人教版七年级数学下册《判断两直线平行的五种方法》同步练习题（含答案解析）

人教版七年级数学下册《7.5判断两直线平行的五种方法》同

步练习题（含答案解析）

知识清单

一、判断两直线平行的方法

1平行线的定义（在同一平面内。不相交的两条直线叫做平行线：

2平行于同一条直线的两条直线平行：

3.同位角相等，两直线平行：

4内错角相等，两直线平行：

5同旁内角夏补，两直线平行：

6.在同•平面内，同垂直于第三条直线的两直线平行

二、判定两直线平行的基本思路

1,基本图形法：若是“三线八角”的基本图形，剥可利用同位角相等或内错角和等我同常内角互补来说明：

若是“第三直线”

的基本图形，则可运用“第三直钱线”（平行煮色直）来说明

2,添加辅助线法：若图形不具备“基本图形”的特征，可作适当的辅动线，使它具备基本图形的补征，再运

用“基本图形法”来说明

A夯基础

类型一、同位角相等，两直线平行

1.（七年级下•广西河池•期末）如图，=40。,△2二55。,43二85。，直线匕与L平行吗？为什么？

2.（23-24七年级下•全国・单元测试）如图，直线CD被直线BE所截,CD平分已知N3=Z,5=60°,

类型二、内错角相等，两直线平行

3.（22-23七年级下•陕西咸阳•期中）如图，，1=82。，Z2=98°,ZC=zD,试探索乙力与乙F有怎样的数量

关系，并说明理由.

4.（21-22七年级下•新疆喀什•期口）如图所示，已知BC1CD,Z1=Z2.试判断BE与C尸的关

系，并说明你的理由.

类型三、同旁内角互补，两直线平行

5.（七年级下•全国•课后作业）如图,NBEC=95o,NABE=12（T,NDCE=35。,则AB与CD平行吗?请说明理由.

6.（22-23七年级下糊南株洲•期口）如图，4ABD和ZBDC的平分线相交于点E,BE的延长线交于点F,

且41+Z2=90°.

⑴试说明RBIICD；

⑵猜想K2与43之间的数量关系，并说明理由.

类型四、同平行于第三条直线的两条直线互相平行

7.（23-24七年级下•江西南昌•期口）如图，Z1+Z5=180°,Z2=zD,AO与EF平行吗？为什么？

8.（23-24七年级下•上海普陀•期中）如图，已知点4在射线BG上,N1+43=180%Z1=42,乙EAB=LBCD,

说明E"与CD平行的理由.

类型五、同垂直于第三条直线的两条直线互相平行（同一平面内）

9.（21-22七年级下•广东广州•期口）已知EF1A8,CDLAB,zl=z2,求证：Z-AGD=LACB.

10.（21-22七年级下•江西赣州•期末）如图，48_LEF于点8,8工EF于点、D,Z1=Z2,试判断8M与DN

是否平行，为什么？

BD

B提能力

一、解答题

1.（23-24七年级下•云南昭通•期末）如图，AB||CD,zl=z2,z3=z4.求证：EM||FN.

2.（23-24七年级下•河北石家庄•期末）如图，△/18C中，乙4=70。，^ABC=75°,点。为线段AC上的点（不

与点4，C重合），点E在力B的延长线上，连接DE,Z-E=40°,D『平分/4DE.

⑴求乙C的度数；

（2）说明BC||。）的理由.

3.（23-24七年级下•陕西延安•期末）如图,已知KB=46。,EF交AB于点D,OG平分乙10E,Z.ADG=67°,

求证：BCIIEF.

4.（23-24七年级下•陕西宝鸡•期天）如图,已知御EF,LABE=56°,Z.ECD=152°,EC平分乙BEF.

⑴求“"的度数；

（2）48与CD平行吗？请说明理由.

5.（23-24七年级下•陕西•期中）如图，点。在直线48匕尸是DE上一点，连接OF,0C平分0",。。平

分乙BOF交DE于点D.

⑵若乙。与41互余，试说明ED||AB.

6.（23-24七年级下•安徽宿州•期末）如图，在A2B2中,68=4?,点D,6分别在边B年AC的延长线上,

作射线CE,使CD平分4EC凡试说明：ABWCE.

7.（23-24七年级下•辽宁葫芦岛•期末）如图，点0在直线GV上,40180,平分418。交710于E,乙2+2zl=

⑴求证：ABIICD；

（2）若0M平分4108,乙BCD：42=7:4,求2M0N的度数.

8.（23-24七年级下•福建泉州•期末）如图，在A2B2中,乙4=/2=2乙4CB,乙4c2是△4BC的外角,CE平

分"CD.

⑴求上4的度数；

（2）AB与EC平行吗？请说明理由.

9.（23-24七年级下•福建厦门•期夫）如图，已知4DEB=100。，LBAC=80°.判断。尸与AC的位置关系,

并证明.

Da

RFC

10.（23-24七年级下•福建福州•期末）如图，已知EM平分乙4EF,FN平分乙EFD,Z1=42,试说明：ABWCD.

--------。

11.（23-24七年级下•福建厦门・期末）如图，点4,B,C在同一条直线上,Nl=m=乙E,求证：4。||BE.

D„E

ABC

12.（16-17七年级下•广东梅州•阶段练习）已知：如图，ZC=Z1,42和，。互余，BE工FD于点G,求证:

力BICD.（推理过程请注明理由）

13.（23-24七年级下•陕西西安•期末）如图，在四边形ABC。中，点E在CD的延长线上，点尸在。C的延长

线上，连接4尸、BE相交于点O,LADE+Z-BCF=180°,BE平分/.ABC=2zE.

（1）试说明4D|山C；

（2）/18与EF的位置关系如何？为什么？

14.（23-24七年级下•福建福州•期末）如图，0A1OC,OB10D,若乙OBE=LCOD,求证：BEWOA.

15.（23-24七年级下•全国•单元测试）如图，已知4。18c于点D,点E在上，EF1BC于点F,Z1=乙2,

试说明。臼14c.

16.（23-24七年级下•全国•期末）直线48||CO,P为直线48上方一点，连接P4、PD.

AB

J

CD

图1图2

⑴如图1,若NA=100。，〃）=130。，求，APD的度数;

（2）如图1,设NP/18=a,Z.CDP=p,求乙4P。的度数（用含a、夕的式子表示）;

（3）如图2,N为/PHB内部一点，LBAN=3APAN,连接CN,若乙DCN=3乙PCN,求笔的值.

^.ANC

17.(22-23七年级下•北京西城・期中)如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手AB与底座都平行于地面£T,

前支架0E1与后支架。F分别与。。交于点G和点。，AB与DM交于点N,乙AOE=LBNM.

⑵若0E平分乙10F,乙。0C=30°,求扶手力8与靠背0M的夹角Z/1NM的度数.

18.(23-24七年级下•全国•单元测试)已知直线48IICD,点E在力B、CD之间，点P、Q分别在直线48、CD上,

连接PE、EQ

(2)如图2,PF平分乙BPE,Q/7平分NEQD,当NPEQ=130。时；求出NPR2的度数；

(3)如图3,若点E在CD的下方，P/平分48PE,QH平分匕EQD,Q”的反向延长线交PF于点入当乙PEQ=80°

时，请求出/P尸Q的度数.

19.（23-24七年级下•重庆南岸•期末）已知：ABIICD.

图1图2图3

⑴如图1,点E在力氏CO之间，请说明4力+乙。=4①

⑵如图2,请用等式表示乙4,乙C,ZE之间的数量关系，并说明理由；

⑶如图3,请直接用等式表示乙A,4,，与，—乙邑之间的数量关系

20.（20-21七年级上•吉林长春・期末）问题情境：如图1,ABWCD，Z,PAB=130°,乙PCD=120°,求乙4PC度

数.

小明的思路是：过P作P臼I力8,通过平行线性质来求乙4PC.

⑴按小明的思路，易求得N/PC的度数为一度；（直接写出答案）

（2）问题迁移：如图2,4BIIC0,点.P在射线0M上运动，记4248=。，乙PCD=仅当点P在B、Q两点之间

运动时，问匕/PC与a,/?之间有何数最关系？请说明理由；

⑶在（2）的条件下，如果点尸在B,。两点外侧运动时（点P与点。、B、。三点不重合），请直接写与

a,。之间的数量关系.

参考答案与解析

类型一、同位角相等，两直线平行

L（七年级下•广西河池•期末）如图，=40。/2=55。/3=85。，直线匕与L平行吗？为什么?

【分析】先根据对顶角相等得到/4=55。，再根据平角的定义得到乙5二40。，再由平行线的判定即可得出

结论.

【详解】解：。II。理由如下：

•・22=55°（已知），22=44（对顶角相等），

・"4=55。（等量代换）.

••23=85°（已知）,N3+“+丁5=180。（平角定义），

•L5=40°,

又,,21=40。（已知），

Azi=z5（等量代换）,

II12（同位角相等、两直线平行）.

2.（23-24七年级卜.•全国・单元测试）如图，直线力从AC,。。被直线BE所截，CO平分乙力。£,已知/3=45=60°,

求证:ABIICD.

【答案】见详解

【分析】本题主要考查平行线的判定、角平分线的性质和平角定义，根据角平分线得41=N2,结合己知得

zl=Z2=60°,那么，Z1=z5,利用同位角相等两直线平行即可得48||CD.

【详解】证明：:CD平分ZACE,

/.Z1=Z2,

Vz3=Z5=60°,

Azi+Z2=180°-z3=120°,

.*.zl=z.2=60°,

zl=z5>

：.ABIICD.

类型二、内错角相等，两直线平行

3.（22-23七年级下•陕西咸阳•期中）如图，，1=82。，Z2=98°,ZC=zD,试探索乙力与乙F有怎样的数量

关系，并说明理由.

3

D

【答案】乙1二4凡理由见解析

【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，要找乙4与"的数量关系，根据平行线的判定，由已知可得N1+

乙2=180。，则CEII8。；根据平行线的性质,可得“="叫。,结合已知条件，得乙4BD=ND,根据平行

线的判定，得4CII。心从而求得结论.

【详解】解：Z/1=ZF..

理由：Vzl=82°,z2=98°,

Azi+Z2=180°,

:.CE||DB,

Az.6=乙ABD,

'：LC=ZD,

AABD=Z.D,

IIDF,

：.LA=乙F.

4.（21-22七年级下•新疆喀什•期口）如图所示，已知4B_L8C,BC1CD,Z1=z2.试判断BE与Cr的关

系，并说明你的理由.

【答案】BEWCF,理由见解析

【分析】本题考查垂直的定义，等角的余角相等，平行线的判定.

由垂直的定义得到=90。，根据等角的余角相等得到=。凡再由“内错角相等，两

直线平行”得到BEIICF.

【详解】解：BEWCF,理由如卜：

,：AB1BC,BC1CD,

：.LABC=Z.BCD=90°,

Vzl=42,

：^ABC-Z.1=乙BCD-42,

^LEBC=乙BCF,

：.BE\\CF.

类型三:、同旁内角互补，两直线平行

5.（七年级下•全国•课后作业）如图,NBEC=95°,NABE=120°,NDCE=35°,则AB与CD平行吗?请说明理由.

【答案】平行，理由见解析.

【分析】先做辅助线延长BE,交CD于F,根据NBEC+NCEF=180。可得到NCEF的度数；再根据三角形内角

和定理即可得到NBFC=60。，至此.再结合平行线的判定定理即可得到结论.

【详解】解：AB〃CD,理由如下:

如图所示，延长BE,交CD于点F,

因为NBEC=95°,

所以NCEF=180°-95°=85°.

又因为NDCE=35。,

所以/BFC=1800-ZDCE-ZCEF=180°-35°-85°=60°.

因为NABE=120°（已知），

所以NABE+NBFC=180°,

所以AB〃CD（同旁内角互补，两直线平行）.

【点睛】本题考查平行线的判定，热练掌握平行线的判定定理是关键.

6.（22-23七年级下•湖南株洲•期口）如图，匕力BD和N8DC的平分线相交于点E,8E的延长线交CO于点F,

且/I+Z2=90°.

⑴试说明A8||CD；

⑵猜想乙2句43之间的数策关系，并说明理由.

【答案】(1)见解析

(2)£2+Z3=90°,理由见解析

【分析】本题考查了角平分线，平行线的判定，三角形外角的性质等知识.熟练掌握角平分线，平行线的

判定，三角形外角的性质是解题的关键.

(1)由4180和N80C的平分线相交于点E,可得乙48。=2/1,Z.CDB=22(EDF=Z2,由N14-Z2=90°,

可得N48D+乙CDB=2(zl+Z2)=180°,进而可证AB||CD；

(2)由41+42=90°,可得Z=zDEB=90。，由23+尸=zDEB,可得43+乙2=90°.

【详解】(1)解：・・2/W。和"DC的平分线相交于点E,

：.z.ABD=2zl,Z.CDB=2z2,LEDF=z2,

Vzl+Z2=90°,

：.LABD+Z.CDB=2(zl+z2)=180°,

：.ABIICD,

(9)解：z2+z3=90°,理由如下：

Vzl+42=90°,

/.zDFF=zl+z2=90o,

：.LBED=180°-乙DEF=90°

Vz3+Z-EDF=乙DEB=90°,

Az2+Z3=90°.

类型四、同平行于第三条直线的两条直线互相平行

7.(23・24七年级下•江西南昌•期口)如图，Z1+ZF=180°,/2=乙0,/D与EF平行吗？为什么？

【答案】AD||EF,证明见解析.

【分析】此题考查了平行线的判断和性质，由N2=/。得到AO||BC.又由N1十£8=180。得到石打||BC,

即可得到力。IIEF.

【详解】解:AD||EF.

理由如下：

:乙2=乙D,

：.AD||BC.

Vzl+/]=180°,

:・EFIIBC,

：.AD||EF.

8.（23-24七年级下•上海普陀・期中）如图，已知点4在射线BG上,，1+43=180°,Z1=42,^.EAB=々BCD,

说明EF与平行的理由.

【答案】见解析

【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平行的传递性：由41+乙3=180。，乙1=42可分别得

EFIBG,AEWBC,则，EAB+N2=180。；由NEAB=N8CD得配。+42=180。,则8GIICD,由平行的传

递性质即可得EF与C。平行.

【详解】角的Vzl+Z3-180°,zl-Z2,

：.EF\\BG,AEWC,

・••乙EAB+42=180°；

TCLEAB=乙BCD,

：.ABCD+Z-2=180°,

•••BGIICD,

VEFHBG,

：.EF\\CD.

类型五、同垂直于第三条直线的两条直线互相平行（同一平面内）

9.（21-22七年级下•广东广州•期口）已知EF1A8,CDLAB,zl=z2,求证：Z-AGD=LACB.

A

【答案】见解析

【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，先根据CDLAB,得出EF||CO,根据平行线的

性质得出22=43,根据乙1=乙2,得出21=43,根据平行线的判定得出。G||根据平行线的性质，得

出/AGO=Z4CB.热练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键.

【详解】证明：'：EFLAB,CDLAB,

：,EF||CD,

Az2=43,

VZ1=Z2,

Azi=43,

：.DG||BC,

：.Z.AGD=Z.ACB.

10.（21-22七年级下•江西赣州•期末）如图，A8_LEF于点8,CDLEF于点、D,Z1=Z2,试判断8M与DN

是否平行，为什么？

【答案】BM||DN；理由见解析

【分析】根据48_LEF,CD1EF,得出NA8E=NCOE=90°,根据/1=N2,得出/M8E=N/VDE,即可得

出8M||DN.

【详解】BM||DN；理由如下：

VZ81FF,CD1EF,

:.ZABE=NCDE=90°（垂直的定义），

VZ1=Z2,

:.4ABE-Z1=ZCDE-Z2,

即NMBE-/NDE,

AFM||DN（同位角相等，两直线平行）.

【点睛】本题主要考查了垂直的定义，余角的性质，平行线的判定，根据题意得出NM8E=NNDE,是解题

的关键.

提能力

一、解答题

1.（23-24七年级下•云南昭通・期天）如图，AB||CD,zl=z2,z3=z4.求证：EM||FN.

【答案】见解析

【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，根据题意可证4M£T=ZN『E,再根据内错角相等，两直线平

行即可求证，掌握平行线的判定和性质是解题的关键.

【详解】证明：・・NB||CD,

=z.3,

•・•41=42,43=44,

.*.zl=z2=z.3=z.4,

.'.180°-QI+z2）=180°-（z3+z4）,即=乙NFE,

：.EM||FN.

2.（23-24七年级下•河北石家庄•期末）如图，△力中，41=7。。，=75。，点。为线段4C上的点（不

与点4C重合），点E在力B的延长线上，连接DE,ZF=40°,。广平分/MDE.

⑴求”的度数；

（2）说明8cII的理由.

【答案】⑴35。

（2）见解析

【分析】本题考查三角形内角和定理、角平分线的定义和平行直线的判定，

（1）根据三角形内角和直接求解即可：

（2）先根据三角形内角和定理求出4AOE,从而求得NAD凡即可证得乙4D尸=4C,根据同位角相等，两

直线平行即可证得BCIIDF.

【详解】（1）解：:匕力=70。，乙48c=75。，

AzC=180°-z/1-Z.ABC=180°-70°-75°=35°；

（2）解：Vz/1=70°,NE=40°,

J.LADE=180°-/,A-Z-E=180°-70°-40°=70°；

vDF平分匕71OE,

：.z.ADF=-Z-ADE=35°,

2

：.LADF=ZC,

：.BCIIDF.

3.（23-24七年级下•陕西延安・期末）如图，已知48=46。,EF交力8于点。，3G平分Z4DE,Z.ADG=67°,

【答案】证明见解析

【分析】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义，先由隹平分线的定义得到=2AADG=134°,

再由平角的定义得到上4）尸=48=46。，则可由同位角相等，两直线平行证明8CIIE尸.

【详解】证明：YOG平分/4OE,4力OG=67。，

：,LADE=2Z.ADG=134°,

：.£ADF=180°-乙ADE=46°,

•:乙B=46°,

：,LADF=Z.B=46%

：.BCIIEF.

4.（23-24七年级下•陕西宝鸡•期天）如图,已知力BIIEF,^ABE=56°,Z-ECD=152°,EC平分乙BEF.

⑴求4CEF的度数；

（2）/18与CO平行吗？请说明理由.

【答案】⑴NCE尸=28°

⑵平行，理由见详解

【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

（1）先根据平行线的性质得NFEB=N48E=56。，结合EC平分得出々CE尸二28。，即可作答.

（2）根据同旁内角互补得出CDIIEF,结合ABIIEF,则。叫CD,即可作答.

【详解】（1）解：*：AB\\EFf乙4BE=56。

工乙FEB=Z.ABE=56°

•「EC平分N8EF.

:•乙CEF=二乙FEB=-x56°=28°

22

（2）解：A8与CD平行，理由如下：

*：LECD=152°,Z.CEF=28°

:•乙ECD+乙CEF=152°+28°=180°

：.CD\\EF

*：AB\\EF

：.AB\\CD

5.（23-24七年级下•陕西•期中）如图，点。在直线上，F是DE上一点，连接。入OC平分410尸，OD平

分乙BOF交DE于点、D.

⑵若与NL互余，试说明EDII/B.

【答案】（1）证明见解析

⑵证明见解析

【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的判定等知识点.

（1）利用角平分线的定义结合平角的性质即可证明；

（2）利用“。0=90。结合已知求得乙。=4。8,根据"内错角相等，两直线平行”即可证明结论.

【详解】（1）解：因为。。平分4A。产，平分

所以NC。尸=』NA0F,Z,D0F=-Z.B0F.

22

因为4力。尸+，80尸=180。，

所以/COD=乙COF+乙DOF=^AOF+匕BOF）=90°,

所以OC1OD；

（2）解：由（1）知4C。。=90°,

所以41+40。8=90°

因为乙。与乙1互余，

所以40+41=90°,

所以40=（D0B,

所以EDIIAB.

6.（23-24七年级下•安徽宿州•期末）如图,在△ABC中,AB=AC,点、D,F分别在边BC,AC的延长线上,

作射线CE,使CD平分4EC凡试说明：ABWCE.

【答案】见详解

【分析】该题主要考查了平行线的判定，解题的关键是证明48=4OC/=4DCE.

根据角平分线得出/DCF=NDCE,再根据等边对等角得出48=N4CB,证出乙8=NDCr=4DCE,即可证

明；

【详解】证明：平分iECF,

Z.DCF=Z-DCE,

*：AB=AC,

:.乙B=Z.ACB,

vZ.DCF=Z.ACB,

/B=乙DCF=Z.DCE,

：.AB\\CE.

7.（23-24七年级下•辽宁葫芦岛•期末）如图，点D在直线CN上"D工RD,BC平分乙ABD交AD于E,乙2+2Z1=

⑴求证：AB||CD；

（2）若DM平分44QB,乙BCD：△2=7:4,求NMDN的度数.

【答案】（1）见解析

（2）LMDN=105°

【分析】本题主要考查了垂直的定义、平行线的判定、角平分线的定义、一元一次方程的应用等知识，熟

练掌握相关知识并灵活运用是解题关键.

(1)首先根据题意可得乙＜8。=2Z1,LADB=90。，进而可知/2+Z.ABD=90。，可证明4c08+乙ABD=

180°,即可证明结论;

(2)根据平分线的定义可得N8DM=45。，设/BCD=7%42=4%,则41=45。一2%,再求出可

得关于x的一元一次方程，解得x的值，进而求解即可.

【详解】(1)证明：•••8C平分41BD,

Z.ABD=2zl,

vz2+2匕1=90°

•••z2+Z.ABD=90°

vAD1BD

•••Z.ADB=90°

Z2+AADB+ZLABD=180°,即2c08+乙ABD=180°,

•••ABIICD；

(2)解：vDM^^Z.ADB,Z.ADB=90°,

:.乙EDM=乙BDM=45°

v乙BCD:z2=7:4,

设乙BCD=7"2=4x,

vZ2+241=90°,

•・•/1=”产=45。-2%,

，BDN=乙BCD4-Z1=4x+45°-2x=45°+2x,

A4x+90°+45°+2x=180°,

解得：x=7.5°

Z.MDN=45°+2x+45°=105°.

8.(23-24七年级下•福建泉州•期末)如图，在A2B2中,乙4=/2=244CB,8AC2是△ABC的外角,CE平

分

⑴求乙4的度数;

(2)AB与EC平行吗？请说明理由.

【答案】(1)72°

⑵平行，理由见解析

【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角，平行线的判定:

（1）根据41=28=24ACB,结合三角形的内角和定理，进行求解即可：

（2）根据三角形外角的性质,角平分线的性质,推出乙4=乙4（?£即可得证.

【详解】（1）解：Vz/1=ZF=2Z.ACB,z/l+ZF+Z.ACB=180°,

：.5£ACB=180°,

：.£ACB=36°,

：.Z.A=72°；

（2）平行，理由如下：

•・•乙ACD是AABC的外角，CE平分/ACD

/.Z.ACD=Z.71+Z.B=24力，Z.ACD=2/.ACE,

z.A=Z.ACE,

•MBIIEC.

9.（23-24七年级下•福建厦门・期天）如图,己知乙。£3=100。，Z.BAC=80°.判断。F与AC的位置关系,

并证明.

D/

八\

RFC

【答案】DFWAC,证明见解析

【分析】本题考查平行线的判定，先求出乙。以，根据内错角相等、两直线平行，可证。

【详解】解:OFIMC,证明如下：

•••乙DEB=100%

・•・LDEA=180°一乙DEB=180°-100°=80°,

vABAC=80°,

•••Z.DEA=Z.BAC,

:.DF\IAC.

10.（23-24七年级下•福建福州•期末）如图，已知EM平分乙4”，FN平分"rD,Z1=42,试说明：AB\\CD.

【答案】见解析

【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，掌握内错角相等，两直线平行是解题关键.由角平

分线的性质，得到-1EF=2N1,乙EFD=22进而得出41EF=4EFO,即可证明平行.

【详解】证明：•••EM平分〃E『，FN平分乙£7也）,

Z.AEF=2Z.1,乙EFD=242,

vZl=Z2,

Z.AEF=LEFD，

ABWCD.

11.（23-24七年级下•福建厦门•期末）如图，点A,8,C在同一条直线上,41=12,②=乙E,求证:AD||BE.

【答案】见解析

【分析】本题考查了平行线的判定与性质.熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键.

由，1=42,可证。E||力C,则4E8C=NE=N4,进而可得40||BE.

【详解】证明：・.21=42,

||AC,

.\AEBC=Z-E，

=Z-E

:.乙EBC=4A

：.AD||BE.

12.（16-17七年级下•广东梅州•阶段练习）已知：如图，/C=Z1,/2和/0互余，BE_LFD于点G,求证:

4BICD.（推理过程请注明理由）

【答案】见解析

【分析】本题主要考查了平行线的判定，余角的定义.首先由BE1FD,得41和乙D互余，再由已知，“=乙1,

匕2和乙。互余，所以得4C=Z2,从而证得4BIICD.

【详解】证明：•••BE1.FD（已知），

:•乙EGD=90。（垂直的定义垂

Azl+ZD=90°,

乂・,・42与NO互余（已知），

/.z2+zD=90°

zl=z2（同角的余角相等），

VZ1=乙C（己知），

Z2=zc（等量代换），

ABWCD（内错角相等,两直线平行）.

13.（23-24七年级卜.・陕西西安•期末）如图，在四边形中，点£在的延长线匕点F在0C的延长线

上，连接力尸、BE相交于点。，Z,ADE+^-BCF=180°,BE^LABC,乙ABC=2乙E.

⑴试说明40IBC；

（2）/18与的位置关系如何？为什么？

【答案】（1）见解析

（2）AB||EF,理由见解析

【分析】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义：

（1）根据平角的定义和已知条件证明立力。尸=ZBC凡即可证明ADIIBC；

（2）由角平分线的定义和已知条件证明=即可证明AB||£T.

【详解】（1）证明：*：Z.ADE+Z.BCF=180°,Z.ADE+Z.ADF=180°,

：.LADF=乙BCF,

：.AD||B5

（2）解：AB||EF,理由如下:

平分N/IBC,

：,LABC=2Z.ABE,

'：LABC=2zF,

LABE=乙E,

：.AB||EF.

14.（23-24七年级下•福建福州•期末）如图,OA1OC,OB1OD,若乙OBE=XOD,求证:BEWOA.

OA

【答案】见解析

【分析】本题考查了平行线的判定，解题的关键是掌握同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平

行，同旁内角互补，两直线平行.

根据垂直的定义，得出4C。。+Z.BOC=LAOB+乙BOC=90°,进而得出，OBE=〃。8,即可求证BEIIO力.

【详解】证明：'：OA1OC,OB1OD,

：.z.COD+乙BOC=Z-AOB+乙BOC=90°,

:•乙COD=Z-AOB,

'：M）BE=乙COD,

工乙OBE=Z.AOB,

：,BEWA.

15.（23-24七年级下•全国•单元测试）如图，已知4。，8c于点。，点E在48上，E/J.8C于点F,乙1=乙2,

试说明DEIIAC.

【答案】见解析.

【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先由同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行证明

ADWEF,根据性质得乙1二乙4。£,再用匕1=42代换，最后用内错角相等得出结论，掌握平行线的判定与

性质是解题的关键.

【详解】\'ADIBC,EF1BC,

C.LEFB=Z.ADB=90°.

：.AD\\EF,

/.Z.1=Z-ADE,

Vzl=z.2,

.*.z2=Z.ADE,

：.DE\\AC.

16.（23-24七年级下•全国•期末）直线AB||CD,P为直线上方一点，连接P4、PD.

(1)如图1,若，/=100°,3=130°,求//1PD的度数;

⑵如图1,设NP48=a,乙CDP=B，求N4PD的度数(用含a、6的式子表示)；

⑶如图2,N为"MB内部一点，乙BAN=3乙PAN,连接CN,若乙DCN=3乙PCN,求笔的值.

【答案】⑴50。

(2)LAPD=a+p-180°

【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义.注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用.

(1)过点P向右PEII贝IJ/1B||PE||CO,得出4/1PE=8O。，进而求出结论；

(2)过点P向右PE||48,则4BIIPEIICD,得出乙1PE=180>-a,进而求出结论；

(3)过点P向左作PF||AB,过N向左作NM||AB,则PF||MN||AB||CD,设NP/IN=x,乙PCN=y,则

Z.BAN=3%,Z.PAB=4x,乙DCN=3y,4PCO=4y,得出乙4PC=4x—4y,Z.ANC=3%-3y,进而求出

结论.

【详解】(1)解：过点P向右PEII48,

A-----------B

C-----------'D

图1

9：AB||CD,

：.ABIIPEIICD,

：.£DPE=Z-D=130°,Z-APE+LA=180°,

•・、月=100%

：.LAPE=80°,

：.AAPD=Z.DPE-4APE=130c-80°=50°；

(2)过点P向右PEIIAB,

PE

J

C-----------'D

图1

*：AB||CD,

•MBIIPEIICD,

：.LAPE+Z/4=180°,乙DPE=3=B，

'：LA=a,

：.LAPE=180°-a,

：,2.APD=ADPE-AAPE=/?-〔180。-a)=a+/?-180。；

（3）过点P向左作P尸IIAB,过A/向左作NM||AB,

图2

||CD,

：.PF||MN||AB||CD,

与（2）同理，^Z-APC=Z.PAB-Z-PCD,

Z.ANC=^BAN-乙DCN.

依题意，设乙PAN=x,乙PCN=y,

则=3%,ZLPAB=4x,（DCN=3y,乙PCD=4y.

Z.APC=4x—4y,Z.ANC=3x—3y.

.N4PC_4x-4y_4

''LANC-3x-3y-3,

17.（22-23七年级下•北京西城・期中）如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手48与底座CD都平行于地面E凡

前支架0E与后支架。F分别与CO交于点G和点0,AB与DM交于点N,乙AOE=CBNM.

⑴请对。KIIDM说明理由；

⑵若0E平分乙力。尸，^ODC=30°,求扶手相与靠背0M的夹角Z/1NM的度数.

【答案】⑴见解析；

⑵105。

【分析】（1）结合题意，根据对顶角相等推出410E="NM,根据〃同位角相等，两直线平行”即可得解;

（2）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可；

本题主要考查了平行线的判定与性质的运用，角平分线的定义，平行公理推论，掌握平行线的判定与性质

是解题的关键.

【详解】（1）解：理由如下：,：£BNM=（AND,乙AOE=LBNM,

：.LA0E=LAND,

•••0£||。何；

（2）解：・・N8与底座CD都平行于地面E凡

：.AB\\CD,

：,LBOD=NOOC=30。，

,：z-AOF+Z-BOD=180°,

：.LAOF=150°,

•・・OE平分44。尸，

：.LEOF=\/-AOF=75°,

：,LBOE=乙BOD+乙EOF=105°,

*：0E\\DM,

・•・，力NM=乙BOE=105°.

18.（23-24七年级下•全国•单元测试）已知直线48IICD,点E在力B、CD之间，点P、Q分别在直线4/?、CD上,

⑴如图1,试探究匕P£Q与乙力PE+/CQE之间的数量关系，并说明理由；

(2)如图2,P尸平分NBPE,QF平分乙EQD,当，PEQ=130。时,求出NPFQ的度数；

(3)如图3,若点E在。。的下方，P/平分NBPE,QH平分/EQD,QH的反向延长线交PF于点F,当/PEQ=80。

时，请求出乙户FQ的度数.

【答案】(1)"EQ=〃PE+，CQE,理由见解析

(2)LPFQ=115°

(3)LPFQ=140°

【分析】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学

会探究规律，利用规律解决问题.

(1)如图1，过点f作II43,艰据平行线的性质得到乙4PE="£〃，乙CQE=^QEH,等量代换即可得

到结论；

(2)如图2,过点E作EM||AB,根据平行线的性质得到Z8PE+NEQD=360°-(乙4PE+乙CQE)=230°,

根据角平分线的定义得至IJBPF=1zBPE,ZDQF=得到NBPF+4DQr=：(zBPE+乙EQD)=

115。，作NWh48,于是得到结论；

(3)如图3,过点E作EMIICO,设4QEM=a,根据平行线的性质得到匕。QE=180。-a,根据角平分线

的定义得到iOQH="DQE=90。乙BPE=180°-乙PEM=180。-(60°+a)=120°-a,根据角

平分线的定义得至lJ/8P"=TNBPE=60°-[a,作于是得到结论.

【洋解】（1）解：/-PEQ=Z.APE+/-CQE,

理由如下:

图1:,乙APE=CPEH,

vEH^AB,AB\\CD,

EH||CD,

•••Z.CQE=乙QEH,

V乙PEQ=乙PEH+4QEH,

:.Z.PEQ=AAPE+乙CQE：

（2）解：如图2,过点E作EMIIAB,

图2

同理（1）可得，2LPEQ=AAPE4-Z-CQE=130°,

•:乙BPE=180°-/.APE,Z.EQD=180°-乙CQE,

Z.BPE+Z.EQD=360°-（Z.APE+乙CQE）=230°,

•••PF'F分NBPE,QF平分（EQD,

:.，BPF=三乙BPE,乙DQF="EQD,

Z.BPF+乙DQF=1（zBPF+^EQD）=115°,

作NF|b48,同理（1）可得，^PFQ=z^PF+Z.DQF=115°；

（3）解：如图3,过点E作EMIICD,

APB

图3

设“EM=a,

zDQF=180°-a,

•••QH平分NCQE,

:.Z.DQH=；(DQE=90°

:.Z.FQD=180°-乙DQH=90°+1a,

vEM||CD,ABWCD,

•••ABWEM,

乙BPE=180°-4EM=180°-(80°+a)=100°-a,

•••PF平分乙BPE,

iBPF="PE=50°--a,

22

^NF\\AB,同理可得，ZPFQ=z5PF+zDQF=(90°+^a)+(50-1a)=140°.

19.(23-24七年级下•重庆南岸•期末)已知:ABIICD.

⑴如图1,点E在AB,CD之间，请说明4A+ZC=4E；

⑵如图2.请用等式表示立4zC,NE之间的数量关