圆中求弧长与面积的有关计算问题的五类综合题型（专项训练）-沪科版九年级数学下册【含答案】

微专题06圆中求弧长与面积的计算问题的五类综合题型

题型一利用弧长公式求弧长

G方注利用弧长公式计算弧长方法总结

1.牢记核心公式：弧长公式为/=〃口/180。（〃为圆心角度数，厂为圆的半径），或弧度制

下/=w（a为圆心角弧度数）,优先用角度制公式（初中常用）.

2.关键步骤：

-确定已知量：精准提取r（半径）和〃（圆心角，需统一为度数）；

-补全未知量：若〃或，•未知，通过圆周角定理、等腰三角形性质等推导；

-代入计算：注意单位统一（半径与弧长单位一致），化简结果（保留兀或小数）.

3.易错提醒：圆心角需对应所求弧，避免混淆圆周角与圆心角，计算前核对角度是否准确.

（2025•甘肃武威・模拟预测）

1.如图，是半圆的直径，AB=2,/8=30。，则部的长为（）

试卷第1页，共12页

c

AB

O

14

A.一兀BC.兀D.-it

3-i3

（2025九年级•四川宜宾・专题练习）

2.如图，将矩形488绕点力逆时针旋转得到矩形WEFG,点4的对应点月落在边CO上,

（2025•安徽淮南•一模）

3.如图，为。。的直径，AB=4,CO为。。的弦，ABYCD,连接OC,OD,

N8CO=25。，则劣弧力。的长为.

（2025•广东佛山•三模）

4.如图，力4是。O的直径，力B=4,仅。是。。上的点，Z^Z）C=115°,则弧力C的长

（25-26九年级L•河北甘口怦•期中）

5.如图，8M是。。的直径，点A/,N均在。。上，Z.ANB=30°,弦力6=9cm.

试卷第2页，共12页

M

（1）求直径8M的长:

⑵求劣弧筋的长.

（2024•广东•二模）

6.如图，48为。。的直径，。是。。上一点，CQ为。。的切线，过点4作8。J.CO于点

D,连接8C,OC.

（1）求证：8c是力44。的平分线;

（2）若/8CQ=30。，OC=6,求部的长.

题型二利用扇形面积计算公式求面积

©方注利用扇形面积公式计算面积方法总结

1.牢记核心公式：常用两个公式一①S=〃口/360°（〃为圆心角度数，厂为圆的半径）

（〃为圆心角度数，，•为半径）；②S=l\2>（/为弧长，「为半径），可根据已知条件选择.

2.关键步骤：

-定已知量：若知〃和广，用公式①：若知/和八用公式②，无需换算角度更便捷；

-补未知量：缺〃则通过圆周角定理、全等推导；缺/可先由弧长公式求出；

-代入计算：单位统一，结果保留兀或按要求取小数.

3.易错提醒：圆心角需对应扇形的弧，避免与圆周角混淆，公式①中勿漏平方半径.

（25-26九年级上•北京•阶段练习）

7.如图，以点。为圆心的两个同心圆中，点力，8在大圆上，点C,。在小圆上，然和

试卷第3页，共12页

①的长度分别是4,A.若4=。，则扇形。力8的面积可与扇形。CO的面积S2的大小关系

C.£=邑D.不能确定

（2022•贵州铜仁一模）

8.如图，正五边形48CZ）E的边长为6,以顶点力为圆心,的长为半径画圆，则图中阴

影部分的面积为（）

B.6%C.108^D.10.8乃

（2025・广东深圳•三模）

9.如图，已知半径为1的。。上有三点4B、C,OC与AB交于点D,

N4DO=85。，NCAB=20°,则阴影部分的扇形3c面积是—.

（24-25九年级下・甘肃武成•开学考试）

10.如图，A,B,C,。是。。上的点，半径04=3,弧力8=弧。，/DBC=25。,则扇

形408的面积为.

试卷第4页，共12页

A'D

(2025九年级上•浙江•专题练习)

11.如图，加？是。。的直径，弦CQ上4B于点E,连结NC,BC.

(1)求证：NACO=/BCD；

(2)若。。=6,乙4=30。，求阴影部分的面积.

(25-26九年级上•浙江温州•阶段练习)

12.如图，是△48C的外接圆，半径为6,连接。8,OC,OA,

(1)过点。作OO18C,交4c于点。，若OD=3,求AC的长；

(2)若乙4=60l求阴影部分的面枳.

题型三不规则阴影部分的周长计算

G方法不规则阴影部分周长计算方法总结

1.核心思路：拆分重组，将不规则周长转化为规则图形的边长+圆弧长之和，不重复、

不遗漏各边.

试卷第5页，共12页

2.关键步骤：

-观察图形：识别组成阴影周长的元素（直线段、圆弧），标注已知边长、圆的半径/直径；

-转化圆弧：将圆弧对应到完整圆，通过圆心角算弧长（用弧长公式/=〃\加

r/180A\c/rc）；

-求和验证：直线段直接相加，圆弧长汇总，最终求和得到阴影周长.

3.常用模型：重点关注“圆弧拼接”（如多个扇形弧组成半圆/整圆）、“直线平移”（平移后

凑整规则边长）.

核心是“拆分+转化”，把不规则图形拆解为熟悉的宜线和圆弧，再分步计算求和.

（2025•山西临汾•三模）

13.如图，在四边形力8CO中，先以点力为圆心，48的长为半径画弧，此弧恰好经过点

C,再以点C为圆心，C方的长为半径画弧，此弧恰好经过点4若4B=2,则图中阴影部

分的周长为（）

824

A.-71+4B.2%+4C.一乃+4D.一万+4

333

（2025•山东青岛•模拟预测）

14.如图，是OO的一条弦，半径OC交48于点且40=30,连接04,

NO"=30。，BD=20则阴影部分的周长为（）

B.—+4+273

3

D.—+4+273

3

试卷第6页，共12页

（2025•吉林•三模）

15.如图，在口力AC。中，ZD=120°,C£>=2,以点力为圆心，力4的长为半径画弧交幺。边

于点、E,以点A为圆心，BE的长为半径画弧交4C边于点尸，则阴影部分图形的周长为一

（结果保留兀）

（2025•内蒙古•模拟预测）

16.如图，正六边形48CQE尸的边长为4,分别以点儿。为圆心，以48,QC为半径作

扇形扇形。CE,则图中阴影部分的面积是：阴影部分的周长为.

（24-25六年级下•上海闵行•期末）

17.如图，圆心角为135。的扇形减去直径为12厘米的半圆，求阴影部分的周长和面积（结

（24-25九年级下•湖北宜昌•阶段练习）

18.如图，A/IBC为。。内接三角形，力8为。。直径，点E在线段延长线上，线段

过点C,且交4c于b，/OF/1+NEC力=180’.

(1)若NM/C=60°,求4OC的大小;

试卷第7页，共12页

（2）若CB=BE=\,求弧6。、线段8£、EC围成的阴影部分的外围周长.

题型四不规则阴影部分的面积计算

G方收不规则阴影部分面积计算方法总结

i.核心思路：用"转化法'’将不规则阴影转化为规则图形（圆、三角形、矩形等）的面积和

或差，避免直接计算.

2.常用方法：

-割补法：分割阴影为多个规则图形，或补全空白形成规则图形，再求面积差；

-等积变换法：利用平行线、对称性质，将阴影面积转化为等积的规则图形；

-重叠法：若阴影是图形重叠部分，用“整体面积-非堇叠空白面积”求解.

3.关键步骤：先识别规则图形基底，标注已知条件（边长、半径），再通过和差运算得出

阴影面积.

核心是“化不规则为规则“，灵活选用割补、等积变换，高效求解•.

（2025•山东德州•中考真题）

19.如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在

图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径.设这条切线交大圆于点儿B，量得48

的长是5cm,则剩余部分的面积是（）

2525,25

A.257tcm2B.—nctn2C.—ncm2D.—item2

248

（2025•江苏•模拟预测）

20.如图，正方形46CO的边长为8,以。为圆心，6为半径作圆弧；以C为圆心，8为半

径作圆弧.若图中阴影部分的面积分别记为，、S2,则£-邑的值为（）

试卷第8页，共12页

DC

A.52%B.25%C.52^-64D.25兀-64

（25-26九年级上•江苏泰州•阶段练习）

21.如图，力8是。。的切线，切点为8,40交。。于点C,且4C=OC.若。。的半径

为6,则图中阴影部分的面积是.

（24-25九年级下•河北石家庄,阶段练习）

22.【阅读理解】在求阴影部分面枳时，常常会把原图形的一部分割下来补在图形中的另一

部分，使其成为基本规则却形，从而使问题得到解决，这种方法称为割补法.如图1,C是

半圆。的中点，欲求阴影部分的面积，只需把弓形4C割下来，补在弓形力。处，则S阴影

【拓展应用】如图2,以/也为直径作半圆O,设C为半圆O的中点，连接5C,以08为直

径作半圆交8c于点0.若48=4,则图中阴影部分的面积为.

图1图2

（2025九年级•全国•专题练习）

23.如图，在口力4CO中，/4=30。，以点4为圆心，，4。的长为半径画弧，交AB于点E,

连接CE.若力。=6,AB=10.求：

（1）方的长.

（2）阴影部分的面积.

试卷第9页，共12页

（2025九年级上•浙江•专题练习）

24.如图，己知中，4cB=90。，4D平分NB4C,交BC于点、D,以川？上某

一点。为圆心作。。，使。0经过点4和点。，交AB于前E,连接并延长交力C的延长

线于点凡

（1）判断直线6c与。。的位置关系，并说明理由；

⑵若/产=12,6=3,求8的长；

⑶在（2）的条件下，求阴影部分的面积.

题型五不规则阴影部分面积中的最值的计算

G方法不规则阴影面积最值计算方法总结

1.核心思路：转化为规则图形（圆、三角形、四边形）的面积关系，通过“函数建模''或"几

何性质”求最值，避免直接计算不规则图形.

2.关键方法：

-函数法：设变量（如半径、边长、角度），用面积公式表示阴影面积，转化为二次函数或

三角函数，求顶点/值域最值：

-几何法：利用“定点定长''（如圆的性质）、“垂线段最短”“三角形三边关系”，锁定面积极值

的临界位置（如相切、垂直）;

-拼接法：将阴影拆拼为规则图形的和/差，通过规则图形的最值推导阴影最值.

3.易错提醒：明确变量取值范围，验证临界位置是否符合图形约束，避免无效解.

（24-25九年级上•河南信阳•阶段练习）

25.如图，在半径为2的扇形中，/力。8=80。，OP平分/AOB交介于点P,点C

是半径。8上一动点，则阴影部分周长的最小值为（）

试卷第10页，共12页

A

C.+?D.26+=

B-2存与

63

（2021・四川自贡•中考真题）

26.如图，直线y=-2x+2与坐标轴交于小〃两点，点P是线段上的一个动点，过点P

作y轴的平行线交直线y=r+3于点0,△OP。绕点。顺时针旋转45。，边P。扫过区域

（阴影部分）面积的最大值是（）

1121

C.一几D.一冗

1632

（2024•河南新乡•模拟预测）

27.如图，在扇形中N4O8=90。，C为标上一点且念=2前，点。为半径。8上一

动点.若OB=6,则阴影部分周长的最小值为

（2022•河南新乡•二模）

28.如图，在AABC中，AB=4C=6,乙B=30。，点、O为BC上一点、,以点。为圆心，圆与

△4BC交于4、B、。三点，点E为直径8。下方半圆上一动点，连接力从DE图中阴影部

试卷第11页，共12页

分面积的最大值为

（2025・河南信阳・模拟预测）

29.如图，在扇形408中，04=2,/AOB=a,0。＜”180。，点P为々上一动点，过

点P作PC1.0/1于点C,PDtOB于点、D,连接C。，则的最大值为—，此时扇形044

（2025九年级•全国•专题练习）

30.如图，在△44C中，AB=AC,AO上BC于点O,0E：B于点E,以点。为圆心,

OE长为半径作半圆，交AO于点F.

（1）求证：AC是。。的切线.

⑵若尸是力。的中点，OE=3,求图中阴影部分的面积.

（3）在（2）的条件下，P是8c边上的动点，当PE+P产取最小值时，直接写出8P的长.

试卷第12页，共12页

1.B

【分析】本题考查圆的性质.设半圆的圆心为0,连接。C，求出圆心角N80C,再利用

圆的周长公式即可求解•.

•：OB=OC,

："OCB=ZOBC=30。,

:"BOC=180°-30°x2=l20°,

八o120。2

JoU3

故选：B.

2.C

【分析】本题考查旋转，矩形的性质，弧长，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，正

确作出辅助线是解题的关健.

连接4C/£先证明。七=3。=力。，ZUQE是等腰直角三角形，得到ND4E=45。，

继而推导出旋转角为45。，则N&C=45。，再求出，AC=.AB2+BC2=3,即可解答.

由旋转的性质可知，BC=EF,AB=AE.

,:DE=EF,矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG

DE=BC=AD.Z5=ZD=90°,

在△力OE中，DE=AD,/。=90。，

答案第1页，共24页

.•.△力。后是等腰直角三角形，

:.ZDAE=45°,

•••AB=AE=yjAD2+DE2=41AD=瓜，/EAB=90°-ZDAE=45。,即旋转角为45°，

.-.ZFAC=45°.

在△力8c中，/8=90°,

••,ACZAB'BC?=3.

•••点C运动到点F时的路径长为笑鼻=尊.

1804

故选C.

3.—

99

【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，弧长公式，根据垂径定理和等腰三角形的性质求

出/力。。=乙4OC=50°,再根据弧长公式求解即可.

【详解】解：•.•0。=。8,

:"B=4BC0=25°,

ZAOC=N8+NBCO=50°.

•••CQ为。O的弦，AB1.CD,

ZAOD=Z.AOC=50°,

•••48=4,

••・。。的半径是2,

,lxraf八-50nx25冗

劣弧力。的长为=—.

1oO9

故答案为：y.

13

4.—it

【分析［本题考查了弧长公式，圆周角定理，圆的内接四边形求角度，正确添加辅助线是解

题的关键.

连接。C，根据圆内接四边形对角互补求出N8=65。，再由圆周角定理得到

400=2/8=130。，然后由弧长公式即可求解.

【详解】解：连接OC,

答案第2页，共24页

VZJZ）C+ZJ?=180O,4。。=115。，

；.NB=65。,

.•.40C=2/8=130°,

,:AB=4,

r=OA=2,

:nrrd130兀X213

.••弧4C的长为［80=B■冗

故答案为：■^兀.

5.（1）18cm

⑵371cm

【分析】该题考查了圆周角定理，弧长公式，直角三角形的性质.

（1）根据圆周角定理得出N84W=90。，ZAMB=NANB=30°,根据直角三角形的性质即

可求解.

（2）连接。力，求出4O8=24N8=60。，根据弧长公式即可求解.

【详解】（1）解：••・8AZ是。。的直径，

.•"4/=90。，

•••ZAMB=ZANB=30°,AB=9cm,

•••8M=2/8=2x9=18cm,

二。。的直径为18cm；

（2）解：如图，连接04,

贝ijNAOB=2ZANB=2x30°=60°,

•­AB的长为与裳=3花cm.

1oU

答案第3页，共24页

M

6.⑴见解析

⑵2兀

【分析】（1）根据切线的性质和4力ICO,得到OC〃BO,由两直线平行内错角相等得到

40CB=NDBC,结合OC=OB,由等边对等角可得N0C8=NO8C,进而证明结论；

（2）根据直角三角形的性质和（1）的结论得到/O8C=/O8C=60。，结合OC=O8,得

到力OC为等边三角形，可得/8OC=60。，最后利用弧长公式计算即可.

【详解】（1）证明：与。。相切于点C,

：.OCLCD,

■:BD1CD,

：.OC//BD,

:"OCB=NDBC,

•：OC=OB,

:"OCB=ZOBC,

ZOBC=/DBC,

••・3C是的平分线；

（2）解：•••4010

••./8Z）C=90。，

•：/BCD=30。,

：.ZDBC=60°,

由（1）可知，Z.OBC=ZDBC,

:.ZOBC=/DBC=60°,

-：0B=0C=6,

.••△8OC为等边三角形，

.•.N8OC=NO8C=60。，

答案第4页，共24页

.京的长度为绘^

=2兀.

【点睛】本题考查了圆的基本概念，切线的性质，平行线的判定与性质，等边对等角，角平

分线的定义，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，弧长公式，熟练掌握以上知识

点是解题的关键.

7.A

【分析】本题考查了扇形的面枳，根据扇形面枳等于弧长与半径乘积的一半即可判断求解,

掌握扇形的面积计算方法是解题的关键.

【详解】解：设大圆半径为〃，小圆半径为「，则吊二?述，s[=；什,

,:R>r,A=/2，

故选：A.

8.D

【分析】本题考查正多边形的内角和，扇形的面积.

由多边形的内角和可得/8/E的度数，根据扇形的面积公式计算即可.

【详解】解：•.・正五边形"CDE,

二/胡£=（5—2）xl80°x；=108°,

,:AB=AE=6,

1AQO

••・阴影部分的面积为S=6x6兀=10.871.

故选：D.

益5万

9.——

36

【分析】根据三角形外角的性质得到NC=N/。。-/。力8=65。，根据等腰三角形的性质得

到/力。。=50。，由扇形的面积公式即可得到结论.

【详解】解：•••4。。=85。,/。48=20。,

:"C=Z.ADO-NCAB=65°,

-OA=OC,

.-.ZO/1C=ZC=65°,

.-.ZAOC=50°,

答案第5页，共24页

・•・阴影部分的扇形04c面积=*F=If,

36036

故答案为¥.

36

【点睛】考核知识点：扇形的面积.记住公式是关键.

10.-71

4

【分析】本题考查圆周角定理，扇形面积的计算，先根据圆周角定理计算出/力。8的度数,

再根据扇形面积公式列式计算即可.

【详解】解：,••弧44=弧CD,

ZADB=Z.DBC=25°,

N4OB=2N4DB=50°,

•••OA=3,

扇形40〃的面积=四*之二上兀，

3604

故答案为：:兀.

4

11.（1）见解析

⑵4兀

【分析】本题主要考查了求扇形面积、垂径定理、圆周角定理，掌握扇形面积公式是解题的

关键.

（1）根据垂径定理得到病=丽，根据圆周角定理证明结论；

（2）根据圆周角定理求出N8OC,进而可得/4OC,根据正弦的定义求出OC,利用扇形

面积公式计算即可.

【详解】（1）证明：•.F8是。。的直径，弦CD14B,

•岳=砺，

4=Z.BCD,

-OA=OC,

:"A=NACO,

："ACO=/BCD；

（2）解：•••4=30。，

AZ5OC=60°,

答案第6页，共24页

AZJ(?C=120°,

•••力8是。。的直径，弦CD14B,

/.CE=-CD=3,

2

CF(-

在RtZkCOE中，CO=-^=26，

sin600

二扇形O/C(阴影部分)的面积=空出但迁=44，

360

答：阴影部分的面积为44.

12.(1)6>/3

⑵12乃

【分析】(1)利用垂径定理得由BC=28。，再结合勾股定理求出8。，进而得到4C.

(2)先根据圆周角定理求出圆心角/80C的度数，然后用扇形面积公式得到阴影部分面积.

【详解】(1)解：-OD1BC,OB=0C,

BC=2BD,

在RL8OO中，08=6,00=3,

-BD=>iOB2-OD2=762-32=V27=35/3，

BC=2BD=6也;

(2)解：•・♦//—60。，

ZBOC=2ZA=\20°,

。120乃x621.

••.S国形”二360人

【点睛】本题主要考杳了垂径定理、勾股定理、圆周角定理、扇形面积公式，熟练掌握这些

定理和公式是解题的关键.

13.D

【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，弧、弦、圆心角的关系，弧长的计算，关键

是掌握弧长公式.

连接4C，判定△48C是等边三角形，得至11/力。8=/加。=60°,推出标=前，求出的周

长与，即可得到阴影部分的周长.

【详解】解：连接力C,

答案第7页，共24页

D

由题意得到：AB=AC=2,BC=ACf

；.AB=AC=BC=2,

.••△48。是等边三角形，

・•.N/iCB=NB/C=60。，

•,AB=BC,

•••标的周长=丹萨今，

24

，阴影部分的周长=5不X2+2X2=5〃+4.

故选：D.

14.A

【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，勾股定理，弧长，直角三角形的性质.连接

0B,利用SSS证明A。/!。且△04。，推出乙4。0=/4力。=90。，由NO44=30。，得到

200=04,利用勾股定理求出04,再由阴影部分的周长=/=+40+8,计算即可.

【详解】解：连接。8,

•：OA=OB,AD=BDQD=OD,

•••aOAD知OBD,

••./彳。0=/8。0=90。，

•••NO48=30。，

:.2OD=OA,

在中，OA2=OD1+AD2,即。42=1。/+12,

答案第8页，共24页

•••04=4（负值舍去），

.•.OC=OZ=4,OD=-OA=2

2f

.•.CD=OC-OD=4—2=2,

ZOAB=30°,//。。=90°,

AAOD=60°,

••・阴影部分的周长+

・•・阴影部分的周长=+26+2=¥+2+2百.

*360y3

故选：A.

4

15.一九+2

3

【分析】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质以及弧长的计算，解题的关

键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

根据平行四边形的性质得出/%=60。，48c=120。，AB=CD=2,连接BE,由作图得

AE=AB=2,证明△力8E是等边三角形，得出NE8E=60。，BF=BE=2,根据弧长公式求

出弧8E,弧所的长即可解决问题.

【详解】解:连接8E,如图,

•••四边形"CQ是平行四边形，

:.AB=CD=2,/力8。=/。=120°,AB//CD,

.-.ZJ+ZD=180°,

vZZ)=120°,

.•./月=180°-120°=60%

由作图得力E=43=2,BE=BF,

.•・△48E是等边三角形，

ZEBA=60°,BF=AB=2,

.•.""=60°,

答案第9页，共24页

X々I,60^x22*..60乃x22

.•.弧"的长==丁；弧七尸的长二二彳

1o()31o03

・•・阴影部分图形的周长2为2"+2=4"+2,

口33

4

故答案为：彳4+2.

a,1A

16.246-丝48+—

33

【分析】本题考直正多边膨和圆、扇形面积的计算，解答本题的关键是正确运用扇形面积公

式.根据题意和图形可知阴影部分的面积是正六边形的面积减去两个扇形的面积，阴影部分

的周长为两个弧长加上两个正六边形的边长，据此求解即可.

【详解】解：连接力。与8E交于点。，过。作ON_L/16于N,

•:正六边形4BCDEF的边长为4,

：.AB=BC=EF=4,NF4B=NEDC=120°,NO/1B=NOB4=60°,

•••△力。8是等边三角形，

AB-OA-OB-4,

：.Z.AON=30°,AN=^AB=2,ON=-AN?=2有，

•••正六边形ABCDEF的面积是6S&A()B=6xg4氏ON=6x；x4x2jj=24G,

二图中阴影部分的面积是：2473-^^x2=2473--^；

3603

图中阴影部分的周长是：4C+£/*20：/2X2=4+4+120：/2X2=8+9；

3603603

故答案为：246号;r,8++.

17.阴影部分的周长为(12+15兀)厘米；阴影部分的面积为36兀平方厘米

【分析】本题考查了扇形的周长，扇形的面积，熟练掌握相关公式，数形结合是解题的关键:

阴影部分的周长等于扇形弧长、小圆周长的一半与一条扇形半径的和：阴影部分的面积等于

扇形的面积减去半圆的面积.

答案第10页，共24页

【详解】阴影部分的周长等于12+兀x6+f产=(12+15n)厘米,

1OV

阴影部分的面积等于生器叱=36兀平方厘米.

答：阴影部分的周长为（12+15兀）厘米；阴影部分的面积为36兀平方厘米.

18.（1）30°

⑵g+1+后

【分析】（1）连接。C,则/。。=/力，由/O4+NECl=180。，ZMCF+ZECJ=180°,

推导出NMC"=N。"，由MO_L48交/C于/，得/<0〃=90。，求得

Z.OCM=Z.OCA+ZA/CF=ZA+Z.OFA=90°,而NMCF=NOFA=NMFC=60。,则

ZM=60°,求得NR9C=90°-NM=30。；

（2）由C8=8E,得NBCE=NE,由NOCM=90。，得/BCO+NBCE=90。,

N8OC+NE=90°.I^N8CO=N8OC,所以OC=O8=CB=8E=1,贝i|OE=28E=2,

ZBOC=600,求得EC=&^G=百,而/.=缆3=9,则阴影部分的外围周长为

BC1803

会1+5

【详解】（1）解：如图所示，连接OC,则。。二。4,

/.ZOCA=ZA,

•/AGFA+ZECA=180°,4MCF+ZECA=180。，

NMCr=NOFA,

MO_L交4c于/，

40斤=90。，

/.AOCM=AOCA+NMCF=//+Z.OFA=90°,

♦.♦/MFC=60。，

:"MCF=ZOFA=NMFC=60°,

ZM=1800-/-MCF-/MFC=180°-60°-60°=60°,

ZFOC=90°-Z；W=30°,

即NFO。的大小为30。；

答案第11页，共24页

M

(2)解：・；CB=BE=',

NBCE=NE,

•・•NOCE=NOCM=90。,

;"BCO+NBCE=90°,/BOC+NE=90。,

/.ZBCO=ZBOCf

OC=OB=CB=BE=\,

.•.△BOC是等边三角形，OE=2BE=2,

.•./8OC=60。，EC具OE?-Od27=也，

_60/rx1_乃

・'・/♦=------=-9

时1803

；」.+BE+EC=-+\+>j3,

BC3

即弧BC、线段、EC围成的阴影部分的外围周长为。+1+百.

【点暗】本题考查的是同用的补角相等、三角形内角和定理、等边三角形的判定与性质、勾

股定理、弧长公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键.

19.D

【分析】本题考查的是切线的性质、圆的面积计算，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是

解题的关键.

根据切线的性质得到。。_148,根据垂径定理求出4C,再根据勾股定理、圆的面积公式计

算即可.

【详解】解：如图，平移小圆，使小圆的圆心与点。重合，小圆与44相切于C,连接

OC,OA,

答案第12页，共24页

•.•小圆与48相切于C,

OCLAB,

：.AC=；AB=-1（cm）,

在中，OA2-OC2=AC2=—,

4

则剩余部分的面积为：^X^XOA2-^X^XOC2=^xy=,

故选：D.

20.D

【分析】本题考查了扇形面积的计算，根据题意和图形，可以分别计算出S1+S3和S2+S3的

值，然后用（S+S3）-（S2+SJ即可得到S-S?的值，解题的关键是明确题意，利用数形结

合的思想解答.

【详解】解：如图,

+90x;rx620°。°90^-x82

由S[+S,=--------=97i»S?+S，=8x8--------=64—16万,

360■3360

：'s「s?=(S)+S3)-⑸+S3)

=9乃一（64—16乃）

=25乃-64,

故选：D.

21.18后-6乃

【分析】本题考杳了扇形面积的计算，切线的性质.解直角三角形，勾股定理；直接利用切

线的性质结合勾股定理得出力5的长，再利用锐角三角函数关系得出N8。。的度数，结合阴

影部分的面积为=SgA-蒋0c求出即可.

【详解】解:如图，连接08,

答案第13页，共24页

B

•.78是0。的切线,切点为8,

...N0BA=9M,

-AC=OC,。0的半径为6,

..AC=6,AB=y/AO2-BO2=673，

AO2

.•.4=30。，贝ij/80c=60。，

「•图中阴影部分的面积为:

S.OBA-S鬼彩BOC=；XBOXAB-管=36X66—6A18G—6兀.

故答案为：18\/5-6儿.

22.7C+\

【分析】连接O。、OC，根据S阴影=s相形QC+S.W，求解即可.

【详解】解：连接o。、0C,

,-AC=BC

：.OC1AB,

•••08是小圆直径，

."ODB=90。

OD1BC,

•••08=。。，

：.CD=BD

•：0A=0B=0C=2,

:.BC=2①

•••OD=CD=DB=6

答案第14页，共24页

二S用影=S而形dX+S.CDO

%+1

故答案为：江+1

【点睛】此题考查了扇形面积的计算，同时需要运用圆周先定理，利用割补法求阴影面积是

解题关键.

23.⑴乃

⑵24-3不

【分析】本题考查弧长的计算，扇形面积的计算、平行四边形的性质，解题的关键是明确阴

影部分的面积是平行四边形的面积减去扇形的面积和的面积.

（1）根据弧长公式求得即可;

（2）由图可知图中阴影部分的面积是平行四边形的面积减去扇形的面积和AEAC的面积.

【详解】（1）解：族的长为：三誉=万

I0V

（2）解：过点。作于点R如图.

4=30°,

NOE4=90。，:.DF=^AD=3.

'：AD=AE=6,AB=10./.BE=4,

二•阴影部分的面积是10x3—^^—，x4x3=24-3万.

3602

24.(1)直线8C与。。相切，理由见解析

(2)373

⑶186一64

【分析】此题是圆的综合题，考杳了切线的判定与性质、锐角三角函数、相似三角形的判定

与性质、勾股定理等知识，熟记相关的定理及证明直线BC与。。相切是解题的关键.

（1）连接0。，根据角平分线的定义得出/BAD=ACAD,由等边对等角得出/BAD=/ODA,

即可得出NOD4=NC4O,进而判定4C,根据平行线的性质得到NOQA=90。，即

OD1BC,即可得解：

答案第15页，共24页

（2）由是。。直径得出4。_1后尸，根据两角相等的两个三角形相似得到

△DOs△力c。，即可得出。。？=4c.c尸，根据。歹和"得至IJ力C,代入比例式可得CQ：

（3）根据阴影部分面积等于ROD的面积减去扇形EOD的面积求解即可.

【详解】（1）证明：直线8C与。。相切，

理由如下：如图，连接00,

MD平分/BAC,

:./.BAD=Z.CAD,

vOA=OD.

:./BAD=ZODA,

•••NODA=NCAD,

:.OD//AC,

•••4C8=90°,

•：NODB=NACB=900,

.-.OD±BC,

••.O。为。。半径，

.•.8C与。。相切；

(2)解：是。O直径，

ZADE=90°,

AD1EF,N力力/=90°,

vZJCZ)=90",

:"FDC+AADC=ZCAD+NADC,

ZFDC=ZCAD,

•；NDCF=NACD=90°,

ADCFS^ACD,

CDCF

,,京=而'

答案第16页，共24页

-CD2=ACCF,

:CF=3,AF=\2,

.•.力。=9,

•••CD2=27,

.•・8=36（负值舍去）.

（3）解：•.•在中，tanZCJ/）=—=—=—

AC93

•••NC4D=30°,

；・NB4D=30°,

二4二90。一/84c=30。，ZBOD=60°

•：ADtEF,4Z）平分N/MC,

•••AE=AF=12,

:.OD=g4E=6,BD-6、Q,

:.SgoD=—x6x6^3=18A/3,

2

60万x62/

..c=

*。国形EOD-------------6TC9

360

**•5千s|；—18,^3^-67t.

25.B

【分析】作。点关于直线。8的对称点区连接力E,与08的交点为。点，此时阴影部分

周长最小，最小值为4E的长与弧4。长的和，求出4E的长与弧力P长即可求解.

【详解】解：作尸点关于直线04的对称点E，连接4E，与04的交点为。点，

此时阴影部分周长最小，最小值为AE的长与弧AP的和,

♦：OP平分/4OB,

答案第17页，共24页

:"AOP=Z.BOP=-NAOB=1x80c=40°,

22

•・•作P点关于直线04的对称点E,

:，OE=OP=2,4E0B=/BOP=40°,

二NAOE=ZAOB+ZEOB=120°,

•:OA=2,

二OA-OE，

:.ZAEO=ZOEA=i(l80°-ZAOE)=30°

过点。作OO_L4E于。,

:.OD=-OA=\,AD=DE=-AE

22t

由勾股定理，得AD=《a『-0D，=42W百

•••4月=24。=26，

40不x24江

"AP长度=

1809

二阴影部分周长的最小值班+萼

故选：B.

【点睛】本题考查了弧长的计算，勾股定理，轴对称-最短路线问题，等腰三角形的判定与

性质，直角三角形的性质，证得△/OE为等腰三角形是解题的关键.

26.A

【分析】根据题意得S阴影US."。”-S由影oMv,设P(4,2-2a),则。(a,3-a),利用扇形面积

公式得到小影=(-3/+2〃+5)・三万，利用二次函数的性质求解即可.

O

【详解】解：如图,

答案第18页，共24页

MV

根据旋转的性质，4PQ=4MN,

=

S.OPQSQMN，

则S阴影=S加形00M+S.OMN-SMPQ—S料形OPN

=S耐形OQM-S*形opN,

•・•点P在直线y=-2x+2上，点。在直线y=-x+3上，且PQIIJ，轴,

设产(m2-247),则。(4,3-。)，

:.0P2=/+(2-2a『=5/-8。+4,

OQ2=a2+(3-。『=2a2-6a+9,

S阴影=S后形优w-S地形8N

45万・。0245万・0尸

360360

=（-3/+2a+5）4，

/\2

设y=-3。'+2a+5=-3（Q-?）+»

v-3<0,

•••当。时，V有最大值：最大值为~y,

••・S阴影的最大值为丁又三乃二彳）.

3o3

故选：A.

【点睛】本题考查了旋转的性质，扇形的面积公式，二次函数的性质，解答本题的关键是明

答案第19页，共24页

确题意，找出所求问题需要的条件.

27.叵+3

3

【分析】本题考查了轴对称最短路径问题和弧长公式以及勾股定理，解题关键是把周氏最小

问题转化为两点之间，线段最短问题，熟练的运用圆的有关性质和勾股定理是解题的关键.

作点C关于04的对称点尸，连接E4,与OB交前为D,此时D4+QC最小，最小值就是力产

长，再加上弧NC的长即可.

【详解】解：作点C关于。8的对称点尸，连接E4,与0£交点为O/C交08于点段过点产

作小1/10,交40延长线于点由对称可知C力=。几

ZCE(9=90°,

/40B=90°,JC=2BC

/.=30°,ZAOC=60°,

NCEO=90°,OC=OA=也,

EC=-OC=—,

22

0E=yj0C2-CE2=

•••四边形EFQ。是矩形，

:.PF=-,OP=—,

22

:•AP=OA+OP=6+叵=也,

22

•♦.AFZAP'PF?=J(W)2+(g、=3,

_60乃x_JLr

180~~

二阴影部分周长的最小值为叵+3,

3

答案第20页，共24页

故答案为：叵+3.

3

28•

【分析】如图，过。作垂足为延长交圆。于凡连接/凡DF,过。

作0HJ./18,垂足为〃，由弓形/。的面积是定值，所以阴影部分的面积最大，则