高考数学复习-翻折问题与探索性问题（附答案）

翻折问题与探索性问题

1.（15分）（2024・湖南长沙期中）如图,在梯形A8C。中

ABG60°,将△ACQ沿边AC翻折，使点D翻折至IJ尸点，且PB=2y[2.

（1）证明:3C_L平面PAC\

（2）若E为线段PC的中点，求平面AEB与平面ABC夹角的余弦值.

2.（15分）（2024•辽宁沈阳三模）如图，在三棱锥P-ABC中以C=8C=2,NAC8

=90°,AP=RP=AB,PCI",点D为RC中点.

（1）求二面角A-PD-B的余弦值.

⑵在直线AB上是否存在点M,使得PM与平面PAD所成角的正弦值为若存

6

在,求出点M的位置;若不存在，说明理由.

3.（15分）（2024•山东青鸟模拟）如图，在RIAPAB中,PA_L4B,且PA=4,48=2,将

△PAB绕直角边PA旋转一到△PAC处，得到圆锥的一部分，点D是底面圆弧

BC（不含端点）上的一个动点.

（1）是否存在点9使得BC_LPD?若存在，求出NC4D的大小;若不存在，请说明理

由.

（2）当四棱锥P-ABDC体积最大时,求平面PCD与平面PBD夹角的余弦值.

4.（15分）（2024.浙江杭州期中）如图甲，在直角边长为4的等腰直角三角形48C

中,。石〃3C,将△/1£＞七沿DE折起，使点4到达点P的位置，连接PB,PC,得到如图

乙所示的四棱锥P-BDEC,M为线段BC的中点.

P

乙

（1）求证:。石_1_?”；

（2）当翻折到平面POE_L平面BOEC时,求平面PQE与平面PDB的夹角的余弦

值.

5.（15分）（2024•福建泉州模拟）如图,三棱台ABC-AiBiCi中,AB=BC=28Q=2,。是

AC的中点,E是棱上的动点.

⑴试确定点E的位置，使A吊〃平面DECi；

（2）已知48_L8G,CG_L平面A8c.设直线BC\与平面DEC\所成的角为"试在（1）

的条件下，求cos。的最小值.

6.（15分）（2024・安徽高三期中）已知菱形A8CO如图①所示，其中NCA8=60°,现

沿AC进行翻折，使得平面A8C_L平面4CQ,再过点B作8£_1_平面ABC,且

BE二与8,所得图形如图②所示.

4

D

D

B图②

图①

⑴若点。满足而=2前(0<2<1),且8P〃平面AOE,求2的值;

(2)求平面CDE与平面ABC夹角的余弦值.

答案：

1.(1)证明在等腰梯形43。0中工0=30。。/5〃。2乙4次7=6()°,

贝|JNCA8=NACO=NDAC=30°,

贝“NACB=90°9：.AC1BC.

又由BCfPBy可知BCLPC,又PCCIAC=C/Cu平面PAC,PCu平面PAC,故

BCJ_平面PAC.

(2)解过点。作CALL平面ABC,以C为原点，分别以C4,CB,CN所在直线为x,y,z

轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0),B(0,2,0)^4(273,0,O),E(y,O,|),

则方二(.27520),瓦5二G75,0,.%设平面EAB的法向量为机=Qj,z),

则卜•亚=。，则-2-/3x+2y=0,

jnEA=0,JV3x-1z=0,

令x=l,贝ijy=J5,z=3A/5,则机=(1,A/5,35/5),又平面NBC的一个法向量为/?=(0,0,1),

所以|cos<〃z,〃>|二产则=—=—V93,

1|m||n|1XV1+3+2731

故平面AEB与平面4BC夹角的余弦值为高闻.

2.解(1)VPC±AC,AZPCA=90°.

AC=BC,PA=PB,PC=PC,

：.LPCA^LPCBS-ZPCA=ZPCB=90°，即PC上BC.

又ACn3C=CAC,3Cu平面AC3,・・.PC_L平面AC6,・・.PC,CA,C8两两垂直,故以点

C为坐标原点,分别以C区CA,CP所在直线为x轴,y轴,z轴，建立空间直角坐标系，

如图，

则。(0,0,0),40,2,0),。(1,0,0)/(0,0,2),而=(1,20),而=dA-2),

设平面PAD的一个法向量〃=(&y,z),则「空—X2y一”取尸2,得易

[nPD=x-2z=0,

知平面刊用的一个法向量为g?=(020),・・・cos<〃界>¥，设二面角A-P»B的平

6

面角为0,

•。是钝角，:.cos/?=--.

6

(2)存在,M是A8的中点或4是M3的中点.

由⑴知，设宿=入荏，则A/(22,2-2A,0),PM=(22,2-22,-2),w=(2,1,1).

2A|

V|cos<PM,/!>!=­=3解得2=;或是AB的中点或A是

J(2A)2+(2-2A)2+4>/6o2

MB的中点.

3.解(1)当。为圆弧8。的中点，即NCAD=E时,BC_LPD,

3

证明如下「・・。为圆瓠BC的中点，

・•・/。。=/84。=全即AD为NCAB的平分线.

,・・AC=A8,・・・AO为等,腰△C4。的高线，即AD±BC.

*/PA_L4及PAJ_AC工5nAe=A4RACu平面ABDC,

：.PA_L平面ABDC,：,PA_LBC,

•・・PAnAO=A,・・・BC_L平面PAD、

：.BC.LPD.

(2)由(1)得,PA为四棱锥P-ABDC的高,：PA=4,・•・当底面积SABDC取最大值时，四

棱锥P-A8QC体积最大.

设ZC4O=c(，则ZBAD=^-ayae(O^),SABDC=S^CAI)+S.\BAD=-x2x2xsin

332

a+-x2x2xsin(--a)=2[sin«+sin(--a)l=2-\/3sin(a4--).

2336

・・・go,争，喏吗无

・・・。丹时,Sin(a+5=1,SMDC取最大值2V3,当四棱锥尸-430c体积最大时,N

C4O=NBA。三，过A在平面ABDC内作直线AE_LA。,交圆瓠BC于点£,由题知

AEABAP两两垂直，则以A为原点，分别以AEyABAP所在直线为x轴,y轴,z地建

立如图所示空间直角坐标系，

则A(0,0,0),P(0,0,4),B(0,2,0),D(V3,1,0),C(V3,-1,0),

则丽=(V5,1,・4),而=(0,2,0),丽=(・V5,l,0),设平面PCD的法向量为〃=3,)，口),则

(n-PD=0,

InCD=0,

即卜倍“1+%4zi=0,

12%=0,

令2|=6，得〃=(4,(),百).设平面PBD的法向量为次=(X2J2,Z2),贝47n丝一°’即

{,m-DB=0,

(V3X2+y2-^z2=0,

1-V3%2+丫2=。，

令Z2=V5,得w=(2,2V3,V3).

设平面PCD与平面PBD的夹角为。视cos0=等=9

|m||n|19

・•・平面PCD与平面网吸夹角的余弦值为意

4.(1)证明在图甲中，设4MnOE=O,如图甲所示.

P

翻折前，因为A8=AC,M为8c的中点，则AM_L8C,

因为OE〃8C,则AM_LOE,

翻折后，则有PO上DE,MO±DE,

因为PODMO=O,PO,MOc^面OMP,所以DE±邛面OMP,

因为PMu平面OMP,所以OE_LPM.

⑵解翻折后，因为平面「。七_1_平面3OEC,平面PDEfl平面BDEC=DE,PO工

DE,POu平面PDE,所以PO_L平面BDEC,

又因为M。J_。反以点。为坐标原点,OM,OD,OP所在直线分别为xj,z轴建立如

图所示的空间直角坐标系，

设DE=2缶，其中0<〃<2树PO=-DE=2y/2aX-=夜〃,0M=4sin45°-

22

P0=2五-值,

则P(0,0,V2«),D(0,V2a,0),5(272-@2企,0),

设平面PBD的法向量为〃z=(x,.y,z),DP=(0,-鱼〃,夜〃),丽=(2a-也2&一

@0),则

mDP=-y[2ay+y/2az=0,

,m'DB=(2x/2-V2a)x+(2x/2-V2a)y=0,

取y=-l,则〃2=(1,-1,-1),

易知平面PDE的一个法向量为〃=(1,0,0)恻cos<风〃>=书=京=£

1mlm|V3xl3

因此，平面PDE与平面PQ8的夹角的余弦值为噂.

5.解⑴连接。GQE,由三棱台ABC-A出G中48=8C=28G=2,。是AC的中

点，可得4G〃A/)/Ci=AQ,所以四边形AOG4为平行四边形，故A4i〃

0GA41c平面OEG0C1U平面OEG,故AAi〃平面OEG,又48〃平面DECi,

且ABA4iu平面AZ?Z?IAI4BIAA4I=A

所以平面〃平面OEC,又平面ANBAiCl平面A8C=A8平面ABCA平面

DEG=DE,故DE//AB,

由于。是AC的中点由E是3c的中点，故点上在边BC的中点处人朋〃平面

DECi.

(2)因为CG_L平面A8C,A8u平面48C,所以CCilAB^ABl.

8clecin8G=Ci,CC,BCiu平面BCGBi,故AB_L平面BCCiB,由于BCu平面

BCG8,所以/18_1_。伉由(1)知,£为BC的中点Q是AC的中点，所以£Z)〃AA进

而OELL8C,连接B区由8iG〃EC/iC尸EC,所以四边形HiCCE为平行四边形，

故CCj〃囱£由于CG_L平面A8C,因此BE_L平面A5C,故ED,EC,EBi两两垂直,

以点£为坐标原点，而，就，花所在方向分别为xyz轴的正方向建立如图所示

的空间直角坐标系;

设BiE=aME(O,O,O),B(-1,0,0),C(1,0,0),D(0,1,0),Ci(1,0,6/),Z?i(0,0,67),

故前二(0,1,0),EG=(1,0,a),设平面DEC\的法向量为m=(x,y,z),

则［曰"="()'取尸则机=3。,⑴，

{EC^-m=%+QZ=0,

又西=(2,0,a),故sin族|cos＜酩,心|=翻=&砺？=三

I1=3当且仅当序二三，即。二加时取等号，要使cose的值最小,只需要sin

3°

0最大,sin0最大值为此时cos0的最小值为Vl-siM®=2=警.

6.解(1)如图，取AC中点O,连接OBQD;

由图①可知,△AC。和AABC是正三角形，所以OO_LAC,OBJLAC.又因为平面

4CZ)，平面ABC,平面ACDn平面4BC=4C,OZ)u平面4CQ,所以。£)_1_平面ABC.

又OB_L平面ACD,所以。。J_OB.以｛赤，灰，而｝为正交基底建立空间直角坐标

系.设平面ADE的一个法向量m=(x,y\z).

因为3P〃平面ADE等价于