高考数学备考考点 古典概型 知识点冲关 （附解析）

专题--古典概型

（1）理解古典概型及其概率计算公式.

（2）会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.

知识整多

一、基本事件

在一次试验中，可能出现的每一个基本结果叫做基本事件.

基本事件有如下特点：

（1）任何两个基本事件是互斥的.

（2）任何事件（除不可能事件）都可•以表示成基本事件的和.

二、古典概型的概念及特点

把具有特点①试验中所有可能出现的基本小件只有有限个②每个基本事件出现的可能性相等的概率模

型称为占典概率模型，简称古典概型.

三、古典概型的概率计算公式

用小_事件/包含的基本事件数

（）一试验的基本事件总数.

四、必记结论

（1）古典概型中的基本事件都是互斥的.

（2）在计算古典概型中基本事件数和事件发生数时，易忽视它们是否是等可能的.

点考向,

为考照学

考向一古典概型的概率求解

1.求古典概型的基本步骤：

(1)算出所有基本事件的个数〃.

(2)求出事件A包含的所有基本事件数利

(3)代入公式〃(力)二二，求出P(4).

n

2.求解古典概型的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本

事件.

基本事件的表示方法有列举法、列表法、树状图法和计数原理法，具体应用时可根据需要灵活选择口

3.对于求较复杂事件的古典概型的概率问题，可以将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先求对立事

件的概率，再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求事件的概率.

4.解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件

的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.

典例引领

典例1甲盒子装有分别标有数字1,2,3,4的4张卡片，乙盒子装有分别标有数字2,5的2张卡片，若

从两个盒子中各随机地摸取出1张&片，则2张卡片上的数字为相邻数字的概率为

73

A.一B.一

C.1D,1

48

【答案】B

【解析】从两个盒子中各随机地摸取出1张卡片,有(1,2),(1,5),(2,2),(2,5),(3,2),(3,5),(4,2),(4,5),共8种不同的

取法，

其中相邻数字的取法有(1,2),(3,2),(4,5),共3种不同的取法，

所以所求的概率为P=2.

故选B.

典例2某校高一、高二、高三分别有40()人、35()人、35()人为调查该校学生的学习情况，采用分层抽样的

方法从中抽取一个容量为〃的样本已知从高一的同学中抽取8人

裔考破考

(1)求样本容量〃的值和从高二抽取的人数；

(2)若从高二抽取的同学中选出2人参加某活动，已知高二被抽取的同学中有2名女生，求至少有I名女同学被

选中的概率.

nO

【解析】(1)由题意可得---------------=——、解得〃=22.

400+350+350400

Q

从高二抽取350x——=7人.

400

(2)由(I)知，从高二抽取7人，

其中2位女生记为48、5位男生记为C,G、

则从这7位同学中任选2人,不同的结果有{46},{4。},{4切，{4芯},{4尸},{4G},

{8,C},{£D},{81},{8/},{8,G},{C,Q},{C1},{Cj}{C,G},{2*},{/V'}，

{〃《},{*/},优G},{匕G}，共21种.

从这7位同学中任选2人,有女生的有:{48},{4。},{4。},{4点},{41'}，

{4G},{8,C},{B,O},{8/},{B/},{8,G},共11种，

11

故至少有1名女同学被选中的概率为一.

21

变式拓展

1.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，骰子朝上的面的点数分别为x,y,则满足

1g12+2y2)=[g(3x)+lgy的概率为

A.1B,1

84

C.1D,1

32

2.智能手机的出现，改变了我们的生活，同时也占用了我们大量的学习时间.某市教育机构从50Q唱手机使

用者中随机抽取如)门名，得到每天使用手机时间(单位：分钓)的频率分布直方图(如图所示)，其分组是:

[0,20),[20,40)，[40,60),[60,80),[80,100].

态考教考

镇率/组春

0.015.............

0.0125......................

0.01------------------

00025----

（!~..由击~力使血间/分件

（1）根据频率分布直方图，估计这题名手机使用者中使用时间的中位数是多少分钟？（精确到整数）

（2）估计手机使用者平均每天使用手机多少分钟？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）

（3）在抽取的1翼名手机使用者中在［20,40）和［40,60）中按比例分别抽取2人和3人组成研究小组，

然后再从研究小组中选出2名组长，求这2名组长分别选自［20,40）和［40,60）的概率是多少？

考向二用随机模拟估计概率

用随机模拟估计概率的关键是用相应的整数表示试验的结果，然后按实际需要将所得的随机数分为若干个

一组（比如试验要求随机抽取三个球就三个数据一组），明晰所求事件的特点后去找符合要求的数据组，

即可求解概率.

典例引领

典例3袋子中有四个小球，分别写有，美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到冲”“国”

两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取

整数值的随机数，分别用0，1,2,3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一纽，表示取球

三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：

232321230023123021132220001

23113（）133231（）3132（）122103233

由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为

1

A.—

9

态考教考

【答案】C

【解析】因为随机模拟产生18组随机数，

由随机产生的随机数可知，恰好第三次就停止的有:

《逡L©fflL嚣1，130,共4个基本事件，

根据古典概型的概率公式可得，

恰好第三次就停止的概率为&=2,故选c.

189

变式拓展

3.若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率.先由计算器给出0到9之间取整数的随机数,

指定01,2,3表示没有击中目标,4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随

机模拟产生了20组如下的随机数：

7327029371409857034743738636694714174698

0371623326168045601136619597742476104281

根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为.

点冲关■牧

1.甲、乙两人有三个不同的学习小组力,法。可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参

加同一个小组的概率为

2

r*

3

5

6

2.现有2个正方体,3个三棱柱,4个球和1个圆台，从中任取一个几何体，则该几何体是旋转体的概率为

2

r.

5

7

10

3.从1,2,345这五个数中任取两个数，则这两个数都是奇数的概率是

态考教考

31

A.二B.±

102

71

C.JLD.1

105

4.袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”、“谐"、"校''、"园''四个字，有放回地从中任

意摸出一个小球，直至仁和“、“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止

摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，分别用1，2,3，4代表“和”、“谐”、

“校”、“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机

数：

343432341342234142243331112

342241244431233214344142134

由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为

51

C.一D.-

189

5.某商场对某一商品搞活动,已知该商品的进价为3元/个，售价为8元/个，每天销售的第20个及之后的商品

按半价出售，该商场统计了近10天这种商品的销售量，如图所示,则从这10天中随机抽取一天，其口利润不

少于96元的概率为

A•—

2

10

6.如图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为2航则称该图形是“和

谐图形”.已知其中四个三角形上的数字之和为20,现从1、2、3、4、5中任取两个数字标在另外两个

态考教考

三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为

7.运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为4从集合力中任取一个元素q则函数

y=G[0,+8）是增函数的概率为

8.在某学校图书馆的书架上随意放着编号为1,2,3,4,5的五本书，若某同学从中任意选出2本书，则

选出的2本书编号相连的概率为.

9.某单位要在5名工人中安排2名分别到两地出差（每人被安排是等可能的），则甲、乙两人中恰巧有一人被

安排的概率为

态考照考

1（）.已知集合力={-2,3,5,7},从力中随机抽取两个不同的元素"力,作为复数z=〃+砥i为虚数单位）的实部和虚部.

则复数z在复平面内的对应点位于第一象限的概率为.

11.某中学有一调查小组为了解假期期间本校学生白天在家的时间情况，从全校学生中抽取120人，统计他们

平均每天在家的时间（在家时间超过4小时的就认为具有“宅”属性，否则就认为不具有“宅”属性）.

具有“宅”属性不具有“宅”属性

男生2050

女生1040

采用分层抽样的方法从具有“宅''属性的学生中抽取一个6人的样本,若从这6人中随机选取3人做进一

步的调查，则选取的3人中至少有1名女生的概率为.

12.有编号为①，/，…，①。的10个零件，测量其直径（单位:cm）,得到下面数据:

编号<1从243人5从6力7从8Aa410

直径1.511.491.491.511.491.511.471.461.531.47

其中直径在区间［1.48,1.52］内的零件为一等品.

⑴从上述10个零件中，随机拍取一个,求这个零件为•等品的概率;

⑵从一等品零件中，随机抽取2个.

⑴用零件的编号列出所有可能的抽取结果；

（ii）求这个零件直径相等的概率.

态考教考

13.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是:从装有2个红球小和1

个白球8的甲箱与装有2个红球4.2和2个白球"也的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球

都是红球则中奖,否则不中奖.

(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；

(2)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为这种说法正确吗?请

说明理由.

14.某科研单位积极推进科学创新，在解决某•技术难题的过程中，需要组建在结构设计和系统程序两方

面强的人才小队，相关研究小组所有人员分别进行结构设计和系统程序两项综合考核，构成的频率分

布直方图如图所示，单项综合成绩在［90,100］内的评为“优A”，且结构设计综合成绩在180,90)内的人员

有10人.

方考照老

结构设计系统程序

频率

（1）求系统程序综合成绩为“优A”的人数;

（2）在两项综合考核中，恰有2人的两项综合考核成绩均为，优A”,在至少一项成绩为，优A”的人员中，随机

抽取2人进行组队（项FI负责人），求这2人的两项综合成绩均为“优A”的概率.

15.某校团委会组织某班以小组为单位利用周末时间进行一次社会实践活动，每个小组有5名同学，在活

动结束后，学校团委会对该班的所有同学进行了测试，该班的48两个小组所有同学得分（百分制）

的茎叶图如图所示，其中8组一同学的分数已被污损，但知道4组学生的平均分比力组学生的平均分

高一分.

乂组

49

60

77

（1）若在4组学生中随机挑选1人，求其得分超过86分的概率;

<2）现从4、8两组学生中分别随机抽取1名学生，设其分数分别为〃?、〃，求|加-〃但8的概率.

态考教考

16.某种零件的质量指标值以分数(满分100分)衡量，并根据分数的高低划分三个等级，如下表:

分数XXV9292KXV9696&X<100

等级不合格合格优秀

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员随机抽取了100件零件，进行质量指标值检查,

将检查结果进行整理得到如下的频率分布直方图:

(1)若该生产线的质量指标值要求为：

第一条:生产线的质量指标值合格和优秀的零件至少要占全部零件的75%；

第二条:生产线的质量指标值平均分不低于95分；

如果同时满足以上两条就认定生产线的质量指标值合格，否则为不合格，请根据以上抽样调查数据，

判断该生产线的质量指标值是否合格？

(2)在样本中，按质量指标值的等级用分层抽样的方法从质量指标值不合格和优秀的零件中抽取5件,

再从这5件中随机抽取2件，求这两件的质量指标值恰好一个不合格一个优秀的概率.

态考教考

17.甲，乙两台机床同时生产一种零件，其质量按测试指标划分指标大于或等于100为优品，大于等于90

且小于100为合格品，小于90为次品，现随机抽取这两台车床生产的零件各100件进行检测，检测结

果统计如下：

测试指标[85,90)[90,95)[95,100][100,105)[105,110)

机床甲81240328

机床乙71840296

（I）试分别估计甲机床、乙机床生产的零件为优品的概率：

（2）甲机床生产一件零件，若是优品可盈利160元，合格品可盈利100元，次品则亏损20元.假设甲

机床某天生产50件零件，请估计甲机床该天的日利润（单；立：元）；

（3）从甲、乙机床生产的零件指标在［90,95）内的零件中，采用分层抽样的方法抽取5件，从这5件中

任选2件进行质量分析•，求这2件都是乙机床生产的概率.

态考教考

18.2020年将在日本东京举办第鼻2届夏季奥林匹克运动会，简称为“奥运会”，为了解不同年龄的人对“奥

运会”的关注程度，某机构随机抽取r年龄在20〜70岁之间的10。人进行调查，经统计，“年轻人”与‘中

老年人''的人数之比为2:3.

关注不关注合计

年轻人30

中老年人

合计5050100

(1)根据已知条件完成上面的T概2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为是否关注“奥运会''与年龄段

有关：

(2)现采用分层抽样的方法从中老年人中选取6人进行问卷调查.若再从这6人中选取2人进行面对面询

问，求事件”选取的2人中至少有1人关注奥运会”的概率.

n(ad-be)2

附参考公式:K?二，其中〃二。+力+c+d.

(a+b)(c+d)[a+c)(b+d)

临界值表:

P(K2“。)0.050.0100.001

3MI6.63510.828

方考照老

直通高考

1.（2019年高考全国11卷又数〉生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子

中随机取出3只，则恰有2只测显过该指标的概率为

2.（2018新课标全国II文科）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女

同学的概率为

A.0.6B.

C.0.4D.0.3

3.（2017天津文科）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中

任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为

4

55

2J_

5

4.（2017新课标全国II文科）从分别写有123,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张,

则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为

态考教考

5.（2019年高考全国II卷文数）我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有1（）

个车次的正点率为（）.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为（）.99,则经停该站高铁

列车所有车次的平均正点率的估计值为.

6.（2018江苏）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女

生.的概率为▲.

7.（2019年高考天津卷文数）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、

大病医疗.、住房贷款利息或者住房租金、蟾养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有

72JQ&J2O人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情

况.

（1）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？

（2）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为4B,C,D,E,享受

情况如下表，其中“。”表示享受，“X”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.

员工

项目、\ABCDEF

子女教育0OXOX0

继续教育XXOX00

大病医疗XXXOXX

住房贷款利息0OXX00

住房租金XXOXXX

赡养老人OOXXX0

（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同“，求事件"发生.的概率.

态考教考

8.（2018天津文科）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层

抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.

（I）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？

（II）设抽出的7名同学分别用力，B,C,D,E,F,G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院

的卫生工作.

（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

（ii）设M为事件”抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率.

态考教考

9.（2018北京文科）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表:

电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类

电影部数14050300200800510

好评率0.40.20.150.250.20.1

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.

（I）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率：

（II）随机选取1部电影，估”这部电影没有获得好评的概率；

（Hi）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表

格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少

0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）

10.（2017山东文科）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家小〃2/3和3个欧洲国家办,华方3中选择2个国家

去旅游.

（I）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；

（2）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括小但不包括片的概率.

方考照老

任参考答案.

变式拓展

1.【答案】B

【解析】先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，骰子朝上的面的点数分别为X，歹，易知基本事件的总数为

36,

由3xy+2y2=0-有(x_y)(x_2y)=0,得其=》或工=2〃

则满足条件的（xj）为（Li），（2,2），（工3）,（44），（5卢），（6,6）,（2,1）,（4,2），（6,3），共9

个，

91

故所求概率为〃=——二—.

364

故选B.

2.【解析】(1)设中位数为x,则0.0025x20+0.01x20+0.015x(x—40)=05

170

解得：x=——*57(分钟).

3

••・这如名手机使用者中使用时间的中位数是57分钟.

（2）平均每天使用手机时间为：0.05xl0+0.2x3（M）.3x5（＞H）.2x7（M）.25x90=58（分钟）,

即手机使用者平均每天使用于机时间为5蠢分钟•

态考教考

(3)设在［20,40)内抽取的两人分别为a,从在［40,60)内抽取的三人分别为xj,z,

则从五人中选出两人共有以下10种情况：

3力)，3x),(aj),(a,z),(“X),(“y),(“z),(“),(")0/),

2名组长分别选自［20,40)和［40,60)的共有以下6种情况:(。/),(。,力(。*),伍/),(“力他/),

63

.•.所求概率p=ITS

7

3.【答案】二

【解析】由随机数表可知，共有20个随机事件,

女中该运动员射击4次至少击中3次有9857,8636,6947,4698,8045,9597,7424,共有7个随机事件,

7

因此估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为一L.

20

专题冲关

1.【答案】A

【解析1甲、乙两人参加三个不同的学习小组共包含9个基本事件,

其中两人参加同一个小组包含3个基本事件(44),(B,B),(C,C),

>II

则所求概率为严二一二一.故选A.

93

2.【答案】C

【解析】共有10个几何体,其口旋转体有5个，所以从中任取一个几何体，则该几何体是旋转体的概率为

而二5

3.【答案】A

【解析】从123,4,5这五个数中任取两个数的所有基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),

(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个,

记”抽取的两个数都是奇数”为事件M则事件M包含的基本事件为(1,3),(1,5),(3,5),共3个，

所以所求的概率P(.W)=A

10

4.【答案】B

【解析】随机模拟产生了以下18组随机数：

裔考破考

343432341342234142243331112

342241244431233214344142134

其中第三次就停止摸球的随机数有：142,112,241,142,共4个，

由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为。二二4二刍2.

189

故选B.

5.【答案】A

【解析】由题意得当日销售量不少于20个时,日利润不少于96元,其中当日销售量为20个时,FI利润为96

元,当日销售量为21个时，日利润为97元.

从条形统计图可以看出，口销告量为20个的有3天，口销售量为21个的有2天，

缪4-31

故从这10天中随机抽取一天，其日利润不少于96兀的概率为——二一.

102

6.【答案】B

【解析】由题意可知，若该图形为“和谐图形”，

则另外两个三角形上的数字之和恰为26—20=6

从1、2、3、4、5中任取两个数字的所有情况有（1,2）、（1,3）、（1,4）、（1,5）,（2,3）,（2.4）.

（2,5）、（3,4）、（3,5）、（4,5）,共10种，

而其中数字之和为6的情况有（1袁）、（2,4）,人2种，

因此，该图形为“和谐图形”的概率为三匚2，

105

故选B.

7.【答案】C

【解析】该程序的运行过程如下:尸-3,输出y=3;x=-2,输出产口肉无二,1,输出尸=1;荔二式输出

y=0;x=l,输出歹=3y=2,输出y=8;x=3,输出尸15,程，手结束，

故/={3,0,・1,8,15},

其中有3个元素可使得函数歹=£\%€［。,+00）是增函数，

故所求概率为？3.

5

裔考破考

【解析】从五本书中任意选出2本书的所有可能情况为(L2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(24),(Z5),(34),

0,5)<45)，共1。种，

满足2本书编号相连的所有可能情况为(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)，共4种，

42

故选出的2本书编号相连的概率为

W5

9.【答案】三

5

【解析】记5名工人中除甲、乙两人以外的工人为a,b,c,则从5名工人中随机选2名的情况如下:(甲，

乙),(甲,。),(甲,办(甲,c),(乙,a),(乙甲),(乙,c),(。力),(a,c),(6,c),共10种，

其中“甲、乙两人中恰巧有一人被安排”包含的基本事件有6种，

故所求的概率为9=3.

105

10.【答案】1

2

【解析】从集合力={-2,3,5,7}中随机抽取两个不同的元素。也

组成复平面内的对应点有G2,3),(-2,5),(-2,7),(3,-2),(3,5),(3,7),(5,-2),(5,3),(5,7),(7,-2),(7,3),(7,5),共12种,

其中位于第一象限的点有(3,5),(3,7),(5,3),(5,7),(7,3),(7,5),共6种.

所以复数N在复平面内的对应点位于第一象限的概率为4•.一・，・故填

1222

11.【答案】士

【解析】记事件M为“选取的3人中至少有1名女生”，则事件而为“选取的3人都是男生”.

采用分层抽样的方法从具有“宅''属性的学生中抽取一个6人的样本，其中男生有4人，编号分别为a,b,c,&

女生有2人，编号分别为4a

从6人中随机选取3人的基本事件有{a,h,c},{a,h,d},{a,b,A},{a,c,d},,{ayc\B},(tz/M),

阴,阴，他G4},他C/},{AG阴，{仇44},他&团,{。4/,{四,4},{端网,{。,4阴,{"4阴,共20个.

密件杯所含的基本事件分别为{。也%{。4/},{〃。"},仇城},共4个，

所以事件M的概率为"Mm"

205

一A4

所以事件M的概率为P(M)=1-P(尸1--二—

姆5看

12.【解析】(1)由所给数据可知，一等品零件共有6个.

态考教考

”为事件4则/)(/!)=53

设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品

5

(2)(i)一等品零件的编号为4]/2/3,44也/6,从这6个一等品零件随机抽取2个，所有可能的结果有:

(AA,A2},(A^,A3],{AA,A4},{AA,A^),(Ai，Af)),[A2，A3),(A2，A4},{A2lA5},{A2,Af)},{A3,A4],{A3,As},{A3,A()},{A4,As},(

444｝，那54｝，共有15种.

(ii)“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”(记为事件8)的所有可能结果有:

>

{Ai，A4},{Ai，A(3},{A2,A3}f{A2，As},{A2，As],{A^,A^},V<{]6种.

所以P⑻=_=2

5

13.【解析】(1)所有可能的摸出结果

是乂小,°1},{小,偿},{4,加},{小也}.{A2,a2},{A2,b\},{A2,b2},{B.a\],

(2)不止确.理由如卜:

由(1)知，所有可能的摸出结果共12利1

其中摸出的2个球都是红球的结果为｛小必｝,｛小处｝，｛42，。2｝，｛42必｝，共4种，

所以中奖的概率为刍匚工

U3

171

不中奖的概率为1一士二*>士

333

故这种说法不正确.

14.【解析】(1)该单位相关研究小组所有人员的人数为10。0.25=4().

则系统程序综合成绩为“优A'的人数为40x(l-0.0025x10-0.015x10-0.0375x10x2)=40x0.075=3.

(2)结构设计、系统程序综合成绩为“优A”的各有3人,其中有2人的两项综合成绩为“优A”,所以还有2

人只有一项综合成绩为“优A”.

设这4人为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙的两项综合成绩均为“优A”,则在至少一项综合成绩为“优A”的

人员中，随机抽取2人进行组队(项目负责人)淇基本事件为｛甲，乙｝，｛甲，丙｝，｛甲，丁｝，｛乙，丙｝，｛乙，丁｝,｛丙,

丁｝，共6个,

设“随机抽取2人，这2人的两项综合成绩均为，优A，”为事件M,

则事件用包含的基本事件为｛甲，乙｝，共1个，

故/>(；W)=—.

6

态考教考

15.【解析】(1)4组学生的平均分为94+80+86+88+77-85,所以8组学生的平均分为86分.

5

设被污损的分数为X，则勿+93+83+7“X=86,解得X=88.

5

所以8组学生的分数为91、93、83、88、75,其中有3人分数超过86分，

在4组学生中随机挑选1人，其得分超过86分的概率为3.

5

(2)4组学生的分数分别是94、80、86、88、77,8组学生的分数为91、93、83、88、75,

在力、8两组学生中随机抽取1名学生，其分数组成的基本事件(加，〃)，有

(94,91),(94,93),(94,83),(94,88),(94,75),

(80,91),(80,93),(80,83),(80,88),(80,75),

(86,91),(86,93),(86,83),(86,88),(86,75),

(88,91),(88,93),(88,83),(88,88),(88,75),

(77,91),(77,93),(77,83),(77,88),(77,75),共25个,

随机各抽取1名学生的分数加、〃，满足|加一〃N8的基本事件有(94,83),(94,75),(80,91),

(80,93),(80,88),(86,75),(88,75),(77,91),(77,93),(77,88),共10个，

1n2

：Am-nN8的概率为一=-.

11255

16.【解析】(1)根据抽样调查数据，生产线的质量指标值合格和优秀的零件所占比例的估计值为：

(0.100+0.150+0.125+0.025)x2=0.80,

因为0.80>0.75,所以满足生产线质量指标值要求的第一条；

生产线的质量指标值平均分约为：

(89x0.025+91x0.075+93x0.l00+95x0.150+97x0.125+99x().025)x2=94.4,

因为94.4<95,所以不满足生产线质量指标值要求的第二条.

综上，可以判断该生产线的质量指标值是不合格的.

(2)由频率分布直方图可知，不合格、优秀的频率分别为020.3,

故在样本中用分层抽样方法从质量指标值不合格和优秀的零件中抽取5件零件，质量指标值不合格的

有2件，设为甲、乙，优秀的有3件，设为力，B,C,

从这5件零件中随机抽取2件，有：

甲乙，甲力，甲心甲C,乙4乙B,乙C,AB,AC,BC,共10种，

其中恰好一个不合格一个优秀的有:甲4甲8,甲C,乙凡乙8,乙C,共6种，

态考教考

所以这两件的质量指标值恰好一个不合格一个优秀的概率为p=9=3.

1（）5

QOiQ7

17.【解析】（I）因为甲机床为优品的频率为丝工2=£,

1005

乙机床为优品的频率为里找=工，

10020

所以估计甲、乙两机床为优品的概率分别为三2，7

520

（2）甲机床生产一件零件的平均利润为需*（40乂160+52乂100—8乂20）=114.4元，

所以估计甲机床每生产一件零件的利润为114.4元，

所以甲机床某天生产50件零件的利润为50x114.4=5720元.

191Q

（3）由题意知，甲机床应抽取5x——二2，乙机床应抽取5x—=3,

3030

记甲机床的2个零件为4,8，乙机床的3个零件为a,"c，

若从5件中选取2件，有AB,Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,ab,acM，共1。种取法，

这2件都是乙机床生产的共有3种，分别为力c・

所以，这2件都是乙机床生产的概率尸n一.

10

23

18.【解析】（1）年轻人共有100x-=40人，中老年人共有100x-=60人.

55

关注不关注合计

年轻人301040

中老年人澳40硒

合计5050100

所以犬=100(>4。蝮尤=50，667>10.828

40x60x50x503

故有99.9%的把握认为是否关注“奥运会”与年龄段有关.

⑵抽取的6位中老年人中有4人不关注，记为4,4,4,4,2人关注，记为片，坊,

设“选取的2人中至少有1人关注奥运会”为事件力.

态考教考

从送6人中选2人的选法有(4,4>(4,4X44>(44X48>(4,4>

(4,4),(4,AM4,员>(4,4>(4,4),(4,B2MA”4>(4,B)(%%),共15种.

其中选取的2人中至少有1人关注奥运会有：(4,4)，(4,打＞(4,4),(4,82%(4,8)(4，用〉

(4,用,(4,B)(%

共9种情况，