2026年高考数学复习（全国）幂函数与指、对数函数（解析版）

专题2.5幕函数与指、对数函数（举一反三专项训练）

【全国通用】

目录

第一部分题型专练

【题型1指数的运算】...........................................................................1

【题型2对数的运算】...........................................................................2

【题型3基函数的图象与性质】..................................................................4

【题型4指数、对数函数的定义域与值域问题】....................................................6

【题型5指数、对数函数的图象问题】............................................................7

【题型6指数、对数函数的单调性问题】..........................................................9

【题型7指对暴数比较大小】....................................................................11

【题型8解不等式问题】........................................................................13

【题型9指数函数与对数函数的综合应用】........................................................15

第二部分分层突破

A组基础跟踪练

B组培优提升练

题型专练

【题型1指数的运算】

1.（25-26高一上•江苏淮安・月考）若2m=5,4n=3,则4"皿的值是（）

A.45B.75C.2D.4

【答案】B

【解题思路】根据指数运算求得正确答案.

【解答过程】4n+m=4nx4m=4nx（2刃2=3x52=75.

故选：B.

2.（25-26高一上.宁夏石嘴山•月考）下列结论中，正确的是（）

A.若a>0,则宿•QZ=QB.若/=2,则m=&

C.若a+aT=3,则£+a4=店D.^(2^IT)4=2-n

【答案】C

【解题思路】A选项根据指数运算的公式即可判断：B选项根据平方根的定义即可判断；C选项根据指数，利

用完全平方公式即可计算出结果；D选项根据平方开根号必须加绝对值，再利用正负取绝对值即可判断.

【解答过程】对于A：利用指数运算的公式：a>0,则空•晨=湍装0,故A错误；

对于B：m2=2,m=±V2,故B错误；

2

对于C：a+a-1=3,所以a>0,a_1>0,点>0,a~2>0,a+a-1=（Q5+Q-5）-2=3,化简得

（成+a%）=5,所以成+。-3=遥，故C正确；

对干D：因为2—口<0,所以。（2—n）4=|2—汨=IT一2,故D错误.

故选：C.

3.（2025・上海宝山•二模）将石（其中a>0）化为有理数指数基的形式为.

【答案】J

【解题思路】直接利用根式与分数指数幕的运算法则化简求解即可

（解答过程】y/a2>Ja=Ja2'di==a*

故答案为：

4.（2025・重庆九龙坡•三模）已知3、=2,4、=3,则xy=.

【答案】;

【解题思路】由指数的运算性质即可得解.

【解答过程】由题意3*=（4y尸=4"y=2=所以孙=

故答案为：\

【题型2对数的运算】

5.（2025・北京大兴•三模）已知2a=3/og25=匕，则2所》的值为（）

A.15B.|C.|D.一2

【答案】C

【解题思路】结合指数与对数的转化及指数运算性质即可求解.

【解答过程】因为10g25=b,所以2b=5,

又2a=3,所以2…二福="

故选：C.

6.（2025•贵州黔东南•三模）在人工智能芯片的性能测试中，若芯片处理数据的错误率E与芯片的运算速

度，/（单位：TOPS）满足函数关系E=0.006+0.2•1g（充+1）,则当芯片处理数据的运算速度为128ToPS

时，芯片处理数据的错误率约为（参考数据：lg2*0.301,lg3比0.477）（）

A.0.030B.0.031C.0.032D.0.033

【答案】B

【解题思路】由E=0.006+0.2・lg（击+1）,代入数据即可求解.

【解答过程】当u=128,

则E=0.006+0.2•恒（黑+1）=0.006+0.2lg^=0.0064-0.2（21g2-lg3）

=0.006+0.2（2x0.301-0.477）=0.031.

故选：B.

7.（2025・北京•二模）设a=lg2,b=lg3,则lgl5=（）

A.（1—Q）bB.1—Q+bC.（1+d）bD.1+a—b

【答案】B

【解题思路】根据题意，利用对数的运算性质，即可求解.

【解答过程】由a=lg2,Z?=lg3,可得lgl5=lg3+lg5=lg3+（1-lg2）=1-a+b.

故选:B.

8.（2025・浙江绍兴•三模）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，

例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M.2011年3

月II日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里

氏8.0级地震的多少倍（精确到1）?（）（注：或*1.414,VTUa3.162）

A.30B.31C.32D.33

【答案】C

【解题思路】设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别是Ei和&，根据条件算出1g詈的值，然后可得答案.

E2

【解答过程】设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别是%和%，

由题意：lg£\=4.8+1.5x9.0,1g%=4.8+1.5x8.0.

于是lg£l=IgFi-lg&=(4.8+1.5x9.0)-(4.8+1.5x8.0)=1.5,

所以幺=1O1S=102==lOVlO«10x3.162=31.62*32.

&

故选：c.

【题型3幕函数的图象与性质】

9.（2025・广东广州•模拟预测）若幕函数外幻二（机2一加—1%2加-3在（0.+8）上单调递增，则实数租的值

为（）

A.2B.1C.-1D.-2

【答案】A

【解题思路】根据条件，利用基函数的定义和性质，即可求出结果.

【解答过程】因为显函数/（%）=（m2-在（o,+8）上是增函数，

所以解得加=2.

故选：A.

10.（2025・四川南充•二模）已知函数/（%）的图象如图所示，则f（x）的解析式可•能是（）

A.y=X2B.y=x~2C.y=x3D.y=X3

【答案】D

【解题思路】根据幕函数的性质一一判断即可.

【解答过程】对于A：函数y=£=4的定义域为付,+8）,显然不符合题意，故A错误;

对于B：函数y="三京的定义域为（0,+8）,显然不符合题意，故B错误；

对于C：函数y=/的定义域为R,又y=/为奇函数，

但是y=/在（0,+8）上函数是下凸递增，故不符合题意，故C错误;

对于D：y=£=以定义域为R,又y=为奇函数，

且)，=如在(0,+8)上函数是上凸递增，故D正确.

故选：D.

11.(2025高一•上海•专题练习)已知募函数fCO=(m2-m-5)产一血，且/(劫>/(3),若f(2a)>/(a2-3),

则实数a的取值范围是()

A.(—00,-75)U(3,4-00)B.(-00,-1)u(3,4-co)

C.(一8,-1)U(0,遮)U(3,-8)D.(-V3,-1)U(D,V3)U(3,4-oo)

【答案】D

【解题思路】通过寻函数定义解出加，再通过/(I)>/(3)判定出相=3,根据单调性再解/(2a)>/(a2-3)即

可.

【解答过程】由/(%)=(m2-m-5)/一m为基函数可知：

m2—m—5=l=>m=-2或3,

又/(l)>f(3),故/■(%)在(0,+8)单调递减，故m=3,

所以/(幻=%T，

财3>53)=巴:宾3或叱>0°或原宴。3,

解得Q>3或0<aV百或一6<a<-1,

实数a的取值范围是(一75,-1)U(0,V3)U(3,+8).

故选：D.

12.(25-26高一上•重庆璧山•期中)己知哥函数/(幻=(巾2-5771+5)%时2是/?上的偶函数，且函数或外=

fW-(2a-6)>在区间口,3]上单调递减，则实数a的取值范围是()

A.(-co,4)B.(-co,4|U[6,4-co]C.[6,+oo)D.[4,6]

【答案】C

【解题思路】根据暴函数的定义和奇偶性确定函数解析式/(x)=再利用二次函数的单调性即可求得实数

Q的取值范围.

【解答过程】因/(X)=(小2一5m+5)X巾-2是寻函数，则一5沉+5=1,解得771=1或m=4,

当加=1时，/(x)=x-1,其定义域为HO},且为奇函数，故舍去；

当旭=4时，/(%)=/是R上的偶函数，符合题意.

则g(x)=x2-(2a-6)x=[x-(a-3)]2-(a-3)2,其图象对称轴为直线％=a-3,

由该函数在区间[1,3]上单调递减，可得a-3工3,解得a26.

故选:c.

【题型4指数、对数函数的定义域与值域问题】

13.(24-25高一上,河南・月考)函数/(%)=我二不的定义域为()

A.RB.(0,3]C.(-oo,3]D.(-8,3)

【答案】C

【解题思路】根据被开方式大于等于U求解定义域，并结合指数函数单调性解不等式.

【解答过程】根据题意，函数/(%)=如=/，

则函数8—2*工0,即2、48=23,

所以％<3.

故选:C.

14.(25-26高三上•重庆・开学考试)函数/(%)=2，-*+的值域为()

A.(0,2)B.[2,+8)

C.(0,1)D.[1,+00)

【答案】D

【解题思路】令t二/一工一：，求出£之-1,继而结合指数函数的单调性，即可求得答案.

4

【解答过程】令£=/一%一j贝业=(%——当％=卯寸取等号，

又『=2,为R上的单调递增函数，故y=2,22-1=即/(%)=2x2-x^>

故函数/(%)=2/一"：的值域为曲+8),

故选：D.

15.(2025・安徽合肥•一模)已知函数y="2%)的定义域为则函数或切二差生的定义域为()

A.(1,Z)B.(1,4)C.(1,2)U(2,4]D.(2,4)

【答案】C

【解题思路】求出/(x)的定义域，根据函数有意义，结合抽象函数定义域的求法和对数函数的定义域，可得

出关于工的不等式组，解不等式组即可求出答案.

【解答过程】由y=/(2x)的定义域为[-1,2],得、=八")的定义域为[-2,4].

(-2£2—工44

所以)x-1>0=1<xV2或2VxM4,

(lg(x-1)H0

综上,g(x)的定义域为(l,2)u(2,4].

故选：C.

16.(2025海南.模拟预测)若函数/(无)=鼠：益羡2O的值域为R,则实数a的取值范围是()

A.(1,2]B.[2,+co)C.(0,1)D.(0,1)U(1,2]

【答案】B

【解题思路】先求出当》40时，/(幻的值域为(-8,1],分析出要使/•(%)的值域为R,必须让％>0时，/(%)的

值域取至如1,+8)的所有值，然后分a>1和0VaV1两种情况分别求出/(%)的值域即可得解.

【解答过程】当％W0时,f(%)=*+l的值域为(-8,1],

所以要使/•(%)的值域为R，当时，

/'(x)=loga(x+2)的值域需取到[1,+8)的所有值.

若a>1,则f(x)=loga(x+2)fx>。的值域为。oga2,+8),

所以只须10ga2Wl,解得QN2,

所以当Qe(1,2]时,/(X)的值域为R；

若0VaV1,则/(%)=loga(x+2),x>。的隹i域为(-8,k)ga2),

此时/(x)的值域不可能取到[L+8)的所有值，

综上，实数a的取值范围是[2,+8).

故选：B.

【题型5指数、对数函数的图象问题】

17.(2025・山东•模拟预测)函数/1(%)=(|%2--5|-5)ln(4-公)的图象大致为()

y/k1.1八

人JbJh1

..4,;1I:

-2iV4左

FX

-2A\J?

C.51：I).U!

【答案】A

【解题思路】采用排除法进行判断，先根据函数的奇偶性进行排除，再结合特殊点的函数值进行选择.

【解答过程】首先:/(-X)=(|(-r)2-5|-5)ln[4-(-x)2]=(|解-5|-5)ln(4-x2)=/(x),

所以函数/■(切为偶函数，图象关于y轴对称，故排除CD.

又/(I)=—ln3V0,故排除B.

故选：A.

18.(2025•广东广州•模拟预测)函数f(x)=喧笋的图象大致为()

【答案】A

【解题思路】先判断出/(%)为奇函数，排除BD；再根据当之趋向于+8时，/(%)趋向于0,C错误，A正确.

【解答过程】kTT+x>0恒成立，故〃幻=笔萼的定义域为R,

“)=ln(，N+ir)=|n"x2+i+x)T=_皿收+1+力=_“)

/I)一—*+铲-e*+e~x_ex+e^xJI/，

故/(%)为奇函数，BD错误：

当x趋向于+8时，y=ex+er的增长速度远大于y=ln(QTT+x)的速度，

故/。)二畸野趋向于°，C错误，A正确.

故选：A.

19.(2025•甘肃武威・模拟预测)如图所示的函数图象对应的函数解析式可能为()

A.fix')=ln(Vx2+1+x)B./(x)=ln(Vx2+1-x)

C./(x)=InVx2+1+xD./(x)=InVx2+1-x

【答案】B

【解题思路】应用函数对称性判断C,D,再根据x>0时，/(%)>0排除A.

【解答过程】由图可知函数图象关于原点对称，所以该函数为奇函数，

f(x)=lnVFn+x中，/(2)=lnV5+2J(-2)=lnV5-2,一/(2),八-2)不相等，所以C选项错误;

fCO=lnG^H■—无中，/(2)=lnV5-2,/(-2)=lnV5+2,-/(2),八-2)不相等，所以D选项错误：

对于/(%)=In"/+i+)),当算>0时，/(x)>0,与图象不符，故排除A.

故选:B.

20.(2025・甘肃•一模)函数y=\2X+2-)♦In㈤的图象大致为()

【解题思路】采用排除法，根据函数奇偶性可排除D,根据-IV%VI且4工0时/■(%)<0,可排除A,C.

【解答过程】记fa)=(2*+2r)」n|x|,函数的定义域是"IxHO},

/-(-x)=(2-x4-2x)ln|x|=/(x),所以函数/(切为偶函数，其图像关于y轴对称，故D错误；

当一1VX<1且工不0时，2x+2-x>0,ln|x|<0,即f(x)V0,图像在x轴下方，故A,C错误.

故选：B.

【题型6指数、对数函数的单调性问题】

21.(2025•江西•模拟预测)函数/'(%)=3.-2忖的一个单调递减区间为()

A.(-oo,0)B.(-1,0)C.(0,1)D.(l,+oo)

【答案】C

【解题思路】利用指数型复合函数的单调性即可得出答案.

【解答过程】令t=/一2|x|,则)，=3\

由复合函数的单调性可知：

f(x)的单调递减区间为函数£=x2-2田的单调递减区间，

又函数t(一%)=(-x)2-2|-x|=t(x),

即函数为偶函数，

结合图象，如图所示，

可知函数t=x2-2|%］的单调递减区间为(-8,-1)和(0,1),

即/(%)的单调递减区间为(-8,-1)和(0,1).

故选：C.

22.(2025・广东•模拟预测)已知函数、=皿(％2一2公-3。2)在区间［1,+8)上单调递增，则实数a的取值范

围是()

A.(-8曰B.C(T；)D.(-1,0)U(0,^)

【答案】C

【解题思路】由复合函数的单调性得到g(x)=/-2娱-3a2在工+8)上单调递增，列出不等式;组，解之即

得参数范围.

【解答过程】因为/(%)=Inx在(0,+8)上单调递增,由函数y=)n(x2-2ax-3a2)在口,+8)上单调递增,

可得g(x)=x2-2ax-3a2在”,十8)上单调递增且gQ)>0恒欣立,

g(l)=1--3。2>o，解得-1<a<?

即实数Q的取值范围是(一1看).

故选：C.

23.(2025•辽宁・一模)若函数f(x)=3.2/+以在区间(1,4)内单调递减，则a的取值范围是()

A.(-co,4]B.[4,16]C.(16,loo)D.[16,4oo)

【答案】A

【解题思路】利用“同增异减''判断发合函数的单调性，从而求参数的取值范围.

【解答过程】设/(〃)=3匕u=-2x2+ax,则/"(〃)=3〃在(一乜+8)上单调递增.

因为/(%)=3-2/+公在区间(1,4)内单调递减，所以函数〃=一2/+如在区间(1,4)内单调递减，

结合二次函数的图象和性质，可得：多工1，解得a&4.

4

故选:A.

24.(2025・天津•模拟预测)己知函数/(%)=logax+】og(a+i)x(a>0且QH1)在(0,+8)上单调递增，则a

的取值范围为()

A.(0,钓U(l,+8)B.(写,l)U(l,+8)

C.(^,1)D.(L+8)

【答案】A

【解题思路】分a〉1和0<QV1两类讨论，结合换底公式及对数函数的单调性、对数的运算性质可得关于a

的不等式即可求解.

【解答过程】当Q>1时，根据对数函数的性质可知：函数f(x)=.ogax+log(a+1)x(a>0且QH1)在(0,+8)

上单调递增，符合题意；

当C<a<l口寸，由换底公式可得;'QXlogaX+10g(a+i)X=|^+意%=[表十就"电义=

1g吧眄上艾1gx=」g(Qi也1时,

lga.g(a+l)6lgalg(a+l)6

因为函数/(无)=log。％+10g(a+i)X在(0,+8)上单调递增，且函数y=IgX在(0,+8)上单调递增，所以

]g(a2+a)

lgalg(a+l),

又0<a<l,所以Igav0,lg(a+1)〉0,所以IgS?+a)<o,所以M+avi,g[ja2+a_^<o,解得

0<a<—.

2

综上，。的取值范围为(0,上孑」)U(1,+8).

故选:A.

【题型7指对零数比较大小】

25.(2025•天津红桥•模拟预测)设。=6-1,b=ln1,c=log23,则()

A.c<a<bB.b<a<cC.c<b<aD.a<c<b

【答案】B

【解题思路】利用对数函数和指数函数单调性确定各数与特殊值0，1的关系，分析即得解

-1

【解答过程】由0Va=e<e°=1,b=ln1<Ini=0,c=log23>log22=1,

所以b<a<c.

故选：B.

26.(2025•山东泰安•模拟预测)a==o.70・3,c=log。7。.3,则a,b,c的大小关系为()

A.c>b>aB.c>a>b

C.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

【解题思路】根据对数函数与指数函数的图象与性质，分别求得a,b,c的取值范围，即可求解.

【解答过程】由某函数y=x07为增函数，得。=0.3°-7<0.7。,

由指数函数y=0.7、为减函数，得0.7("<b=O.703<0.7°=1；

由对数函数y=logo?》为减函数，得c=log0,70.3>log0,70.7=1.

所以c>b>a.

故选:A.

27.(2025•天津武清・模拟预测)已知定义在R上的函数外幻=x-e㈤，a=f(\og3y[5),b=-/-(log31),

c=/(ln3),则a,b,c的大小关系为()

A.c>b>aB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

【答案】D

【解题思路】根据函数的解析式，求得函数为奇函数，化简b=/(log32)，再结合函数的单调性，即可求解.

【解答过程】/a)=%-el£l,定义域为R,关于原点对称，

且/(-X)=-X-ell=-x•e|x|=一/(%),所以函数/'(%)=x•e团为奇函数，

所以b=-f(log30=/(-log31)=/(log32),

又/(%)=x-ex,z>0,

X1

任取%i，%26(0,+8),且0V与<%2»则0Ve<e"2,则/(xj</(%2),

故/(%)在(0,+8)上单调递增，

又由对数函数的单调性可得log32<Iog3VS<1<ln3,

所以/'(log32)</(loggVs)</(ln3),即c>a>b.

故选:D.

28.(2025・辽宁・三模)已知4。=6,68=4,。=1112,则下列结论正确的是()

ccab

A.a<bB.c>cC.logca>logcbD.logac<logbc

【答案】D

【解题思路】将指数式化为对数式，然后判断a,b,c的范围，结合对数函数、指数函数的单调性判断即可.

【解答过程】4。=6,6"=4,a=log46,/?=log64,

v1=log44<log46<log416=2,0=log6l<log64<log66=1,0=Ini<ln2<Ine=1,

(1,2),bG(0,1),cG(0,1),所以Q>b,

对于A,y=产,。W(0,1)在(0,+8)单调递增，a。>%。，故A错误；

对于B,y=c”,cW(0,1)在R上单调递减，,c。V,故B错误；

对于C,：y=log。W(0,1)在(0,十8)单调递减，log。a<logcb，故C错误；

对于D,,••y=logaX,ae(l,2)在(0,+8)单调递增，.•.]ogacvlogal=0,

又♦;y=logbx,bE(0,1)在(0,+8)单调递减，.•.logbc>logd1=0,

•••logac<log》c,故D正确.

故选：D.

【题型8解不等式问题】

29.(2025•山东济南•一模)已知函数/则f(2x)+f(%-3)>0的解集是()

IJLD,人x**\Jf

A.(-oo,1)B.(l,+8)C.(-oo,-3)D.(-3,+oo)

【答案】A

【解题思路】先判断函数为奇函数，再根据函数单调性解抽象不等式即可.

【解答过程】当%>0时，/(x)=1—ex,—x<0,/(—x)=e~(r)-1=ex—1=—/(x)；

当x<OH'J,/(x)=e*—1,-x>0,/(-x)=1-ex=-/(x)；

且当％=。时，/(x)=0,

所以/(x)为奇函数，

易知/'(%)为R上的递减函数，

则/(2x)+/(%-3)>0<=>/(2x)>—/(x-3)=f(3—x)=>2%<3—x=>x<l,

所以原不等式的解集为(-8,1).

故选:A.

30.(2025・广东茂名•二模)已知函数/(幻=厂产-2ax+tx<%>Qa工力，若人幻<|,则a的取值

I10ga%>乙a,X三JL/

范围是()

A.(0dB.(0当C.停aD.［j,l)

【答案】B

【解题思路】先讨论当XVI时，不等式转化为/+2QX+：N0,确定函数y=/+23+：在x<1时的单

调性得最值即可得此时a的取值范围，再根据此范围确定当％N1时，函数/G)=loga%+2a的单调性，从

而得最值得Q的取值范围，综合可得结论.

【解答过程】当xVl时，不等式f(x)W；为一/-2ax+14,,即M+2ax+：N0,

因为Q>0,QH1,所以函数y="+2QX+：在(-8,-句上单调递减，在(一a,1)上单调递增，

所以ymin=(M+2ax+；)=-a2+|>0,所以OVQW事

\2/min22

由于0VQW4，则当xZ1时，函数/'(x)=log』+2a在［1,+8)上单调递减，

所以/(%)max=/(I)=logal+2G=2a<|,解得0<Q4%所以0<Q4当：

综上，a的取值范围是(0,曰］.

故选：B.

31.(2025・湖北荆门•模拟预测)已知函数/(%)=系一%3+2,则不等式/'(7712)+“加-2)<6的解集为

«5»1

()

A.(-1,2)B.(-8,-1)U(2,+8)

C.(-2,-1)D.(-8,-2)1)(1,+8)

【答案】D

【解题思路】由题意可得/•(—%)+/(幻=6,且/•(%)在R上为减函数，将不等式化简为f(m—2)</(-62),

再由/(%)的单调性可得m-2>-m2,解不等式即可得出答案.

【解答过程】/(%)=岛一/+2=(品-1)一/+3=贰一/+3，

设。(%)=^^一％3,g(x)的定义域为R,

。(一切=言3一(一x)3=言+%3=-g(x),所以gQ)为奇函数，

则/(一%)+/(x)=g(-%)+3+g(x)+3=6,

又因为y=£','=-二+2在R上均为减函数，

DI-X

所以/"(%)在R上为减函数，

22

由/(机2)+f(7n-2)<6可得f(m2)+f(m-2)</(m)+/(-m),

即/(m—2)<f(—zn2),所以7n—2>—m?,

解得：m>1或m<-2.

故选：D.

32.(2025・辽宁・模拟预测)已知函数/(外=｛低]；M：0则不等式*%)31的解集为()

A.[0,2]B.[0,1]C.(-oo,2]D.(-8,1]

【答案】C

【解题思路】分工WO和%>0两种情况，解不等式，得到不等式解集.

【解答过程】由题意可知当xW0时，0<2”工1,故/Xx)=1-2*<1,满足题意；

当x>0时，令log3(x+l)Wl，即0CX+1W3,解得一1<乃式2,所以0cxM2.

综上，x<2.

故选：C.

【题型9指数函数与对数函数的综合应用】

33.(2025•山东泰安・模拟预测)已知函数/"(x)=logz(4x+l)-%-l,则/'(2x-1)V/(x-3)的解集为

()

A.(―2彳)B.(一…)

C.(-8,-2)U6+8)D.(—co,-2)U(-+co)

【答案】A

【解题思路】根据对数的运算性质，可得f(%)=k)g2(2x+5)-l,进而根据奇偶性的定义可判断/'(%)为偶

函数，根据对勾函数的单调性以及及合函数单调性原则可得/(为的单调性，即可求解.

xxxX

【解答过程】/(x)=log2(4+1)-X-1=log2(4+1)-log22-1=log2(罢)-1=log2(2+^)-

xX

1,由于/(一于=log2(2~+p7)-1=log2(2+-1=/(x),

故/(%)为偶函数,

当《>0时，2*>1,则丫=2'+£在(0,+8)单调递增，因此/(%)在(0,+8)单调递增，

因此/(%)在(一8,0)单调递减，

由/1(2%-1)</(%-3)可得|2x-1|<|x-3|,解得-2VxV/

故选：A.

34.(2025・河北•模拟预测)已知函数/(%)=仍一17W是R上的增函数，且关于“的不等式/(a+/)>

f(x)恒成立，则实数a的取值范围是()

A.„B-[-?1]C.卜渭D.[；,1]

【答案】D

【解题思路】根据分段函数的单调性可得出aW1,再由函数/(%)的单调性可得出a+/2%,结合参变量分

离法可得出实数a的取值范围.

【解答过程】因为函数g(x)=a-2-\x<0)与九(x)=ln(x+l)(x>0)均是增函数，

所以，函数y=f(x)是R上的增函数只需满足g(0)Wh(0),即Q-1W0,解得aMl,

由/(a+/)之/(%)得0+/2”,即。工一卜一3+：恒成立，

所以，当％=T时，函数、=一(％-3)+：取得最大值%所以，a>即

因此，实数a的取值范围是

故选：D.

35.(25-26高一上•北京・月考)已知Q€R,函数f(x)=log?(：+a).

(1)当。=一1时，求不等式fa)+1<0的解集；

x

(2)若Q=1,若F(x)=/(2*)+iog2(2+1),XG[-1,3]时，求函数y=/⑴的最值；

(3)当aH3且aH4时，关于乃的方程/(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0的解集中恰好有一个元素，请直接写

出a的取值范围.

【答案】⑴(|,1)

(2)最小值为2,最大值为-3+41og23

(3)(1,2]

【解题思路】(1)根据对数函数的单调性解不等式即可：

(2)利用对数运算化简函数y=F(x)的解析式，再由对勾函数的单调性和复合函数的单调性判断方法求函数

y=FG)的值域，进而得最小值；

(3)利用对数运算将问题转化为方程[+a=(a-4)%+2a-5>0有唯一解，化简成一元二次方程，根据

一元二次方程的根使得对数有意义列不等式，求解即可.

【解答过程】(1)依题意，由。=-1,/(x)+l<0,得logz6-l)<-1,

则0〈工一1V：,即0<口<：

x2x2

解得:<XVI,

所以不等式/(幻+1<0的解集为

⑵由题意知"X)=]og2忌+1|+1脸(2乂+1)=log2写^=log2(2、+£+2),

令t=23xe[-1,3]，得£6盘,8卜

设函数g(t)=t+y+2»tG[^,8,

tIz

所以g(t)在g,1)上单调递减，在(1,8)上单调递增，

且g(3=£9(1)=4，9(8)=果

因此g(t)E卜，舞,

所以(2"十表十2"卜期,

X

则log2(2+^+2)G[log24,log2y]=[2,-34-4log23],

所以函数y=r(x)的最小值为2,最大值为-3+410g23：

(3)由log2(：+Q)=log2[(a-4jx+2a-5],

得:+a=(Q-4)x+2a-5>0①，

化简得(a—4)x2+(a—5)x-1=0②，

当a*3且QH4时，方程②的解为勺=白，X2=-1，

a—4

若%2=-1是方程①的解，则一1+。>0,解得Q>1;

若々=白是方程①的解，M2a-4>0,解得a>2；

由题意，方程①的解集中恰好有一个元素，所以1VQW2.

因此，Q的取值范围为(1,2].

xx

36.(25-26高一上•广东•月考)已知函数/'(%)=loga(2-1)+loga(8-2)(a>0,aH1),函数g(x)=

是R上的偶函数.

(1)求函数/'(X)的定义域；

(2)求匕的值，并求函数。(外的最小值；

(3)若Vx2GK,/(不)Wg(M)恒成立，求实数Q的取值范围.

【答案】⑴(0,3)

(2)b=1；2

⑶(0,1)U[2V5,+8)

【解题思路】(1)根据对数函数的真数大于零列不等式组得IV2》V8,然后解指数函数不等式即可求解定

义域；

(2)利用偶函数的概念列式求得b=l,然后利用基本不等式求解g(x)的最小值；

<3)由题意fCOmaxWg(x)min，由(2)可知fCOmaxW2,然后利用指数函数单调性及二次函数性质求得

KM=—(2X)2+9.2"-8的值域，进而按照Q>1和0<Q<1分类讨论，利用对数函数单调性求得/(%)的

最大值，列不等式即可求解.

xx

【解答过程】(1)fix')=loga(2-1)+loga(8-2)(a>0,a*1),

要使函数人外有意义，则所以IV2、<8,所以0Vx<3,

所以函数/(x)的定义域为(0,3)：

(2)因为函数9(幻=嘤是R上的偶函数，所以g(-%)=gO),

所以与?=当竺二答，所以*+b=l+b-9。所以(尹一1)(6-1)=0,

3A3入3A

由(尹-l)(b-1)=。对xeR恒成立，所以b-1=0,所以b=1；

gW=^=3x+^>2J"=2,当且仅当3*=a即％=0时等号成立，

所以函数g(x)的最小值为2；

(3)fW=loga(2^-l)+loga(8-20=loga(2"-1)(8-2、)

x2x

=loga[-(2)+9-2-8],x6[1,2],

因为Vx2GR,f(7)Mg(小)恒成立,所以f(%)max&g(%)min，

由(2)可知函数g(x)在R上的最小值为2,所以f(x)maxW2,

2

记/1(刈=一(2与2+9・2“-8=-(2、-3+g因为X£[l,2],所以2、£[2,4],所以八⑺E[6,12],

当时，x2X则。"<所以标>所以

a>1fM=loga[-(2)+9-2-8]e[loga6Joga12],log2,12,a>243

<-2V3,又Q>1,所以QN2V5；

当Q时,，X则所以所以一遍<

0V<1fW=logJ-(2)2+9-2-8]6[loga12Joga6],log.6<2,M<6；

。三遍，又0<。<1,所以0<Q<1；

综上，实数a的取值范围为(0,1)U[2通,+8).

一、单选题

1.（2025•黑龙江大庆•模拟预测）己知第函数y="x）的图象经过点（4,2）,则/\3）的值为（）

A.；B.V3C.3D.9

【答案】B

【解题思路】根据给定条件，求出幕函数的解析式，进而求出函数值.

［解答过程】设/（%）=/，则2=4a:.a=；即/（%）=xif（3）=3i=V3,

故选:B.

2.（2025・陕西西安・模拟预测）函数、=喏2的定义域为（）

A.{x\x>—1}B.{x|x工1}

C.{x\x>1}D.{x|x>—1月.工工1}.

【答案】D

【解题思路】根据真数大于零，分母不为零求解.

【解答过程】由题意得，工+1>0且％-1工0,则工>一1且XXI,

则函数y=曙2的定义域为{刈》>-1且％工1}.

故选:D.

3.（2025•江西・一模）若直线y=t（0<t<1）与某函数y=x3,y=V7,y=［的图象从左到右依次交于不

同的三点4B,C,则14cl=()

A.t2B.t3C.VtD.y[t-t2

【答案】A

【解题思路】求得交点4c的横坐标，比较大小可求14cl.

【解答过程】当y=£时，由y=/,得％=证；由y=次，得％=产；由y=%得％}

因为0<£<1,所以、=产是关于x的减函数.

X-1<|<2,所以:>就>严，所以mc|二g—d.

故选：A.

4.（2025・四川内江•一模）某工厂生产的废气要经过多次过滤，若每次过滤能消除废气中豹勺污染物，要使

废气中的污染物不超过原来的焉，则至少需要过滤的次数是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解题思路】由题意得到污染物含量与过滤次数的关系式，根据问题列出不等式，结合指数函数单调性求解

即可.

【解答过程】设初始污染物含量为与，过滤九次后的污染物含量为与，则an=ao・（3"，

要使废气中的污染物不超过原来的点，即为•<去的，

JLMM\O/JLvv

即:即3〃>100,

3n100

由于3Tl随九的增大而增大,且34=81<100,35=243>100,

则至少需要过滤的次数是5次.

故选：D.

5.（2025・四川自贡•一模）已知若logg+log》a=}ab=ba,则ab=（）

A.8B.6C.4D.2

【答案】A

【解题思路】根据给定条件，利用对数运算性质及指数运算求解.

【解答过程】由。>b>1,得log匕a>logb力=1,由loga+log匕a=£得广工一+嗔匕。=,

则10gbQ=2,即a=b2,又小=〃，因此（从»=M2,即〃匕二M2,解得》2=2瓦b=2,

所以ab=b3=8.

故选：A.

6.(2025・天津・二模)已知函数y=2a/(aV0),则此函数是()

A.偶函数，且在区间(-8,0)上单调递减

B.偶函数，且在区间(0,+8)上单调递增

C.奇函数，且在区间(-8,0)上单调递减

D.奇函数，且在区间(0,+8)上单调递增

【答案】C

【解题思路】根据奇函数定义及某函数单调性判断求解.

【解答过程】因为函数/a)=2a，(a<0),定义域为R,

/(-%)=2a(-x)3=-2ax3=-f(x),所以/(%)是奇函数，

因为y=/在区间(―8,+8)上单调递增，QV0,所以函数/"(%)=2Q%3在区间(_8,+8)上单调递减，

故选：C.

7.(2025•四川成都•一模)不等式4%+11-2*|>11的解集为()

A.{x\x<log23}B.{x|x>log23}

C.{x\x<log25}D.{x\x>log25}

【答案】B

【解题思路】令2x=t,t>0,转化不等式为产+|1一1|>11,进而分0<£Vl、两种情况讨论求解

即可.

【解答过程】令2、=t,t>0,

由4*+|1-2X\>11,则隆+|1-t|>11,

当0<tvl时，不等式为/+1-t>11,即产一£一1。>0,

解得tv曾或当亘，由于0<t<l,则不等式无解；

当tZl时，不等式为产+t一1>11,即《

解得tV-4或t>3,由于tZl,则t>3,

即产>3=210gz?,则x>log23.

X

综上所述，不等式於+|1-2\>11的解集为不|%>log23}.

故选:B.

8.(25-26高三上•江西•期中)己知函数/a)=lna-l)—ln(3—x),则/(幻的图象()

A.关于x=1对称B.关于％=2对称

C.关于(1,0)对称D.关于(2,0)对称

【答案】D

【解题思路】求出/(%)的定义域可判断A,C不正确；根据/■(%+2)为奇函数可判断B不正确，D正确.

【解答过程】由/(幻=lna—l)—ln(3—x),得g二;;&，解得1〈无<3,

所以/(%)的定义域为(1,3),故A