微元法在物理学中的应用（重难专练）-2026年高考物理二轮复习解析版

方法01整体法与隔离法在物理学中的应用

方法建模.

微元法是高中物理中一种非常重要且深刻的思维方法和数学工具，其核心思想是“化变为

恒，化曲为直，先微分再积分”。它主要用于处理非均匀变化（变量累积）的物理过程。

一、微元法的本质

当一个物理量（如力、速度、质量）随位置或时间连续变化，导致过程不均匀时，我们无

法直接用初等数学的公式求解。此时，我们可以在极短的时间（At）或极小的空间（Ax）内，

将变化量近似看作不变，求出该“微元”内的贡献（如功AW、位移As、质量小!!!），然后将

所有微元累加起来（求和或积分），得到总效果。

二、在高中物理中的典型应用

L变力做功问题

当力F随位移x变化（如弹簧弹力F=kx、随距离变化的引力/库仑力）时，做功不能用W=Fs

直接计算。

步骤：取一段极小的位移Ax,在此Ax内，力F（x）可视为恒力。微元功AW=F（x）Fx。

总功：W^SAW,其几何意义是F-x图像下的面积。例如，弹簧弹力做功W=（l/2）kx2,

正是三角形面积。

2.非匀变速运动的位移与时间

已知瞬时速度v随时间t变亿的关系v（t）,求总位移。

步骤：取极短时间八t.认为v不变.微位移八s=v（t）•Ate

总位移：s=SAs,即v-t图像下的面积。这正是高中用图像法求位移的原理.，也是积分

思想的雏形。

3.连续体问题（流体、电荷、链条）

研究对象是连续分布的质量或电荷。

示例：一段均匀带电细棒产生的电场。棒不能视为点电荷。

步骤：将细棒分成无数小段△1,每一段带电量Aq,可视为点电荷，计算其在场点的微元

场强AE,再通过矢量叠加（积分）求总场强E。

4.电磁感应中的电荷量计算

由q=I-t,但电流工随时间变化。

步骤：根据工=Z\q/At,有结合电磁感应定律E=△0/At和欧姆定律工=E/R,

可得工•△1=△①/R,即△4=△◎/□

累加：q=SAq=（A^））/Ro这是一个极其重要的结论：通过闭合回路的电荷量只与磁通量

总变化量和电阻有关，与时间无关。这是微元法推导出的经典结论。

三、思想升华与意义

微元法是连接初等数学与高等微积分的桥梁。在高中阶段，我们通常用“无限分割、求和

取极限”的语言来描述，并用几何面积来形象化结果。它训练学生以下关键能力：

建模能力：将复杂连续过程分解为简单单元。

近似与极限思维：理解“在无穷小范围内，变量可视为常量”。

综合应用：结合物理定律（如牛顿定律、能量守恒）与数学工具解决问题。

总结：微元法是解决高中物理中“变力”、“变速”、“连续体”等高级问题的核心钥匙。

掌握它，不仅能为高考压轴题提供解题思路，更能为大学深入学习物理学和工程学奠定坚实的

思维基础。它体现的“化整为零，再积零为整”的思想，是科学分析的通用范式。

分级实战.

一、单选题

1.一质量为M且质量均匀分布的细圆环放置在光滑水平面上，其半径为「，过圆心的几何轴与水平面垂直,

若圆环能经受的最大张力为丁，估算此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速度约为（当。角很小时，sinOa。）

)

【答案】B

【详解】圆环绕几何轴旋转，圆环的各部分做圆周运动，在圆环上取一小段相，对应的圆心角为A6,如

图所示：

△〃?=-T—M

2笈

受圆环对它的张力T,分析可得

2力/s•in——M=A2

2

当A6角很小时，sin"垣竺，则

22

27——=——Mrco'

22乃

代人得

[27UT

柘

B正确；

故选B。

2.研究物体的碰撞时，碰撞过程中受到的作用力户往往不是恒力，求产的冲量时，可以把碰撞过程细分为

很多短暂的过程，如图所示，每个短暂的4时间内物体所受的力没有很大的变化，可认为是恒力，则每个

短暂过程中力的冲量分别为£加、2……，将关系式相加，就得到整个过程作用力尸的冲量在数值上等

于尸T曲线与横轴所围图形的面积。这种处理方式体现的物理方法是（）

A.控制变量法B.微元法C.转换法D.类比法

【答案】B

【详解】根据题意可知，这种处理方式体现的物理方法是微元法。

故选B。

3.如图所示，在弯曲的光滑管道内，有一根质量分布均匀长为L的绳子。初始时，用手拉着绳的A端使之

静止在管道内，绳A、3两端竖直高度差为人已知重力加速度为g,则放手瞬间绳的加速度为（）

【答案】A

【详解】对绳子的任•小部分取微元分析，在沿管道方向均只受到重力沿管的分力，且整体在沿管道方向

的加速度大小相同。即

£sinO=ma

其中，对于任意一小段绳而言

sin<9=—,

ALL

联立可得

h

故选A.

4.如图所示，两个固定的半径均为r的细圆环同轴放置，。/、。2分别为两细圆环的圆心，且0/。2=2「，两

环分别带有均匀分布的等量异种电荷+Q、-Q（。＞0）。一带正电的粒子（重力不计）从0/处由静止释放,

静电力常量为&，下列说法正确的是（)

A.粒子在。2处动能最大B.粒子在。/。2中点处动能最大

C.0/。2中点处的电场强度为"3D.。,。2中点处的电场强度为警

r

【答案】D

【详解】A.根据电场叠加原理，在。2左侧场强方向先向左后向右，因此粒子到达。2左侧某一点时，速度

最大，动能最大，以后向左运动速度开始减小，动能也在减小。故A错误;

B.带电粒子从。/点开始由静止释放，在粒子从。/向02的运动过程中，两圆环对粒子的作用力都向左,

可见电场对带电粒子做正功。故粒子在中点处动能不是最大，故B错误；

CD.把圆环上每一个点都看成一个点电荷，则电荷量为

q24Y

根据点电荷场强公式，各点电荷在0/02中点处产生的场强大小

E=kq

（历了

根据电场的叠加原理，单个圆环在0/02中点的场强，为

E=-^-cos45°

2,

两个圆环的场强，再叠加一下，有

-2r2

故C错误，D正确。

故选D。

5.法国科学家库仑精心设计了一种测量仪器叫库仑扭秤，他用此装置找到了电荷间相互作用的规律，总结

出了库仑定律。库仑扭秤能研究微小的库仑力，它在设计时应用的最主要物理学思想方法为（）

A.等效替代法B.微小量放大法C.微元法D.理想模型法

【答案】B

【详解】A.等效替代法是指研究中很难直接揭示物理本质，而采用与之相似或有共同特征的等效现象来替

代的方法，故A错误；

B.库仑扭称实验中，两小球之间的库仑力将小球推开，将悬丝上端的悬钮转动，使小球回到原来位置，悬

丝的扭力矩等于库仑力对小球的力矩，库仑力的力臂远长于悬钮的力臂，微小的库仑力就被放大，故B正

确；

C.微元法指处理问题时，从事物的小部分分析，进而解决事物整理目的，C错误;

D.理想模型法是通过建立模型来揭示原型的形态、特征和本质的方法，忽略一些次要因素，抓住主要因素,

D错误：

故选Bo

6.一个质点运动的速度时间图像如图甲所示，任意很短时间内质点的运动可以近似视为匀速运动，该时间

内质点的位移即为条形阴影区域的面积，经过累积，图线与坐标轴围成的面积即为质点在相应时间内的位

移。利用这种微元累积法我们可以研究许多物理问题，图乙是某物理量随时间变化的图象，此图线与坐标

A.如果y轴表示变化磁场在金属线圈产生的电动势，则面积等于该磁场在相应时间内磁感应强度的变

化量

B.如果y轴表示力做功的功四，则面积等于该力在相应时间内所做的功

C.如果y轴表示流过用电器的电流，则面枳等于在相应时间内流过该用电器的电量

D.如果y轴表示加速度，则面积等于质点在相应时间内的速度变化

【答案】A

【详解】A.如果），轴表示变化磁场在金属线圈产生的电动势，根据法拉第电磁感应定律

„A①

E=——

A/

得&D=EA/,所以面积等于该磁场在相应时间内磁通量的变化量，故A错误，符合题意；

B.如果），轴表示力做功的功率，则面积表示PA/,等于该力在相应时间内所做的功，故B正确，不符合题

意；

C.如果），轴表示流过用电器的电流，由片〃知，面积等于在相应时间内流过该用电器的电量，故C正确，

不符合题意；

D.如果），轴表示加速度，由“竺得

Av=aAt

知面积等于质点在相应时间内的速度变化，故D正确，不符合题意。

故选Ao

7.图甲、乙、丙是中学物理课本必修1中推导匀变速直线运动的位移公式所用的速度图象，下列关于位移

公式的推导和这三幅图的说法正确的是（）

B.甲图中利用矩形面积的和又表示位移大小比实际位移大小偏小

C.乙图中利用矩形面积的和表示位移大小比内图利用梯形面积表示位移大小更接近真实值

D.这种用面积表示位移的方法只适用于匀变速直线运动

【答案】B

【详解】A.这里推导位移公式主要采用了微元法，选项A错误；

B.甲图中利用矩形面积的和来表示位移大小比实际位移大小偏小，选项B正确；

C.内图利用梯形面积表示位移大小比乙图中利用矩形面积的和表示位移大小更接近真实值，逐项C错误；

D.这种用面积表示位移的方法适用于任何直线运动，选项D错误。

故选Bo

考点：物理问题的研究方法。

8.微元累积法是常用的物理研究方法，如图所示为某物理量随时间变化的函数图象，关于此图线与两坐标

轴围成面积的物理意义，下列说法正确的是

A.如果y表示加速度，则面积等于质点to在时刻的速度

B.如果y表示流过用电器的目流，则面积等于在相应时间内该用电器消耗的电能

C.如果y表示力做功的功率，则面积等于该力在相应时间内所做的功

D.如果y表示变化磁场在金属线圈中产生的电动势，则面积等于该磁场在相应时间内磁感应强度的变

化量

【答案】c

【详解】A.如果），表示加速度，因

△v=«r

则面积等于质点在0”。时间内速度的变化量，故A错误；

B.如果），表示流过用电器的电流，因

q=It

则面积等于在相应时间内通过该用电器的电量，故B错误;

C.如果y表示力做功的功率，因

W=Pt

则面积等于该力在相应时间内所做的功，故c正确；

D.如果y表示变化磁场在金属线圈中产生的电动势，因为

』包

Ar

则面积等于线圈中磁通量变化量的〃倍，故D错误。

故选C。

9.关于物理学研究方法，下列说法错误的是（）

A.甲图中，在推导匀变速直线运动的位移公式时，采用了微元法

B.乙图中，伽利略在研究力和运动的关系时，采用了理想实验法

C.丙图中，用光电门测小球的瞬时速度体现了极限的思想

D.丁图中，研究红蜡块的运动时，主要运用了放大的思想

【答案】D

【详解】A.在推导匀变速直线运动位移公式时，把整个运动过程划分成很多小段，每一小段近似看成匀速

直线运动，然后把各小段的位移相加，这里采用了微元法，故A正确：

B.伽利略在研究力和运动的关系时，依据逻辑推理，对实验进行了理想化处理，采用了理想实验法，故B

正确:

C.用光电计时器、光电门和大小很小的球测瞬时速度，根据速度定义式，当&非常小时，就可以表示物

体在，时刻的瞬时速度，体现了极限思想方法，故c正确：

D.研究红蜡块的运动时，主要运用了运动的合成与分解的思想，故D错误。

本题选错误的，故选D。

10.下列对教材中的四副插图所包含物理思想方法的说法正确的是（）

丙

：控制变量法

C.图因：等效替代法D.图丁：理想实验方法

【答案】C

【详解】A.图甲是推导图像的面积代表位移，采用的是微元法，故A错误;

B.图乙在研究力和运动的关系时，伽利略运用了理想斜面模型结合逻辑推论，故B错误;

C.图丙利用红蜡块的运动探究合运动和分运动的实验，采用物理思想方法是等效替代法，故C正确:

D.图「探究影响电荷间相互作用力的因素时，运用了控制变量法，故D错误。

故选C。

II.微元思想是物理中一种重要的思想方法，它能巧妙的“化变为恒”,从而便于求解物理量。例如图若为FT

图像，因纵轴力”变化，往往将横轴的时间微分，即取无穷多很短的时间△/,在很短的时间内力变化很小,

F可视为恒力，图像中小长方形的面积代表△/时间内的冲量，然后通过求和即可知道函数图像和横轴r包围

的面积得到户的总冲量，以下四个选项说法错误的是（）

A.若是丫-〃（体积•压强）图，则图中函数图像和横轴〃围成的面积代表理想气体气体刈外做的功

B.若是，（加速度-时间）图，则函数图像和横轴/围成’的面积代表对应时间内物体的速度变化量

C.若是尸-x（力-位移）图，则函数图像和横轴”围成的面积代表对应位移内力?所做的功

D.若是/-/（电流-时间）图，则函数图像和横轴，围成的面枳代表对应时间内的电荷量

【答案】A

【详解】A.若是（体积-压强）图，横轴微分表示极短压强变化量，极短压强变化内气体体积可视作

不变，则气体不对外做功，则图中函数图像和横轴P围成的面积不能代表理想气体气体对外做的功，A错

误，符合题意；

B.若是，（加速度-时间）图，横轴微分表示极短时间，极短时间内的加速度变化可以忽略，由

知每个小长方形的面积代表△/时间内的速度变化量，函数图像和横轴，围成的面积代表对应时间内物体的速

度变化量，B正确，不符合题意；

C.若是尸-x（力-位移）图，横轴微分表示极短位移，极短位移内的力的变化可以忽略，由AW=E或知

每个小长方形的面积代表△，时间内力的功，则函数图像和横轴x围成的面积代表对应位移内力户所做的功,

CE确，不符合题意；

D.若是/-，（电流-时间）图，横轴微分表示极短时间，极短时间内的电流的变化可以忽略，由&/=/加知

每个小长方形的面积代表4时间内的电荷量，则函数图像和横轴f围成的面积代表对应时间内的电荷量，D

正确，不符合题意。

故选Ao

二、多选题

12.如图是教材上用速度（6-时间（/）图像推导匀变速直线运动的位移公式。下列叙述正确的是（）

VVV

vj_L-1

vlV11/

y-->-

/

/d/

—/-

/乙/

vW-7

vovoV*0

—%一-----------

-

）a

O7O'tO'

(a)(b)(C)(<1)

把/分成五段，每段加若&-»0,矩形上端

倾斜直线表示物时间内视为做匀速直若&取得更小，矩的台阶形成的折线就

体做匀变速直线线运动，其位移的数值形上端的台阶更密，变成了UT图的斜直

运动的—图像等于这个小矩形的“面更接近斜直线线。图中无限个小矩

积”形的“面积”之和即梯

形的“面积”就等于t

时间内的位移的数值

A.这个分析过程体现了微元思想

B.图（b）中从左到右的五个矩形面积之比为I：3：5：7：9

C.如果V"图像是曲线，则所围“面积”的数值也等于该段时间的位移大小

D.若是加速度（。）-时间⑺图像，则所围“面积”的数值等于末速度的大小

【答案】AC

【详解】A.这个分析过程体现了微元思想，A正确；

B.由于每个矩形中的小矩形面积相同，图（b）中从左到右的五个矩形面积之比就等于其构成矩形的小矩

形的数量之比，由题图可知，其不等于1：3：5：7：9,故B错误；

C.如果v-f图线是曲线，也可以采用该方法，将其分成若干个小矩形，其所围成的“面积”等于该段时间的

位移大小，故C止确；

D.根据刈=々&,若将图（c）中纵坐标改为加速度，则图线卜.方阴影面积表示对应时间内的速度变化量,

故D错误。

故选AC.

13.下列四幅图涉及不同的物理知识，其中说法正确的是（）

（a）（b）（c）（d）

A.图（a）所示的射线“3”是三种射线中电离能力最强的

B.图（b）英国物理学家G-P汤姆孙在实验中让电子束通过多晶薄膜得到的电子衍射图样，从而证实

了粒子具有波动性

C.图（c）所示为a粒子散射实验，实验发现少数a粒子穿过金箔后仍沿原来的方向前进

D.图（d）位移推导过程应用了控制变量法

【答案】AB

【详解】A.图（a）所示的射线“3”是a射线，是三种射线中电离能力最强的，故A正确；

B.图（b）英国物理学家G-P汤姆孙在实验中让电子束通过多晶薄膜得到的电子衍射图样，从而证实了粒

子具有波动性，故B正确;

C.图（c）所示为a粒子散射实验，实验发现绝大多数a粒子穿过金箔后仍沿原来的方向前进，故C错误;

D.图（d）位移推导过程应用了微元法，故D错误。

故选ABo

14.在物理学的发展过程中，科学家们运用了许多研究方法。以下关于物理研究方法的叙述正确的是（）

A.“探究向心力大小的表达式”实验中用到了等效替代法

B.卡文迪什利用扭秤实验测量引力常量运用了放大的思想

C.在研究物体沿曲面运动时重力做功的过程中用到了微元法

D.研究小船渡河问题时，主要运用了极限的思想方法

【答案】BC

【详解】A.“探究向心力大小的表达式”实验中用到了控制变量法，故A错误；

B.卡文迪什利用扭称实验测量引力常量运用了放大的思想，故B正确；

C.在研究物体沿曲面运动时重力做功的过程中用到了微元法，故C正确；

D.研究小船渡河问题时，主要运用了运动的合成与分解，选项D错误。

故选BCo

15.了解物理规律的发现过程，学会像科学家那样观察和思考，往往比掌握知识本身更重要。下列陈述与

事实相符的是（）

A.求匀变速直线运动位移时，将其看成很多小段匀速直线运动的累加，采用了微无法

B.根据速度的定义了二包，当&非常非常小时，空就可以表示物体在此时的瞬时速度，该定义应用

ArAr

了极限思想方法

C.加速度的定义应用了控制变量法

D.在不需要考虑物体本身的大小和形状时，用质点来代替物体的方法叫理想模型法

【答案】ABD

【详解】A.求匀变速直线运动位移时，将其看成很多小段匀速直线运动的累加，采用了微元法，故A正

确；

B.根据速度的定义，=包，当非常非常小时，包就可以表示物体在此时的瞬时速度，该定义应用了极

限思想方法，故B正确；

C.加速度的定义“=手应用了比值定义法，故C错误；

D.在不需要考虑物体本身的大小和形状时，用质点来代替物体的方法叫理想模型法，故D正确；

故选ABDo

16.关于研究物理的思想方法，说法正确的是（）

A.将物体视为质点，运用了极限思想

B.力的分解与合成，运用了等效替代法

C.在极短的位移中，物体的平均速度可以看成它在此位置的瞬时速度，运用了理想模型法

D.在推导匀变速直线运动位移公式时，把整个运动过程划分成很多小段，每一小段近似看作匀速直线

运动，然后把各小段的位移相加，运用了微元积分思想

【答案】BD

【详解】A.将物体视为质点，运用里理想化模型法；故A错误；

B.力的分解与合成，运用了等效替代法，故B正确；

C.在极短的位移中，物体的平均速度可以看成它在此位置的瞬时速度，运用了极限的思想，故C错误；

D.在推导匀变速直线运动位移公式时，把整个运动过程划分成很多小段，每一小段近似看作匀速直线运动,

然后把各小段的位移相加，运用了微元积分思想，故D正确。

故选BDo

三、解答题

17.圆周运动是曲线运动的一种特例。由于其属于变加速曲线运动，在研究过程中我们经常用到的方法就

是微元法。

图1图2图3

图4

⑴质点沿半径为〃、圆心为。的圆周以恒定大小的速度v运动，某时刻质点位于位置A,经极短时间△，后

运动到位置4,如图1所示，试根据加速度的定义，推导质点在位置A时的加速度的大小明。

（2）物体做曲线运动的情况较复杂，一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部

分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图2所示，曲线上A点的曲率圆定义为通过A点

和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫作A点的曲率圆，其半径厂叫作A点的曲

率半径，在分析物体经过曲线上某位置的运动时.，就可以按其等效的圆周运动来分析和处理。将一物体沿

与水平面成。角的方向以速度%抛出，如图3所示。已知重力加速度为求其轨迹最高点，处的曲率半径

（3）《自然哲学的数学原理》中记载牛顿是这样研究匀速圆周运动的：如图4所示，质量为，"的小球沿正多

边形的各边做速度大小恒为u的运动，若正多边形的边数趋近于无穷大，则上述运动可看作匀速圆周运动,

若其半径为R,试用动量定理推导向心力表达式（当。足够小时，有sin6=。）。

【答案】（1）匕

r

⑵(％cosa)2

（3）F=—

R

【详解】（1）根据三角形相似可得当=上

A/r

根据线速度定义式可得y=¥

根据加速度的定义式可得知

联/可得%=《■

r

（2）最高点尸处，根据向心力公式-g=m（%8sa）2解得曲率半径,二（包cosa）_

g

(3)

根据动量定理产二=,当〃趋于无穷大时，有sin?=¥

nnn

2

联7解得产

R

18.演绎式探究——曲线运动中的追及和相遇问题：

微元法在研究问题中是一种非常有用的方法，它是一种从局部到整体的思维方法，研究问题的过程中，某

些物理量的各个局部值并不相同，此时不好直接建立有关物理量之间的关系，但我们如果将这一过程分割

为无数个微元部分，由于所取的微元很小，其内部各部分间的差异也很小，这样就可忽略其内部各部分问

的差别，认为描述它的物理量是定值。比如研究曲线运动的轨迹，我们将轨迹分割为无穷多段，物体在每

一小段的运动可以视为直线运动。现有A、B、C三只蜜蜂同时从边长为3m的正三角形的三个顶点出发，

速度大小相同均为2m/s,运动过程中始终保持着A朝向B,B朝向C,C朝向A,试问经过多少时间三只

蜜蜂相遇？每只蜜蜂飞过的路程为多少m?

【答案】Is,2m

【详解】由于三只蜜蜂的速度大小相等，且方向始终是三只蜜蜂的朝向，所以过程中每一刻三只蜜蜂的位

置都构成等边三角形，最终在等边三角形的内心相遇。如图

［小的时间由内A向8主动趋近了M=vdt

在同•微小时间内，B也主动向A趋近了cos600=vdfcos60°=0.5vdt

相当于A以B为参照物时，A向B趋近的速度是，=y+0.5v=15,

所以，三只蜜蜂相遇经过的时间是「言二岛

每只蜜蜂飞过的路程为s=w=2xlm=2m

19.某校空地上有一个小土坡，该校学生想利用该土坡修建一个如图甲所示的滑草场。小吴同学设计了由

倾斜直滑道和水平直滑道的滑草场方案，如图乙所示，乘客乘坐滑草车从坡顶由静止开始倾斜直滑道滑下,

并平滑进入水平直滑道减速至停下。已知整个滑道上铺设的草皮与滑草车底面的动摩擦因数为〃，坡顶的高

度为人设乘客始终保持规范姿态且不调整设备，忽略空气阻力影响。求：

（1）为了确保乘客的安全，乘客不得滑出水平滑道，则整个滑草场的宽度A8的距离至少为多少？

（2）小李同学认为小吴同学的方案存在一个问题：实际上乘客滑到倾斜直滑道底端时并不能平滑地进入水

平直滑道，导致乘客的体验感变差，甚至可能会有安全隐患。于是小李同学对小吴同学的方案进行了修改,

仅将倾斜直轨道换成曲线轨道，如图丙所示。请你通过计算说明为了确保乘客的安全，整个滑草场的最小

宽度需要改变吗？如果需要，是变大还是变小？

甲乙丙

【答案】（1）-；（2）见解析

A

【详解】（1）乘客从开始滑行到停下根据动