三角函数（应用题）-中考数学解答题专项复习讲义

中考数学解答题专项复习讲义（人教版）

第一部分：中考真题

1、如图为某海域示意图，其中灯塔〃的正东方向有一岛屿仁一艘快艇以每小时20〃加/e

的速度向正东方向航行，到达力处时得灯塔〃在东北方向上，继续航行0.3力，到达8

处时测得灯塔〃在北偏东30。方向上，同时测得岛屿C恰好在夕处的东北方向上，此

时快艇与岛屿C的距因是多少？（结果精确到1〃加公.参考数据:鱼光1.41，厉心1.73,

76^2.45）

【答案】解：过点〃作ML居于点£,过点。作677_1_月8于点F,如图所示.

则以〃5NDEA=/CFA=9G.

•:DC"EF,

・••四边形的为平行四边形.

又・・・/。^90°,

:•口CDEF为短.形,

:eDE.

根据题意得：/加比45°,4DB少60°,NCBU：

设1)1^xnmile,

在应△〃用中，:tanNM★路

AE

AE=-~~~=xnmile.

tan45°

在放△〃/%中，:tanN的坟丝,

BE

:・B巴急弯xnnnle.

V/l^20X0.^nmile,

■4

AB

••.六号尸6,解得：尸9+3万，

：.CF-DE=(9+3V3)nmile.

在应△曲'中，sin/期《；，

rp9+3^3

BOsE45『~五~=9&+3乃220〃加le.

2

答：此时快艇与岛屿。的距离是20〃加/e.

【解析】过点〃作施_1_48于点回过点。作阻力8于点用0DE〃CF,DCHEF,/遁90°

可得出四边形或£尸为矩形，设D^xnmile,则Akx(nmiie),B曰叵x(nmile),由AB=6nmile,

3

可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再在应ZkC班中，通过解直角三角形

可求出比的长.

本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，通过解直角三角形求出a'的长是解题的关键.

2、图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，就V为立柱的一部分，灯臂力£

支架比与立柱4V分别交于44两点，灯臂力。与支架比、交于点C,已知乙胡用60°,

N力吠15°,心40。跖求支架回的长.(结果精确到1cm,参考数据：&=1.414,g

比1.732,^6^2.449)

【答案】解：如图2,过，作々?_LMV于〃，

则NC为庐90。，

TN01760°,4；40,

，办4个*in/OZMOXsinfiO0=40X曰=2。后

•・・/月吠】0°,

：・4CB2/CAD~/ACB^5、，

:・BO•CD=20瓜=49(。必)，

答：支架8。的长约为49cm.

【解析】如图2,过C作WL肺于〃，则/切庐90°,根据三角函数的定义即可得到结论.

本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三通函数的定义，本题属于中等题型.

3、小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门4在南门《的正北方向，小

明自公园北门月处出发，沿南偏东30°方向前往游乐场〃处；小华自南门8处出发，

沿正东方向行走150川到达。处，再沿北偏东22.6°方向前往游乐场〃处与小明汇合（如

图所示），两人所走的路程相同.求公园北门力与南门8之间的距离.（结果取整数.参

考数据：sin22.6°^―,。成2.6°^―,tan22.6°-三，遍-1.732）

131312

【答案】解：作庞_L/18于反CFIDE干F,

■:BCLAB,

，四边形成从'是矩形，

:.B扭CF,上叱150m,

'设DF=xm,则DE=(AH-150)m,

在应原中，/班分30，，

・・・/I"2叱2(AH-150)m,

枉RtADCF中,NA券=22.6°,

np413

J0-^777二内口m,

sin22.Ga.5

•:AD=CIKBC,

：・2(AH-150)=岑+150,

解得产250加，

/.ZVs=250m,

AZ^=250+150=400m,

・•・力介2腔800m,

Aaz=800-150=650m,

由勾股定理得A^yjAD2-DE2=V8002-4002=400V3^

BE=CI^yjCD2-DF2=V6502-2502=600m,

・••力比力丹除400百+600%1293/w,

答：公园北门4与南门6之间的距离约为1293m.

【解析】作施_LM于后CF1DE于F,易得四边形是矩形，则储=5E六BG10Om,

设I庐xm,则游(户150加在色△力〃中利用含30度的直角三角形三边的关系得到力庐2〃庐2

(炉450)勿，在应△戊7?中，CD=.DF»根据题意得到2(xH50)=^+150,求得x

Sin22.6o55

的值，然后根据勾股定理求得力£和应；进而求得/步.

本题考杳了解直角三角形的应用-方向角问题，正确构建直角三角形是解题的关键.

第二部分：考点解读

一、锐角三角函数的实际应用

1.口常生活中的很多问题可以转化为直角三角形的问题，因此，锐角三角函数在解决实际

问题中有较大的作用，在应用时要注意以下几个环节.：

(1)审题，认真分析题意，将已知量和未知量弄清楚，找清已知条件中各量之间的关系，根

据题目中的已知条件，画出它的平面图或截面示意图.

(20)明确题目中的一些名词、术语的含义，如仰角、俯角、坡角、坡度、方位角等.

(3)是直角三角形的，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，

把它们分割成一些直角三角形或矩形，把实际问题转化为直角三角形进行解决.

(4)确定合适的边角关系，细心推理计算.

(5)在解题过程中，既要注意解有关的直角三角形，也应注意到有关线段的增减情况.

二、锐角三角函数实际应用中的相关概念

(1)仰角、俯角

如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在。水平线

下方的叫做俯角.

瞿MZ

线画旃线||工

I、视线I-[f]

图①图②

⑵坡度(坡比)、坡角

如图②，坡面的高度h和水平距离1的比叫坡度(或坡匕)，即i=tana=p坡面与水平

面的夹角a叫坡角.

⑶方向角

指南或指北的方向线与目标方向线,所成的小于90。的水平角，叫做方向角.如图③，]匕

八A.

0A是表示北偏东60，°方向.的一条射线.60>^

西一3V东

南

图③

注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°

方向，西南方向指南偏西4,5°方向.我们一般画图的方位为上北下南，左西右东。

（4）方位角

从指北方向线按顺时针方向转到目标方向线所成的角叫做方位角..

三、三角函数.常见模型

如图1是基本图形，若B、C、I）在同一直线上，且NABC等于90°,ZACB=a,ZADB=P,

x

x_a1I

tantan6Ztan

CD二a,AB二x,则有x=BD・tanB,x=CB•tana,AtanaP,P

变式为图2,则结论为tanatan/?

第三部分：自主练习

1、如图，某学习小组在教学楼48的顶部观测信号塔C力底部的俯角为30°,信号塔顶部的

仰角为45°.已知教学楼A/?的高度为20/〃.求信号塔的高度（计算结果保冒根号）.

c

A

BD

2、如图，某座山AB的项部有一座通讯塔BC,且点4B,。在同一条直线上，从地面尸处

测得塔顶。的仰角为42。，测得塔底8的仰角为35。.已知通讯塔8c的高度为32m,求这座

山A8的高度（结果取整数）.参考数据：tan35°«0.70,tan42°«0.90.

3、如图，已知在%中，2490°,49=5,BC=3.求W的长和sin/H的值.

B

4、周米，王老师布置了一项综合实践作业，要求利用厅学知识测量一栋楼的高度.小希站

在自家阳台上，看对面一栋楼顶部的仰角为45。，看这栋楼底部的俯角为37。，已知两楼之

间的水平距离为3（）m,求这栋楼的高度.（参考数据：sin37°工0.60,cos37°«0.80.tan37°«0.75）

5、如图，一艘轮船从点A处以30km/h的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东

60。方向上，继续航行lh到达3处，这时测得灯塔。在北偏东45。方向上，己知在灯塔C的

四周40km内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由.（提示：

72^1.414,x/3«1.732）

6、某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为80（）米的圆形纪念

园.如图，纪念园中心点d位于。村西南方向和8村南偏东60°方向上，C村在8村的正东

方向且两村相距2.4千米.有关部门计划在反C两村之间修一条笔直的公路来连接两村.问

该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明.（参考数据：右-1.73,72-1.41）

7、2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角

大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动.如图，当张角

4403=150。时，顶部边缘A处离桌面的高度4c的长为10cm,此时用眼舒适度不太理

想.小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角N/VQ4=108。时（点

A是A的对应点），用眼舒适度较为理想.求此时顶部边缘A处离桌面的高度AO的氏.（结

果精确到1cm；参考数据：sin72°«0.95,cos72°«0.31,tan72°«3.08）

8、如图，海中有两小岛CD,某渔船在海中的火处测得小岛。位于东北方向，小岛〃位于

南偏东30°方向，且4。相距10nmile.该渔船自西向东航行一段时间后到达点反此时

测得小岛C位于西北方向且与点8相距8&nmile.求B,〃间的距离（计算过程中的数据

不取近似值）.

9、如图1,梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图2,梯子与地面所成的角。为75°,梯

子/加长3m,求梯子顶部离地竖直高度8C（结果精确到0.1m：参考数据：sin75°^0.97,

cos75°*0.26,tan750=3.73）

10、第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了

9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情.某地

模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终

点区四部分组成.图是其示意图，已知：助滑坡道AF=5O米，弧形跳台的跨度尸G=7米,

顶端£到4。的距离为40米，HG//BC,Z4FH=4O°,ZEFG=25°,NECB=36。.求此

大跳台最高点A距地面用)的距离是多少米(结果保留整数).(参考数据：sin40°^0.64,

cos40°x0.77,tan40°u0.84,sin25°*0.42，cos25°»0.91>tan25°x0.47,sin36°«0.59,

cos360ko.81,tan36°«0.73)

H＞知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角。

一般要满足53。72。.如图，现有一架长4m的梯子AB斜靠在-一竖直的墙40上.

(1)当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端A与地面距离的最大值；

(2)当梯子底端4距离墙面1.64m时,计算4B0等于多少度？并判断此时人是否能安全使

用这架梯子？

(参考数据：sin53°»0.80,cos53°«0.60,tan53°»l.33,sin720%0.95,cos72°«().31,

tan72°«3.08,sin66°*0.91,cos66。=0.41,tan660*2.25)

12、如图1所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点4处沿线段AC至山谷点C处，再从

点。处沿线段C8至山坡②的山顶点8处.如图2所示，将直线/视为水平面，山坡①的坡

角NACM=30。，其高度AM为0.6千米，山坡②的坡度i=BNAJ于N,且CN=正

千米.

（1）求的度数；

（2）求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程.

12、满陵桥位于甘肃省渭源县城南清源河（渭河上游）上，始建于明洪武初年，因“渭水绕

长安，绕瀛陵，为玉石栏杆满陵桥”之语，得名瀚陵桥（图1）,该桥为全国独一无二的纯

木质叠梁拱桥.某综合实浅研究小组开展了测量汛期某天”濡陵桥拱梁顶部到水面的距离”

的实践活动，过程如下：

方案设计：如图2,点C为桥拱梁顶部（最高点），在地面上选取48两处分别测得/勿少

和/斯的度数（儿B,I）,尸在同一条直线上）,河边〃处测得地面到水面跖的距离9'

（C,F,G在同一条直线上，DF//EG,CGYAF,FODE'）.

数据收集：实地测量地面上儿6两点的距离为8.8m,地面到水面的距离除1.5m,Z

。后26.6°,/%片35°.

问题解决：求海陵桥拱梁顶部。到水面的距离4（结果保留•位小数）.

参考数据：sin26.6°^0.45,cos26.6°^0.89,tan26.6°^0.50,sin35°^0.57,cos35°

-0.82,tan35°^0.7（）.

根据上述方案及数据，请你完成求解过程.

图

图12

13、每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识,

某消防大队进行了消防演习.如图1,架在消防车上的云梯月8可伸缩（最长可伸至20m）,

且可绕点，转动，其底部，离地面的距离修为2m,当云梯顶端力在建筑物）所在直线上

时，底部/，到杼'的距离M为9nl.⑴若N/I盼53°,求此时云梯加，的长.⑵如图2,若

在建筑物底部E的正上方19nl处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否

伸到险情处？请说明理由.（参考数据：sin53°弋0.8,cos53°^0.6,tan53°^1.3）

14、某数学兴趣小组自制厕角仪到公园进行实地测量，活动过程如下:

（I）探究原理：制作测角仪时，将细线一段固定在量角器圆心。处，另一端系小重物G.测

量时，使支杆量角器90°刻度线QN与铅垂线OG相互重合（如图①），绕点O转动量

角器，使观测目标尸与直径两端点AB共线（如图②），此目标尸的仰角NPOC=NGON.请

说明两个角相等的理由.

（2）实地测量：如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点K处测得顶

端尸的仰角/户。。=6。，观测点与树的距离K”为5米，点。到地面的距离。K为1.5米;

求树高P”.（G。1.73,结果精确到0.1米）

（3）拓展探究：公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端尸距离地面高度P”（如图④），同学

们讨论，决定先在水平地面上选取观测点反尸（在同一直线上），分别测得点尸的

仰角心夕,再测得£尸间的距离，"，点到地面的距离股£。2尸均为1.5米；求PH（用

a,〃表示）.

15、圭表（如图I）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一

根更立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为

“圭”）,当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那

一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据某市地理位置设计的圭表

平面示意图，表AC垂直圭BC,已知该市冬至正午太阳高度角（即NA8C）为37。，夏至正

午太阳高度角（即NA。。为84。，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即08的长）为4

米.（1）求/班〃的度数.（2）求表力C的长（最后结果精确到0.1米）.（参考数据：sir.37。

34319

,cos37°七一，tan37°,tan84°^—)

5542

16、图1是光伏发电场景，其示意图如图2,£尸为吸热塔，在地平线EG上的点〃，*处

各安装定日镜（介绍见图3）.绕各中心点（AA）旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面

反射后到达吸热器点尸处.已知A8=A'B'=lm,EB=8m,E8'=86m,在点力观测点分的仰

角为45。.

定日镜

\\\\\太阳光线

吸由支架、平面镜等组成，

热支架与镜面交点为中心点,

支架与地平线垂直.

定日镜

中心身/平面镜

C/］支架

吸热塔D

1

^7777777777'，，，————地平线

EBB'G

图1图2图3

（1）点尸的高度E尸为______m.

（2）设==则。与夕的数量关系是一

17、如图，三角形花园A8C紧邻湖泊，四边形人以此是沿湖泊修建的人行步道.经测量，

点。在点A的正东方向，AC=200米.点E在点A的正北方向.点8,。在点C的正北方

向，47）=100米•点8在点A的北偏东3",点。在点E的北偏东45。.

（1）求步道。石的长度（精确到个位）；

（2）点。处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点8到达点。，也可以经

过点E到达点。.请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：7^-1.414,6=1.732）

18、我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔一一阿育王塔，是苏北地区现存最高和最古

老的宝塔.小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点A处测得阿育王塔最高

点C的仰角ZC4E=45°,再沿正对■阿育王塔方向前进至8处测得最高点C的仰角

NCBE=53。,=小亮在点G处竖立标杆尸G,小亮的所在位置点。、标杆顶?、

最高点。在一条直线上，FG-1.5m,GD-2m.（注：结果精确到0.01m,参考数据：

sin53°«0.799,cos53。=0.602,tan53。之1.327）

C

ALBEGD

(1)求阿育土塔的高度CE；

(2)求小亮与阿育.王塔之间的距离ED.

19、小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1,纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其

示意图如图2.已知AO=BE=10cm,CD=CE=5cm,AD1.CD,BEYCE,N£)CE=40。.(结

果精确到O.icm,参考数据：sin20°«0.34,cos20°«0.94,tan20。e().36,sin40°«0.64,

cos40。»0.77,tan40°、0.84)

图1图2

(1)连结OE,求线段力E的长.(2)求点儿8之间的距离.

20、某老年活动中心欲在一房前3m高的前墙(A8)上安装一遮阳篷8C,使正午时刻房前

能有2m宽的阴影处(人。)以供纳凉，假设此地某日正午时刻太阳光与水平地面的夹角为

63.4°,遮阳篷BC与水立面的夹角为10°,如图为侧面示意图，请你求出此遮阳篷4c的

长度(结果精确到O1m).(参考数据:sin10°«0.17,cos10°®0.98,tan10°«0.18；

sin63.4°«0.89,cos63.4°«0.45,tan63.4°«2.00)

21、去年，我国南方菜地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从。处压折，塔尖

恰好落在坡面上的点〃处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅

速奔赴现场进行处理，在8处测得回与水平线的夹角为45°,塔基力所在斜坡与水平线的

夹角为30°,尔/，两点间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）.

22、如图，为了测量河对岸力，6两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C,

测得凡〃均在。的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点〃测得力在〃的正

北方向，8在〃的北偏西53°方向上.求力，3两点间的距离.参考数据：sin37°«0.60,

cos37。才0.8（）,tan37°«0.75.

23、湖中小岛上码头。处一名游客突发疾病，需要救援.位于湖面8点处的快艇和湖岸/

处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援.计划由快艇赶到码头。接该游客，再沿C4

方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上.己知C在月的北偏东3（）。方向上，B

在A的北偏东60°方向上，旦8在。的正南方向900米处.（1）求湖岸A与码头。的距离（结

果精确到1米，参考数据：6=1.732）；

（2）救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能

否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由.（接送游客上下船的时间忽略不计）

24、某数学兴趣小组准备测量校园内旗杆顶端到地面的高度（旗杆底端有台阶）.该小组在

C处安置测角仪CD,测得旗杆顶端A的仰角为30°,前进8勿到达/处，安置测角仪EF,

测得旗杆顶端力的仰角为45。（点。,心。在同•直线上），测角仪支架高加Q=1.2m,

求旗杆顶端力到地面的距离即月8的长度.（结果精确到1勿.参考数据：73^1.7）

25、北京时间