2023・安徽蚌埠・统考二模)已知抛物线C:)，2=2px,点41,2)在C上,4关于动点丁(/,0)。<3)的对称点记为M,

过M的直线/与C交于尸(.3y),Q5,%)，M为P,Q的中点.

⑴当直线/过坐标原点。时，求△APQ外接圆的标准方程；

(2)求AAPQ面积的最大值.

18.(2D23•山东日照・统考一模)已知抛物线C：9二20，(〃〉0)的焦点为F,E为。上的动点，EQ垂直于动直线

)，=/(/<()),垂足为Q,当4X0户为等边三角形时，其面积为4G.

⑴求C的方程；

(2)设。为原点，过点E的直线/与C相切，且与椭圆工+£=1交于AB两点，直线。。与A8交于点试问：是

42

否存在，，使得|AM|=|8W|?若存在，求f的值；若不存在，请说明理由.

【提能力】

一、单选题

19.(2023・陕西咸阳•校考一模)设尸为抛物线C)，2=2〃H〃>())的焦点，点从在。上，且A到C焦点的距离为3,

到y轴的距高为2,则〃=()

A.1B.2C.3D.4

20.(2023春・福建南平•高三校联考阶段练习)过抛物线。：/=2〃4(p>0)的焦点b的直线交抛物线。于A(x/,

)/),8(X2,”)两点，设|E4|=，〃，pM=〃，若〃，七一为，切+〃成等比数列，则：=()

A.—B.3

3

答案第4页，共8页

21.（2。23・吉林•统考二模）已知抛物线C：），2=2/"（p>0）的焦点”与椭圆E:5+《=l的一个焦点重合，则下列

说法不正确的是（）

A.椭圆£的焦距是2B.椭圆E的离心率是g

C.抛物线。的准线方程是入=1D.抛物线C的焦点到其准线的距离是4

22.（2023秋・广西河池•高三统考期末）已知抛物线丁=2/"（〃>0）；的焦点为产，准线为/,过户的直线与抛物线

交于点A、B,与直线/交于点。，若人尸=3尸耳8。卜4,则p=（）

A.1B.-C.2D.3

2

23.（2023・四川成都・成都七中校考二模）已知点A是抛物线/=4.\，的对称轴与准线的交点，点3为抛物线的焦点，

尸在抛物线上且满足1%1=〃”?例，当，〃取最大值时，点P恰好在以4B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为

（）

A.且二B.且「C.V2+1D.V5-1

22

24.（2022・四川成都・成都市第二十中学校校考一模）在平面直角坐标系x0v，中，。为坐标原点，九）为任一

动点.条件〃：直线与直线厂-1相交于点条件q：动点"（飞,几）在抛物线V=4x上.则〃是4

Iyoj

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

25.（2022・河南•模拟预测）已知抛物线C:y2=—[2x的焦点为尸，动点仞在C上，圆M的半径为I,过点厂的直线

与圆M相切于点N,则五的最小值为（）

A.7B.8C.9D.10

26.（2023•陕西西安・西安市东方中学校考一模）已知抛物线C：y2=_]2x的焦点为尸，抛物线。上有一动点A

Q（4,2）,则仍产|“PQ|的最小值为（）

A.5B.6C.7D.8

二、多选题

27.（2023・全国•高三专题练习）过抛物线C:尸=2px上一点A（l,-4）作两条相互垂直的直线，与C的另外两个交点

分别为河，M则（）

A.C的准线方程是x=T

B.过C的焦点的最短弦长为8

C.直线MN过定点（0,4）

D.当点A到宜线MN的距离最大时，直线MN的方程为2x+y-38=O

28.（2023・全国•高三专题练习）已知点人-1,0）,矶⑼，0（0,1）,抛物线。:产=4%.过点G的直线/与。交于

尸（冷》），Q（W，%）两点，直线APMQ分别与。交于另一点EF，则下列说法中正确的是（）

A.y+y27M

B.直线E厂的斜率为:

C.若△「（）£；的面积为毡（。为坐标原点），则OE与OP的夹角为B

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D.若M为抛物线C上位于x轴上方的一点，|AM|二f|MM，则当，取最大值时，AA8M的面积为2

29.（2023•全国•高三专题练习）已知抛物线C:/=2*（〃>0）的准线4-1与大轴相交于点K,过抛物线C的焦点产

的直线/与抛物线C相交于AQ两点，且AQ两点在准线上的投影点分别为M、N,则下列结论正倘的是（）

A,〃=2B.|PQ|的最小值为4

C圈为定值3D.NP—QKF

30.（2022•广东韶关•统考一模）设A是抛物线C:f=4），上一点，/是C的焦点，A在C的准线/上的射影为M,M

关于点A的对称点为N,曲线。在A处的切线与准线/交于点/）,直线N/交直线/于点。，则（）

A.尸到/距离等于4B.FMLFN

C.△尸尸。是等腰三角形D.IMQI的最小值为4

三、填空题

31.（2023•陕西西安・统考一模）若抛物线丁=23（〃>0）上一点八到焦点和到x轴的距离分别为］（）和6,则〃的值

为•

32.（2023・全国•模拟预测汨知抛物线E：），2=12%的焦点为/，直线/的倾斜角ae」与抛物线交于A（x，y）,

以电,必）两点，且工丙=49,过/作/的垂线，垂足为。，P为抛物线上任意一点，则归耳+|叫的最小值为.

33.（2023・河南•长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知抛物线D:y2=4x的焦点为R准线为/,点P在。上，PA

与/垂直，垂足为A,若科=|A耳，则尸的面积等于.

答案第6页，共8页

34.（2023・湖南衡阳•校考模拟预测）已知抛物线C：V=2x的焦点为尸，圆。:一+丁=3与。交于M,N两点，其中

点M在第一象限，点，在直线x=-2上运动，记OQ=2OM+〃ON（44£R）.

①当OP〃OM时，有5M户=牛；

3

②当OPJ.ON时，有a=一万；

③，PMN可能是等腰直角三角形；

其中命题中正确的有.

四、解答题

35.（2023•浙江嘉兴•统考模拟预测）已知抛物线C：y2=2px（〃>0）,过焦点尸的直线交抛物线C于A,3两点，且

MM=|A斗阳.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若点夕（4,4