人教版九年级下册26.1.2 反比例函数的图象和性质第2课时教学设计及反思

人教版九年级下册26.1.2反比例函数的图象和性质第2课时教学设计及反思科目授课班级授课教师课时安排授课题目教学准备教学内容：一、教学内容本课时为人教版九年级下册第二十六章反比例函数26.1.2反比例函数的图象和性质第2课时。主要内容：通过观察反比例函数图象，探究其增减性（k>0时，每个象限内y随x增大而减小；k<0时，每个象限内y随x增大而增大），图象关于原点对称的性质；运用性质解决比较函数值大小、确定k符号及简单实际问题。核心素养目标：二、核心素养目标通过反比例函数图象的观察与分析，发展直观想象素养，把握函数性质与图象的关联；探究k值对函数增减性、对称性的影响，提升逻辑推理能力；运用性质解决比较函数值大小、确定k符号等问题，强化数学运算素养；结合实际问题建立函数模型，体会数学建模思想，培养应用意识。教学难点与重点： 1.教学重点：反比例函数的增减性及对称性。核心内容包括k>0时，每个象限内y随x增大而减小；k<0时，每个象限内y随x增大而增大；图象关于原点对称。例如，比较y1=3/x与y2=-3/x在x=2时的函数值大小，需结合k符号及象限判断；通过图象观察点(1,3)与(-1,-3)关于原点对称，理解对称性。

2.教学难点：理解“每个象限内”增减性的限制及性质与图象的对应关系。学生易忽略象限限制，如k<0时，误认为x越大y越大，实际需在同一象限内比较。例如，x1=-2，x2=-1（k=-2），y1=1，y2=2，应在第二象限内理解y随x增大而增大；结合图象上点的位置，将抽象性质与直观图象关联，突破理解障碍。教学方法与策略：1.教学方法：采用讲授法结合探究式学习，通过精讲反比例函数性质，引导学生观察图象特征，小组讨论k值对增减性的影响，深化理解。

2.教学活动：设计“图象性质探究”活动，学生分组绘制不同k值的函数图象，标注对称点，归纳性质；设置“函数值大小比较”案例，运用性质解决实际问题。

3.教学媒体：使用几何画板动态演示图象变化，直观展示k值与图象位置、增减性的关系，辅助学生突破抽象难点。教学过程：五、教学过程

**环节一：复习旧知，导入新课（5分钟）**

师：同学们，上节课我们学习了反比例函数的图象，还记得反比例函数y=k/x（k≠0）的图象是什么形状吗？

生：是双曲线，当k>0时，图象在一、三象限；当k<0时，图象在二、四象限。

师：非常好！这节课我们继续探究反比例函数的图象和性质，重点研究它的增减性和对称性。请大家拿出坐标纸，先画出y=2/x和y=-2/x的图象，并标出几个关键点的坐标，比如x=1,2,-1,-2时的y值。

**环节二：探究反比例函数的增减性（15分钟）**

师：现在请同学们观察y=2/x的图象，当x在第一象限逐渐增大时，y的值怎么变化？比如x从1增加到2，y从2变成1；x从2增加到3，y从1变成2/3，你们发现了什么？

生：y随着x的增大而减小。

师：那如果x在第三象限呢？比如x从-2增加到-1，y从-1变成-2，又有什么规律？

生：y随着x的增大而减小。

师：没错！所以当k>0时，反比例函数在每个象限内，y随x的增大而减小。再来看y=-2/x，当x在第二象限，比如x从-2增加到-1，y从1变成2；x在第四象限，x从1增加到2，y从-2变成-1，又有什么规律？

生：y随着x的增大而增大。

师：总结一下：当k<0时，反比例函数在每个象限内，y随x的增大而增大。这里要特别注意“每个象限内”，比如k>0时，不能拿第一象限的x和第三象限的x比较，必须在同一个象限内变化。

**环节三：探究反比例函数的对称性（10分钟）**

师：现在请大家观察y=2/x的图象，点(1,2)和(-1,-2)有什么位置关系？点(2,1)和(-2,-1)呢？

生：它们关于原点对称。

师：对！反比例函数的图象关于原点对称。那如果图象上有一点(a,b)，那么它关于原点的对称点坐标是什么？

生：(-a,-b)。

师：验证一下：因为b=k/a，所以-k/a=-b，所以(-a,-b)也在图象上，这说明图象关于原点对称。

**环节四：例题讲解，突破难点（15分钟）**

师：来看例1：比较y1=3/x和y2=-3/x在x=2时的函数值大小。

生：x=2>0，所以y1=3/2=1.5，y2=-3/2=-1.5，所以y1>y2。

师：很好！那如果x=-2呢？

生：y1=3/(-2)=-1.5，y2=-3/(-2)=1.5，所以y1<y2。

师：这说明比较函数值大小时，不仅要看k的符号，还要看x的符号确定象限。再看例2：已知反比例函数y=k/x的图象经过点(-2,3)，求k的值，并判断函数的增减性。

生：k=(-2)×3=-6，所以y=-6/x。因为k<0，所以在每个象限内，y随x的增大而增大。

师：完全正确！这里k=xy，只要知道图象上一个点的坐标，就能求出k的值。

**环节五：巩固练习，应用性质（10分钟）**

师：现在请大家完成练习1：判断下列说法是否正确：（1）k>0时，y随x的增大而减小；（2）k<0时，y随x的增大而增大；（3）图象关于原点对称。

生：（1）正确，但要在每个象限内；（2）正确，也要在每个象限内；（3）正确。

师：练习2：若反比例函数y=k/x的图象在第二、四象限，则k______，当x<0时，y随x的增大而______。

生：k<0，增大。

师：练习3：已知点A(1,2)在反比例函数y=k/x的图象上，点B(-3,m)也在图象上，比较yA和yB的大小。

生：k=1×2=2，所以yB=2/(-3)=-2/3，yA=2，所以yA>yB。

**环节六：课堂小结，梳理知识（3分钟）**

师：这节课我们学习了反比例函数的哪些性质？

生：增减性和对称性。k>0时，每个象限内y随x增大而减小；k<0时，每个象限内y随x增大而增大；图象关于原点对称。

师：非常好！记住“每个象限内”这个限制，是解决问题的关键。

**环节七：布置作业，分层拓展（2分钟）**

师：作业：1.基础题：课本P10练习1、2；2.提升题：已知反比例函数y=k/x的图象经过点(3,-4)，求k的值，并画出图象，写出增减性；3.拓展题：若反比例函数y=k/x和y=2/x的图象有一个交点，求k的值，并说明两个函数的增减性关系。

师：这节课我们就上到这里，下节课我们继续学习反比例函数的应用，同学们再见！

生：老师再见！教学资源拓展：1.拓展资源：反比例函数的物理模型应用，如欧姆定律中电压U不变时，电流I与电阻R成反比，函数关系式为I=U/R，图象为双曲线，体现k=U的物理意义；万有引力定律中两物体质量m1、m2不变时，引力F与距离r的平方成反比，可转化为F=k/r²（k=Gm1m2），深化对k值实际意义的理解。反比例函数的对称性延伸，解析式y=k/x中，x与y互为反比例，即xy=k，图象上任意一点(a,b)与其关于原点的对称点(-a,-b)均在图象上，这种对称性在几何中体现为双曲线的中心对称。反比例函数与一次函数的综合应用，如y=k1/x与y=k2x+b的交点问题，通过联立方程k1/x=k2x+b，整理得k2x²+bx-k1=0，根据判别式Δ=b²+4k1k2判断交点个数，结合图象分析增减性。反比例函数在实际中的广泛案例，如工程中完成固定工作量时，工作效率与工作时间成反比，函数关系为y=W/x（W为工作量）；经济学中商品价格与需求量在一定条件下成反比，体现函数模型的实际价值。反比例函数的增减性深化，当k>0时，x→0+，y→+∞；x→+∞，y→0+，理解函数的渐近线（坐标轴）及变化趋势，渗透极限思想。

2.拓展建议：自主绘制函数图象，选取k=1、k=-1、k=2、k=-2的反比例函数，在同一坐标系中描点绘图，标注关键点（如x=1,2,-1,-2时的y值），观察k正负对图象所在象限、增减性（如k>0时第一象限x增大y减小，第三象限x增大y减小）及对称性的影响，总结规律并记录。跨学科实践应用，结合物理电学实验，用固定电源（如U=6V），改变电阻R（如5Ω、10Ω、15Ω），记录电流I，计算IR值，验证I=6/R，绘制I-R图象，分析图象特征（双曲线，在第一象限，R增大I减小），解释“每个象限内”增减性的实际意义。错题归类整理，收集反比例函数典型错题，如“已知y=(k-2)/x，当x>0时，y随x增大而增大，求k取值范围”（易忽略k-2<0），分析错误原因（混淆k正负与增减性的关系），归纳解题步骤：先确定k符号，再结合增减性列不等式。知识结构梳理，用思维导图梳理反比例函数的定义（y=k/x,k≠0）、图象（双曲线）、性质（增减性、对称性、k的几何意义），与一次函数（y=kx+b）对比定义式、图象形状、增减性（k>0时y随x增大而增大，k<0时减小），明确反比例函数需“每个象限内”讨论增减性，而一次函数无需限制。解决实际问题，完成课本P12习题26.1第10题变式：某水池进水速度为vm³/h，注满水池需th，若水池容量为60m³，则v与t的函数关系为v=60/t，判断当t>0时，v随t的变化情况（t增大v减小），解释进水速度与时间的关系。探究拓展问题，已知反比例函数y=k/x的图象与正比例函数y=2x在第一象限交于点A，OA=2√2，求k值（联立y=k/x与y=2x，得x²=k/2，由OA=2√2，得x²+y²=8，代入y=2x，得5x²=8，x²=8/5，所以k/2=8/5，k=16/5）；若点B是反比例函数图象上另一点，且S△OAB=4，求点B坐标（设B(x1,y1)，则S△OAB=|x1y1-0|/2=|k|/2=4，所以k=±8，结合k=16/5舍去，取k=8，B坐标满足y1=8/x1，由面积公式得|8|/2=4，验证成立）。典型例题讲解：例1：已知反比例函数y=6/x，当x=2时，y=______。

答案：y=6/2=3。

例2：若反比例函数y=k/x的图象在第二、四象限，则k的取值范围是______。

答案：k<0。

例3：点A(-2,3)在反比例函数y=k/x的图象上，则k=______；当x>0时，y随x的增大而______。

答案：k=(-2)×3=-6；增大（k<0时，每个象限内y随x增大而增大）。

例4：比较y1=4/x与y2=-4/x在x=-1时的函数值大小。

答案：x=-1<0，y1=4/(-1)=-4，y2=-4/(-1)=4，故y1<y2。

例5：某工程队完成一项工程，工作效率y（单位：项/天）与工作时间x（单位：天）满足y=60/x，当x=15天时，y=______；若工作时间减少到10天，工作效率变为______。

答案：y=60/15=4项/天；y=60/10=6项/天（工作时间减少，工作效率增大）。教学评价与反馈：1.课堂表现：学生能准确绘制反比例函数图象，标注关键点坐标，回答问题时多数能说出k>0时图象在一、三象限，k<0时在二、四象限，但部分学生描述增减性时易忽略“每个象限内”的限制，需教师及时纠正。

2.小组讨论成果展示：各小组通过绘制y=2/x、y=-2/x图象，归纳出k>0时y随x增大而减小、k<0时y随x增大而增大的规律，能举例说明同一象限内的变化，如第一象限x=1时y=2、x=2时y=1，验证了减函数性质。

3.随堂测试：80%学生能正确完成“比较y1=4/x与y2=-4/x