2024人教版八年级数学下册《勾股定理的逆定理及其应用》每课时教学设计汇编（含两个教学设计）

202勾股逊馍旋理及其应用（第1课时）教学设计

一、内容和内容解析

i.内容

本节课在学习勾股定理的基础上，从逆命题的角度研究直隹三角形的判定方法一一勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长4,乩C,满足『+廿=’2,那么这个三角形是直角三角形。

2.内容分析

勾股定理的逆定理是对直角三角形判定体系的重要补充，与勾股定理构成“性质一判定”的互逆关系，

完善了直角三角形的知识框架。本节课以“逆命题探究”为核心线索，通过“观察一测量一猜想一论证”

的流程，既培养学生的推理能力，又渗透“互逆命题”的逻辑关系。定理的证明采用“构造法”，通过构

造全等直角三角形完成命题的证明，体现了转化与化归的数学思想。同时，勾股数的引入为后续应用逆定

理解决问题提供了便捷工具。

基于以上分析，确定本节课的教学重点为：探索并证明勾股定理的逆定理。

二、目标和目标解析

1.目标

（I）理解勾股定理的逆定理，经历“观察一测量一猜想一论证”的定理探究的过程，体会“构造法”

证明数学命题的基本思想，发展推理能力。

（2）了解逆命题的概念，知道原命题为真命题，它的逆命题不一定为真命题。

2.目标解析

（1）学生能通过实例观察、测量验证，发现规律并提出猜想；在证明过程中，能理解•“构造全等直角

三角形”的思路，清晰梳理证明逻辑，逐步提升逻辑推理和几何论证能力：学生能运用勾股定理的逆定理

判断三角形是否为直角三角形，能识别常见勾股数。

（2）学生能准确区分原命题与逆命题，通过勾股定理与其逆命题的对比，理解（逆命题的结构关系；

能举例说明原命题为真时逆命题可能为假，建立对命题互逆性的正确认知。

三、教学问题诊断分析

学生可能出现的问题：

（1）证明勾股定理的逆定理时，难以想到“构造法”，导致证明过程难以推进。

（2）运用逆定理判断三角形是否为直角三角形时，遗漏“先确定最大边”的关键步骤，误将非最大边

当作斜边进行平方关系验证。

应对策略;

(1)证明环节中，通过追问“直接证明三角形是直角三角形有困难，能否借助己学的全等知识？"如何

构造•个与原三角形相关的直角三角形？“，逐步引导学生想到“构造法”：分步演示证明过程，帮助学生理

清逻帽脉络。

(2)在例题和练习中，强调"先找最大边，再验证较小两边的平方和是否等于最大边的平方''的解题步

骤，通过错题辨析，强化学生对关键步骤的记忆。

基于以上分析，确定本节课的教学难点为：证明勾股定理的逆定理。

四、教学过程设计

(一)复习引入

1.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为小b,斜边长为c,那么

2.除了定义，直角三角形的判定方法还有哪些？

有两个角互余的三角形是直角三角形.

3.勾股定理的逆命题是什么？

如果三角形的三条边满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方，那么这个三角形是直角三角形.

它是真命题吗？它是直角三角形的判定方法吗？

设计意图：通过复习勾股定理和已有的直角三角形判定方法，搭建知识衔接桥梁；以“逆命题”为切

入点，自然引出本节课的探究主题，激发学生的好奇心和探究欲。

(二)合作探究

思考如果三角形的三条边满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方，那么这个三角形是不是直角

三角形呢？

下图给出了确定直角的一种方法：

把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木

桩将长绳钉成一个三角形，其中一个角便是直角.

(13)

(12)

XX11)

(5)(6)(7)(8)

上述方法意味着，如果围成三角形的三边长分别为3,4,5,它们满足关系“32+42=5”，那么围成的三

角形是直角二角形.一般地，满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方的三角形是不是直角三角形呢？

观察如果三角形的三边长分别为2.5cm,6cm,6.5cm,它们满足关系"S+G?*©”,画出的三角形

是直角三角形吗？换成三边长分别为4cm,7.5cm,8.5cm,再试一试.

信息技术验证

猜想如果三角形的三边长a,b,c满足/+〃=洛那么这个三角形是直角三角形.

已知：如图，△ABC的三边长分别为a,b,c,满足/+〃=/

求证：aABC是直角三角形.

分析直接证明△ABC是直角三角形比较困难，回顾已经学过的知识，可以作一个两条直角边长分别为

a,〃的直角三角形，如果能证明△ABC与所作的直角三角形全等，那么就能证明△人8c是直角三角形.

证明,如图，作一个RtA使A'C^b，NC=90。.

根据勾股定理，A'B'2=B'C，2+A'C,2=a2+b2.

因为片+/=d，所以4B'=c.

在△A4C和△A7TC中，

BC=a=B'C',AC=b=A'C\AB=c=A'B',

所以△ABC丝△A3'C'(SSS).

因此NC=NC'=9(尸，即△A4c'是直角三角形.

勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a,b,c满足/十力2=洛那么这个三角形是直角三角形.

它是判定直角三角形的一个依据

设计意图：从具体实例出发，结合画图测量、信息技术验证，让学生直观感受“三边满足平方关系T

直角三角形”的规律，为猜想提供充分依据；证明过程中，通过“构造全等”的思路，突破直接证明的难

点，让学生体会转化与化归的数学思想；完整呈现“观察一测量一猜想一论证”的探究流程，培养学生的

推理能力。

(三)典例分析

例1判断由线段4,b,C组成的三角形是不是直角三角形：

(1)。=8,方=15,c=17；(2)a=14,Z?=I3,c-15.

分析根据勾股定理逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要判断两条较小边长的平方和是否

等于最大边长的平方.

解：⑴因为82+152=64+225=289,172=289,

所以82+152=172.

根据勾股定理的逆定理，由线段。，b,C组成的三角形是直角三角形.

勾股数像8,15,17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.

(2)因为14?+132=196+169=365,152=225,

所以142+13^152.

根据勾股定理的逆定理，由线段。，力，c,组成的三角形不是直角三角形.

分析如果这个三角形是直角三角形，那么根据勾股定理应有/+从=/事实上，上式不成立.因此，这个

三角形不是直角三角形.

设计意图：例题选取两组典型数据，一组是勾股数，一组非勾股数，既展示了逆定理的应用方法，又

自然引出勾股数的概念：解题过程中强调“找最大边―验证平方关系”的步骤，为学生提供清晰的解题范例：

通过勾股数的定义，帮助学生识别常见的直角三角形边长组合，为后续解题提供便捷工具。

(四)巩固练习

1.判断由线段a,b,。组成的三角形是不是直.角三角形：

(1)a=4,b=5,c-6；(2)«=2.5,8=0.7,c=2.4；

(3)a=kc=1：(4)«=1,b=\[2,c=V3.

解：⑴因为42+52=16+25=41,62=36,

所以42+52W.

根据勾股定理的逆定理，由线段〃，b,。组成的三角形不是直角三角形.

(2)因为0.72+2.42=0.49+5.76=6.25,2.52=6.25,

所以0.72+2.42=2.52.

根据勾股定理的逆定理，由线段。，b,。组成的三角形是史角三角形.

⑶因为铲+铲*^=朝（3=?

所以铲+（沙铲.

根据勾股定理的逆定理，由线段。，b,。组成的三角形不是直角三角形.

（4）因为12+（V2）2=1+2=3,（V3）2=3,

所以l2+（V2）2=（V3）2.

根据勾股定理的逆定理，由线段小方，。组成的三角形是直角三角形.

2.满足下列条件的n4?C,不是直角三角形的是（D）

A.Ad+BC^AB?B.AC:BC:AB=3:4:5

C.匚C=EM+匚8D.口4:匚B:匚C=9:12:15

3.勾股数又名毕氏三元数，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，我们称之为勾股数.下

列各组数据为勾股数的是（A）

A.9,40,41B.9,16,20C.1,2,V3D.；

345

4.若一个三角形的三条边长之比为5:12:13,周长为60cm,则它的面积为（D）

A.60cm2B.80cm2C.100cm2D.120cm2

5.已知E46C的三边长分别为mb,c,且满足（小15），g-17|+©8y=0,则口/BC是（B）

A.以〃为斜边的直角三角形B.以〃为斜边的直角三角形

C.以c为斜边的直角三角形D.非直角三角形

6.如图，以△A3C的三边为直径，分别作三个半圆，三个半圆的面积分别为$,S2,S3.若$+S2=S3,

判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由.

解：aABC是直角三角形，理由如下：

・•,S尸?考）2,S2与吟）2,S3=》（32,

.•亭（学2申净衅）2,

•"树叱=心，

•••△A4C是直角三角形.

设计意图：巩固练习覆盖多种题型，梯度分明：第1-2题聚焦逆定理的直接应用，强化“找最大边一

验证平方关系”的步骤；第3-4题结合勾股数、边长比例，提升知识综合应用能力：第5-6题融入非负

数性质、圆的面积公式，拓展解题场景，培养学生的转化能力。通过多样化练习，及时反馈学习效果，帮

助学生查漏补缺，强化对逆定理和勾股数的理解。

（五）归纳总结

勾股定理及其逆定理

如果直角三角形的两条直角边长分别为明

勾股定理丁

22a

b,斜边长为c,那么a+h=c.E3

如果三角形的三边长〃，b,C满足〃2+加=02,□

勾股定理▼

的逆定理那么这个三角形是直角三角杉.

（六）感受中考

1.（江苏南通）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（A）

A.3,4,5B.2,3,4C.4,6,7D.5,11,12

2.（2023年山东荷泽）38。的三边长〃，b,c满足（a-b）2+V5^石5+|「3蜴=0,则1/I8C是（D）

A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰直角三角形

3.（2025年江苏扬州）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳

法则法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则

写出了下列几组勾股数：①3,4,5；②5,12,13；③7,24,25；④9,40,41；……根据上述规律，写

出第⑤组勾股数为11,60,61.

4.（2021年浙江杭州）如佟,在直角坐标系中，以点46,1）为端点的四条射线力4,AC,AD,4E分别

过点点点。&,4）,点、监2）,则口切。:□加£（填“>”"=”“<”中的一个）.

设计意图：引入中考真题，让学生感受勾股定理逆定理在中考中的考查形式，明确学习重点；真题涵

盖不同考查角度，既能检脸学生的学习成果，又能提升学生的应考能力和解题信心，激发学习动力。

（七）小结梳理

定义有一个内角等于90°的三角形叫作直角三角形.

直角三角彩的两个锐角互余.

如果直角三角形的两条直角边长分别为％b,

斜边长为C,那么乐+炉=＜：2.

I

有两个角互余的三角形是直角三角形.

判定

如果三角形的三边长％b,C满足42+〃2=〃，

那么这个三角形是直角三角彩.

利用勾股定理解决实标问题

利用勾股定理解决数学问题

（八）布置作业

1.必做题：习题20.2第1,2题.

2.探究性作业：习题20.1第6题.

五、教学反思

202勾股迹馍期及其应用（第2课时）教学设计

一、内容和内容解析

1.内容

本节课是在学习勾股定理的逆定理的基础上，应用勾股定理及其逆定理解决问题.

2.内容分析

本节课是勾股定理及其逆定理知识的综合应用阶段，核心是实现“判定直角三角形"与,'计算边长”

的双向结合。课程内容聚焦实际场景和数学背景，通过“先判定直角一再计算边长”或“先计算边长一再

判定直角”的逻辑链，解决方位判断、面积计算等问题。其本质是培养学生的模型思想和综合推理能力，

让学生体会两个定理“性质与判定”的互补价值。

基于以上分析，确定本节课的教学重点为：应用勾股定理及其逆定理解决数学问题和实际问题。

二、目标和目标解析

1.目标

（I）应用勾股定理的逆定理解决实际问题，发展应用意识。

（2）进一步加深对勾股定理与其逆定理之间关系的认识，发展推理能力。

2.目标解析

（1）学生能从实际问题中抽象出三角形或四边形模型，通过逆定理判定直角三角形，再用勾股定理计

算未知边长，解决实际问题，形成“实际场景一数学模型一定理应用一实际结论”的解题思路。

（2）学生能清晰区分勾股定理（已知直角三角形求边长）与逆定理（已知三边长判定直角三角形）的

适用场景，在综合问题中灵活切换使用两个定理，理解二者“互逆互补”的逻辑关系，提升综合推理和问

题解决能力。学生能将四边形等复杂图形转化为直角三角形组合，通过分割法计算面积，培养图形转化和

化归思想。

三、教学问题诊断分析

可能出现的问题：

（1）综合应用两个定理时，混淆适用场景，如该用逆定理判定直角时误用勾股定理，或该用勾股定理

计算边长时不知先判定直角。

（2）处理四边形问题时，缺乏“分割为直角三角形”的转化意识，难以找到解题突破II。

应对策略：

（1）通过对比表格明确两个定理的适用场景，在例题中标注“判定直角（逆定理）”“计算边长（勾

股定理）”的关键步骤，强化学生对逻辑链的认知；设计“定理选择”专项辨析题，帮助学生精准区分应

用场景。

（2）针对四边形问题，引导学生观察图形中的直角条件，示范“连接对角线分割为直角三角形”的方

法，通过板书展示分割过程和面积计算逻辑，培养转化思想。

基于以上分析，确定本节课的教学难点为：灵活应用勾股定理及其逆定理解决问题。

四、教学过程设计

（一）复习引入

勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为小b,斜边长为。，那么

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长力，C满足/+川=‘2,那么这个三角形是直角三角形.

利用勾股定理的逆定理，可以解决一些实际问题.

设计意图：快速回顾两个核心定理的内容，明确二者的“性质与判定”关系，为综合应用奠定基础；

以“解决实际问题”引出本节课主题，直接点明学习目标，自然过渡到例题探究。

（二）合作探究

例2如图，港口夕位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方

向航行，“远航”号每小时航行16nmile,“海天”号每小时航行12nmile.它们离开港口1.5h后分别位于点Q,

R处，且相距30nmile.如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？

分析在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果能求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海

天”号的航向了.

解：根据题意,

PQ=16x1.5=24,P/e=12xl.5=18,QR=30.

因为242+l82=302,即PQ^+PR2=QR2,

所以NQPR=90°.

由“远航”号沿东北方向航行可知，

N1=45。.因此N2=45。,即“海天”号沿西北方向航行.

例3如图，在四边形/WC。中，八"=5,4c=3,AD=}DC=，.如果人判断八。与八。是否也

垂直，并说明理由.

分析若能求出4c的长，就可以根据勾股定理或其逆定理判断^ACD是不是直角三角形，从而判断4c

是否垂直于40.

解：因为4C_L8C,所以乙4。8二90。.

在RSA8C中，根据勾股定理，AC2:.所以AC=4.

在△4CO中，4G+A〃=42+（沪限coz若户詈，

所以4cD\\

因此△AC。是直角三角形，即4C\LAO.AB

设计意图：例2选取航海方位问题，贴近生活实际，考查“先算边长T用逆定理判定直角一求方向角”

的逻辑链，培养学生的模型抽象和方位判断能力；例3聚焦四边形转化，考查“先用勾股定理求边长T再

用送定I里判定直角”的综合应用，培养图膨转化思想。两个例题狡盖“实际问题”和“几何图形问题”，

全面展示定理的综合应用场景，为学生提供清晰的解题范例。

（三）典例分析

1.A,B,C三地的两两距离如图所示，A地在5地的正东方向，。地在4地的什么方向?

解：根据题意,AB=\2t8C=5,AC=\3.

因为A^+BC2=AC?,BP122+52=132,

所以/8=90°.

・・・C地在8地的正北方向.

2.如图，在四边形ABC。中，AB=3,BC=4,CD=\2,>40=13,NB=90。.求四边形ABCD的面积.

解：根据勾股定理得，AC2=/l«2+BC2=32+42=25,・"C=5,

AC2+C£>2=25+122=l69,V4D2=132=169,

•••AC2+CD2=AZAAZACD=90°.

._,_ABxBC,AC^CD_3x4,5/12

•・3c囚切c形cAC。=—;—+—;—=—+=36.

设计意图：典例1是例2的变式，强化“方位判断”的解题思路；典例2强化“四边形分割为直角三角

形”的转化方法，巩固面积计算的技巧。通过同类变式训练，帮助学生固化解题思路，提升知识迁移能力。

（四）巩固练习

1.如图是王叔叔建房时所挖地基的平面图，按标准，四边形48CO四个角都应是直角，他在挖完后测

量发现48=CD=6m,AD=BC=Sm,AC=BD=\Om,则他挖的地基合格.（填“合格”或“八合格”）

BC

2.如图，有一块三角形空地，它的三条边线分别长30m,40m和50m,已知40m氏的边线为南北向，则30m

长的边线方向为（A）

A.东西向B.东北向C.东南向D.西北向

3.甲、乙两艘客轮同时离开港II.航行速度都是400m/min.甲客轮用30min到达/处，乙客轮用40min到

达8处.若4,4两处的直线距离为20000m,甲客轮沿着北偏东30。的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是

（C）

A.北偏西30°B.南偏西30。C.南偏东60°D,南偏西60。

4.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其

中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为5

里，12里，13里，问这块沙田的面积为（A）

A.30平方里B.32.5平方里C.60平方里D.65平方里

5.高师傅有5根长度（单位：dm）分别为a=6,b=8,c=10,d=24,e=26的钢条，准备选3根焊接一个直

角三角形钢架.请你帮高师傅找出所有可能的钢条组合.

答：组合1：a，byc.组合2：c,d,e.

6.如图，在四边形ABCO中，已知48=20m,BC=15m,CD=7m,JZ)=24m,口8=90。.

（1）求证：匚4QC=90。：

⑵求四边形为8CQ的面积.

解：（1）如图：连接力C,

在RtCUBC中，44=20,8c=15,05=90°,

LJC=V//52+5C2=V202+l52=A/625=25,

□CZ)2=72=49,J£)2=242=576,/<C2=252=625,

□CZ)2+JZ)2=/4C2,

EMC。为直角三角形，□月。C=90。.

(2)□在RtDZBC中，4B=238c=15,在Rt口力。。中，CD=7,AD=24,

S四边形/8（7+5口/℃=：x20x15+^x7x24=234,

・•・四边形/ACO的面积为234m2.

设计意图：巩固练习题型丰富，梯度分明：第1-3题聚焦实际问题，强化模型抽象和方位判断；第4-6

题聚焦几何图形，强化三角彩面和计算和四边形转化。练习覆盖不同应用场景，既能强化学生对“定理综

合应用”的掌握，又能及时反馈学习效果，帮助学生查漏补缺。

（六）归纳总结

勾股定理及其逆定理

如果直角三角彩的两条近角边长|实际问题

勾股定理

分别为*b,斜边长为C,那么1

4以象

（性质）网

a2+炉=<^.

数学问题|

勾股定理如果三角彩的三边长明b,c满足数

4占立解刃t

的逆定理a1+b2^2,那么这个三角彩是近V

几何模型

（判定）角三角彩.

（六）感受中考

1.（湖南长沙）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一

块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙

田，三条边长分别为5里,12里，13里，问这块沙田面积有多大?题中“里”是我国市制长度单位，1