二次根式的乘法与除法（知识+6个题型讲练+中考题演练+难度分层练）原卷版-2024人教版八年级数学下册

专题19.2二次根式的乘法与除法

（知识荟萃+6个题型讲练+中考真题演练+难度分层练共43题）

【原卷版】

♦目录导航

知识荟萃................................................................................2

知识点梳理01:二次根式的乘法法则....................................................2

知识点梳理02：二次根式的乘法法则的逆用..............................................2

知识点梳理03：二次根式的除法法则....................................................2

知识点梳理04：最简二次根式的概念...................................................3

题型讲练................................................................................4

题型1:二次根式的乘法...............................................................4

题型2：二次根式的除法...............................................................4

题型3：二次根式的乘除混合运算.......................................................4

题型4:最简二次根式的判断...........................................................4

题型5：化为最简二次根式.............................................................5

题型6：已知最简二次根式求参数.......................................................5

中考真题................................................................................6

分层训练.................................................................................7

基础夯实.............................................................................7

培优拔高.............................................................................9

♦知识莒萃

知识点梳理01:二次根式的乘法法则

1.二次根式的乘法法则：^b=Vab(a>0.Z>>0)

(二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变)

2.二次根式的乘法法则的推广

(1)7a5/b7c=7abc(a^0ri^0,c^0)

(2)a而°,=如屈°204之0),即当二次根式前面有系数时，可类比单项式

乘单项式的法则进行干算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。

知识点梳理02：二次根式的乘法法则的逆用

1.二次根式的乘法法则的逆用

庙='「・、历9之0力20)(二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质)

2.二次根式的乘法法则的逆用的推广

Jabcd=&R&^/7(a>0,6>0.<r>0,^>0)

知识点梳理03：二次根式的除法法则

1.二次根式的除法法则

42。石20)

避Vb(二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变)

2.二次根式的除法法则的推广

枢-卫-4a+b-c(a>。力>0,c>0)

【易错点拨】

(1)a20,b>0时，遍丫6才有意义；

（2）如果被开方数时带分数，应先化成假分数

知识点梳理04：最简二次根式的概念

1.最简二次根式的概念

（1）被开方数不含分母

（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式

2.化简二次根式的一般方法

方法举例

将被开方数中能开得尽得因数而=74x2=2-/2

或因式进行开方

若被开方数中

含有带分数，先T3寸3历3

将被开方数化

成假分数

若被开方数中炳二舟舟警

化去根号下的含有小数，先将

分母小数化成分数

若被开方数时

分式,先将分式

分母化成能转(a>0,b>0,c>0)

化为平方的形

式，再进行开方

运算

被开方数时多项式的要先因式

分解

(x20,y20)

3.分母有理化

（1）分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。

方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式“，化去分母中

的根号。

♦题型拼练

题型1:二次根式的乘法

【典例精讲】（2025•江苏淮安•中考真题）计算:

V5=aVil=bV3xV0.11

【变式训练1］（23-24八年级下-辽宁鞍山・月考）设，，则ml可

以表示为（）

ab10ab

A.而10ab1C

B.C.abD.

【变式训练2］（23-24八生级下•江苏泰州•期末）计算：、’3X夜二

题型2：二次根式的除法

fM=~r=.f（JT\=

【典例精讲】（2025•上海浦东新-三模）己知函数那么八、,一

【变式训练1］（24-25八年级下-安徽淮南・月考•）计算v的结果是（）

A.2如展

B.4C.3D.

—Ajfi32\/3=

【变式训练2】（24-25八年级下•天津静海•月考）计算：v•v二

题型3：二次根式的乘除混合运算

六寿x(-^Va^b)+3Rb>0)

【典例精讲】（24-25八年级下-上海・月考）计算:

【变式训练1］（2024•广东茂名•一模）计算：

y/8+x^2x

【变式训练2］（24-25八年级下-广东茂名・月考・）计算：

题型4：最简二次根式的判断

【典例精讲】（24-加八年级下-云南临沧・期末）下列一次根式中，是最简一次根式的是

()

【变式训练1]（24-25八年级下-云南红河・期木）下到各二次根式中，属于最简二次根式

的是（）

【变式训练2】（23-24八年级下-全国-期中）下列说法中正确的是.（填序号）

①，=0,则质等于6a；

②使是正整数的最小整数〃是3；

③历是最简二次根式；

3+V3x々

④计算、的结果是1.

题型5：化为最简二次根式

【典例精讲】（24-25八年级下•山西朔州•期末）将旧化成最简二次根式的结果为.

【变式训练1]（24-25八年级下-福建福州-期中）下列根式是最简二次根式的是（）

.V8y/371V12

A.15.C.D.

【变式训练2】（24-25八年级下-内蒙古鄂尔多斯•月考）下列二次根式中不能再化简的二

次根式是（）

题型6：巳知最简二次根式求参数

【典例精讲】（24-25八年级下•广东汕尾•期末）已知质与贝是同类二次根式，则m的

最小整数值为.

【变式训练1]（24-25八年级下•河北承德•期末）若历口是最简二次根式，则整数相

的最小值为.

【变式训练2】（24-25八年级下•河北邢台・期中）请写出•个正整数的

值：，使k1是最简二次根式.

♦中育真题

aABCDAB=10AD=6ACIBCBD=

1.（2024•陕西西安•中考真题）如图，在中，,则

4V132V26

C.D.

2.（2024•全国•中考真题）下列式子是最简二次根式的是（）

Vol2V8

A.B.C.D.

20252026

（2-VS）x（y?+2）

3.（2024•山东烟台・中考真题）计算的结果为.

__ABCDAB=3BC=4EAD

4.（2024•福建厦门•中考真题）如图，在矩形中，，.点在边上,

且ED=3,“分别是边血比上的动点，且4M=°N,「是线段”上的动点，连接

PM，"若PM+PN取最小值，则线段”的长为.

5.（2024•湖南湘潭•中考真题）阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可

2

a>0b>Q(Va—V5)=a-2\^ab+ba+b>2VaS

以发现：当，时，有''，所以"°NW,当且仅当

a=b

时取等号.请利用上述结论解决以下问题：

11

x>0x十-x<0%十一

（1）当时，”的最小值为；当时，"的最大值为

?+3r+l€

x>0---------x

（2）当时，求代数式x的最小值，并求出此时的值.

♦分足训练

基础夯实

1.（24-25八年级下-陕西商洛・期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（）

cV100V5

B.V/♦D.

2.（24-25八年级下•广东广州•期中）下列式子是最简二次根式的是（)

R优C,岳V12

A.D.D.

3.（24-25八年级下-云南临沧・期末）下列运算正确的是（）

斤可二-2V2xV3=V6

IX•D*V•

V2Q_1

D.

4.（24-25八年级下-陕西商洛•期末）计算的结果为

5.（24-25八年级下•福建三明•期中）若一个无理数a与"的积是一个有理数，则a的值

可以是.（写出一个即可）

Jym^-n-2J[3m-2n+2

6.（24-25八年级下-广东惠州-期中）若和都是最简二次根式，则

m=n=

RtZkABC4=90°。EBCAC

7.（2024•广东•模拟预测）如图，在中，，，分别是，的中

1225

8.（24-25八年级下•广西南宁•期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个

小正方形.

（1）则裁去的较大正方形的边长是较小正方形的边长是

⑵求留卜.部分的面积.

V50-<2+(V3-l)0-Q)-：

9.（24-25八年级下•湖南长沙•期末）计算:

V8xV2+(3-1-1-41-(V2025)C

10.（24-25八年级下-湖南长沙-期末）计算:

培优拔高

11.（24-25八年级下•四川泸州•期中）下列等式成立的是（）

A35巴后=2/后=2：（-275）2=1°

12.（24-25八年级下-四川泸州-期中）下列是最简二次根式的是（）

VL5a历「器D加+4

A.D.C.D.

13.（24-25八年级下♦吉林・期末）在下列四个式子中，最简二次根式为（）

TeiP[)V24

kJ・

14.（24-25八年级下•湖北武汉•月考）平行四边形“8。"的面积是12,MN分别是4氏AD

,,,.BC,PNLADAD=4CP=1PM=

的r,中点，尸是直线fl上一点t且，若tl，，则

ABCD

15.（24-25八年级下•广东佛山•月考）如图（1）是一把折叠桌实物图，支架与交

00D-OBMN

于点，.如图（2）是桌子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），桌面与

,IBD=2AC,^B0D=6Q°BD=20cm一

地面水平线平行，'，.那么展开后桌子的高度约为_

cm

25mAB

16.（24-25八年级下•湖北省直辖县级单位•月考）如图，一架的云梯斜靠在一竖

直的墙上，这时吗产血如果梯子”的底端向墙一侧