广东省广州市番禺区2025年中考数学二模试卷（含答案）

广东省广州市番禺区2025年中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.）

1.下面各数中最小的是（）

A.-7B.0C.V5D•一

2.下列AI软件的图标中既是轴对称图形乂是中心对称图形的是（)

C-DB.

D.(2)

3.下列计算正确的是（)

A.B.a3-a2=a6C.a6+aL—er'D.(a3)3=a9

4.若x<y,且QX<ay,则a的值可能是（)

A.0B.1C.D.-2

5.某校随机抽取50名学生进行每周课外阅读时间的问卷调查，将调查结果制成频数直方图如图所示（每组

包含最大值，不包含最小值）.估计该校2000名学生中每周阅读时间多于6小时的学生共有（）

C.800人D.1080人

6.某口学七年一班足球队参加比赛，胜一场得2分，负一场得I分，该队共赛了9场，共得15分，该队胜

了多少场？设该足球队胜了x场，杈据题意所列方程正确的是（）

A.2(9-%)4-%=15B.2(9+%)+x=15C.2x+(9-%)=15D.2x4-(9+x)=15

7.双曲线与直线交于A、B两点，要使反比例函数的值小于一次函数的值，则x的取值范围是（）

A.x>3B.x<-2

C.-2VxV0或x>3D.x<-2或0VxV3

8.如图，在中，Z.ACB=90°,4力=30。，CD是AB边上的高，AB=4,若圆。是以点。为圆心,

1.4为半径的圆，那么圆。与直线4c的关系是（)

A.相切B.相离C.相交D.不能确定

9.如图，在等腰三角形48c中，Z.ABC=90°,。为AC边上中点，过。点作OE1O尸交48于E，交BC于F,若

/口的长为8,则四边形BFDE的面积为（)

A.14B.16C.18D.20

10.如图，在矩形ABC。中，AB=4,BC-4x/3»连接AC,以点C为圆心，CO为半径作弧交3。于点E,连

接AE.则图中阴影部分的面积为（）

47rC.4+等D.8+竽

T

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分,满分18分.）

11.用一根吸管吸吮纸杯中的豆浆，图②是其截面图，已知AB〃CD,c表示吸管，若41=76。，则42=

度.

C

国②

12.20252-20242

13.如图，在平行四边形/WCO中，乙43。的角平分线交边AD于点E,乙4cs=25。，则乙O的度数

14.若d+3%的值为5,则-3/-9%+20的值为

15.在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：a^b=a2-b2,0团｝=竽，则方程2团％=工团6的解

为•

16.如图，在正方形A8CD中，AB=2,E是平面内一点，/-AED=45°,连接DE.过点力作力E的垂线交直线

DE于点P.下列结论：①△AP。三A4E8；②EB1EO；③当ZADE=30。时，AE=V3:④CP的最小值

为f医其中正确的结论是

三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤.）

3X*誓的所有整数解的和.

17.求满足不等式组

I%+3>1②

18.如图，在A48C中，点0,E分别是边48,AC上的点，/-BDE4-ZC=180°.求证：△力0E-4AC8.

忌彳其中次+a=1.

20.如图，在△力8c中，Z.ACB=90°,AC<BCf。为8c上一点，且。到48两点的距离相等.

（1）用直尺和圆规作出点。的位置；（不写作法，保留作图痕迹）

(2)连结40,若=RC=9,求CO的长.

21.广府文化传承小组为了解中学生对传统艺术的了解情况，随机抽取某校一批学生进行调杳，要求他们从

粤剧、醒狮、广绣和广彩四种艺术口选择“最感兴趣的一项调查结果部分数据如下:

项目频数频率

粤剧30b

醒狮450.375

广绣a0.25

广彩150.125

（1）由上表可得，Q=,b=，总调查人数为人.

（2）该校有两名艺术老师打算开设两个不同的特色课程，课程内容从以上四种广府文化项目中任选两

个，请求出两个老师开设的特色课程中有粤剧课程的概率.

22.在《黑神话・悟空》中，“天命人”需要跨越一座被妖雾笼罩的山峰，由于雾气被施法，无法飞行，只能缓

缓爬山，路线示意图如图②，“天命人”从山脚4出发，沿力8走400米到B点，再沿BC到山顶C点，已知山高

CF为384米，BEIIAF,BDA.AF,CE1BE交4D的延长线于点F,Z.1=30°,42=50。.（图中所有点均在

同一平面内）

图①

（1）求BD的长;

（2）求“天命人”从山脚4点到达山顶C点共走了多少米？（结果精确到0.1米）.（参考数据：SM50。。

0.77,cos50000.64,tan50°«1.19)

23.数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻R的大小，从而改

变电路中的电流/，最终通过显示器显示物体质量.已知可变电阻R（单位：M）与物体质量m（单位：kg）

之间的关系如图2所示，电流/（单位：mA）与可变电阻R之间关系为/=会（/?Z0）.

K十J

八〃(mA)

2.25

2.00

1.75

1.50

1.25

1.00

0.75

0.50

0.25

O123456789尺/张。)

图3

（I）小组先探究函数/=搐（/?Z0）的图象与性质，并根据/与R之间关系得到如下表格:

N十J

7

R(kC)0123456i♦・♦

62

l(mA)21.51.2P0.750.6•••

73

①表格中的p=;

②请在图3中画出/=含(/?>0)对应的函数图象；

n-ro

(2)该小组综合图2和图3发现，/随着m的增大而；(填“增大”或“减小”)

(3)若将该款电子秤中的电路电流范围设定为0.2</<0.4(单位：nM),判断该电子托盘秤能否称出

质量为2kg的物体的质量？请说明理由.

24.已知二次函数、=。/+以+。图象的对称轴为直线％=1,且与无轴的一个交点为4(3,0),与y轴交点

为B03).

(1)求二次函数的解析式；

(2)点P为乙04B内部一个动点，且HP=3,点P关于直线46的对称点为Pi，点P关于x轴的对称点为

P2，问P』2的距离是定值吗？若为定值，请求出距离：若不是定值，请说明理由；

(3)点。为二次函数y=。产+力％+c与久轴的另一个交点，点Q为二次函数y=aM+6%+。上一点，若

^QAB=^LOBA-/-OBC,求点Q的坐标.

25.如图1,已知四边形力BCO中，AB=BC=C。=4,Z-B=乙BCD=a(60°<a<90°)

图1图2备用图

(1)点E、尸分别是4B、BC边上动点，且8E=CF,连接CE与DF,交于点G,求乙OGE的度数(用。表

示)；

(2)当^=90。时，

①点F是8c边上动点，将ACOr沿着OF翻折，若点C的对应点刚好落在对角线80上，求此时CF的长度；

②如图2,N在CD上运动，尸在射线8c上运动，8N与4F交于点M,且满足4NBC=2乙BA产，P是B例中点,

DP+CP的最小值.

答案解析部分

1.【答案】A

【解析】【解答】解：,・・|-7|=7,1U，且7",

*,♦—7<—<0<V5，

故最小的数为-7,

故答案为：A

【分析】根据两个负实数大小比较，绝对值大的反而小，据此即可得解。

2.【答案】A

【解析】【解答】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故A选项不符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项合题意；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项不合题意；

D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意.

故答案为：Ao

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：轴对称指是存在一条直线（对称轴），将图形沿此线对

折，两部分完全重合。中心对称是指存在一个中心点，图形绕此点旋转180度后与原图形重合。然后再对各

个选项进行逐一分析，即可判断。

3.【答案】D

【解析】【解答】解：A、a2+a2=2a2,故A运算错误，不符合题意；

B、Q3.Q2=Q5,故B运算错误，不符合题意；

C、4+次二合，故c运算错误，不符合题意；

D、（Q3）3=Q9,运算正确，符合题意；

故选：D.

【分析】根据合并同类项，同底数零的乘除法，暴的乘方法逐项判断解答即可.

4.【答案】B

【解析】【解答】解：••次<y,且说<ay,

Aa>0,

，四个选项中，只有B选项符合题意，

故答案为：B.

【分析】根据不等式的两边同时除以一个负数，不等号的方向改变解题即可.

5.【答案】C

【解析】【解答】解：每周度数时间为6到8小时的人数有：50-10-20-6-5=9人，

2000X9甯5=800人,

JU

・•・该校2000名学生中每周阅读时间多于6小时的学生共有800人，

故答案为：C

【分析】用阅读多于6小时的学生人数除以参加调查的学生总数，然后再乘以该校的学生总数，即可求解。

6.【答案】C

【解析】【解答】解：设该队胜了x场，则该队负了（9-的场，胜场得分：2X分，负场得分：（9-幻分.

因为共得15分，

所以方程应为：2x+（9-x）=15.

故选：C.

【分析】本题考查由实际问题抽象占一元一次方程，设该队胜了x场，得到该队负了（9-0场，结合胜场得

分2%分，负场得分（9一%）分.列出方程2%+（9-x）=15,即可求解.

7.【答案】C

【解析】【解答】解：由题意得：反比例函数的图象位于一次函数图象的下部的部分，

对应的自变量的取值范围是：-2<x<0或x>3.

故答案为：Co

【分析】根据题干要求“反比例函数的值小于一•次函数的值“，则只需要找反比例函数的图形位于•次函数图

象的下面，通过观察图像信息即可求解。

8.【答案】B

【解析】【解答】解：过点D作。H1AC于点H,

•・•在中，Z.ACB=90°,LA=30°,AB=4,

=聂8=2,

-'-AC=7AB2-Bd=2也,

•・SAABC=xBC=ABxCD,

：.8=^^=瓜，

-9-AD=y/AC2-CD2=3

:・DH=^AD=1.5

V1.5>1.4,

・•・则圆。与直线"的关系是相离.

故答案为：B

【分析】过点D作。Hl/C于点H,根据直角三角形的基木性质，可得8。=以及勾股定理：AC=

7AB?-BC?，代入数据求出AC的值，然后再根据等面积方法：S„ABC=XBC=^ABxCD,可得

C0=%^，进而可求出DH=^A0=L5,最后再根据圆和直线相交的特点，即可求解。

riDL

9.【答案】B

【解析】【解答】解：连接BD,如图所示:

等腰直角三角形AABC中，。为AC边上中点,

：.BDLAC,BD=CD=ADf乙480=45°,

・•・〃=45°,

/.乙ABD=Z.C,

又,：DE1OF,

:,乙FDC+乙BDF=乙EDB+乙BDF=90°,

，乙FDC=乙EDB,

在△EDB和△尸0。中，

乙EBD=Z.C

BD=CD，

（Z.EDB=乙FDC

：.△EDB三△F0CG4SA）,

・•・四边形8/DE的面积=^S^ABC,

,•NB的长为8,

：.AB=BC=8,

・•・四边形8F0E的面积=^SAABC=|xix8x8=16,

故答案为：Bo

【分析】根据直角二角形的特点和证明等腰二角形二线合一的特点，易证三△FOC,从而可得四边形

BFDE的面积=/S“BC，最后再根据三角形的面积公式，代入数据即可去接

10.【答案】A

【解析】【解答】解：在矩形4BC0中，4B=4,BC=45^BCD=90°,

・•.tan〃CB=镖=条=字

AACB=乙ECF=30°,贝=乙BCD-Z.ACB=90°-30°=60°.

・•・阴影部分面积S=S^ACE+S扇形—2s扇形ECF

190°TTX423007TX42

=2X4X4+360°2x360°

87r

=8+47r—2-

=8+等

故答案为：Ao

【分析】根据正切函数的定义：tan乙4cB=,，代入数据求出tan乙4c8的值，然后再根据特殊角的三角函

数值，求出41cB的度数，再根据矩形的性质求出乙4CD的度数，最后再根据阴影部分面积S=SMCE+

S扇形DCE-2s扇形KF，利用三角形面积公式、扇形面积公式，求解即可。

11.【答案】104

【解析】【解答】解：-AB//CD,

：.Z34-Z2=180°,

VZ1=Z3,Zl=76°,

・・・N3=76。，

/.Z2=180o-76°=104°,

故答案为：104.

X_

.

图Q)

【分析】

根据对顶角的性质可得/3=/l=76。，由于4B〃C0,根据平行线的性质可得/3+/2=180。，等量代换，将

Z3=76°代入上述等式，即可求解。

12.【答案】4049

【解析】【解答】解：20252-20242

二(2025+2024)x(2025—2024)

=4049X1

=4049.

故答案为：4049o

【分析】根据平方差公式，对式子进行分解即可求解。

13.【答案】50°

【解析】【解答】解：

J.LABE=UBE,

•・•四边形力BCD为平行四边形，

AzD=乙ABC,AD||BC,

：,Z.ABE=乙CBE=乙AEB=25°,

AZ.D=乙ABC=乙ABE+ABE=50°,

故答案为：50。。

【分析】根据角平分线的定义，可得=然后再根据平行四边形的性质，可知乙。=乙48小

AD||BC,然后再根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可知Z/BE=4CBE=L4EB=25。，进而

即可求解。

14.【答案】5

【解析】【解答】解：・・・/+3x=5,

：.-3x2-9x4-20=-3(x2+3x)+2=-3x5+20=5,

故答案为：5。

【分析】先对式子一3/一9%+20进行变形：—3/一9%+20=-3fx2+3x9+2,然后再将炉+3%=5

代入上述式子中，即可求解。

15.【答案】占=1,%2=—4

【解析】【解答】解：-a^b-a2-b2,。回5=竽，

A20x=22-X2,工团6=竽=3%，

*/20x=x06»

**•22—x2=3%,

解得：%i=1,x2=-4,

，方程20x=x06的解为勺=1,x2=-4.

故答案为：%i=1,%2=-4

【分析】根据新定义的运算规则，对方程左右两边的式子根据新定义进行运算，然后再建立方程，即可求

解。

16.【答案】①②④

【解析】【解答】解：•••4E14P,

：.Z.EAP=90°,

•:乙AED=45°,

•••△AEP是等腰直角三角形，

-9•AE=AP,LAPE=^AEP=45%

：.Z.APD=180°-4APE=135°：

•・•四边形48CD是正方形，

：-AB=AD,Z-BAD=90°,

：.LBAE=LDAP=90°-^BAP,

：.ABAEDAP(SAS),故①正确

：.Z.BEA=Z.DPA=135°,

：./-BED=^BEA-^AED=90°,即EB1ED,故②正确;

如图所示,过点A作4HlOE,

当乙4DE=30。时，»\AH==1,

AH

：-AE==x/2,故③错误:

sinZ.AEH

如图所示，作AAPO的外接圆，设该外接圆圆心为O,在优弧40上取一点G,连接。4OD,AG,DG，

：./-AGD=180°-乙APD=45°,

：.^AOD=2AAGD=90°,

a：0A=OD,

：.WAD=WDA=45。,

：・0D=AD-sin^OAD=V2:

如图所示，过点O作07_LCD交CO延长线十T,连接0尸，CP,

，乙ODT=乙ADT-/.ODA=45°,

：・0T=OD-sinWDT=1,DT=OD•cosWDT=1，

ACT=CD+0T=3,

­•OC=>JOT2+CT2=V10：

\'CP>OC-OP,

・•・当点P在直线OC上时，CP有最小值，最小值为OC-OP的值，即最小值为旧-鱼，故④正确；

故答案为：①②④.

【分析】根据4E_L4P,易证△AEP是等腰直角三角形，得到4E=4P,4PE=41EP=45。，则4IP。=

180。一乙4PE=135。，由正方形的性质得到49=4D,/.BAD=90%则可证明△B4E三△04P(S4S),得到

^BEA=/-DPA=135°,进而得到々BED=/BE/1—4/1EO=90。；过点A作/1H1DE,当4/WE=30。时，

则根据三角形正弦函数的定义，可得AE=.织口;作△APD的外接圆，设该外接圆圆心为

LsinZ/lcH

O,在优弧AO上取一点G,连接。4OD,AG,DG,可证明乙400=90。，过点O作0Tle。交CO延长线于

T,连接OP,CP，根据CPNOC—OP,可得当点P在直线0C上升，CP有最小值，最小值为OC—OP的值，

据此可判断。

17.【答案】解：解不等式①可得：x<3,

解不等式②可得：x>-2,

・•・不等式组的解集为一2VxW3,

・••不等式组的整数解为：一1,0,1,2,3,

・••不等式组的所有整数解的和为一14-0+l+2+3=5o

【解析】【分析】分别对不等式组的两个不等式进行求解，然后再求出不等式组的解集，然后再根据题意列出

符合条件的整数，然后再将这些整数相加即可求解。

18.【答案】证明•••zBDE+ZT=180。，Z-ADE+Z-BDE=180°,

•••Z-ADE=Z-C，

又・・•△人为公共角，

•••△ADE5&ACB

【解析】【分析】首先根据同角的补角相等，可得出乙4。£*=乙。，再加.匕NA为公共角，根据AA可判定△

ADEsAACR.

19.【答案】解：原式=账).(、_1).(0+1)

u4(a+1)

=(a+2)(Q-1)

=a2+a—2；

Va2+a=1,

・,•原式=1-2=-1

【解析】【分析】先对分式中的各个分式利用完全平方公式和平方差公式进行分解，然后再将除法换算成乘

法，再进行化简约分，最后再将小+。=1代入上述化简后的式子，即可求解。

20.【答案】(1)解：如图点。即为所求；

(2)解：如图，

•・•点。在线段4B的中垂线上,

：,AD=BD,

设CO=x,则4。=80=9—x,

在R£△AC。中，

由勾股定理，得：32+X?-(9-X)^

解得：％=4,

：.CD=4。

【解析】【分析】(1)根据题干给出的条件，易知点。在线段AB的中垂线上,然后再根据垂直平分线的画图方

法,画出AB的中垂线即可。

(2)设根据(1)中的信息，可知力0=8。=9一%，在&△AC0中,最后再利用勾股定理求解即可。

H(1)解：如i图点。即为所求；

CJSB

(2)如图,

A

Et

C7DB

•・,点。在线段48的中垂线上，

：.AD=BD,

设。。=X，»]AD=BD=9-x,

在中，由勾股定理，得：32+X2=（9-X）2,

解得：x=4,

：.CD=4.

21.【答案】（1）30,0.25,120

（2）解：记粤剧、醒狮、广绣和广彩四种艺术分别为：A.B,C,D,

根据题意画树状图如图所示：

第一个老师ABCD

/T\ZN/N/T\

第二个老师BCDACDABDABC

由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两名艺术老师打算开设两个不同的特色课程，且两个老师开

设的特色课程中有粤剧课程的结果有6种，

；.P（两个老师开设的特色课程中有粤剧课程）=白=*。

【解析】（1）解：本次调查的总人数为15+0.125=120（人），

：.a=120x0.25=30,/?=30+120=0.25.

故答案为:30,0.25,120o

【分析】（1）用广彩的频数除以其对应的频率，即可求出本次调查的总人数，然后再用本次调查的总人数乘

以广绣对应的频率，即可求出a的值；用粤剧的频数除以本次调查的总人数，即可求出粤剧的频率，即b的

值；

（2）根据题干信息，分别记粤剧、醒狮、广绣和广彩为48,C,D,然后再按照题干要求列出所有可能得结果，

再挑选出符合条件的结果数，最后再利用概率的公式，即可求解。

（1）解：本次调查的总人数为15+0.125=120（人），

.*.«=120x0.25=30,8=30+120=0.25.

（2）解：记粤剧、醒狮、广绣和广彩四种艺术分别为：A.B,C,D,

根据题意画树状图如图所示：

开始

第一个老师ABCD

/T\/4\/N/T\

第二个老师BCDACDABDABC

由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两名艺术老师打算开设两个不同的特色课程，且两个老师开

设的特色课程中有粤剧课程的结果有6种，

••.P（两个老师开设的特色课程中有粤剧课程）=备=去

22.【答案】（1）解:•:BDLAFf

:.乙ADB=90°,

Vzl=30°,AB=400米，

：-BD=^AB=200米，

即BO的长为200米。

（2）解：VCE1BE,BDLAF,

：.Z.CEB=乙BEF=Z-BDF=90°,

,:BE||AF,

J.Z.AFE=乙CEB=90°,

・•・四边形BOFE为矩形，

:・BD=EF=200米，

■:CF=384米，

：.CE=CF-EF=184米，

在中，Z2=50°,

・urCE184八*

••BC=•MOU~239.0术，

sin50°0.77

：.AB+BC=639米，

，“天命人”从山脚/点到达山顶C点共走了639米.

【解析】【分析】（1）根据，1-30。，然后再根据直角三角形的性质：代入数据即可求解。

（2）根据CE18E,BD1AF,易证四边形BDFE为矩形，进而得出80=EF的值，然后再根据CE=CF-

EF,代入数据求出CE的值，在应aCBE中，根据正弦函数的定义：sin50°=靠代入数据，即可求出BC

DC

的值，进而可求出AB+BC的值。

⑴解:,:BD14F,

:,乙ADB=90°,

Vzl=30°,AB=400米,

・・・B。=^AB=200米，

即80的长为200米；

(2)解：VCE1BE,BD14”，

：.LCEB=乙BEF=乙BDF=90°,

'：BE||AF,

：.^AFE=乙CEB=90°,

・•・四边形BDFE为矩形，

：.BD=EF=200米，

■:CF=384米，

：.CE=CF-EF=184米，

在RtaCBE中，Z2=50°,

熊寸携"239.0米，

：,AB+BC=639米,

・•・“天命人''从山脚4点到达山顶C点共走了639米.

23.【答案】(1)解：①1；

②图象如下图所示，即为所求.

(2)增大

(3)解：不能，理由如下：

由题意，设/?=上抽+力5工0,b为常数)将(0,24),(3,0)代入，得k

IU—SK十D

.(k=-8

=24

.*./?=—8m+24.

又：/=’口?),

A+5

♦一6

1~-8m+27^

•・•由(2)知I随着m的增大而增大,

・•・当/=0.4H寸，m=1.5<2.

・••该电子托盘秤不能称出质量为2/cg的物体的质量.

【解析】【解答】(1)解：①由题意，将R=3代入/=盒中，

:.l=1,

Ap—1.

故答案为：1。

(2)解：由题意，根据图象，可得R随着m的增大而减小，

又・・」随R的增大而减小，

随着m的增大而增大.

故答案为：增大。

【分析】(1)①根据表格中的信息，将R的值代入/=岛中，然后再解方程，求出I的值，即可求出P的

值；

⑦根据表格中的数据，然后将各个坐标在坐标轴上描出来，最后再进行连线即可：

(2)根据图象信息可知，R随着m的增大而减小，再结合(1)中画出的图像信息，可知，I随R的增大而

减小，据此即可判断；

(3)依据题意，设/?=上血+6(kHO,b为常数)将(0,24),(3,0)代入R=km+b,求出k,b的值，进

而得到R与m的关系式，最后再结合(1)中求出的解析式，将R的关系式代入，即可判断。

(1)解：①由题意，将R=3代入，=岛中，

/./=1,

Ap=1.

故答案为：1.

②图象如下图所示，即为所求.

(2)解：由题意，根据图象，可得R随着m的增大而减小,

又二I随R的增大而减小,

・・・1随着m的增大而增大.

故答案为：增大.

(3)解:不能,理由如下:

由题意，设/?=4皿+匕*工0,b为常数)将(0,24),(3,0)代入，得k24：?

=5K+D

.(k=-8

,(二24

；・R=-8m+24.

又力=舟

・！_6

--8m+27'

V由(2)知I随着m的增大而增大,

・•・当/=0.4时，m=1.5<2.

，该电子托盘秤不能称出质量为2kg的物体的质量.

24.【答案】(1)解：•・,二次函数y=a/+bx+c图象的对称轴为直线％=1,且与％轴的一个交点为

4(3,0),与y轴交点为8(0,3),

(9a+3b+c=0

・•・T=1,

Ic=3

(a=—1

・•・b=2,

Kc=3

・,.二次函数解析式为y=-%2+2x+3。

(2)解：由轴对称的性质可得。］4=以4=。/=3,

・・・P,Pi，P2都在以A为圆心，半径为3的圆上；

•••4(3,0),8(0,3),

•\OA=08=3,

又,・2。8=90°,

：,Z.OAB=Z.OBA=45°,

设直线PP2，AB交于J，

由轴对称的性质可得轴，

PPi1AB,PP2||y

：

.Z-AJP2=/-ABO=45°,

"PPi=45°,

：.^LP1PP2=135°,

如图所示，在优弧P』2上取一点K,连接PiK,P?K,

：.Z.PrKP2=180°-4PJP2=45°,

：.Z-P1AP2=2Z.P1KP2=90°,

2

-P1P2=/遇2+p2A=3&，

•••PiPz的距离为定值3企。

(3)解；如图所示，取点M(l,0)，连接8M,BC，在y=+2%+3中,

当y=-x2+2x+3=0时，解得％=-1或x=3,

：.OC=OM=1,

又；乙80。=々BOM=90。，OB=0B,

：.LB0C=^BOM{SAS),

:•乙OBC=4。8何，

*：^QAB=WBA-WBC,

：.LQAB=^LOBA-乙OBM=/A8M；

如图所示，当点Q在点B右侧时，

,

：/Q1AR=/ARM.

：.QXA\\BM；

设直线8M解析式为y=k、x+瓦，

.(kx+6i=0

81=3，

・代1二-3

“历=3，

，直线8M解析式为y=-3x4-3,

，可设直线AQi解析式为丫=-3%4-b2,

.*.0=-3x34-b2,

・・・匕2=9,

；・直线AQi解析式为y=-3%+9,

联立｛/二整＞解得仁强｛:；，

・••点明的坐标为(2,3)；

如图所示，取L(0,l),连接AL,BQ1，则BL=BQ1=2,

V/1L=J(0—34+(1-0产=V10,AQ.=7(2-3)2+(3-0)2=VTU，

•\AL=4Qi,

又FB=4B,

:・〉ABL三△48Qi(SSS),

Z.LAB=Z-Q^AB,

同理可得直线4L解析式为y=1,

联立y=~3x+1,解得-百或件=3

虫叫y=0，

(y=-x2+2x+3Iy

T

.“2的坐标为(/9)；

综上所述，点Q的坐标为(2,3)或(_29)。

【解析】【分析】(1)将人点和8点坐标分别代入丫=。严+力”+6：,再根据对称轴公式：x=—2,然后建

za

9Q+3匕+c=0

—2=1,最后再解方程组，求出a、b和c的值，进而即可求出抛物线的解析式。

2a

(c=3

(2)根据轴对称的性质可得PM=P2A=P4=3,则尸，Pi，P2都在以A为圆心，半径为3的圆上；再根据

A和B的坐标，易得OA=OB,又根据"1。8=90。，易得乙。48==45。，进而可知/PiPP2=

135°,进而可证明々A4P2=90。然后再根据勾股定理：不+尸2〃，代入数据即可求出P』2D的

距离。

(3)取点M(1,O),连接BM,BC,根据(1)中求出的抛物线的解析式，令y=0,求出x的值，确定C点坐

标，进而求出OC=OM的值，根据/80C=480M=90。，OB=OB,易证△BOC三/iBOM(SAS),得到

乙OBC=2OBM,则可证明4Q48=418M；当点Q在点B右侧时，易证Q14IIBM；设直线8M解析式为

丫=上6+瓦，将B点和M点坐标代入，求出直线8M解析式，根据Q/IIBM,设直线AQ】解析式为,=

-3%+与，将A点坐标代入，即可求出4Qi解析式，然后联立这两条方程，求出x和y的解，进而确定明

的坐标；取L(0,l),连接AL,BQ?则BL=BQi=2,根据两点间的距离公式，分别求出AL和AQ1的值，

易证△A8LWZkA8Qi(555),得到Z1A8=Z_QiA8,向理，求出AL的解析式，进而即可求出Q2的坐标。

(1)解：•・•二次函数y=a/+匕x+c图象的对称轴为直线％=1,且与％轴的一个交点为工⑶0),与y轴交

点为B(0,3),

9a+3b+c=0

击】

c=3

a=-1

b=2t

c=3

・•・二次函数解析式为y=-%2+2x4-3；

(2)解：由轴对称的性质可得P遇=P2A=PA=3,

・・・P,P2都在以A为圆心，半径为3的圆上;

•••4(3,0),9(0,3),

：.OA=OB=3,

又・・"AOB=90。，

：.LOAB=Z.OBA=45°,

设直线PP2，交于J,

由轴对称的性质可得PPi1AB,PP2||y轴，

:,训P?=乙ABO=45°,

：・4PPi=45°,

：.^P1PP2=135°,

如图所示，在优弧示P2上取一点K,连接P]K,P2Kt

：.^P1KP2=180°-乙P1PP2=45°,

.\/P1AP2=?.AP1KP2=90°,

22

=P1A+P2A=3扬

・・・Pi匕的距离为定值3或;

(3)解；如图所示，取点M(1,O)，连接BM,BC，

在y=-x2+2x+3中，当y=-/+2%+3=0时，解得无=-1或%=3,

：.0C=0M=1,

又〈乙BOC=乙80M=90°,OB=OB，

：.ABOCaROM(SAS),

:,乙OBC=乙OBM,

'：/-QAB=(OBA-LOBC,

：.Z-QAB=WBA-乙OBM=44BM；

如图所示，当点Q在点B右侧时，

*：Z-QYAB=乙ABM,

・・・QM||BM；

设直线BM解析式为y=kxx4-瓦，

."i+比=0

,,1瓦=3'

•俨1=-3

"Id=3，

••・直线8M解析式为y=-3x+3,

・•・可设直线力解析式为y=-3x+b?,

0——3x3+Z)2,

・・・。2=9,

・•・直线AQi解析式为y=—3x+9,

联立｛/：泮3解瞰:我C：；，

・••点Qi的坐标为(2,3)；

如图所示，取L(0,l),连接4LBQV则BL=BQi=2,

22

AL=J(0—34+(1-0尸=V10,AQr=7(2-3)+(3-0)=V1U，

••AL=AQi，

又TAB=AB,

：.LABL三△ABQI(SSS),

Z.LAB=Z-Q^AB,

同理可得直线AL解析式为y=-1x+l,

联立［y—上+i

(y=-x2+2x+3

综上所述，点Q的坐标为(2,3)或(仔,豹.

25.【答案】(1)解：在△BCE和△CD尸中，

BC=CD

乙B=4FCD,

BE=CF

BCE三4CDf(SAS),

：•乙BEC=乙CFD,

乙CGF=180°-乙BCE-MFD=180°-乙BCE-乙BEC=£B.

Z.DGE=Z.B=«o

(2)解：①在四边形A8C0中，AB=BC=CD=4,LB=zC=90%

•••四边形4BCD是正方形，

：.LCBD=45°,BD=>JBC2+CD2=4&，

设点C的落点为G,由折叠的性质可知，DG=CD=4,Z-DGF=zC=90°,FG=CF,

.•.△BGF是等腰三角形,

BG=FG=4V2-4，

CF=FG=4V2-4;

②2AF8=90°—48AF,乙NBC=^BAF,

AAFS=9伊一2乙NBC,

^AMB=乙NBC+4AFB=90°-乙NBC,

vZ-ABM=90。一乙NBC,

=乙4BM,

AB=AM,

连接4P,；P是BM中点，

：.AP1BN,

・••点P的运动轨迹是以为直径的圆上的一段弧,

设4B的中点为O,连接D。，如图，

则4。=^AB=2,OD=V22+42=2而，

在OD上取点Q,使。Q=看遍，连接。P,PQ,则。P=2,

;瓜_髀_电丝=2=运

2=TOD2君5

.OQ_OP

••丽=加

又・：UOQ=乙DOP,

，△POQDOP,

:.PQ_OQ_巴

PD-OP-~5

:・PQ=30产，

连接CQ,如图，贝噂DP+CP=PQ+PCNCQ，

・•・当C,P,Q三点共线时PQ4-PC最小，即络。P+”最小,

作Q"，AB,QKJ.BC,垂足分别为H、K,

则四边形8KQH是矩形，WQH=AADO

:・HQ=BK,BH=QK,

在直角三角形OHQ中，HO=OQ-smWQH=OQ♦sin^ADO=等x鼻=等

，2y5，

4

2以4-

HQ=OQ•cosZ-OQH=OQ•cosZ-ADO=~XU55

2