2026高考数学二轮复习专项突破：定点、定值和探索性问题

第5讲定点、定值和探索性问题

—探究真题明确方向

1.(2020・新高考1卷，T22)已知椭圆C%=1(心〃>0)的离心率为且过点4(2,1).

(1)求。的方程；

(2)点N在C上，且ADLMN,。为垂足.证明：存在定点。使得|。0|为定值.

2.(2023新高考H卷，T21)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(-2Z，0),离心率为、后

(1)求。的方程；

(2)记C的左、右顶点分别为小，比，过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点，M在第二象限，直

线M山与乂42交于点P.证明：点户在定直线上.

命题热度：

本讲是历年高考命题常考的内容，属于中高档题目，主要以解答题的形式进行考查.分值约为15〜17分.

考查方向：

一是要熟练掌握圆锥曲线的定义与方程，这是定义法求解轨迹方程的基础；二是定值、定点的证明与探究,

考查数学运算、直观想象、数学建模等核心素养.

I.⑴解由题设得今齐1,联三，

解得/=6,方=3.

所以。的方程为K=l.

o5

(2)证明设M(xi,yi),Ng,yi).

若直线"N与x轴不垂直，

设直线MN的方程为y=kx+m，代入:+[-1,

得(1+2lc)x2+4kmx+2m2-6=0.

-r,4km2m2-6

B①

由/M_L4N,得万?•俞=0,

故(XI-2)(X2-2)+8I-1)&2-1)-0,

整理得佯+1]x\X2+(km-k-2)(x\+x2)+(iH-1)2+4=0.

将①代入上式，可得(3+1i)2+4=0,

整理得(2攵+3m+1)(2攵+〃[-1)=0.

因为,4(2,1)不在直线"N上，

所以2〃+”?-1W0,所以2好3〃z+1=0,〃W1.

所以直线的方程为y-k[x-§1).

所以直线"N过点需，-1).

若直线MN与x轴垂直，可得汽(用，少|).

由丽•丽=0,

得(xi-2)(xi-2)+(y)-1)(-^i-1)=0.

又M=l,所以3后-8犷+4=0.

OO

解得了1=2(舍去)或Xi=1.

此时直线过点网|,-1).

令Q为/P的中点，即0偿，1).

若。与「不重合，则由题设知力户是Rt△4。P的斜边，故|O0|=|MP|考.

若D与P重合,则|。。|斗力P|.

综上，存在点1),使得|。。|为定值.

2.⑴解设双曲线。的方程为簿=l(G>0,z»o),

由焦点坐标可知C=2追，

则由e=^=V5,

a

可得。=2,b=>lc2—cz2=4,

所以双曲线C的方程为1.

(2)证明由(1)可得小(・2,0),色(2,0),

设M(xi,y。，Ng,yi),

显然直线MN的斜率不为0,

设直线MN的方程为x=my-4,且♦

与鲁联立可得〃・〃

=1(4/1»2_32/48=0,且/=64(4-+3)>0,

32nt48

则yx^-yi-

就Gyiy2~4m2-if

直线历出的方程为产电户2),

直线Mh的方程为

联立直线加小与直线Mb的方程可得

*+2%(肛+2)52(“沙1-2)

x-2%(七-2)yi(my2-6)

myiy2-2(yi+y2)+2yi

田力力-6力

个

m-4-3-32m.c

4廿一1-2月+2月

48z

"-4-m-27---1--6V”i

-16mr

Z^+2月—1

48m,Q'

击一6月3

X+2

由可得x=・l,即xp=-l,

x-23

据此可得点，在定直线--1上运动.

考点一定点(线)问题

例1(2025・西安模拟)已知点/(-2,0),5(2,0),〃是平面内一动点，PQA.AB,垂足。位于线段

上且不与点48重合,4|尸。F=34Q.|QB|.

(1)求动点P的轨迹。的方程；

(2)过点0(1,0)且与曲线。相交的两条线段分别为律和"N,EF上MN(直线EF,的斜率均存在,

且点f,凡M,N都在曲线C上)，若G,，分别是和A/M的中点，求证：直线G"过定点.

⑴解由题可设尸(x,历,则。(x,0)(-2<x<2),

因为4|P。|2=3|力。卜|。8|,

所以4y2=3[r+2||x-2|=3|x2-4|=3(4-x2),

整理得分=1,

43

J1曾2

即动点尸的轨迹C的方程为/•MGZvzZ).

(2)证明由题意可知直线EE"N的斜率存在且不为0,设直线小的方程为尸Aa-l)(4W0),

E(x\,y\)yF(X2,yi)>

y=k(x-1),

联立

T+T=1,

消去y得(3+4好碍_86什必M2R,J>0,

4k2-12

所以用十5装充,“色=五最T，

则)巾2="1+也)-2仁需7,

所以E尸的中点坐标为G(黑，就)，

因为EF人MN,所以直线MV的方程为尸二(x-1)&W0),

K

同理可得A/N的中点坐标为〃(高，&,

当仁土1时，易得直线G”的方程为》三；

3卜・3k

当女工士1时，直线G〃的斜率%厂3寸43送2端二,

/_____4M4/(—4

3k2+43+4—2

所以直线G〃的方程为吃落=忌［一舟)，

一斗

今LO.TEH一1—-1

7JE=ZL3kGT?

4M-4

所以直线G”过定点G，0).

［规律方法］(1)直线过定点问题，一般先设出直线的方程：尸依+4然后利用题中条件得出心b的关系,

进而确定定点.

(2)圆过定点问题的常见类型是以力8为直径的圆过定点P,常把问题转化为P/1_LP8,也可以转化为

PAPB=O.

跟踪演练1(2025・榆林模拟)已知焦距为2百旦焦点在工轴上的椭圆E经过点力(2,1).直线/：y=kx+m

不过点4若/与E相交于M,N两点，且以MN为直径的圆过点4

(1)求帏圆E的标准方程;

(2)求证：点(左，加)在定直线上.

⑴解设椭圆E的方程为2=1(。泌＞0).

因为焦距为2百，所以2c=2百，c=V3,

即/=。2方=3,

a2—b2=3,a2=6,

则41解得

身病=1，b2=3,

故椭E1E的标准方程为K=L

(2)证明设M(xi,y\),Ng,”),

乙件+4=1,

由63

y=kx+m,

得(1+23)J2+4〃〃7X+2〃72-6=O,

由/=16*〃?2~4(1+2a2)(2〃72-6)>0,得6〃2-加+3>(),

则让土蒜，小2号.

因为以A/N为直径的圆过点4

所以,4A/_L4N,即丽?,丽=(»-2)(也-2)+(¥-1)0*1尸0,

整理得yi^2-0,i+y2)+1=-JIX2+2(XI+X2)-4,①

将yty2=4xi+x2）+2m=^7,

y1N2=FXIX2+而（XI+X2）+加,

代入①式可得,

）n2—6k-2m..2m2-68km.

--------r--------711=T----T-4

1+2/1+2/1+2/1+2/

整理得（2人加-1）（2奸3m+1）=0,

因为直线/不过点4所以2什机W1,

即2什3加+1=0,

所以点⑸〃。在定直线2/3尸■1=()上.

考点二定值问题

例2(2025•济宁模拟)已知双曲线C：^-^=1(«>0,">0)的离心率为冬且点4(4,3)在双曲线。上.

(1)求。的方程；

(2)若直线/交C于尸，0两点，/尸力。的平分线与x轴垂直，求证：/的倾斜角为定值.

_c_>/7?

⑴解由题意有°a~27nbZ七出,

(C2=次+力2

又点,4(4,3)在双曲线。上，所以6=1,

解得。2=4,〃=3,

22

所以双曲线c的方程为2Al.

43

(2)证明方法一直接法

由已知得直线/的斜率存在，设其方程为尸去+机，P(X1,川)，0(X2,N2),

y=依+Tn,

联立，y2_1

■T-T-，

得（3-4右丫・8痴a4〃2_]2=0,

所以l=（-8分〃）2_4（3_4*）（_4〃?2_12）=48（〃?2-4*+3）＞0,3-4比#0,

8km4m12

则

乃出》而，X\X2=3-4N

因为NPAQ的平分线与x抽垂直,

所以％3。，即^S=°，

所以（月-3）Q2-4）十（V2-3）（AI-4）=0,

即2如》2+（旭-3-44）8+%2）-8（怙3）=0,

所以・2攵誓新(〃人3・4〃)•黑a8(电3尸0,

即・24%+1)(加+4/3)=0,

所以k=-\或"2=3-4〃，

当加=3-4〃时，直线/的方程为严质+34上收片4)+3,即直线/过点4(4,3),不符合题意,

所以人-1,设直线/的倾斜角为a(0Wa<7i),

贝！I^=tana=-\,解得a=^,

即直线/的倾斜角为定值

方法二平移齐次化

将图形向左平移4个单位长度，向下平移3个单位长度，

平移后的双曲线方程为生警嘤=1,

整理得3炉-令2+24.-24.产0,

平移后点4的坐标为(0,0),

设直线尸。平移后得到的直线P'0的方程为加什町=l(〃W0),

P'g歹1)，。'(也，问，

mx+ny=1,

联立

3x2—4y2+24x—24y=0,

得3f-4卢24x(s+〃y)-24N〃zx+盯：)=0,

(3+24/zz)x2-(4+24/7)j^+24(/7-/77).rv'=0,

2

两边同时除以x2,得-(4+24〃)G)+24(〃-〃?E+(3+24〃?)=0,

又因为ZlP'A'Q'的平分线与x轴垂直，所以kp^kQ'A^.

又4(0,0),所以3=0,

打X2

24(n-?n)_

所以-(4+24n)U所以n=m,

所以直线〃7X+〃尸1的斜率为。=-1.

即直线/的倾斜角为定衅

［规律方法］圆锥曲线中定值问题的常见类型及解题策略

类求某线段利用两点间距离公式求得线段

型

三长度为定长度的解析式，再根据条件对

值解析式进行化简、变形即可求再

跟踪演练2(2025・合肥模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点(；，百)和(弓，1)是中心为坐

标原点，焦点在坐标轴上的椭圆E上的两点.

(1)求帏圆E的标准方程；

⑵若尸为椭圆E上任意一点,以点P为圆心，。。为半径的圆与圆C：国＞=5的公共弦为证

明：△CA/N的面积为定值，并求出该定值.

解(1)设椭圆E的方程为?njRdyXK加＞0,心0,掰＞〃),

(租G)+九•(8)2=1，

由题意知)V2/

771=1,

解得1

所以椭圆上的标准方程为3/=1.

(2)如图，设尸(XO,泗),

则孰国,

且圆P的方程为。-%o)2+(y-yo)2=xo+yo,

即圆P的方程为x2+y2-2.w-2yoj=0.

因为周C的方程为/+(y+百)2=5,则圆心C(0,W5),圆。的半径为花,

将圆P的方程与圆C的方程作差，得

'0¥+(代+)，0»-1=0,

所以直线MN的方程为V5+yo»-1=0,

故点。(0,-V3)到直线MN的距离.」一产—二匚|4+8yol_

J焉+(V5+yo)2Jxo+yo+3+2V3yo

_|V3y04-4|_|V3y0+4|

Jl-^+yo+2>/3yo+3J等+26yo+4

_|>/3yo+4|_?

有可

又因为|MM=2,5-力=2,

所以△CMN的面积4=4X2X2=2,即△CMN的面积为定值2.

乙乙

考点二探究性问题

例3(2025•福州模拟)设抛物线C：炉=2px(p＞0)的焦点为E过点少的直线公交C于力，〃两点(点力

在笫一象限),当八垂直于x轴时，|4S|=4.

(1)求。的方程；

(2)过点尸且与八垂宜的直线A交。于。，E两点(点。在第一象限)，宜线尸1与宜线力。和8E分别交

于尸，。两点.

①当八的斜率为g时，求|尸。卜

②是否存在以尸0为直径的圆与歹轴相切？若存在，求人，，2的方程；若不存在，请说明理由.

解⑴设“心，板),

8(切，y»),其中为＞0,

由题意可知唬，0),

当力B_Lx轴时，直线48的方程为x=^,

将4代入/=2p沏＞0),

M

可得%=p,yB=-p＞

所以|48|=2p=4,即p=2,

所以C的方程为V=4x.

(2)①依题意，直线4B的方程为)弓(工-1),

即尸»1，

y2=4x»

由x=1+l,

得j"3广4=0,

解得？尸4,yB=-\,

则4(4,4),i?Q,-1).

设。(切，加)，E(XE,/)，其中加＞0,

直线DE的方程为尸*x-l),

即广全+1,

y2=4x,

由

x=-S+l,

5

得/哙-4-0,

解得:力=1,#=-6,

则0G，|）»凤9,-6）.

2

所以匕炉上率J,则直线力。的方程为y-4堂,04）,

—//

4—9

令尸1,得尸*所以尸（1，y）,

又Mi竽所以直线8E的方程为尸'6=*x-9）,

令口，得尸多所以攻1，-9），所以号

②方法一设直线的方程为x=my+l,不妨设〃7>o,由P

lx=my+1»

得yM"少~4=0,则y4y『-4,

同理加计-4.

yAyi）

直线,4。的方程为y-yA-~（x-xA）,

XA-XD

即卜一野助

设尸（1,抄），。（1,加,

令尸1,得w4+y/iw

yA+yo

由于疗焉—

力功+4

所以结-yp>

yA+yo

从而P0的中点恒为F,所以以2。为直径的圆与J，轴相切等价于％>=1.

即为）”+4=%+%,

由力8_LOE得,-----=-1

yA+ynyo+yE

故（力寸）（"弋A-

即（、47°）24/+%）+16=-16%%,

所以仇外+4）2=4d-yQ2,

如图，可知外>”A0,

所以以加+4=2。，/-）力），

所以了/+次尸2。，/-»）,

因此以=3%,

可得3%-4）刀+4=0,

而』=-32<0,该方程无解,

故不存在以尸。为直径的圆与y轴相切.

方法二设直线AD的方程为x=k)*m,其中/H<0,

由『二4刈

(x=ky+m,

得)^-^ky-4m=0,则/=16k2+\6m>0,

%+>。=4々，%>力=46

因为川_LQ,所以

孙TxD-l

即w।停-。传-1卜0,即"o।叫?)-：(y\।y办i・o，

所以4〃+〃72T\6e+8〃］)+1=0,

从而4k2=ur-6m+l.

设P(l，9)，。(1，㈤，

令尸1,得y/k一!，故城一。歌)2

-T；1)2r4(i―――>2,

m，—6m41\—nt—+6J

当且仅当〃尸-1时，等号成立,

同理可得该22,而R。分别在第一、第四象限，

所以|P0|22或>2,故不存在以PQ为直径的圆与y轴相切.

［规律方法］存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定的问题明朗化.其步既为假设满足条件的元素

(点、直线、曲线或参数)存在并设出，列出关于待定系数的方程(组)，若方程(组)有实数解，则元素(点、直

线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.注意：当结论或条件不唯一时，要分类

讨论.

跟踪演练3(2025・宝鸡模拟)已知双曲线。过点尸(V5,1)且一条渐近线方程为x+j=0.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)若过点M(l,0)的直线/与双曲线C相交于4B两点,试问在k轴上是否存在定点N,使直线M4

与直线N8关于x轴对称，若存在，求出定点N的坐标；若不存在，请说明理由.

解⑴因为双曲线C的一条渐近线方程为")，=0,所以设双曲线C的方程为x2・y2=2"W0),

又双由线。过点1),代入上式得，2=2,

2~2

所以双曲线。的方程为*r=1.

(2)设/(»,yi),8(M,/)，

假设在x轴上存在定点Mxo,0),使直线NX与直线N8关于X轴对称，则底M•氤­产0.

由题意知，直线/的斜率一定存在，设其方程为尸A(x-1),

好_e=l,

联立22

y=k(x-1),

消去y得(1-3］+2江口*-2=0,

1-k20,

由题意知

/=4k4-4(1-k2)(-fc2-2)=4(2-k2)>0,

即咐-或，l)U(ltV2),

r.-2fc2—(/+2)

又R+X2十产，MX2一，

则kNA+kNB~~力+丫2

勺一沏工2一X。

&田1丫2—(Xo+l)(X[+X2)+2Xol

X1X2-XO(X1+X2)+XJ

-(d+2)

(%o+l),yz^+2/00,

1-k2一卜

k(2xo-4)

化简得「0,

1-k2

故3。4尸0,

由于上式对(-或，-1)U(-1,或)恒成立，所以xo=2,

所以存在定点M2,0),使原+匕8=0,即使直线M4与直线N8关于工轴对称.

专题强化练

［分值：51分］

1.(17分)(2025・石家庄模拟)已知椭圆C：再=13>〃>0)经过力(・2,0),8(2,0)两点，其左、右焦点分别为

B，且焦距为有理数，点M为椭圆。上异于48的动点，面积的最大值为百.

(1)求椭圆C的标准方程；(7分)

(2)若直线4W与3M分别交直线尸10于P,。两点，证明：直线力P和力。的斜率之积为定值.(10分)

(1)解由椭圆C：捺喏=1经过力(・2,0),8(2,0)两点，可得。=2,

根据椭圆的几何性质，可得当点〃为椭圆的上、下顶点时，的面积取得最大值，

即(SQMF/2)max=6c=V5，

又因为/=〃+/,即22=〃+〃，

且焦明为有理数，解得％=百，c=l,

故椭图C的标准方程为咨=1.

43

(2)证明设M(xo,>'o)>满足与+.T,xoN±2,

则匕尸k,t\「y匕？.kRM--

Xo+2XQ-2

则直线BM的方程为y啜E*2),

令尸。可得尸翳，即。（10,悬），

8yo

则〃吟»1凡0-（-2）3XQ-2

所以加•自信对jj'Jw即直线/尸和40的斜率之积为定值3

2.（17分）（2025・南京模拟）已知抛物线C：V=4x的焦点为凡过点P（-l,1）的直线/与C交于4B两点.

（1）若|PQ是和的等比中项，求直线/的方程；（8分）

（2）若。是C上一点，且直线力。的斜率为2,证明：直线80经过定点.（9分）

（1）解由题意设直线/的方程为户向

/信力），《苧，乃），由题意知尸（1,0）,

联立「=机8-1)一1,

(y=4%,

消去x得产4〃少+4〃?+4=0,

则/=16m2-16/w-l6>0,

y]+y2=4mt>必=4〃?+4,

因为『用是和|6用的等比中项,

所以以FH8n=i0~2,

即(h)(Ag

(力丫2)21(yi+y2)2-2yly2

所以+1=5,

164

16m2-8(帆+1)

所以的+l）2f4,

4

解得加=-1或〃7=1,

当m=\时，/=・16<0（舍去），

所以幽=-1,所以直线/的方程为x+y=0.

（2）证明设/©■，y，，《今，、2），。俘，乃），

贝U5冷―2,

形yf为+力

44

所以71+歹3=2,

直线,44的方程为

4打）

:------%■+-----2--,

式D+/力+及yi+，2

即4x-(y\+y2))^+y\y2=0t

因为直线43过点尸(-1,1),

所以-4-31+戍)+y>2=0,

同理可得，直线的方程为),一焉卜一券)+乃,

即4x-83+j2»+y3y2=0,

将”=2少代入上式得，

4x-(2-yi+/))±y2(2-y।)=0,

即44(2小+72)尹2y2-。，1+»)-4=0,

即4x-(2/十)2)尸Gy।十/)-6=0,

即4X-6=(2-JI+H)。，-1),

令产一6=0,解得f

所以直线8Q恒过定点值，1).

W思维创新加7分)

3.(17分)(2025•贵州模拟)已知双曲线C：芸，1(60,6>0)的左、右顶点分别为。，E,右焦点为尸，点P

是双用线C上异于。，E的一点，且直线尸Q,PE的斜率之积为去

(1)求双曲线。的渐近线方程；(4分)

(2)若PE垂直于x轴，且|用兰，直线/与双曲线C相切，直线/与直线尸厂相交于点0,与直线相交

JN

于点R，证明黑为定值，并求此定值；(6分)

IS

(注：过双曲线C上一点(以”)且与双曲线C相切的直线方程为为一£=1)

(3)在(2)的条件下，已知直线〃与双曲线。交于点M,N(异于点。)，若以MN为直径的圆经过点。，且

DG工MN于点、G,证明：存在定点〃，使得|Gq为定值.(7分)

⑴解依题意，。(-m0),E(a,0),

设点P(