2026年高考数学复习（全国）集合与常用逻辑用语（解析版）

专题1.2集合与常用逻辑用语（举一反三专项训练）

【全国通用】

目录

第一部分题型专练

【题型1元素与集合的关系】.....................................................................1

【题型2集合中元素的个数问题】.................................................................2

【题型3集合间的基本关系】.....................................................................4

【题型4集合的交、并、补运算及其求参问题】....................................................5

【题型5集合的新定义问题】.....................................................................6

【题型6充分条件与必要条件】...................................................................8

【题型7全称量词与存在量词】...................................................................9

第二部分分层突破

A组基础跟踪练

B组培优提升练

题型专练

【题型1元素与集合的关系】

1.（2025•河南•一模）己知集合<={幻3。％-240},若1W4且2W4则（）

A.1a|B.a<0

i22

c.-<a<-D.a>-

【答案】C

【解题思路】根据题意列出不等式组即可求出结果.

【解答过程】由题可知164且2任4=£。一：5?

16a—z>0,

解得J<a<^.

故选：C.

2.（2025•广东•模拟预测）若m6{1,3,4,62},则〃?可能取值的集合为（

A.{0,1,4}B.{0,3,4}C.{-1,0,3,4}D.[0,1,3,4）

【答案】B

【解题思路】根据给定条件，利用元素与集合的关系列式计算并验证即得.

【解答过程】由{1,3,4,巾2},得帆2/1,则7nH1,

由抗£{l,3,4,m2},得m=3,此时m?=9,符合题意；

或m=4,此时力理=16,符合题意；或m=m2,则租二0,此时m?=o,符合题意，

所以小可能取值的集合为{034}.

故选:B.

2

3.（2025•广东河源•模拟预测）已知集合4={%|x>a},B=（x\x-ax-3>0},若1£力且1£CR8,则

a的取值范围是（）

A.[—2,1）B.（—2,1）C.[-2,+8）D.（—8,1）

t答案】A

【解题思路】由元素与集合的关系列出不等式组，解之即得.

【解答过程】因为164且1WC/,所以解得-2Wav1.

故选：A.

4.（2025•辽宁•模拟预测）已知集合P={x\x=2k,keZ},Q={x\x=2k+l,kWZ）,M={x\x=4k+l,kE

Z},且awP,b£Q,贝ij（）

A.a+bWMB.a+bWQC.a-bEPD.a•bEQ

【答案】B

【解题思路】根据描述法表示的集合元素特征，对选项逐一判断即可得出结论.

【解答过程】因为QEP，所以a=2"】,kiWZ,因为bWQ,所以8=2心+1/2€2

所以Q+匕=2的+2k2+1=2（自.+&）+16Q，故A错误，B正确；

所以a-b=2ky-2k2-l=2（用.―/-1）+1£Q,故C错误;

所以a•b=2的•（2&+1）=2（2加&+&）W匕故D错误；

故选：B.

【题型2集合中元素的个数问题】

5.（2024・西敏拉萨•一模）集合卜€N||x|<3}中的元素个数为（）

A.2B.3C.5D.7

【答案】B

【解题思路】列举法表示集合，可得解..

【解答过程】卜6N||x|<3]={0,1,2},该集合中的元素有3个，

故选：B.

6.(2024,陕西宝鸡・一模)若集合力=卜£对。%2-2%+1=0}中只有一个元素，则实数Q=()

A.1B.0C.2D.0或I

【答案】D

【解题思路】分类讨论，确定方程有一解时满足的条件求解.

【解答过程】当Q=o时，由数2一2%+1=0可得％=最满足题意：

当aH0时，由a%2-2x+1=0只有一个根需满足△=(-2)2-4a=0,

解得a=1.

综上，实数a的取值为0或1.

故选：D.

7.(25-26高一上•四川成都•期中)由单词“人勿”中的字母作为集合力中的元素，则集合力中的元素个数

为()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解题思路】根据集合的互异性可得出答案.

【解答过程】根据集合的互异性，4=仇,a,p,y},

所以集合力中的元素个数为4.

故选：B.

8.(25-26高二上•湖南•期中)集合A={(x,y)|x=4-2n,y=5-7i,n,x,yWN}的元素个数为()

A.2B.3C.6D.18

【答案】B

【解题思路】根据题意先求出九，进而求出％y即可.

【解答过程】由题意有：ft"：="三2,又MEN,所以九=0,1,2,

I5-n>0In<5

所以俄觥：域普

所以4={(4,5),(2,4),(0,3)},所以4中的元素个数为3个,

故选：B.

【题型3集合间的基本关系】

9.（2025•广东广州•模拟预测）已知集合4={1,3,a?},〃={3,a+2},且8GA,则实数a=（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】D

【解题思路】根据题意可对a+2=1和Q+2=a?分类讨论，再由集合元素的互异性即可求得结果.

【解答过程】由可知a+2=l或。+2=。2；

当a+2=l时，即a=-l,此时小=1,不能满足题意；

当。+2=/时，解得a=2或Q=-1（舍），

a=2时,4={1,3,4},B={3,4},满足题意，

故a=2.

故选：D.

10.（2025•陕西西安•一模）已知7HWR,nER,若集合{m,，1；•={/,m+九,0},则62。25+层025=（）

A.0B.IC.-1D.I或-1

【答案】C

【解题思路】由两集合相等及分式的分母不为。可求出力再利用集合相等和互异性求m,代入计算7九2。25+

M025即可.

【解答过程】因为06植,2,11,mA0,所以乌=0,故—=0,

1mJm

此时集合为{m,0,l}={m2,7n,0},根据集合相等，必有血2=「解得m=l或m=-l.

当执=1时，不满足集合元素的互异性，

当n二一1时，集合为{-1,0,1},符合条件.

所以^2025+n202S=（-1）2025+Q2025=_

故选：C.

11.（2025•浙江杭州•模拟预测）设全集U=Z,集合A={x|%=3k-l,kWZ},B={x|%=6k-l,kWZ},

贝1J（）

A.AQBB.BGAC.A=BD.AB=A

【答案】B

【解题思路】化简集合&再利用集合之间的包含关系即可得到结果.

【解答过程】因为集合4={%|%=3k-l,kWZ},

B={x|x=6/c-l,/cGZ}={X|X=3x2/c-1,/ceZ},故.BQA,

故选：B.

12.（2025・江苏盐城•模拟预测）三知集合4={1,2},B={1,234},则满足条件4£CU8的集合C的个数

为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解题思路】根据给定条件，列举出集合C的可能情况即可.

【解答过程】依题意,集合C可以为：{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},

所以集合C的个数为4.

故透:D.

【题型4集合的交、井、补运算及其求参问题】

13.（2025•陕西西安・三模）已知集合力={-1,0,1,2},S={x|0<%W2},则{n8=（）

A.{0,1,2}B.{0,1}C.{-1,0}D.{1,2}

【答案】D

【解题思路】由交集运算即可求解.

【解答过程】因为4={-1,0,1,2},B={x|0<x<2},

故4n8={1,2},

故选：D.

14.（2025•云南昆明•模拟预测）已知全集。=对集合（={%|忱|45明B=[x\x>2}t则AUQB）=（）

A.{x\x<5}B.{x\x<5}

C.{x\x<2,或x>5}D.{x\-5<x<2}

【答案】A

【解题思路】解不等式求得4进而求得QB,根据集合的并集运算，即可求得答案.

【解答过程】依题意，A=（x\-5<x<5},QJB={x\x<2},故4U（QB）={x\x<5}.

故选：A.

15.（2025•四川成都•二模）已知集合力={万一2<x<2},B={%|l<%<3},则4U8=（）

A.{x|-2<x<3}B.{x|l<x<2}

C.[x\x<3}D.{x\x>2}

【答案】A

【解题思路】根据并集的概念求解..

【解答过程】集合力={x\-2<x<2}tB={xll<x<3},则力U8={划一2VxV3）.

故选：A.

16.（2025•北京海淀•二模）已知集合4={-1,0,1,2},8={n。<%<2}.若aWZ,且4nB={1},则。=

（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【解题思路】根据交集的结果直接得出答案.

【解答过程】由题意知，A={-lt0,ll2],B=[x\a<x<2],

因为aWZ,ACiB={l},

所以a=0.

故选：B.

【题型5集合的新定义问题】

17.（25-26高一上・江西宜春・月考）设尔8是非空集合,定义2XB={x\xEAU8且x14C8},若4={x\2x-

x2>0},B={x\x>1},则Ax8等于（）

A.{x|0<x<1,或%>2}B.{x|0<%<1<或322}

C.{x|0<%<1}D.{x|0<%<2}

【答案】A

【解题思路】解出集合力，利用交集和并集的定义得出集合力UB和AAB,然后利用题中的定义可得出集合力x

B.

【解答过程】解不等式勿―无2之0,即％2一2工40,解得0WXW2,则集合4={耳0式不32}.

所以4UB={x\x>0}Mn8={x\l<x<2},根据集合的定义可得4义B=fx|04%W1或x>2}.

故选:A.

18.（25-26高一上•辽宁•月考）已知集合A={（x,y）\x2+y2<1,x,yWZ},8={（x,y）||x|<2,\y\<2,x,yE

Z）,定义488={（右工2，月、2）1（%1，为）€4（无2，%）£8},则4<8）B中的元素个数为（）

A.11B.9C.7D.5

【答案】B

【解题思路】先求山集合4再根据所绐定义分情况讨论列出4即可判断.

【解答过程】由力二((x,y)|x2+y2<l,x,yez}={(-1,0),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,0)},

而B={(x,y)||x|<2,\y\<2,x,yEZ),

在集合8中,x和y都可以取一2,-1,0,1,2,即不和及都可以取-2,-1,0,1,2,

当占=.1,%=0时，A^B={(-2,0),(-1,0),(0,0),(1,0),(2,0)}；

当均=0,月=一1时，AgB={(0,-2),(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2))；

当%=0,%=0时，A^B={(0,0)1；

当々=0,月=1时，人㊈3={(0,-2),(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2)}；

当々=1,%=0时，A0B={(-2,0),(-1,0),(0,0),(1,0),(2,0)).

综上所述,A0B={(-2,0),(-1,0),(0,0),(1,0),(2,0),(0,-2),(0,-1),(0,1),(0,2)},共9个元素.

故选：B.

19.(2024•湖南怀化•二模)给定整数nN3,有n个实数元素的集合S,定义其相伴数集7={H-b||a,bE

S,a*b),如果min(T)=l,则称集合5为一个n元规范数集.(注：min(X)表示数集X中的最小数).对于

集合M=1.1,2,2.5}、N={-1.5,-0.5,0.5,1.5},贝U()

A.M是规范数集，N不是规范数集B.M是规范数集，N是规范数集

C.M不是规范数集，N是规范数集D.M不是规范数集，N不是规范数集

【答案】C

【解题思路】利用规范数集的定义，逐项判断即可得解.

【解答过程】集合M={-0.1,-1.1,225}中，2eM,2.5€M,贝”2-2.5|=0.5<1,

即M的相伴数集中的最小数不是1,因此M不是规范数集；

集合N={-1.5,-0.5,0.54.5},|-1,5-(-0.5)|=1J-0.5-0.5|=1,|0.5-1.5|=1,

1-1.5-0.5|=|-0.5-1.5|=2.1-1.5-1.5|=3,

即N的相伴数集中的最小数是1,因此N是规范数集.

故选:C.

20.(2024•浙江绍兴•模拟预测)对于集合4,B,定义小5={洌》64且％C8},则对于集合力={%氏=6几十

5,nGN),B={y\y=3m+7fmGN},C=%氏€力_8且为<1000}，以下说法正确的是()

A.若在横线上填入“CT,则。的真子集有212-1个.

B.若在横线上填入“U”,则。中元素个数大于250.

C.若在横线上填入"\"，则。的非空真子集有2图一2个.

D.若在横线上填入“UCN“，则CNC中元素个数为13.

【答案】B

【解题思路】根据各个选项确定相应的集合C,然后由集合与子集定义得结论.

【解答过程】％=6九+5=3x(2n+1)+2,y=3m+7=3(zn+2)+l,集合力,B无公共元素，

选项A中，集合C为空集，没有真子集，A错：

选项B中，由6八+5V1000得九V165；,由+7V1000得加<331,因此。中元素个数为166+331=

6

497,B正确；

选项C中，C中元素个数为166,非空真子集个数为2166一2,c错；

选项D中，CNC=CN(AUQNB)=QNAACJVCC/V^)=CNAA而BGCNA,因此其中元素个数为331个，D

错.

故选：B.

【题型6充分条件与必要条件】

21.(2025•山东•一模)设x,y€R,则>y”是“％>仞”的()

A.充要条件B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解题思路】举反例可说明不充分性，根据绝对值和不等式的性质可说明必要性.

【解答过程】若x=2,y=-4.满足x>y,但不能得到x>|y|.故充分性不成立，

若由于|y|Ny,故x>y,故必要性成立，

故“>y"是、>|y|"的必要而不充分条件，

故选：C.

22.(2025•江西•模拟预测)已知函数/(%)=x-；,则“％=1”是"/(力=-2”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解题思路】根据函数解析式，求解4=1时/(%)的值，与/'(%)=-2解方程得工的值，结合充分条件与必要

条件进行判断即可.

【解答过程】若％=1,则/(%)=-2,反之，若/%=一2,则％=1或%=-3.

故“％=1”是“f(x)=2”的充分不必要条件.

故选：A.

23.（2025•河南•模拟预测）己知集合4=1|3以-2W0｝,则使得“1WA且2C4”成立的一个充分不必要

条件是（）

12121

A.-<a<-B.a<0C.-<a<-D.a>-

33333

【答案】A

【解题思路】当1€A且2cA时求出a的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义可求出答案.

【解答过程】由题可知164且204=8。一：22,解得:VaW；，

所以使得“1€力且2c4”成立的一个充分不必要条件是集合｛aRVQ4|｝的一个真子集，

因为只有选项A中的｛a*VaV|｝是｛。||<«<:｝的真子集，

故选：A.

24.（2025・重庆•模拟预测）若力是8的充分不必要条件，8是C的充要条件，C是。的必要不充分条件,

则总是。的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【解题思路】根据充分不必要条件，充要条件，必要不充分条件：既不充分也不必要条件定义判断即可.

【解答过程】若4是〃的充分不必要条件，8是C的充要条件，。是。的必要不充分条件，

则,4是。的既不充分也不必要条件.

故选：D.

【题型7全称量词与存在量词】

25.（2025•云南昆明•模拟预测）已知命题（0,十8）,x2>x,则命题p的否定是（）

A.3xG（-oo,0]»X2>xB.BxG（0,+co）,x2<x

C.BxE（0,+oo）,x2>xD.Vx6（0,+oo）,x2<x

【答案】B

【解题思路】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可求解.

【解答过程】“V%e（0,+8）,x2>%”的否定是Txe（0,+8）,x2<x”.

故选：B.

26.(2025•陕西西安•模拟预测)知命题p：V%WR,|x+l|>1：命题q:mx>0,必=人则以下为真命题的

是()

A.p和qB.->p和qC.p和->qD.-)p和-iq

【答案】B

【解题思路】根据不等式的解法，可判定命题p为假命题，再由方程的解，可判定命题q为真命题，结合选项,

即可求解.

【解答过程】由不等式可得%+1〈一1或％+1>L解得XV-2或%>0,

所以命题p为假命题，则「p为真命题，

又由％3=%,解得％=0或％=1或%=一1,所以命题q为真命题，则「q为假命题，

故选：B.

27.(2025・辽宁・模拟预测)现有定义在R上的函数f(x),则命题>0,Vxe/?,f(x)<M”的否定为()

A.BM>0,3%G/?,/(x)>MB.VM>0,Vx6R,/(x)<M

C.3M>0,VxGR,>MD.VM>0,3xG/?,/(x)>M

【答案】D

【解题思路】根据存在显词命题的否定为全称扇词命题判断即可.

【解答过程】命题FM>0,VxGR,/(%)<M”为存在量词命题，

则其否定为：VM>0,BxER,/(x)>M.

故选：D.

28.(2025•云南•模拟预测)已知命题：”北£(0,+8),2/-仪+1<0”为假命题，则实数。的取值范围

是()

A.(一s,2«]B.(-8,2]

C.(-oo,l]D.(-oo,l]

【答案】A

【解题思路】根据原命题为假命题得出其否定为真命题，再将问题转化为不等式恒成立问题，最后利用基本

不等式求解实数a的取值范围.

【解答过程】已知命题Fx6(0,+8),2d—ax+ivo”为假命题，根据特称命题的否定为全称命题，

可知其否定(0,+8),2必一以+1刀0”为真命题.

由2x2axI1>0»xC(0,I8),移项可得ax<2x2I1»

因为x>0,两边同时除以x,得到a<2x+:在(0,+8)上恒成立.

在2%+2中，因为x>0,所以太和二都是正实数，则2%+1228]&=2企,

XXXy]X

当且仅当2X=L即x=[时等号成立.

x2

因为a<2x4-:在(0,+8)上恒成立，所以a要小于等于2%+:的最小值2vL

即a<2V2,

所以实数。的取值范围是(一O0,2应].

故选：A.

1.(2025•辽宁沈阳•一模)集合4={%WN||x-l|<2},则集合力=()

A.{1,2}B.[0,1,2}C.{0,1,2,3}D.{-1,04,2,3)

【答案】B

(解题思路】先解绝对值不等式再结合自然数定义计算即可.

【解答过程】集合4={.rGN||x-l|<2)={.rEN|-l<x<3]={0,1,2).

故选：B.

2.(2025•四川绵阳,模拟预测)若命题P：”Vx6(0,2],都有“+：24”，则命题P的否定为()

A.Vx6(0,2]»都有％+~<4B.VxC(0,2]»都有％+：V4

C.3xe(0,2],使得；t+：<4D.mxC(0,2],使得x+：V4

【答案】C

【解题思路】根据存全称词命题的否定是存在量词命题分析判断.

【解答过程】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，

所以命题户的否定为TxW(0,2],使得x+：<4”.

故选：C.

3.(2025•甘肃张掖•模拟预测)方程组二g的解集是()

A.[(x,y)|x=-1,或y=2}B.{(1,-2)}

C一吨二}D.{(3)%；；/1

【答案】D

【解题思路】解方程组，用集合表示即可判断.

【解答过程】由方程组解得[:二所以该方程组的解集为{(一1,2)},

而{(")「二；二；5}=.(")心77)={(T,2)}.

故选：D.

4.(2025•广东江门•模拟预测)设Q,bwR,P={l,-a},Q={-l,b},若P=Q,则a+b=()

A.-2B.0C.1D.2

【答案】D

【解题思路】根据已知集合及相等关系确定参数值，即可得.

【解答过程】由题设，P=Q==:1=。=匕=1,则a+b=2.

故选：D.

5.(2025,辽宁•三模)已知集合M={(x,y)|y=1-xJ,/V={(x,y)|x2=-2y},则MnN的子集个数为()

A.0B.1C.2D.4

【答案】C

【解题思路】根据题意，联立方程组，求得集合MPIN中的元素个数，进而的集合MCIN的子集的个数，得到

答案.

【解答过程】根据题意，联立方程组y=5一”，可得%2一2%+1=0,

x2=-2y

所以(％—1)2=0,解得％=l,y=.即集合MnN={(l,-§},

所以集合MnN的子集个数为2个.

故选:C.

6.(2025•云南昭通・模拟预测)“返V3”是“事之0”的()

9-x

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解题思路】利用两集合相等可得充要条件.

【解答过程】解不等式a<3得解集为[0,9）,解不等式三20得解集也为[0,9）,

所以<3”是“*>0”的充要条件，

9-x

故选：C.

7.（2025・四川成都•三模）已知集合/1={%|-1〈》<1},8={竹03无<2},则4^8=（）

A.{x|-l<x<2}B.{x|0<%<2]

C.{x|0<x<1}D.{x|-1<x<1]

【答案】C

【解题思路】借助交集定义计算即可得.

【解答过程】由4=3-1VAV1},8=3O1XV2},则An8=1|0W=Vl}.

故选：C.

8.（2025•云南•模拟预测）已知全集〃={1,2,3,4,5,6},集合力={3,5},8={2,3,4},则Q（AU，）=（）

A.{1,6}B.{3}C.{3,5}D.{2,3,4,5}

【答案】A

【解题思路】利用集合并集和补集的定义求解即可.

【解答过程】由题可得:AUB=[2,3,4,5）,所以Q（AUB）={1,6}.

故选:A.

9.（2025•江苏泰州•模拟预测）已知口，匕为实数，“aW0”是“abH0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解题思路】利用充分，必要条件的定义判断即可得结论.

【解答过程】由Qb。0,可得QkO且匕毛0,

则由“ab丰0”可得“aH0”,

但是不能由“a丰0”得到“abH0”,因为h可能为0,

则“a00”是“ab工0”的必要不充分条件.

故选：B.

10.（2025•湖南•模拟预测）设集合4={x\-3<x<1],B=（x\-2<x<2],则集合AnB中所含整数的

个数为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解题思路】根据集合的交集，即可求解.

【解答过程】AnB=｛；d—2WxWl｝,其中所含的整数有一2,-1,0,1,共4个.

故选：C.

11.(2025•河北唐山,一模)已知命题p:VxWR,X2>0；命题>0,lnxV0.则()

A.p和q都是真命题

B.p是假命题，q是真命题

C.p是真命题，q是假命题

D.p和q都是假命题

【答案】B

【解题思路】对于判断全称命题为假只需要举反例；对于判断特称命题为真只需要举例说明.

【解答过程】对于命题p：Vx€凡好>0,因为当％=0时，X2=0,故命题p是假命题；

对于命题q:mx>0,lnx<0,当x=｝时，ln^=-1<0,故命题q是真命题.

故选:B.

12.(2025•辽宁•模拟预测)已知集合4、8、C是全集U的三个真子集，A,8、C的关系如Venn图所示，则

图中阴影部分所表示的集合为()

A.ACiB^CB.AC\C+BC\C

C.(AC\C+Br\Q-AC\BC\CD.力n(QCU8)

【答案】B

【解题思路】根据题意，结合集合交集和并集的概念，即可求解.

【解答过程】如图所示，根据集合交集和并集的概念，可得阴影部分表示集合为G4nc)u(8nc),

即阴影部分表示集合为AnC+8nC.

故选：B.

B组培优提升练

一、单选题

1.（2025•广西•模拟预测）己知集合4={%6Z|x=3k+2,kEZ},B={x€Z|%=6k-l,k€Z},则（）

A.4=BB.A£BC.BQAD.AC\B=0

【答案】C

【解题思路】先证明对任意》0€从则%£4再证明26力，但2乃4,由此可得结论.

【解答过程】对任意aeB,存在%eZ,使得&=6ko-1，

由于々=640—1=3（2版-1）+2,令k'=2ko-l,贝味‘€Z’所以殉=3k'+2€4故

又2€/1（当k=0时），但2c8（由6k-1=2解得k=gwZ）,所以8是4的真子集，

故选：C.

2.（2025•湖北恩施・模拟预测）已知全集（/=比£鹿优工3},A={1,2},B={1,3},则集合Q（AnB）的真

子集个数为（）

A.3B.4C.7D.8

【答案】C

【解题思路】求解补集，再根据元素个数计算真子集个数.

【解答过程】U={0,1,2,3],AOB={1},Cu（4nB）={0,2,3},

则集合QG4nR）的真子集个数为7个.

故选:C.

3.（2025•河南洛阳•模拟预测）已知命题p："a>2是。2一。>0的充分不必要条件"；命题q：

Fx>0,/=3炉”.则下列正确的是（）

A.p和q都是假命题B.-ip和q都是假命题

C.p和-iq都是假命题D.-ip和~«q都是假命题

【答案】D

【解题思路】先判断每个命题的正误，再判断命题的否定的正误即可.

【解答过程】令十一a>0,解得QV0或a>1,

则a>2可以推出/-a>0,充分性成立，

a?-。>0推不出。>2,必要性不成立，

得到Q>2是a?一Q>o的充分不必要条件，

故P是真命题，则「P是假命题，

令f=3%3,得到3x3-X2=0,化简得%2(3%-1)=0,

解得％=0或%=则三%>0,x2=3x3,

故q是真命题，则「q是假命题，

即和」q都是假命题，故D正确.

故选：D.

4.(2025•山东泰安•模拟预测)已知全集为R,集合4={x|lvx<2},B={x\x>4},则()

A.AC\B=AB.Ai)B=R

C.Bn(CM=BD.AU(CRB)=A

【答案】C

【解题思路】根据交集的运算判断A,根据并集的运算举反例判断B,根据补集和交集的运算判断C,根据

补集和并集的运算判断D.

【解答过程】对于A选项，因为4={无|1Vx<2},5={x|x>4},所以4nB=0H4故A不正确；

对于B选项，因为3WR,但3C4UB,得力U84R,故B不正确；

对于C选项,由B={x|x>4},X={x|l<x<2],则={川%W1或％N2},

所以8c1((:储1)=B,故C正确；

对于D选项，由8={%|x>4},得CRB={%|x44},

又4={x|l<x<2},所以力U(CRB)={x\x<4}A,故D不正确.

故选：C.

5.(2025•北京丰台•二模)已知关于x的方程台+bx+c=0(b,cER)的两实根为孙孙则“%1=咫I”是“关

于力的不等式%2+bx+c<0的解集为0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解题思路】利用充分条件、必要条件的定义，结合二次方程的根的情况与二次函数图象、二次不等式的解

集之间的联系，推导证明可得出结论.

【解答过程】充分性的判断：

若%I=1^21»则无1=外或必=一X2，

当勺=犯时，美于%的方程X?IbxIc=0有两个相等的实数根，则&=b24c=0,

因为二次函数y=x2+bx+c开口向上，所以关于力的不等式d+bx+c<0的解集为0；

当%1=-％2时，关于X的方程+bx+C=0有两个不相等的实数根，不妨设％1<%2，

2

因为二次函数y=x+bx+C开口向上，所以关于X的不等式%2+bx+c<0的解集为(必产2).

所以，由"％|二|必|"不能推出“关于4的不等式%2+式+CVO的解集为0”,充分性不成立.

必要性的判断：

若关于刀的不等式%2+/?%+c<0的解集为0,因为二次函数y=x2+bx+c开口向上，所以A=Z)2-4c<0,

又因为关于%的方程“2+bx+C=0有两个实数根修,也，则修二%2,则1无11=1必1，必要性成立.

综上，=|%2/’是"关于％的不等式美+bx+c<Q的解集为0”的必要不充分条件.

故选：B.

6.(24-25高一上•北京•月考)设C(M)表示非空集合M中元素的个数，已知非空集合48.定义A6)8=

S-%曰2亍,若4={1，2}，B={x|(x2+0X)(/+女+2)=0}且4JB=1,则实数Q的所

有取值为()

A.0B.0,-2乃C.0,2>/2D.-2V2,0,2V2

【答案】D

【解题思路】由题意可得集合8中的元素个数为1个或3个，分集合8中的元素个数为I和集合B中的元素个

数为3两种情况，再结合一元次方程根的个数求解即可.

2

【解答过程】解：由(7+ax)(%+ax+2)=0可得/+ax=0或/+QX+2=0,

又因为A={1,2},A0B=1,

所以集合8中的元素个数为1个或3个，

当集合8中的元素个数为1时，则必+。%=()有两相等的实数根，且%2+。工+2=0无解，

所以［2次：0八，解得Q=0;

当集合B中的元素个数为3时，则%2+QX=0有两不相等的实数根，且%2+。无+2=0有两个相等且异于

方程Y+ax=0的根的解，

所以1A"2Uc，解得a=2匹或a=-2后

综上所述，a=0或a=2&或a=-2&.

故选：D.

二、解答题

7.(2025,湖北•模拟预测)已知集合”={1,2,…,n},n£C«,5、8是M的非空子集.记集合A+B={(%+y)

除以"的余数|%€Ay€B}.若正整数几满足：存在非空集合力、8,使得八十B两两的交集为空集，且71UBU

(A+B)={0,1,2,…，八一1},则称n为“好的”.

⑴设A={1},B={2,4},当九=5时,求A+8,并直接判断n=5是否为“好的”;

(2)证明:n=8是“好的”,九=16是“好的”；

(3)求所有“好的”正整数.

【答案】(IM+B={0,3},n=5是“好的”

(2)证明见解析

(3)除1、2、4外的正整数

【解题思路】(1)根据题中定义可求出集合力+B,并由此作出判断；

(2)当九=8时，取集合4={1,2},8={3,6}；当九=16时,取集合4={1,2,9,10},B={3,6,11,14},结合

题中定义验证可得出结论；

(3)先证明出：若正整数n是“好的％则2n也是“好的”，再证：〃N3为奇数是“好的"，"二4不是“好的”，

同理易知n=l,2不是“好的”，由此可得出结论.

【解答过程】(1)当九二5时、由题中定义可得4+B={0,3},且4UBU(A+8)={0,l,2,3,4},故九二5是

“好的”.

(2)V=8时，取/={1,2},8={3,6},则无+y的值为4、7、5、8,除以8的余数为4,7,5,0.

所以4+8=[4,57,0},此时4U8U(4+7)={0,1,2,3,456,7},合乎题意;

九=16时，取力={1,2,9,10},B={3,6,11,14},

x+y的值分别为4,7,12,15,5,8,13,16,20,23,21,24,除以16的余数为4,7,12,15,5,8,

13,0.

所以A+B={4,5,7,8,12,13,15,0},则AUBU(A+B)={0,1,2,3,4,…,15},满足条件.

故n=8是“好的”,n=16是“好的”.

(3)①首先证明:若正整数n是“好的”,则2n也是“好的”.(*)

事实上，若正整数"是“好的”，

设4=B=仍卜匕2,…,”}，A+B={c},c2,---,cr],此时集合力、8满足九时条件.

2n时,考虑C={aA,a2,•••,as,aA+n,a2+n,…，a$+n},D={瓦,如…，瓦,+n也+n,…，/+n),

则C+。={C],C2,…,G，C1+n,C2+九，…,十"}也满足条件，(*)得证.

②再证:n>3为奇数是“好的”.(**)

事实上，取4={1},B={2,4,6,…,九一1},则4+B={3,5,7,…,九一2,0}满足条件，(**)得证.

由(*)(**)及(2)知除1,2,4外