云南省昆明市某中学2025-2026学年高二年级上册数学期末模拟卷5

云南省昆明市云南师范大学附属中学2025-2026学年高二上学

期数学期末模拟卷5

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设集合J={x|log^<l},B={x\-\<x^2}t则Af]B=()

A.(一",2)B.(-oo,2]C.(0,2)D.(-1,2]

2.某工厂生产48两种不同型号的产品，产量之比为2:3,现用分层抽样的方法抽取一个

容量为〃的样本，若样本中/型号的产品有40件，则〃=()

A.8()B.100C.120D.200

3.等差数列｛%｝前〃项的和为S“，己知%一+4山—3吊=0">2,meN),S?小=?■，则加=

()

A.7B.8C.9D.10

4.已知圆0:/+»2—4=0与圆02：/+/-41+4"12=0交于历、N两点，则配V|=()

A.2>/2B.V2C.2GD.石

5.设函数/'(x)为定义在K上的奇困数，当X20时，/。)=2〜2.计分工为常数)，则

/(T)+")=()

A.4B.-4C.10D.-10

6.将函数/(x)=cos(3x+胃3>0)的图象向右平移;个单位长度后得到函数g(x)的图象，若

函数g(x)在区间(冷微)上单调递减，则0的最大值为()

A.2B.3C.4D.5

7.“缤纷艺术节”是西大附中的一个特色，学生们可以尽情地发挥自己的才能，某班的五个

节目(甲、乙、丙、丁、戊)进入了初试环节，现对这五个节目的出场顺序进行排序，其中甲不

能第一个出场，乙不能第三个出场，则一共有()种不同的出场顺序.

A.72B.78C.96D.120

8.已知函数/(.r)=av^-ln(-x)-x恰有3个不同的极值点，则。的取值范围是()

试卷第1页，共4页

A.（-8,一。）B.（一8,一4D.

二、多选题

9.已知平面向量。否=（〃-2,1）,则（）

23

A.当时，m+3/f=6B.当2时，，/+〃?的最小值为二

C.当|@=W时，〃22及+2D.当《二23时，（〃一2）~>〃？

10.已知石，鸟分别是椭圆C:£+g=

1（。>6>0）的左、右焦点，点P,。是椭圆。上两

crb~

点，尸。交X轴于点片，线段尸£的中点为力，4。平分N尸。片，S~2s△Q4&,则（

A.\PF2\=2\QF2\B.△尸的周长为2〃+26

C.|（?^|=|«D.椭圆。的离心率为理

11.如图，曲线y=4下有一系列正三角形，设第〃个正三角形。,一匕。,（4为坐标原点）

B.记S”为数列｛4｝的前〃项和，则？川为（耳+智,*。川

3I

C.记S.为数列｛%｝的前〃项和，则S,用二总+万加

D.数歹股为｝的前〃项和为S.=J±

三、填空题

12.在平面直角坐标系X。），中，己知力为双曲线C:£-£=l（a>0/>（））的右顶点，以04

a'b'

为直径的圆与C的一条渐近线交于另一点M,若|4W|=gb,则C的离心率为.

试卷第2页，共4页

13.已知某圆锥侧面展开后得到的扇形的面积等于其底面积的31倍，则该圆锥的高与底面

圆半径的比值为.

14.已知函数/(x)=ln(〃x+6)-x+l,若/(力40恒成立，则的最大值为.

四、解答题

15.设出18。的内角42C所对应的边分别是Ac,且6cosc+®sinC=a+c.

⑴求角4的值.

(2)a=4»sinJ=VIcos,求cfe45c的面积.

16.如图，在四棱锥尸一力3。。中，21_1平面力品'。，PA=AD=CD=2,BC=3,PC=26.

⑴求证：。。_1_平面尸/。；

(2)若867/平面PAD,求平面PBC与平面PAD的夹角的大小.

17.已知数列｛q｝的通项公式为q=〃.数列也｝满足=2々+勺-1,b、=a$.

⑴求数歹U｛—*—｝的前〃项和s”.

(2)证明数列他+〃｝是等比数列，并求数列｛0｝的通项公式.

(3)求数列｛4｝的前〃项和人

18.若函数y=/(x)的图象上至少有两个不同点处的切线重合，则称该切线为函数y=/(x)

的“白公切线”.设/(x)-6+siru-.

(I)判断函数歹=/(x)+f是否存在“自公切线”，并说明理由；

(2)若xZO时，函数/*)的最大值为()，求。的取值范围；

(3)当。=1时，证明：函数/*)存在至少三个切点的“自公切线”，并求出所有相应的切线方

程.

19.在平面直角坐标系xOp中，抛物线。：/=2所(〃>0)的焦点为用留不切)，8区,月)

试卷第3页，共4页

Q

为抛物线上两个不同的动点.当苦+々时，

C=4\AF\+\BF\=-.

(1)求抛物线。的方程.

(2)若直线48的斜率存在，且过点M(LO),直线力。与直线x=-l相交于点。，过点。作

DE///B交x轴于点E.

(i)证明：直线6芯与抛物线C相切.

(ii)是否存在直线力氏使得四边形力8。七的面积为3?若存在，说明直线/也有几条；若

不存在，请说明理由.

试卷第4页，共4页

《云南省昆明市云南师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期数学期末模拟卷5》参考

答案

题号12345678910

答案CBDAADBAABDACD

题号11

答案BCD

1.C

【分析】解对数不等式可以得到力={x|（）<x<2},结合4={x|-l<xS2},进而可得答案.

【详解】因为且由定义域知道x>0,

所以力={x[0<x<2},显然所以力08=/={x|（）<x<2}：

故选：C.

2.B

【分析】根据分层抽样的方法计算样本容量即可.

【详解】•••4,8产品产量之比为2:3,4型号的产品有40件

••・8型号的产品有60件,

z?=40+60=100.

故选：B.

3.D

【分析】根据等差数列性质可得41+。的=2%（〃亚2/eW）,S2M=（2〃L1）J结合题

意运算求解即可.

【详解】因为数列{q}为等差数列，则。〃一+册“二2限（〃途2,阳61<）,

2

又因为。加1+4用-3a：=0,即2%,-3年=0,解得*=。或％=4，

若%=0,则52"=（为三，不合题意；

若4M=4,则SzmT=（2〃—）%,=工（2〃[-1）=7，解得用二10;

综上所述：m=10.

故选：D.

4.A

【分析】两圆方程作差得到公共弦所在直线方程，再利用垂径定理及勾股定理计算可得.

【详解】圆C1：x'+jJ-4=0,即x'+V=4的圆心£（0,0）,半径,i=2；

答案第1页，共13页

圆。2：/+/-4*+42-12=0,即(》一2)2+(y+2f=20的圆心G(2,—2),半径与二2石,

而|OG|=2应，弓一4<|GG|"+4,则两圆相交，其公共弦所在方程为x—尸2=0,

点〈(0,0)到x-y+2=0的距离d=j『+j_])2=&,

所以|MN|=262—d?=@2?-(五『=2/2.

故选：A

5.A

【分析】利用奇函数的性质可得6=-1,进而求值即可.

【详解】因为函数/(力为定义在R上的奇函数，且xND时/(x)=2'+2x+b,

所以“0)=0,解得b=—l,故xNO时，/(x)=2x+2x-l,

所以/(一1)+/(2)=-/(1)+/(2)=-(2+2-1)+22+4—1=4.

故选：A

6.D

【分析】根据题意求得g(x)=cos(的+看-加，根据xe(卦)求得

④丫+?一弓/€(2,5@+£]，结合余弦函数的单调性列不等式，即可求出答案.

631666J

*/\

【详解】由题意得g(X)=COS"+?

LV3)6

因为XCT»T»所以公丫+二一；3c—69+―,

\327o3\ooo)

因为函数g(x)在区间上单调递减，所以+兀，所以0<①45,

所以勿的最大值5.

故选：D.

7.B

【分析】讨论甲在第三出场、不在第一、三出场，结合排列和计数原理求解即可.

【详解】当甲在第三出场时，乙、丙、丁、戊全排列，共有A：=4x3x2xl=24种；

当甲不在第一、三出场时，共有3x3xA；=54种；

故共有54+24=78种不同的出场顺序.

答案第2页，共13页

故选：B

8.A

【分析】首先求函数的导数，再由题意转化为y与函数y='v在区间(-8,0)恰有2个

xe

交点，再利用函数g(x)=m、(x<0)的导数分析函数的图像和性质，即可求解.

【详解】/'")=祀'(1+1)-(="+1)(讹,-^,令r(x)=0,得4+1=0或薪'一；=0,

即》=-1或"二(x<0),设函数g(x)=xe，(x<0),则g”)=(x+l)C,

xe

当xv-l时，g'(x)<0,贝!g(x)在(-8,-1)上单调递减；当一1cx<0时，g'(x)>0,则g(x)在

(-1,0)上单调递增，

故g(x)min=8(-1)=—4因为“<0，所以g(X)<(),则即因为/(X)有

3个不同的极值点，

所以X=-1不是关于X的方程a=?(x<0)的解，所以〃<-e.

故选：A

9.ABD

【分析】利用向量垂直的坐标表示可判定A,利用向量数量积的坐标表示结合二次函数计算

可判定B,利用向量模长的坐标表示及一元二次不等式的计算、结合消元法可判定C、D.

【详解】对于A,当时，3(〃-2)+〃1=0,即〃?+?〃=6,故A正确；

对于B,当=2时，即3(〃-2)+6=2,

所以/+〃?=,/-3〃+8=--1+—>—,

I2；44

当且仅当〃=3匕用=7：时取得等号，故B正确；

22

对于C,当同明时，贝!|9+〃/=(〃一2『+1,所以/=〃2-4〃-420,

解之得〃22后+2或〃42-2及，故C错误；

对于D,当日=2同时，则9+〃/=4(〃—2『+4,所以(〃一2)2=叱言，

而〃/一4m+5=(，〃一2『+1>0,贝I」+5>十？,故D正询.

4

故选：ABD

10.ACD

答案第3页，共13页

【分析】A利用面积得出为,|=2|j，o|,再结合相似可■得：B结合椭圆的定义可得：C根据三

线合一得出|。。|二怩。|，再结合户用=2|0周以及椭圆的定义可得：D在△P£。、△心巴中

利用余弦定理可得.

【详解】A选项，因为S△叼「25根播，所以;比用上|=2xj用研谒，

则以1=2同，由相似可得归可二2|。可，故A正确；

B选项，因为直线夕。过点鸟,

则由椭圆的定义可知，△。凿的周长为归用+|叫|+|。段+|60|=2a+2〃=4%

C选项，因为4为线段班的中点，4Q平分NPQK，所以归。|二忻。|,

因为|尸勾=2]0段,所以可设|。周=加，\PF2\=2mf

则由椭圆的定义可知，|£。|=2〃-〃?，

则|桃|二|尸。|T。周二怩。|一|。用二2a-m-m=2m,得加=],

故|0周=[*故C正确：

D选项，由C选项可知，归媚=归周=〃,|0周=引0用=日，

乙乙

在△可。、△PEK中利用余弦定理可得，

依「+同「-|加「」P用2+任父一山楼

cosZ.FPF=

l22附|闸|2附||空|

,99,

a~+-a~2——a~

即一434得。2=3。2,

2a--a

2

答案第4页，共13页

故椭圆。的离心率为£=巫，故D正确.

a3

故选：ACD

il.BCD

【分析】A.首先由正三角形求得点1和6的坐标，代入曲线歹=6,即可求解%,外；B.由

△2/2“为边长为4的等边三角形，求得勺的坐标；C.将如坐标代入曲线），=«,判断

C；D.根据C的结果，利用公式4=S,-S“T，〃之2,即可求通项公式.

【详解】A.由题意可知微为等边三角形，如图，%，则[母,学,

\Z

因为点1在曲线y=«上，可得等4=咨，解得q="|或4=0（舍），

又由题意可知为必长为。2的等边三角形，则。。2=%，

则鸟可得"%="'，解得用=：或。2=-|（舍），故A错误；

B.由△QT《Q为边长为。”的等边三角形，可得匕讨，“看与N,故B正确；

X/

C由点心在曲线尸爪上，则与%=屁券,整理得s.=%3-

可知S"+]+。用=（匕|+：4+1,故c正确；

D.当〃“时，可得Si=1：-9”，

42

所以4“=S“一S“_|-;/+]-’

3

可化为5（。加+（）（。7-％）=（+i+,

2

因为见＞0，则凡讨+。”＞。.所以。“+1-4=§，”＞2,

又因为­1=：，符合上式，故%+「4=：,〃wN\

77

则数列｛%｝是以鼻为苜项，w为公差的等差数列，

JJ

所以数列｛4｝的通项公式为%=|+（〃-l）x|=g,

答案第5页，共13页

2羽

所以c_(5+了尸_〃2-〃，故D正确.

3..---------------

"23

故选：BCD

12.2

【分析】根据给定条件，结合双曲线渐近线方程求出|。"|,再利用勾股定理列式求解.

【详解】依题意，OM±AM,双曲线的一条渐近线方程为y=2x,

a

b\AM\b..1..1

则tan/“加十，即局=7又=M于是10M=?

由勾股定理得10M2+|4必『=|。4「，即(二+；/=。2,解得从=3/,

所以。的离心率为e=£=2.

13.8而

【分析】利用圆锥侧面积公式及条件列方程即得答案.

【详解】记圆锥底面半径为小高为力，则其母线为病了.

由条件可知MJ尸+/H=31兀，二，即\lr2+h2=31尸，即/+h2=961/,

解得«=闹=8屈.

故答案为：8X/L5.

14.—

2e

【分析】先排除。40的情况(通过分析极限趋势说明不满足/(力40);再对〃>0的情况,

分析/(x)的单调区间与最大值，得到人的约束关系；最后构造函数分析其单调区间，求得R)

的最大值.

答案第6页，共13页

【详解】若a<0,当Mfr时，ax+bT+8,故ln(Qx+〃)f+8：

同时一xf+co,因此/(x)=ln(or+6)—x+1f+8,

此时/(力>0,不满足〃力。0恒成立.

«=0,/(x)=lnZ)-x+l,当XT-00时，-xf+8,/(A)->+x>,

也不满足/(X)<0恒成立，因此仅需考虑。>0的情况.

/(x)的定义域需满足at+b>0,BPx>--,g|Jxe|--,4-o>|,

=令r(<)=0,解得x=9女，此时ar+b=4>0,符合定义域.

ax+ba

当时，r(x)>o,/(X)单调递增；

当X{F，+8)时，/'3<0,/(x)单调递减.

故/(x)在处取得最大值为/仁心］=却3，

aya)a

由/(x)«0得叫刈+^^，整理得bw—aln”.

a

由/)W-a\na,得ab<-a21M.构造函数g(a)=-/lna(4>0),gl〃)=-“21nq+l),

当ae0,e2时，21na+l<0,g'(a)>0,g(a)单调递增：

k7

当awe2,*c时，21n«-l>0,g/(a)<0,g(a)单调递减.

X/

/_iA(_i_A2(_i_>i

故8(〃)在.=3处取得最大值为ge2=-e2-Ine2=—.

(J【J\)2q

故答案为：J

ze

,、n

15.(Dy;

⑵6+2行

【分析】(1)由正弦定理得到sin8cosc+6sin8sinC=sin%+sinC，再由三角恒等变换化

/\

简得2sinB-y=1,即可求得8；

答案第7页，共13页

（2）由题给关系求得/=:,C=—,再由正弦定理得b,再由三角形面积公式即可求解.

【详解】（1）因为分85。+\/5加「1。=。+。，

所以由正弦定理得sin8cosC+万sinBsinC=sinA+sinC，

所以sin8cosc+\/5sin8sinC=sin8cosc+cosBsinC+sinC»

即6sin5sinC=cosBsinC+sinC»

由8,C€（0,7C）可得sinCxO,所以石sin8-cos8=2sin（8-1）=1,

所以8=；

（2）因为sin4=&cos8,B=—,所以sin4所以力=：,

324

厂TCn5n./•,.（兀兀］.兀nn.n"+J?

所以C=n------=—,sinC=sin--1—=sin—cos-hcos—sin-^=--------,

4312143）43434

4_bR

由正弦定理得告=<，即正=耳=,所以占=2而，

sinAsinB

22

所以Sjar=工"sinC=-x4x2«*x-------=6+2S.

*BC224

16.（1）证明见详解：

（哈

【分析】（l）由题意，4J_平面彳8c。，可得PALCD,再根据勾股定理，可

证得。_L4。，根据线面垂直的判定定理，即可证明；

（2）根据几何体特征，建立空间直角坐标系，求得平面尸8C与平面左。的法向量，根据

面面角的向量求法，可求得其夹角余弦值，进而可求得夹角的大小.

【详解】（1）因为P4L平面/6C0,AD^V^ABCD,CQu平面48CQ,

所以尸//_L4。，PA1CD,

又PA=AD=2,所以PD=ylPA2+AD?=<22+22=26，

又8=2,PC=2道,所以P/方+^^二卜后卜22=12=（2占］夕。2,

所以CQ_LP0,

又PA工CD,P4cPD=P，且P4PQu平面P/1Q,

所以平面产力。：

答案第8页，共13页

(2)因为8C//平面ACu平面力8c。，平面尸4。与平面"CO相交于4),

所以BC/"D,

又由(1)知，CQJ./O,所以8C_LCO,

以力为坐标原点，以4。为y轴，以力尸为z轴，过点力平行于。。作X轴，建立空间直角坐

标系，如图所示，

则/(0,0,2),5(2,-1,0),C(2,2,0),力(0,0,0),D(0,2,0),

所以而=(2,-1,-2),PC=(2,2,-2),CD=(-2,0,0),

斤•而=02x-y-2z=0

设平面PBC的法向量为万=(x,y,z),则

不正=0,2x+2y-2z=0

令x=l,解得J，=0,z=l,所以平面产8c的法向量为户=(1,0,1),

又由(1)得，。。_1_平面尸/。，所以而即为平面产力。的法向量,

即平面均。的法向量为函=(-2。0),

设平面与平面尸/。的夹角为。(0<<7<y),

…人品二一蒜今

所以即平面府与平面衣的夹角为I

17•⑴―

(2)证明见解析，>=2"-"

(3)。=2>「〃2+；+4

【分析】(1)根据给定条件，利用裂项相消法求和即得.

(2)利用构造法，结合等比数列定义推理得证，进而求出通项公式.

答案第9页，共13页

(3)利用分组求和法，结合等差数列、等比数列前〃项和计算得解.

1_11

【详解】(1)由％=〃，得——

44+1n(n+1)nn+1

所以，*+?•,+£=(*；)+(；_»+(-=”-

(2)依题意，"=%=5,由=22+4-】，得％=24+〃-1,得以,|+〃+1=2应+〃)，

而8=4+3=2(4+2)=2汕1+1),则々+1=2#0,

所以数列也十〃｝是首项为2,公比为2的等比数列，4+〃=2",即

(3)由(2)知］=2"-〃,

所以7；二(2、22+…+7)_(1+2+…+〃)=^|^("；"=2*।"十74

18.(1)不存在，理由见解析；

⑵(-8,-1］：

(3)证明见解析，y=x±\.

【分析】(1)根据给定条件，求出函数的导数，利用“自公切线”的定义判断即可.

(2)求出函数/*)的导数，再按。之0,-分类并结合单调性确定最大值求得

答案.

(3)把。=1代入，设出三个切点坐标，再利用导数的几何意义求出切线方程，由斜率、纵

截距列出方程组求解即可.

【详解】(1)不存在，理由如下，

令函数g(x)=/(x)+x2=ax+s\nx+x2,求导得g'(x)=a+cosx+2元,

令函数〃(x)=a+cosx+2x,求导得/(x)=Tiiu+2>0,

函数牝丫)，即g(x)在R上单调递增，不存在a/eR且〃工人使得g'S)=g'S),

所以函数y=/&)+/不存在“自公切线”

(2)函数f(x)=or+sinx,x>0,求导得/'(x)=a+cosx,而/(0)=0,

jr7T

当时，/(-)=--«+1^1，不符合题意，则。V0,

当时，/'(x)=a+cosr40,函数在［0,田)上递减，则〃0皿=/(0)=0,

当一1%<0时，/'(0)=。+1>0,函数/'(X)的图象连续不断，则女。>0使得当X£(O,5)时,

答案第10页，共13页

f(x)>0,

函数/(x)在(0，x°)上递增，当xe(O,Xo)时，/(x)V(O)=0,不符合题意，

所以。的取值范围为(YO,-I].

(3)函数/(x)=x+siiu,求导得/"(x)=1+cosx,

设%(七,茗+sinjj)#=1,2,3,曲线y=f(x)在点。处的切线方程为,/(怎)=1+cosx,.,

直线I的方程为V=(l+cos£)(x-xj+x,+sinr,,即^=(1+COSLX；)X-.^cosiv,.+sia¥r.,

由直线4,人/重合，得I+COSX1=l+cosx2=l+cosx3©,

且一％co&X|+siiw,=-x2cosx2+sinv2=-x3co&x3+sinx?②，

即cosjj=cosx2=8SX3,则sinX1=±siiu2,sinx2=±sinx3,sinq=±si*,

(i)当sinj]=—sin/,siiw2=-sinx3,siru、=Tin/时，sinx,=sinx2=sinx3=0,由②得

=X2=X3»不符合题意；

(ii)当siiU]=sinx,,siiir2=sinq,siar,=sinx中至少有一个成立时，

不妨设sinxt=sin,v2,代入②得-^cos.^=-x2cosx2,而c。*=co&r2,则(占一%)(:0£片=0,

贝|Jcos.V1=0,即sinX]=±1,此时cos.。=cosx2=cosx,=0,

由一天8冈+siiiY)=-x2cos^-2+sinx2=-x3co&v3+sinq,得sin。=sinr,=sinx,,

直线444重合，方程为y二x±i,

当cosx=0且sinx=l时，取》=三/==¥•，…，有无穷多个切点，对应切线为y=x+l；

同理当cosx=0且sinx=-l时，得切线

所以函数fM存在至少三个切点的自公切线，且切线方程为y-x土1.

19.(1)/=x

(2)⑴证明见解析.

(ii)存在，直线AB有2条.

【分析】(I)利用抛物线定义，将焦半径转化为横坐标与〃的表达式，代入已知条件直接求

出P,得到抛物线方程；

答案第11页，共13页

(2)(i)设直线的斜截式方程，联立抛物线得到韦达定理关系，求出。、£坐标后，联立直

线4E与抛物线，通过判别式为。证明相切；

(ii)把四边形面积拆分为平行四边形与三角形面枳之和，代入韦达定理化简得到函数，通过

导数分析函数零点个数，确定满足条件的直线数量.

【详解】(1)由抛物线的定义知，|力刊+忸同=$+^+%+^=玉+与+.，因为

再+吃=4,|力尸|+怛可=:所以3=4+〃，所以〃=；,所以抛物线。的方程为V=x.

(2)⑴由题知，直线相的斜率存在且不为0,设直线加的方程为工="+1(r0),由

产”+1得