2026高二数学寒假复习讲义：圆锥曲线中的定点、定值、定直线的问题（原卷版）

专题07圆锥曲线中的定点、定值、定直线的问题

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n?串讲知识：思维导图串讲知以点，有的放矢

11」重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺

..考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升

口复习提升：真题感知+提升专练，全面突破

核心考点

重唯知也

师1知识点1:定点问题

找到动直线（或动点）方程中参数（如斜率k）的“不变部分”。将方程整理为关于参数的恒等式，令其

系数为零，即可求出定点（或定直线）。

一、直接推导

1.设参：设出动直线的方程。通常已知直线过某个定点或已知斜率，常用点斜式：y=kx+m.

2.寻找关系：利用题目条件（如直线与圆锥曲线相切、相交，或与其他几何条件如垂直、中点等相关），

找到一个关于A和加的关系式。

3.消参定型：将找到的〃和m关系式代回原始的直线方程y=kx+m中。得到只含一个参数的解析

式。

关键步骤：将此方程整理为关卜参数k的方程，要使这个方程对所有k值都成'九则k的系数和常数项必

1

须同时为零。

对于y-C=k（x一。）形式，定点显然是（D,C）o

对于更复杂的形式，将方程按k的累次项整理，令各项系数为零，解方程组即可求出定点（x,y）o

二、先猜后证法

当直接推导复杂或难以进行时，此方法能指明方向，简化计算。

猜定点：特殊位置法：取参数（妇斜率k）的两个特殊值（如0,斜率不存在（竖直直线），1,T等），画

出两条对应的特殊位置直线。求交点：解这两条特殊直线的交点，该点即为猜测的定点（a,%）。

证定点：则动直线的方程可以化简为y-y0=f（k）（x-x0）o（/"（A）为参数A的解析式）

出知识点2：定值问题

将待证的目标量（如斜率积、线段乘积、面积等）用参数（通常是斜率k）表示出来，通过代数运算消去

参数，若结果是一个常数，则定值得证。

常见的定值类型有：

1、斜率的和、积、比为定值

2、线段长度、乘积或倒数和为定值

3、面积为定值

4、向量数量积为定值

“先猜后证”：取参数的特殊值（如k=0,k=l,kT8）,快速计算出目标量的值。这个值很可能就是

定值。这不仅能预知结果、增强信心，还能用来验证最终化简结果是否正确。

“设而不求”的极致运用：不仅对交点坐标“设而不求”，对于复杂的中间量，也保持其整体形式，在后

续运算中可能会相互抵消。

参数关系式的挖掘：定值问题的核心往往在于题目中隐藏的参数关系。

止知识点3：定直线问题

将动点的坐标表示为某个参数（通常是斜率攵）的函数，然后消参，得到一个关于的二元一次方程，即

为定直线方程。

主要步骤为：1、设参并表示动点2、建立关系3、消参4、得到定直线方程

在解题过程中，可以使用儿何性质转化，先猜后证等方法帮助解决计算问题

4Q必考题型

【题型1直线过定点问题】

高妙技法

找到动点方程中参数方程,整理为关于参数的恒等式，令其系数为零，即可求出定点（或定直线）。

1.（25-26高二上•浙江衢州•期中）已知抛物线「：）?=2座（〃>0），斜率为g的直线/交「于A8两点，且

线段A8中点纵坐标为4.

2

（I）求抛物线「的方程；

⑵若直线/不过点网2,4）,且直线外交「于另一点C,记直线的斜率为配网,

11,

（i）求证：厂+1=4；

K\K2

（ii）求证：直线4C过定点.

2.（25-26高三上•湖南长沙・月考）已知分别为椭圆C:1+二=1（。＞匕＞0）的上、下焦点，

a'b"

忸同=2五,点七（1,&）为椭圆C上一点.

（1）求椭圆C的方程；

⑵椭圆。与直线/：＞=依+/伙工。/工0）有唯一公共点M,过点”且与/垂直的直线分别交大相、y轴于

4苍0）,仅0,加两点.

（i）当点M运动时，求点尸。》）的轨迹方程：

（ii）已知以椭圆，+£=1（心0,〃＞0,机工〃）上一点（〃国）为切点的切线方程为£+等=1,若直线/

交直线x+）」l=。于点。（小，,%），由点。引椭圆C的另一条切线，切点为N,求证：直线MN过定点.

3.（25-26高二上•浙江•期中）已知椭圆过点A（O,1）,左焦点为M,且|AM|=2.

⑴求椭圆的标准方程；

（2）已知不与x轴垂直的直线/交椭圆于E,F两点（E,尸异于点A）,直线AE,A厂分别与X轴交于

4

f，Q两点，若P,Q的横坐标的乘积为则直线/是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，

请说明理由.

22

4.（25-26高二上.吉林长春.期中）已知椭圆。：£+£=1（〃＞八0）,0K分别是。的左、右焦点，。是

椭圆C上一点，|P制的最大值为3,当P为椭圆上顶点时，△*M为等边三角形.

（1）求椭圆C的标准方程；

⑵设A8分别是椭圆C的左、右顶点，若直线/与C交于点且原M=3"N，

①若直线4MBM交于点尸，证明点尸在定直线上，并求出该定直线的方程；

②证明：直线/过定点，并求出此定点坐标.

【题型2定点存在问题与位置关系】

高妙技法

与角度、位置关系等有关的存在性问题，假设存在，然后根据题目几何条件列出方程，根据假设条件求

解，看解是否在合理范围内。

3

I.(25-26高三上•重庆•月考)椭圆E:1+点■=l(a>〃>0)的左、右焦点分别为玛，离心率为坐；点

M、N为椭圆E上的两个不同动点，入面积的最大值为".

⑴求椭圆E的标准方程；

(2)设直线M耳的斜率为勺，直线NG的斜率为k2.

(i)若M、N在.V轴上方，且勺+&=0,求证：直线过定点；

(ii)点M.N在运动过程中,是否存在某些位置使得MF、INF、且MF21NF2?若存在，求出此时点

M的坐标；若不存在，请说明理由.

2.(25-26高二上•贵州•期中)已知椭圆的左、右焦点分别为匕、尸「左顶点为A,。为坐标原点，若

忻图=2,椭圆的离心率为e=过点A作斜率为攵(〃。0)的直线/与椭圆交于另一点8,交丁轴于点

D.

⑴求椭圆的标准方程；

⑵设尸为A6的中点，在x轴上是否存在定点对丁任意的A(Ay。)都有OF_LD£?茬存在，求出

定点石的坐标；若不存在，请说明理由.

3.(25-26高二上•湖南长沙•期中)己知椭圆C:\+£=l(a>3〉0)的离心率为#/山分别为椭圆C的

左、右焦点，点A是椭圆。上一动点，且|A胃片的最大值为6.

(1)求椭圆C的方程；

⑵己知直线x叫+3与椭圆C交于RQ两点.

(i)求加的取值范围；

(ii)已知点。(2,1),直线。尸,。。与直线x=3分别交于点M,N,平面内是否存在一定点”，使得四边形

OMAN为平行四边形？若存在，求出点〃的坐标；若不存在，请说明理由.

4.(25-26高三上•广东惠州・月考)已知。为坐标原点，椭圆的右焦点为尸(1,0)(

a，b

的长轴长为4,直线/过点尸且与C交于AB两点.

(1)求C的标准方程；

(2)当直线/的斜率为g时，求△OAB的面积：

⑶在无轴上是否存在一个定点使得直线8P关于x轴对称？若存在，求出点。的坐标：若不存在，

请说明理由.

【题型3定点存在问题与线段定值】

高妙技法

4

与线段为定值有关的存在性问题，假设存在，然后根据题目几何条件列出方程，根据假设条件求解，看解

是否在合理范围内。

1.（2025高三・全国・专题练习）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为卜2石,0）,且C的一条渐近

（2）如图，记C的右顶点为A,过点4作直线MANA与。的左支分别交于M,N两点，且

M4_LN4,AOJ.MN.。为垂足.证明：存在定点Q,使得为定值，并求出点Q坐标.

2.（25-26高二上.山东日照.期中）已知动点M到定点尸（2夜,0）的距离与它到定直线/：1=4近的距离之

比为冬

2

（1）求点"的轨迹。的方程；

⑵已知直线人的方程为x+），-40=0,直线4上有一动点〃，求I仞例M的最大值；

（3）若A,3为轨迹。上不同的两点，线段A3的中点为Q,当VAO8面积取最大值时，是否存在两定点

S,T,使|QS|+|QT|为定值?若存在，求出这个定值，若不存在，请说明理由.

3.（25-26高三上•浙江•开学考试）已知椭圆E1+4=15＞力＞0）过点42,0）,W）,T）.

⑴求椭圆月的方程；

（2）斜率为1的宣线与椭圆E交于C,。两点，点P坐标为（-4,0）,直线PC与椭圆的另一个交点为点M,直

线P。与椭圆E的另一个交点为点N.

①已知点M坐标为（』，%）,求点C横坐标（用d表示）；

②过点P作PGJ.MN于点G,是否存在定点Q,使得|G9为定值，若存在，求出点Q的坐标，若不存

在，请说明理由.

4.（25-26高二上•湖南长沙•期中）已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线「：），2=2p.r的焦点为

尸（1,0）,4、A是抛物线「上两个不同的点.

⑴求抛物线「的方程;

5

⑵若直线AB斜率为1,且过点产，求线段A8的长度；

(3)直线/与抛物线「交于不同于。的A、B两点,若以AB为直径的圆经过点。，且OG_LA8于G,证

明：存在定点H，使|G〃|为定值.

【题型4定点存在问题与面积定值】

高妙技法

与面积定值有关的存在性问题，先假设定点存在，然后根据题H条件求解，判断解是否在合理范围。

1.(25-26高二上.广东汕头•期中)已知椭圆C:‘/的左右顶点分别为4,4，。(五1)为

。上一点，离心率为在,p为c上异于A，4的点.

3

(1)求。的方程；

(2)2为椭圆c上异于A，4的另一点(不与P重合)，直线PQ不与坐标轴平行，点P关于原点。对称的点

为S.若直线AS与相交于点了，直线or与直线PQ相交于点/?•证明：在。上存在定点E,使得△RDE

的血积为定值，并求出该定值；

2.(25-26高二上•辽宁大连•期中)在平面直角坐标系中，已知£(0,-75),6(0,有)，平面上一动点P

满足|尸制+|尸4=4,点尸的轨迹为曲线C,

⑴求曲线C的方程；

(2)曲线与)，轴正负半轴分别交于4、&两点，不与坐标轴平行的直线/与曲线。交于例、N两点，

①若直线&M、&N斜率之积为_12,证明直线/过定点Q；

②若宜线/方程为，，=依+，〃，点M关于原点对称点为/W，直线，*M'、&N交于点7、直线。r与直线/交

于点S,曲线C上是否存在点R,使得面积为定值，若存在求出点R坐标，若不存在，请说明理由.

3.(24-25高二下•浙江•开学考试)已知椭圆C:£+g=l(a>b>())的离心率为卜长轴长为4.

(1)求椭圆C的方程：

⑵过点7仁。)(/<())的直线4交圆F+)，2=〃于点M、N,直线，2：)=心垂直MV,且交。于点P、Q,交

例N于点A.记APAN,的面积分别为酬，S2.

(i)若L求f的取值范围；

(ii)是否存在常数/,使得5+S?为定值？若存在，求出/的值；若不存在，请说明理由.

【题型5定点存在问题与斜率定值】

高妙技法

与斜率定值有关的存在性问题，先假设定点存在，然后根据题目条件求解，判断解是否在合理范围。

6

1.(25-26高二上•湖北荆州・月考)已知椭圆C的焦点为片(-1,0),6(1,0),过点尸2且与x轴不重合的直线

与椭圆C交于48两点.

⑴若A(呼),求，防的周长;

(2)①若IA醒|=2|世8|,|A5R81求椭圆C的方程;

②根据①中所求椭圆方程，在工轲是否存在异于K的定点Q，使/为定值(其中为八，勺8为直线QA，QB

KQB

的斜率)?若存在，求出。的坐标;若不存在，请说明理由.

2.(25-26高三上•广东•月考)已知椭圆C:“+»=1(〃>力>0)的焦距为2后,且与直线/"+)，=3相切.

直线4：y=x+f与。交于M,N两点，0为坐标原点，A是C上的点(异于M，N),直线AM.4V的斜率分

别为

⑴求C的方程；

4

(2)若△MON的面积为求，的直；

(3)是否存在定点A，使得勺+自为定值?若存在，求出该定点的坐标：若不存在，说明理由.

3.(25-26高三上•山西长治•开学考试)已知抛物线G9=2/”(〃>0)的焦点为尸，过点尸的直线交。于

AB两点，其中点A在第一象限.若A厂的中点M到〉轴的距离为〃，且|。4|=忘1(。为坐标原点).

(1)求抛物线C的方程；

(2)求V4O8的面积；

⑶过点。(-3,0)的直线/与抛物线。交于ZZE两点，问：在工轴上是否存在定点7,设直线07；ET的斜率

分别为勺，&，使女用为定值，若存在，求出点了的坐标，若不存在，请说明理由.

4.(24-25高二上♦福建福州•期末)己知椭圆E的焦点在x轴上，经过点-孝，5(0,1).

⑴求E的标准方程；

(2)定义：若椭圆「■+/=l(稣A>0)上的两个点MW，％)满足芳■+爷=0,则称M，N为

该椭圆的一个“共规点对“，记作也”］.

(i)证明：存在两个点G使得［AG］是E的“共扰点对”，并求G的坐标;

(ii)设(i)中的两个点G分别为G，G,已知过点P(2/)的直线/与椭圆片交于C,。两点，则直线

G。上是否存在定点。，使得直线QC与Q。的斜率之积为定值.若存在，求出。的坐标：若不存在，请说

明理由.

【题型6定点存在问题与向量积定值】

7

高妙技法

与向量积为定值有关的存在性问题，先假设定点存在，然后根据题目条件求解，判断解是否在合理范围。

1.（25-26高二上•黑龙江大庆・月考）己知A、8分别是椭圆+/=的左、左顶点，。的

离心率为手，且|AB|=4.

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知。是线段上一点（异于4、B）,过点。的直线/与椭圆C交于M、N两点（异于A、B）,

直线8M、8N分别交直线x=3于E、厂两点.是否存在点Q,使得丽.而为定值？若存在，求出点。

的坐标；若不存在，请说明理由.

2.（2025高二上•江苏・专题练习）已知双曲线£二-与=1的焦距为4,以原点为圆心，实半轴长为半径

ab

的圆和直线1->+后=0相切.

（1）求双曲线£：的方程；

⑵已知点尸为双曲线E的左焦点，在x轴上存在定点过点历任意作一条直线/交双曲线E于。，。两

点，使厂户•尸。•为定值，求出此定值和所有的定点M的坐标.

3.（25-26高二上.黑龙江牡丹江•期中）已知两定点q-夜,0）,8（枝,0）,动点P满足到A与B的连线斜

率乘积为1

⑴求。的轨迹方程；

⑵过点产（2,0）的直线/交。的轨迹于A、B,

（i）若A、8在），轴的右侧，且△Q48的面积为2加,求/的方程；

（ii）是否存在x轴上的定点M,使得画.初为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理

由.

4.（2025高二•全国•专题练习）已知椭圆。：5+£=1（〃>/2>0）的一个焦点与上、下顶点构成直角三角

形，以椭圆C的长轴长为直径的圆与直线1+»」2=0相切.

⑴求椭圆C的标准方程；

（2）设过椭圆右焦点且不重合于x轴的动直线与椭圆C相交于A、B两点,探究在x轴上是否存在定点E,

使得丽・丽为定值？若存在，试求出定值和点£的坐标；若不存在，请说明理由.

【题型7证明斜率和、差、积、商的定值】

高妙技法

使用韦达定理或者移动齐次化可以表示出斜率的和、差、积、商，经过整理化简证明该值与假设的参数没

有关系，难度在运算上。

8

1.（25-26高二上•河南驻马店•月考）在平面直角坐标系中，点4,B分别是椭圆

+却…＞。）的右顶点，上顶点，若。的离心率为当且。到直线®勺距离为衿

（1）求椭圆C的标准方程；

⑵过点P（2.1）的直线/与椭圆C交于M,N两点，其中点M在第一象限，点N在x轴F方且不在），轴上,

设直线BM,8N的斜率分别为仁，八，求证：:+:为定值，并求出该定值；

2.⑵・26高二上.江苏南京.期中）已知。为坐标原点'椭圆+F=\(a>b>0)过点P(-2,l),离心

率为4.过点（-2,0）且与坐标轴不垂直的直线/交。于点AB.

⑴求C的方程；

（2）当Q4JLO8时，求/的方程;

（3）设直线幺与直线〃上工=-3交于点T,记直线及，7B的斜率分别为&试探究是否为定值？

若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

3.（25-26高二上•江苏盐城•期中）己知椭I员IC:二+V=i,A6分别是C的左、右顶点，点a在C上，且

4'

在、轴上方.

⑴若。为坐标原点，直线"与OP垂直，求点夕的坐标；

⑵设直线/为交直线x=4于点M,连接AM交C于点Q.设直线",A。的斜率分别为求证：堆2为

定值.

4.（23-26高二上•江苏连云港•月考）已知点A,4的坐标分别为（2,0）,（-2,0）,将圆C:炉-）尸=4上各

点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的•半，得到曲线。.

⑴求曲线。方程；

⑵D上关于原点对称的两点/，N,射线A/W,4N分别与圆C:/+y2=4交于P,Q两点，记直线

例N和直线尸。的斜率分别为尢，&.

①求AM与AN的斜率的乘积；

②问?是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由.

【题型8证明线段的定值】

高妙技法

使用韦达定理表示出线段表达式，经过整理化简证明该值与假设的参数没有关系，难度在运算上。

1.（25-26高三上•山东聊城・开学考试）在平面直角坐标系1。）'中，动点尸到点月（-3,0）的距离与到定直

线/：25的距离之比为I3,记动点。的轨迹为。

9

(I)求轨迹C的方程.

(2)已知月(3,0),点A,8在轨迹。上，且在x轴的同侧，AF#BF”4八交叫于点G,证明:

|G制+|G《|为定值.

2.(25-26高二上•广东•期末)已知双曲线C:7F=1(〃>(),/40)过点(2.3),一条渐近线方程为

G#-y=0.

(1)求双曲线c的标准方程;

(2)若点P为双曲线左支上一点，A(r,0)(/>0),求1抬1的最小值;

⑶过点"2。的直线与双曲线C的右支交于M,N两点，求证：凉+焉为定值.

3.(25-26高二上•江苏南京,期中)如图，曲线G是以原点。为中心，£(-1,0),鸟(1,0)为焦点的椭圆的一

部分，曲线G是以。为顶点，K为焦点的抛物线的一部分，《去")是曲线G和G的交点•

(1)求曲线G和G所在的椭圆和抛物线的方程；

⑵过点入作一条与“轴不垂直的直线，分别与曲线G和G依次交于用CDE四点.

①求AC。片面积的取值范围.

BEGF、

②若G是CO的中点，〃为酩的中点，则「八是否为定值？若是,求出该定值；若不是，请说明理

CD-Hr2

rh.

22

4.(24-25高二下•广西柳州•开学考试)已知M(0,&)和N(G,I)为椭圆C:二十二=1(〃>力>0)上两点.

a-b-

⑴求椭圆C的方程；

⑵若点〃在椭圆C上，£、尸2是椭圆C的两焦点，且/月”居=120。，求工的面积；

(3)过点P(G,0)的直线/与椭圆C交于A、B两点，证明：为定值.

I尸A|I/nI

【题型9证明面积的定值】

高妙技法

10

使用韦达定理表示面积，经过整理化简证明该值与假设的参数没有关系，难度在运算上。

1.（25-26高二上•上海浦东新•期中）已知椭圆。:接+2=1（°”>0）•定义第〃6"wN）次操作为:

经过C上的点4（天,工）作斜率为左的直线与。交于另一点纥，记纥关于“轴的对称点为若4T与

纥重合，则操作停止；否则一直继续下去.

⑴若a=2,0=1,A曰卜,求工2，为；

⑵若。=5力=4,点P是椭圆C上一点，且位于x轴的上方，T乃是椭圆C的两个焦点，一耳工是等腰

三角形，求点〃的坐标；

⑶若％=-是c在第一象限与A去4b不重合的一点，求证：△4/用4.2的面积为定值，并求

出该定值.

2.（25-26高二上.广东深圳.期中）已知点E（x,.y）在运动过程中总满足关系式

J（u+百）-++\l（x—y/3）~+y~=2\/6«

（1）点石的轨迹是什么曲线？写出它的方程；

（2）设点E的轨迹为曲线C,求曲线。的内接菱形MPM2的面积的最小值；

（3）已知曲线。上不共线的三个点A、B、C,原点O为VA4C的重心，请探究VA4C的面积是否为定

值.若是，请求出定值；若不是，请说明理由.

3.（25-26高二上•江苏连云港•期中）已知抛物线M：）?=2/MP>0）的顶点到焦点〃的距离为9点

N（3,2）,Q（5,2）,过点Q的直线与抛物线M交于48两点，直线4N,"N与抛物线M的另一交点分别为

C,D.记△4BMACDN的面积分别为$,§2.

（1）求抛物线的方程；

⑵若过原点。的一条直线/与圆C：（x+2）2+y2=3相切，且与抛物线M的另一交点为P,求的值；

（3）请问去是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由.

*

4.（25-26高二上•福建厦门•期中）已知圆A：（x+1）2+），'=；,我3：（x-1『+）/=普.动圆。月圆A外

切，且与圆B内切，记点尸的轨迹为C.

⑴求。的方程；

⑵过点Q（T,0）且斜率不为0的直线，与。相交于点E，F（后在尸的左侧）.

①设直线AE,质的斜率分别为占，k2,求证：%为定值；

②设直线AF,4E相交于点点/为AAA"的内心，记△/{△,"MA,"/V店的面积分别为耳，邑，

II

S3,证明：一厂为定值.

【题型10证明向量积的定值】

高妙技法

表示出向量积公式，联立方程使用韦达定理，经过整理化简证明该值与假设的参数没有关系，难度在运算

上。

1.(25-26高三上•云南昆明•期中)已知椭圆C:*■+点■=1(〃>小>0)的右焦点为“(1,0),上、下顶点分别

为A、B,且

(1)求C的方程；

(2)。为坐标原点，过/的直线/与C交于财，N两点，

(i)若以MN为直径的圆过点O,求/的方程；

(ii)若/与¥轴交于点直线8M与直线AN交于点Q,证明：。户。0为定值.

2.(2025局二•全国•专题练习)如图，椭圆有两顶点A(-1,0)、8(1,0),过其焦点尸(0,1)的直线/与椭圆交

于C,。两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线8D交于点。.当点P异于A,B两点时，求证：

而•而为定值.

3.(25-26高三上.上海.期中)已知椭圆C:工+上=1的左、右焦点分别为耳、F,,上顶点为A,

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⑴求椭圆C的焦距和离心率.

⑵若点尸是椭圆C任意一点，判析|所|•仔同+国•讯是否为定值，并说明理由.

⑶斜率为2的直线与椭圆。交于8,D两点,A8的中点为A。的中点为N,鸟到直线MN的距离为

4,椭圆C的右顶点到直线的距离为试判断为-4是否为定值？若是，请求出该定值；若不

是，请说明理由.

【题型11点在定直线上】

高妙技法

表示定直线的方程需要化简，这里的消参化简过程是运算复杂的地方，可以使用先猜后证的方法处理。

1.(25-26高二上•河北•期中)在平面直角坐标系中，对于椭圆E：(a>b>0),我们把曲线

三a~0b~

12

——=132>A>。)叫椭圆£的共焦共形椭圆簇.

a'-kb'-k

(1)证明：曲线线为有公共焦点的椭圆；

⑵对于任意的椭圆E外一点P,是否存在两个不同的公使曲线线过点尸？如果存在，求出k的值，若不

存在，请说明理由；

⑶过曲线片外定点Q(x',)/)作曲线片的两条切线，过两切点M,N的直线方程为孚y+工二］，若线

(r-kbz-k

段MN的中点为G.证明：对于符合条件的实数七点G始终在一条定直线上.

2.(25-26高二上•山东枣庄•期中)已知椭圆C：・+}=1(“">())的左右顶点为A，B,短轴长

3

为26，且C上的动点7满足直线7X、7B的斜率之积为-：.

⑴求C的方程；

(2)已知M(-过点M的直线与椭圆交于点。(异于3),求.WB。面枳的最大值.

(3)若过点Q(4,0)且斜率不为0的直线/与椭圆交于石，产两点，直线4E与8b相交于点G.试判断点G

是否在定直线上？若是，求出该定直线方程，若不是，说明理由.

3.(25-26高二上•重庆•期中)已知点尸为椭圆=:'+营=1(〃>A>0)的右焦点，过点尸作x轴的垂线交

椭圆「于点P(2,@.过点P作椭圆r的切线，交入轴于点Q.

(1)求椭圆厂的方程;

(2)求点。的坐标：

⑶过点Q的直线交椭圆「于48两点，过点A作x轴的垂线与直线族交于点。，求证：线段4。的中

点在定直线上.

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4.(2025高二上.全国•专题练习)已知4,8分别是双曲线=的左、右顶点，。是

。上异于A,8的一点，直线抬，总的斜率分别为册月,且=|A@=4.

⑴求双曲线。的方程；

⑵已知过点(4,0)的直线/：4="少+4,交C的左,右两支于£>,E两点(异于A,B).

(i)求，〃的取值范I制；

(ii)设直线A。与直线跳;交于点Q,求证：点Q在定直线上.

啜复习提升

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1（25-26高三上•上海•期中）己知椭圆「：=1（。>力〉0）的焦距为26,点P（0，【）在椭圆「上，动

直线/与椭圆「相交于不同两点43,且直线PAPA的斜率之积为1.

⑴求椭圆厂的标准方程；

（2）若△A4B为直角三角形，求直线/的斜率；

（3）试问：动直线/是否过定点？若过定点，求出其坐标；若不过定点，请说明理由.

2.（25-26高二上.广东惠州.月考）已知A，工分别是双曲线。:「-二=1（〃>0/>0）的左、右焦点.

crlr

昭1=4,尸是右支上一点,已知|%|的最小值为2-6.

（1）求C的标准方程；

⑵经过点鸟的直线/与C交于P,Q两点，过点。作直线x=m的垂线，垂足为G,过点O作OM_LQG

（。为坐标原点），垂足为M.则在［轴上是否存在定点N,使得|MN|为定值？若存在，求出点N的坐

标；若不存在，请说明理由.

3.（24-25高二上•浙江杭州•期末）己知双曲线C：=/>0）的实轴长为2,右焦点〃到双

曲线C的渐近线距离为

（1）求双曲线。的方程；

⑵过点七（2,0）作直线交双曲线的右支于A,B两点,连接AO并延长交双曲线左支于点P（。为坐标原

点），求的面积的最小值；

（3）设定点7（人0）,过点7的宜线卜交双曲线。干N两点,历，N不是双曲线的顶点,若在双曲线C卜

存在一点S,使得直线SM的斜率与直线SV的斜率之和为定值，求实数/的取值范围.

4.（25-26高二上•云南昆明•期中）椭圆C：提+，=1（。>力>0）上的一个动点夕，点。到右焦点的距离

的最小值为1,C的离心率为

⑴求椭圆C的方程；

（2）若直线（不经过原点O,且不平行于坐标轴，（与C有两个交点A