广西柳州市2025-2026学年度九年级（上）期末质量监测数学试题（原卷版+解析版）

柳州市2025.2026学年度九年级（上）期末质量监测试题数学

（考试时间：120分钟，全卷满分：120分）

一、选择题（本题共12小题，每小题3分，满分36分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分，请把选择题的答案填入下面的

表格中）

1.科技飞速发展时代，新能源汽车宛如•颗璀璨的新星，划破传统燃油车的“苍穹”，引领着出行方式迈

向全新纪元.下图是四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（）

ja><。*

2.任意画一个三角形，其内角和是360。，这一事件是（）

A.必然事件B.不可能事件C.随机事件D.确定事件

3.小亮的衣柜里有3件上衣，其中有1件是黄色和2件是蓝色，从中任意取出一件正好是蓝色的概率为

（）

4.如图，在。。中，ZABC=60°,则/AOC等于（）

5.把抛物线），=-2/先向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得函数的表达式为

（）

A.y=-2(x+6)2+2B.y=-2(x+6)2-2

2

C.y=-2(x-6)+2D.J=-2(X-6)2-2

6.下列各点在反比例函数)，=?的图象上的是()

x

A.(1,5)B.(-2,-3)C.(4,2)D.(3-2)

7.一元二次方程f+3x—4=0根的情况为（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.有两个正的实数根

8.苯（分子式为C6H6）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的.随着研究的不断深入，发现如图1的

一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2,点。为正六边形A8a）石厂的中

心.若8=1,则OC的长是（）

9.我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为

单循环赛（每两队之间都赛一场）.共安排28场比赛，设邀请x个球队参加比赛，可列方程得（）

A.x(x+1)=28B.x(x-l)=28

C.gx(x+l)=28

D.—x(x-l)=28

10.根据圆规作图的痕迹，可用百尺成功找到三角形内心的是（）

11.如图，已知二次函数y=区+。（々=0）的图象与x轴相交于点A（—3,0）,3（1,0）；则下列结论

错误的是（）

A.abc<0

B.若点（4,y）,（g,乃）在抛物线上，则必<必

C.b1-4ac>0

D.对任意实数m,am24-bin>a-〃均成立

k

12.如图，菱形O4BC的顶点A在x轴正半轴上，0A=3,反比例函数y=—（x>0）的图象过点C和菱形

的对称中心M,则上的值为（）

A.4B.4夜C.2D.2\f2

二、填空题（本题共4小题，每小题3分，满分12分）

13.若点A（l,a）与点3（-1,一2）关于原点对称，则a的值为.

14.如果关于x的一元二次方程/一元+机=0的一根为一2,则另一根为.

15.卜.表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果：

投篮的次数〃50100150200250300500

投中的次数机286078104123152251

投中的频率一0.560.600.520.520.490.510.50

n

这名球员投篮一次，投中的概率约是（精确到0.1）.

16.如图，在平面直角坐标系中，己知点A（0,2）,点〃在第一象限内，AO=AH,NQ43=120。，将VA08

绕点。顺时针旋转，每次旋转90。，则第2026次旋转后，点3的坐标为.

三、解答题（本题共7小题，满分72分.解答题写出必要的文字说明、演算步理或推理过程）

17.解一元二次方程：

⑴X2-2X-8=0;

（2）3x（x-2）=x-2.

18.在如图所示的正方形网格中，VA8C的顶点均在格点上，请在所给的平面直角坐标系中按要求作图并

（1）作出VA3C关于原点。成中心对称的△A4G，写出点片的坐标；

（2|作出△4MG绕点。逆时针旋转90的MB©,写出点G的坐标.

19.通常情况下酚酸遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色.化学实验室中有四瓶标签被污染无法

识别的无色溶液，分别是A：盐酸（呈酸性），&硝酸钾溶液（呈中性），C：氢氧化钠溶液（呈碱性），D：

氢氧化钾溶液（呈碱性）.慕梓睿在这四瓶溶液中取样，用酚酿喷测其碱性.

（1）若慕梓睿将酚1%随机滴入一种样本溶液中，结果样本溶液变红色的概率是；

（2）若慕梓睿将酚怵随机滴入两种样本溶液中，请你用列表或画树状图的方法，求两种样本溶液恰好都

变红色的概率是多少？

20.如图，四边形人ACQ内接于OO,人石为OO的直径，过点C作交AD的延长线于点£延长

EC,AB交于点F,ZECD=ZBCF.

E

A

O\BF

(1)求证：CE为。。的切线；

(2)若DE=I,CO=3,求。。的半径.

21.某城门的截面由一段抛物线和一个正方形(OMNE为正方形)的三条边围成，已知城门宽度为4米,

最高处距地面6米，如图1所示，现以。点为原点，OM所在的直线为X轴，。后所在的直线为y轴建立

直角坐标系.

(2)有一辆宽3米，高4.5米的消防车需要通过该城门，请问该消防车能否正常进入？

<3)为营造节口气氛，需耍临时搭建个“装饰门”ABCD,该“装饰门”关于抛物线对称轴对称，如

图2所示，其中AB,AD，为三根承重钢支架，A、。在抛物线上，B,C在地面上，已知钢支架

每米70元，问搭建这样一个矩形“装饰门”，仅钢支架一项，最多需要花费多少元？

22.综合与实践

如图1,某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2矩形地块A8CD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用

木栏围住，木栏总长为。m.

【问题提出】

小组同学提出这样一个问题：若d二10,能否围出矩形地块？

【问题探究】

小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设48为“口，8c为）如.由矩形地块面积为8m2,得

Q

到盯=8,满足条件的（X,），）可看成是反比例函数），二一的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为

X

10m,得到2x+y=l。，满足条件的（x,y）可看成一次函数y=-2工+10的图象在第一象限内点的坐

标，同时满足这两个条件的（x,y）就可以看成两个函数图象交点的坐标.如图2,反比例函数

Q

>=2（x>0）的图象与直线小y=-2x+IO的交点坐标为（1,8）和,因此，木栏总长为10m时，

能围出矩形地块，分别为：AB=\m,BC=8m；或m,BC=m.

（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空；

类比探究】

（2）若〃=6,能否围出矩形地块？并仿照小颖的方法，在图2中利用函数图象说明理由.

【问题延伸】

（3）当木栏总长为〃m时，小颖建立了一次函数），二-2%+。.发现直线y=-2x+a可以看成是直线

Q

）二一2不通过平移得到的，在平移过程中，求出直线y=-2x+a与反比例函数丁=一（工>0）的图象有唯

X

一交点时的交点坐标及。的值.

【拓展应用】

Q

外观从以上积分中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y=-2工+。与），二一图象在第一象限内

x

交点的存在问题”.

（4）若要围出满足条件矩形地块，且A8和的长均不小于1m,请直接写出。的取值范围______.

23.我们定义：有一组邻边相等的四边形叫做“等邻边四边形”.

（1）已知：如图I,四边形ABCO的顶点A,B,C在平面直角坐标系网格内，坐标分别为

3（0,0）、A（l,3）、C（5,0）,请你写出三个。点坐标，使得四边形A8C。是3个不同形状的等邻边四边

形A3CQ,要求顶点。在网格格点上2（,）,&（，_），2<，一）；

(2)如图2,长方形ABC。中，A3=8,3C=14,点E在BC边上，连接OE画AF10E于点P,若

DE=^-CD,找出图中的等邻边四边形，并说明理由；

4

(3)如图3,在中，ZS4CB=90°,48=8,AC=4,。是3c的中点，点M是A8边上

一点，当四边形4coM是“等邻边四边形”时，请直接写出8M的长度.

柳州市2025.2026学年度九年级（上）期末质量监测试题数学

（考试时间：120分钟，全卷满分：120分）

一、选择题（本题共12小题，每小题3分，满分36分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分，请把选择题的答案填入下面的

表格中）

1.科技飞速发展的时代，新能源汽车宛如一颗璀璨的新星，划破传统燃油车的“苍穹”，引领着出行方式迈

向全新纪元.下图是四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（）

BC><D

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考看了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果旋转后的图形能

够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.根据中心对称图形的定

义进行逐一判断即可.

【详解】解：A.不中心对称图形，故A不符合题意；

B.不是中心对称图形，故B不符合题意；

C,是中心对称图形，故C符合题意；

D.不是中心对称图形，故D不符合题意.

故选：C.

2.任意画一个三角形，其内角和是360。，这一事件是（）

A.必然事件B.不可能事件C.随机事件D.确定事件

【答案】B

【解析】

【分析】此题主要考查了不可能事件以及三角形内角和定理，正确掌握各种事件的定义是解题关键.把在

一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件，直接利用三角形内角和定理，结合不可能事件的定义分析得

出答案.

【详解】解：任意画一个三角形，其内角和是180。，则内角和为360。这一事件是不可能事件,.

故选:B.

3.小亮的衣柜里有3件上衣，其中有1件是黄色和2件是蓝色，从中任意取出--件正好是蓝色的概率为

12

B.-D.-

55

【答案】c

【解析】

【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键.根据概率的计算公式即可求解.

【详解】解：•.•小亮的衣柜里有3件上衣，其中有1件是黄色和2件是蓝色，

从中任意取出一件正好是蓝色的概率为2.

3

故选：C.

4.如图，在。0中，ZA8C=60。，则NAOC等于()

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】C

【解析】

【分析】此题考查了圆周角定理洞弧所对的圆周角等于圆心角的一半，据此进行解答即可.

【详解】解：vZABC=60°,

・•・ZAOC=2ZABC=120°

故选：C

5.把抛物线)，=-2.d先向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得函数的表达式为

()

A.y=-2(x+6)2+2B.y=-2(x+6)2-2

C.y——2(x—6f+2D.y=-2(x-6)2-2

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键.

根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”解题即可.

【详解】解：把抛物线y=-2/先向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得函数的表达

式为：y=-2（x-6）2-2,

故选：D.

6.下列各点在反比例函数），=9的图象上的是（）

x

A.（1,5）B.（-2,-3）C.（4,2）D.（3,-2）

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了反比例函数图象上的点，解题关键是明确反比例函数图象上的点的横纵坐标乘积等于

比例系数上据此逐项判断即可.

【详解】解：・・・lx5=5w6,-2x（-3）=6,4x2=8w6,3x（—2）=—6w6,

・•・（-2,-3）在反比例函数y=g的图象上，

故选项B符合题意，

故选:B.

7.一元二次方程d+3工一4=0杈的情况为（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.有两个正的实数根

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了•元二次方程根的情况，根据根的判别式判断■元二次方程的根的情况即可.

【详解】解：一元二次方程f+3x—4=0根的判别式△=〃—4ac、=32+16=25>0，

所以一元二次方程f+3工-4=0有两个不相等的实数根，

故选：A.

8.紫（分子式为C6H°）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的.随着研究的不断深入，发现如图I的

一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2,点。为正六边形A8CQM的中

心.若CO=1,则0C的长是（）

碳原子A

A.IB.V3C.2D.3

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，理解正多边形的边，圆心角的数量的特

点是解题的关键.

根据正多边形的性质可得===Ab=1,OC=OD,△COD是等边三角形，由

此即可求解.

【详解】解：正六边形ABCQEF,点。为中心，

：・AB=BC=CD=DE=EF=AF=T,OC=OD,

・•・ZCOD=360°4-6=60°,

・•・△COD是等边三角形，

：・OC=CD=\,

故选：A.

9.我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为

单循环赛(每两队之间都赛一场).共安排28场比赛，设邀请x个球队参加比赛，可列方程得()

A.x(x+l)=28B.x(x-l)=28

C.gx(x+l)=28D.^x(x-l)=28

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用每组安排比赛的场数;每组邀请球队数x(每组邀

请球队数-D+2,即可列出关于x的一元二次方程，此题得解.

【详解】解：根据题意得：^x(x-1)=28,

故选：D.

10.根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的是（）

【分析】本题考查基本作图、三角形内心：三角形三条内角平分线的交点，根据内心的定义判断即可.

【详解】A、一条是内角平分线，一条是边的垂直平分线，故不能找到内心，选项不符合题意；

B、两条均为内角平分线，根据三角形内心是角平分线的交点，可以利用直尺成功找到三角形为心，选项

符合题意；

C、两条线均为边的垂直平分线，故不能找到内心，选项不符合题意；

D、一条是边的高线，一条是边的垂直平分线，故不能找到内心，选项不符合题意；

故选:B.

11.如图，已知二次函数），=32+法+《。。0）的图象与X轴相交于点4（-3,0）,4（1,0）：则下列结论

错误的是（）

A.abc<0

B.若点（T,yJ,在抛物线上，则）'1<当

C.b2-4ac>0

D.对任意实数〃z,am2+bm2a-Z?均成立

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点,

解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键.依据题意，根据抛物线与上轴相交于点A（-3,0）,

3(1,0),求出其对称轴，再由抛物线的开口方向，结合二次函数的性质即可判断得解.

【详解】解：..・抛物线与1轴相交于点A(—3,0),3(1,0),

•••对称轴是直线x=1=-l.

2

b1

二.----=-l.

2a

b=2a.

乂图象可得，4>0，c<0,

.\b=2ci>0.

:.abc<0,故A正确，不符合题意；

•••抛物线开口向上，

二.抛物线上的点离对称轴越近函数值越小.

1O

又♦,・卜4-(-1)|=3>y-(-l)=~,

故B错误，符合题意：

・・•函数图象与％轴有两个交点，

・••方程”2+加；+。=0有两个不用等的实数根，

・・・/—4ac>0,故C正确，不符合题意；

•.•对称轴是直线工=一1,且抛物线开口向上，

...当为=一1时，y取最小值为a-b+c.

•二对于任意的阳,当x="7时，函数值y+Zwz+cNa-b+c.

am2+bm>a—b»故D正确,不符合题意；

故选：B.

k

12.如图，菱形O4BC的顶点A在x轴正半轴上，04=3,反比例函数y=](x>0)的图象过点C和菱形

的对称中心M,则〃的值为()

Myj

A.4B.4夜C.2D.272

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，反比例函数的性质，先证明AM=CM,

OC=OA=BC=AB=3,设C（x,y）,可得M三一，弓，xy=—^-f求解x=l,过C作

\22y22

。41.40于〃，再进一步求解即可.

【详解】解：•••菱形0ABe的顶点A在x轴正半轴上，。4=3,

：,AM=CM,OC=OA=BC=AB=3,

・•・A（3,0）,

设C（x,y）,

'x+3

AM不9

_x+3y

xy~2~'l

解得：x=1>

过C作C〃_L4。于”,

***CH=,3,-『=2四»

・・・C（1,2a）,

"=1x2忘=2&；

故选：D

二、填空题（本题共4小题，每小题3分，满分12分）

13.若点4（1,。）与点8（-1，-2）关于原点对称，则a的值为.

【答案】2

【解析】

【分析】根据关于原点对称点的特点，求出。的值即可.

【详解】解：・.•点A（1,a）与点网_1,_2）关于原点对称，

a=2.

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的特点，解题的关键是熟练掌握关于原点对称点的特点，

14.如果关于丫的一元一次方程V—x+〃z=O的一根为—2,则另一根为-

【答案】3

【解析】

【分析】本题考查了根与系数的关系，设方程的另一根为超，根据根与系数的关系得到-2+々=1，然后

解一次方程即可.

【洋解】解：设方程的另一个根为七，

则-2+4=1，

解得：々=3,

故答案为：3.

15.下表记录了•名球员在罚球线上投篮的结果：

投篮的次数〃5010()1502002503(X)500

投中的次数机286078104123152251

投中的频率丝0.560.600.520.520.490.510.50

n

这名球员投篮一次，投中的概率约是（精确到0.1）.

【答案】0.5

【解析】

【分析】此题考查了利用频率估计概率的知识，根据频率估计概率的方法结合表格数据可得答案.

【详解】解：由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数0.5()附近，

・•・这名球员在罚球线上投篮一次，投中概率为0.5.

故答案为：0.5.

16.如图，在平面宜角坐标系中，已知点A(0,2),点8在第一象限内，AO=AB,NQA8=120。，将VAO8

绕点。顺时针旋转，每次旋转90。，则第2026次旋转后，点B的坐标为

【答案】(-73,-3)

【解析】

【分析】本题考查了等边对等角，含30。角的直角三角形的性质，坐标系中点的旋转的坐标规律，发现每

旋转4次点B【可到初始位置是解题关键.

利用已知条件，先求出点3的坐标，由每次旋转90。，旋转4次是360。，点8恰好旋转1圈，从而将旋

转2026次，等效成旋转2次，从而确定结果.

t详解】解；如图，过点8作轴于点C,

••NOW=120。，AO=AB,

・•・NAOB=48。=g(180°-NOAB)=30°,ZC4B=180°-NOAB=60°,

:.ACBA=90°-ZCAB=30°,

：.CA=-AB

2f

VA(0,2),

・•・AO=2=A8,

CA=-AB=1,BC=\!AB2-CA2=>/3»OC=AO+CA=3»

・・・B(G,3),

由每次旋转90。，旋转4次是360。，点3恰好旋转1圈，

2026=506x4+2,

2x90°=180°,

・•・第2026次旋转后，点B从初始位置旋转了180。，

由坐标系中的点绕原点旋转的坐标规律可知，此时3(一出,-3),

故答案为：(-73,-3).

三、解答题(本题共7小题，满分72分.解答题写出必要的文字说明、演算步理或推理过程)

17.解一元二次方程：

⑴x2-2r-8=0;

(2)3x(%-2)=x-2.

【答案】(1)x,=4,X2=-2

(2)%=g,匕=2

【解析】

【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键.

(1)利用因式分解法解•元二次方程即可得出结果；

(2)利用因式分解法解一元二次方程即可得出结果.

【小问1详解】

解：X2-2X-8=0.

(x-4)(x+2)=0,

x—4=0或x+2=0,

-V|=4,x2=-2；

【小问2详解】

解：3x(x-2)=x-2,

3x(x-2)-(x-2)=0,

(x-2)(3x-l)=0,

x-2=0或3x-l=0,

18.在如图所示的正方形网格中，VA3c的顶点均在格点上，请在所给的平面直角坐标系中按要求作图并

(1)作出VA3C关于原点。成中心对称的△ABCi，写出点用的坐标；

(2|作出绕点。逆时针旋转90。的△&用。2,写出点G的坐标.

【答案】®.(4,4)②.11,4)

【解^5]

【分析】(1)根据关于原点对称的点的坐标特征分别写出点A、B、C的对应点Ai、Bi、。的坐标，然

后描点即可得到△AIBIG；

(2)利用网格特点和旋转的性质画出点A1、Bi、G的对应点A2、B2、C2,于是可得到△A2BC2,再写出

点C2的坐标.

【详解】解：(1)如图,△A4G，为所作，点用的坐标为(4,-4)：

⑵如图,aABC为所作，点:C?的坐标为(1,4).

故答案为（4,4）,（1,4）.

【点睛】本题主要考查作图-旋转变换，熟悉掌握是关键.

19.通常情况下酚取遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色.化学实验室中有四瓶标签被污染无法

识别的无色溶液，分别是4：盐酸（呈酸性），B：硝酸钾溶液（呈中性），C：氢氧化钠溶液（呈碱性），D：

氢氯化钾溶液（呈碱性）.慕梓睿在这四瓶溶液中取样，用酚酥殓测其碱性.

（1）若慕梓睿将酚醐随机滴入一种样本溶液中，结果样本溶液变红色的概率是;

（2）若慕梓容将酚配随机滴入两种样本溶液中，请你用列表或画树状图的方法，求两种样本溶液恰好都

变红色的概率是多少？

【答案】（1）4

⑵-

6

【解析】

【分析】本题考杳概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键.

（1）根据概率公式直接求解；

（2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求

解.

【小问1详解】

21

解：慕梓容将酚配随机滴入一种样本溶液中，结果样本溶液变红色的概率是一二一，

42

故答案为：

【小问2详解】

解:列表如下:

ABCD

A5I)(AC)（A。）

B(民㈤(氏Q(BQ)

C（C，A）（C，5）(c，0

D(Q4)(DB)(nc)

・•・共有12种可能结果，其中两种样本溶液恰好都变红色的有2种，

21

・•・两种样本溶液恰好都变红色的概率为

126

2（）.如图，四边形A4CO内接于48为。。的直径，过点C作CE_LA。交A。的延长线于点E,延长

EC,AB交于点F,/ECD=/BCF.

（2）若。E=l,CD=3,求。。的半径.

【答案】（1）见解析；（2）。0半径是4.5

【解析】

【分析】（1）如图1,连接。C先根据四边形48co内接于。。，得/CDE=/OBC,再根据等量代换

和直角三角形的性质可得ZOCE=90°,由切线的判定可得结论；

（2）如图2,过点。作OGJLAE于G,连接0C0D,则NOGE=90。，先根据三个角是直角的四边形

是矩形得四边形0GEC是矩形，设。。的半径为-根据勾股定理列方程可得结论.

【详解】（1）证明：如图1,连接。C,

E

图1

•：OB=OC,

・•・/OCB=/OBC,

•・•四边形A8co内接于。a

・•・ZCZM+ZABC=180°

又NCOE+NCD4=180。

:./CDE=/OBC,

•：CE±AD,

:.ZE=ZCDE+/ECD=90°，

*//ECD=/BCF,

・•・NOCB+/BCF=90。,

・•・ZOCF=90%

・・・OC是。。的半径，

・・・CE为。。的切线；

(2)解：如图2,过点。作OG_LAE于G,连接OC,则NOG£=90。，

•・•ZE=ZOCE=90°,

・•・四边形OGEC是矩形，

OC—EG,OG=EC,

图2

设OO的半径为-

RfACDE中,CD=3,DE=1,

・•・EC=V32-I2=2X/2»

***OG=2V2-GD=x-\,OD=x,

由勾股定理得：0。2=OG?+"黄，

Ax2=（2V2）2+（X-1）2,

解得：x=4.5,

・・・。。半径是45

【点睛】本题考查的是圆的综合，涉及到圆的切线的证明、勾股定理以及矩形的性质，熟练掌握相关性质

是解决问题的关键.

21.某城门的截面由一段抛物线和一个正方形（OMNE为正方形）的三条边围成，已知城门宽度为4米，

最高处距地面6米，如图1所示，现以。点为原点，OM所在的直线为X轴，0七所在的直线为y轴建立

直角坐标系.

（2）有一辆宽3米，高4.5米的消防车需要通过该城门，请问该消防车能否正常进入？

（3）为营造节日气氛，需要临时搭建一个“装饰门”ABCD,该“装饰门”关于抛物线对称轴对称，如

图2所示，其中AB,AD，CQ为三根承重钢支架，A、。在抛物线上，B,C在地面上，已知钢支架

每米70元，问搭建这样一个矩形“装饰门”，仅钢支架一项，最多需要花费多少元？

【答案】（1）抛物线的表达式为）=一：/+21+4（（）（入44）

（2）消防车能正常进入

（3）仅钢支架一项，最多需要花费910元

【解析】

【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.正确地求得函数解析式是解题的关键.

（1）根据所建坐标系知顶点和与y轴交点上的坐标，可设解析式为顶点式，进行求解，由城门宽度为4米

知X的取值,范围是04JV<4；

（2）根据对称性当车宽3米时，x=《，求此时对应的纵坐标的值，与车高4.5米进行比较得出结论；

（3）求三段和的最大值须先列式表示三段的和，再运用性质求最大值，可设点8的坐标，表示三段的长

度从而得出表达式.

【小问1详解】

解：由题意知,抛物线的顶点（2,6）,

•••设抛物线的表达式为y=。（大一2『+6,

•••抛物线过点七（0,4）,

「.4=4a+6,

1

/.a=——，

2

抛物线的表达式为_y=-1（x-2）2+6,

即y=——X2+2r+4（0<r<4）；

【小问2详解】

解：由题意知，当消防车走最中间时，进入可能性最大，

1]<1y1

即当x=一时，y=——X-+2x—+4=4.875>4.5,

22{2）2

••・消防车能正常进入；

【小问3详解】

解：设B点的横坐标为〃?，A3+AO+CD的长度为/,

由题意知3。二4-26，

即，4。=4-2加，CD=AB=--in2+2m+4,

2

=2x——m"+2m+4）+（4—2〃7）=—〃厂+2"z+12,

2,

当〃2=~~~77=1时，1最大,且/最大=-1+2x14-12=13,

2x（-1）见人

费用为13x70=910（元）,

答：仅钢支架一项，最多需要花费910元.

22.综合与实践

图1图2

如图1,某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块A8CD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用

木栏围住，木栏总长为4m.

【问题提出】

小组同学提出这样一个问题：若。=10,能否围出矩形地块？

【问题探究】

小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设4区为m1，3C为）如.由矩形地块面积为8m2,得

Q

到盯=8,满足条件的（x,y）可看成是反比例函数），=一的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为

X

10m,得到2x+y=10,满足条件的（x,y）可看成一次函数y=-2%+10的图象在第一象限内点的坐

标，同时满足这两个条件的（x,y）就可以看成两个函数图象交点的坐标.如图2,反比例函数

Q

），=2（x>0）的图象与直线小y=-2x+10的交点坐标为（1,8）和,因此，木栏总长为10m时，

能围出矩形地块，分别为：AB=\m,BC=8m：或A8=m,BC=m.

（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空；

【类比探究】

（2）若〃=6,能否围出矩形地块？并仿照小颖的方法，在图2中利用函数图象说明理由.

【问题延伸】

（3）当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数），二-2工+。.发现宜线y=-2x+a可以看成是直线

Q

y=-2x通过平移得到的，在平移过程中，求出直线y=与反比例函数>，=一">0）的图象有唯

X

一交点时的交点坐标及。的值.

【拓展应用】

Q

外观从以上积分中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“），=-2冗+。与》=一图象在第一象限内

x

交点的存在问题”.

（4）若要围出满足条件的矩形地块，且A8和8c的长均不小于1m,请直接写出。的取值范围______.

【答案】⑴（4,2）；4；2：（2）不能，见解析；（3）（2,4）,8；（4）8<a<17

【解析】

【分析】本题考查了实际应用题的函数直观解释，比较新颖，实质是函数图象的平移，一次函数和反比例图

象的交点问题.

_8

（1）观察图象，联立解方程组得1，求解即可得到另一个交点坐标为（4,2）,进而可求解；

y=-2x+W

Q

（2）画出y=—2x+6的图象，观察图象得到与函数），二—图象没有交点即可求解；

x

Qo

（3）由直线>=-2工+。与反比例函数），=—（x>0）的图象有唯一交点，可知一=-21+。由唯一解，即：

•X

方程2/—以+8=0只有一个解，利用根的判别式求得。=8（负值舍去），进而可求得交点坐标为

（24）；

（4）A8和3c的长均不小于1m,可得直线），=-2工+。在4、/4上面或之间移动，可得求。

的范围.

利用数形结合数学思想是解决问题的关键.

8

8y=一

【详解】解：（1）将反比例函数y二—与直线4：y=-2x+10联立得《」x,

x[y=-2x+10

A-=-2x+10,

X

••・上2・5工+4=0，

»V|=1»x2=4,

:.另一个交点坐标为（4,2）,

•・・A8为巾，8c为户0,

，A8=4,BC=2.

故答案为：（4,2）；4；2；

（2）不能围出面积为8m2的矩形;

理由如下:

，不能闹出面积为8m2的矩形.

Q

故答案为：y=-2x+6与函数》=一图象没有交点；

x

（3）如图中直线）=-2工+。所示，

Q

・・・直线y=-2x+a与反比例函数），=一（x〉（））的图象有