2025年人教版八年级数学上册 三角形的内角（题型讲练+习题巩固）原卷版

第04讲三角形的内角

m学习目标

课程标准学习目标

1.阐述并验证三角形的内角和定理。

①三角形内角和定理

2.能够利用三角形的内角和探索直角三角形的性质与判定。

②直角三角形的性质与判定

3.能够利用三角形的内角和进行角度的计算

021连圭Jd!

三角形的内角和定理

03£正对壮1

知识点01三角形的内角和定理

I.三角形内角和定理的内容：

三角形的三个内角之和等于O

即若三角形的角是/A、NB、NC,则NA+NB+NC=

2.三角形内角和定理的证明:

证明思路：过三角形任意一个顶点作对边的平行线即可证明。

如图：过点A作DE平行于BC。

VDE/7BC

/B=；NC=o

・：NDAB+NEAC+ZBAC=。

NB+NBAC+ZC=o

【即学即练1】

I.在△ABC中，ZA+ZB=140°,ZC+Z«=160°,则△ABC的形状是（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.不存在这样的三角形

【即学即练2】

2.在8c中，如果NA=2N8=2NC,求NA,NB,NC分别等于多少度.

22

知识点02直角三角形的性质与判定

1.直角三角形的定义：

有一个角是直角的三角形。用R/ZL4BC表示直角三角形A6C

2.直角三角形的性质：

直角三角形的两个锐角o

C

数学语言：•・・△ABC是直角三角形，且NC=90°

N4+/B=o

3.直角三角形的判定：

有两个角的三角形是直角三角形。

数学语言：・.・乙4+/8=90。

，AABC是三角形。

【即学即练1】

3.在直角三角形中，如果一个锐角为40°,则另一个锐角为.

【即学即练2】

4.如图，CD是△ABC的高，/AC8=90".若NA=35°,则/8CO的度数是（）

ADb

A.55°B.35°C.30°D.5（

ES题型精讲

题型01利用三角形的内角和进行计算

【典例1］如图是i个缺损的三角形纸片，小鹿测得/A=48°,N8=68°,则这个三角形缺损的顶角NC

的度数为（）

ZA

AB

A.60°B.64°C.74°D.8（r

【变式1】在△ABC中，ZA-ZB=36°,ZC=2ZB.求NA、NB、/C的度数.

【变式2】已知△ABC中，N4：NB：ZC=I：3：5,求乙4、NB和NC的度数，它是什么三角形？

【变式3】如图，在△A8CW,ZB+ZC=110",A/W平分N5AC,交BC于■点、M,MN〃AB：交AC于点

N,则乙4MN的大小是（）

A.30°B.35°C.40°D,55°

【变式4】如图，线段。G,EM,月V两两相交于8,C,A三点则ND+NE+N尸+NG+NM+NN的度数

是（)

NM

A.180°B.360°C.540°D.720°

【变式5】如图，在△ABC中，/8=NC=45°,点。在BC上,点E在AC上，连接AD,DE,ZADE

=/AED,若NBAD=M,则NCOE等于()

A-45°+4~m°R-45°-z-m°C.90°-D.

乙乙乙乙

题型02直角三角形的性质与判定

【典例1】为△A8C中，ZC=90°,ZB=40°,则NA=()

A.60°B.30°C.50°D.40°

【变式1】在△ABC中，ZC=90°,ZB=2ZA,则NA=()

A.15°B.30°C.45°D.60°

【变式2】如图,RtAABC,NAC4=90°,CQ_LAB于。，ZBCD=40°,则乙4的度数为()

C.50°D.30°

【变式3】如图，在△ABC中，NBAC=50°,N4CB=70°,/W_L8。于。，BE平分N/1BC交AC于点E,

交AD于点”，则NBFD的度数是（）

A

A.30°B.50°C.60°D.70°

［典例1］在下列条件中不能判定AA6c为宜用三角形的是（）

A.ZA=90a-ZCB.ZA=ZB-ZC

C.ZA=2ZB=3ZCD.ZA=ZB=­ZC

2

【变式1】在下列条件中①NA+/8=NC，②NA：ZB：ZC=1：2：3,③NA=N4=2NC,®ZA=2

NB=3NC,中能确定△人8c为直角三角形的条件有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式2】在下列条件：①NA+/8+NC=180°；②NA：ZB：ZC=1：2：3；③乙4=NB=2NC；④

NA=L/B」NC⑤/A=N8=2NC中，能确定△ABC为直角三角形的条件有

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题型03三角形的内角和与直角三角板

【典例1】一块直角三角板放在两平行直线上，如图，Zl+Z2=,度・

2

【变式1】如图所示，将含角45°的直角三角板与含60°角的直角三角板叠放在一起，若Nl=70°,则

Z2的度数为（

1

A.85°B.60°C.50°D.95°

【变式2】将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则/I的度数是（）

A.60°B.65°C.70°D,75°

【变式3】将一副二角尺如图摆放，点。在AC上，延长EA交CB的延长线于点F,N/WC'=N/lQE=90"，

NC=30°,NE=45°,则N尸的度数是（）

A.10°B.15°C.20°D.25°

【变式4】如图，aABC与△COE均为直角三角形，AB交C。于点F,NAC8=NCDE=90°,N8=30°,

ZE=45°,/ECB=a,则NCFB=()

A.a+90°B.a+45°C.105°-aD.1800-a

题型04三角形内角和与角平分线和高线

【典例1］如图，在△ABC中,ADYBC,AE平分N8AC,若N8=44°,ZC=70°,则/DAE的度数是

（）

A

BEDC

A.10°B.12°C.13°D.15°

【变式1】如图，在△ABC中，4E是角平分线，AD1BC,垂足为。，点。在点E的左侧，ZB=60°,

NC=40°,则ND4E的度数为()

A.10°B.15°C.30°D.40°

【变式2】如图，在aABC中，AO_L8C,AE平分N8AC,若/1=40°,N2=25°,则NB的度数为（）

A.25°B.35°C.45°D.55°

【变式3】如图所示，在△ABC中，AE是角平分线，人。是高.

(1)若NB=40°,/。=60°,求：①ND4C的度数：0的度数.

(2)已知则NDAE=(用N8、NC表示).

05强化训练

I.如图，在RIZX48C中，NR4c=90°，NB=60°,过点A作石尸〃8C,则NMC的度数是（）

A

E

BC

A.30°B.45°C.60°D.75°

2.在下列条件中：①NA=90°-ZB；②NA=NB=2NC；③NA：ZB：ZC=5：3：2；©ZA+ZB=

NC；⑤NA=2N8=3NC；能确定△ABC为直角三角形的条件有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.如图，在△ABC中，NC=90°，NA=50°,将△ABC沿A8向右平移得△£）£：立则/尸的度数为（）

A.50°B.45°C.40°D.30°

4.如图，直线4〃〃，RtZ\A8。的宜角顶点A落在直线”上，点8落在直线力上，若Nl=15°,/2=25°,

则NA5c的大小为（）

A

A.40°B.45°C.50°D.55°

5.将两块大小相同的含60°角的直角三角板按如图所示放置，RtADBE的直角边BE恰好平分RtAABC

的直角NA8C,则NAP73的度数为（）

E

BC

A.75°B.95°C.105°D.120°

6.将一副三角板按如图放置，其中NB=NC=45°,ZD=60,Z£=30°,

。工

如果NCAD=150°,则/4=（）

AD

A.75°B.80°C.60°D.65°

7.如图，。岛在A岛的北偏东50。方向上，在8岛的北偏西60°方向上，4岛在B岛北偏西8（）。方向上,

则从C岛看A、B两岛的视角NACB为（）

A.80°B.95°C.110°D.140°

8.如图，△ABC中，4。为AABC的角平分线，8E为△ABC的高，ZC=70°,NA8C=48°,那么N3

是（）

A.59°B.60°C.56°D,22°

9.我们定义:若一个三角形的两个内角a与由满足2a+p=90°,则这样的三角形称为‘奇妙互余三角形”.已

如△ABC是“奇妙互余三角形"，ZC>90°,NA=50°,则NB的度数为（）

A.10°B.20°C.25°D.50°

10.如图，在△/WC中，NA8C与NACB的平分线交于点。，且NECB=&NACB,

33

则ND与NE的数量关系可表示为（）

A.3ZE-2ZD=180nB.3ZD-2ZE=l8On

C.3ZE-2ZD=90°D.3ZD-2ZE=90°

II.在△ABC中，已知乙4：NB：ZC=I：2：1,那么△ABC是三角形.

12.如图，△ABC中，ZBCD=30°,NACB=80°,CO是边A8上的高，AE是NC48的平分线，则/

AEB的度数是.

13.如图，AD,AE分别是△A8C的高线和角平分线，若N8=38°,ZC=70°,贝ljND4E=

14.如图，在△ADC中，DP,CP分别平分NAOC和NACQ,若N4=50°,则NP=

15.如图，在△/WC中，NA=90°,BE、CO分别平分N4BC和NACB,且相交于凡EG//BC,CG1EG

于点G,则下列结论：①NCEG=2NOC4；②C4平分NBCG；®^ADC=ZGCD®ZDFB=—^A；

2

⑤NOFE=135°,其中正确的结论是.

16.如图，在△A3C中，NA8c=65°,ZC=35°,A。是的角平分线.

(1)求N4QC的度数.

A

(2)过点/?作用？I4。千点E,加？延长线交4。干点凡求/

BD

乙4所的度数.

17.如图，在△ABC中，NABC=60°,NACB=40°,BE_LAC于点E,AZ）与BE交于点F.

(1)求/48£的度数：

(2)若AQ平分N8AC,QG平分NAQC,试说明OG〃8£

BDC

18.三角形的内角和定理是初中数学学习中的一个重要定理，下面给出了该定理的一种

证明方法.

已知：如图甲，

求证：ZA+ZB+ZC=I8O°.

证明：如图乙，作8C的延长线CD,在△ABC外部，以CA为一边，作NACE=NA.

所以，CEHXB（内错角相等，两直线平行）.

所以，NB=NECD（）.

因为，ZACB,NACE,NECD组成一个平角，

所以，ZACB+ZACE+ZECD=\^（平角的定义），

所以，ZACB+Z4+ZB=I8O°（）.

（1）请将上面的“已知”和推理“依据”补充完整；

（2）该定理有多种证明方法，请再写出一种证明方法.

19.在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB、CO和一块含60°角的直角三角尺E