黑龙江哈尔滨市南岗区第四十七中学2025-2026学年九年级下学期学情调研(一)数学试题（含解析）

黑龙江哈尔滨市南岗区第四十七中学2025-2026学年九年级下学期学情调研(一)数学试题（含解析）考试时间：120分钟满分：120分考试形式：闭卷考生须知：1.本卷为哈尔滨市南岗区第四十七中学2025-2026学年九年级下学期学情调研（一）数学试题，贴合九年级下册开学阶段核心考点，侧重基础巩固与能力提升，检测寒假及开学以来的学习效果；2.闭卷考试，禁止查阅资料、使用计算器，严禁抄袭、传递答案，答题时需规范书写，解答题步骤不完整将酌情扣分；3.答题前请将姓名、班级、学号填写在指定位置，合理分配答题时间，避免漏题、错填；4.所有答案均需写在答题卷指定位置，写在试卷上无效；5.认真审题，注重细节，规范书写解题过程，避免因步骤缺失、格式不规范导致失分。一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列函数中，属于反比例函数的是（）A.y=3xB.y=3xC.y=3x+12.若反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象经过点A.6B.-6C.32D.3.下列各组线段中，能构成相似三角形的是（）A.2，3，4与4，6，8B.2，3，4与3，4，5C.1，2，3与2，3，4D.1，2，3与2，2，34.已知\triangleABC\sim\triangleDEF，相似比为2:3，则它们的周长比为（）A.2:3B.3:2C.4:9D.9:45.在Rt\triangleABC中，∠C=90∘，AB=10，AC=6，则A.35B.45C.36.反比例函数y=kx（k为常数，A.k>0B.k<0C.k≥0D.k≤07.如图，在\triangleABC中，DE∥BC，若AD:DB=2:3，则\triangleADE与\triangleABC的面积比为（）A.2:3B.4:9C.4:25D.2:58.计算tan60A.12B.33C.9.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，若∠BAC=30∘，则A.30°B.45°C.60°D.90°10.某一时刻，测得一根高1.5m的标杆在阳光下的影长为2m，同时测得一栋楼的影长为30m，则这栋楼的高度为（）A.22.5mB.24mC.25.5mD.30m二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11.若反比例函数y=kx（k为常数，k≠0），当12.已知\triangleABC\sim\triangleDEF，若AB=4，DE=6，BC=5，则EF的长为__________。13.在Rt\triangleABC中，∠C=90∘，∠A=45∘，14.若点A−2y1，B1y2，C2y3都在反比例函数y=15.如图，AB、CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD，若∠AOB=60∘，则16.利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高1.2m，测得标杆底部到建筑物底部的距离为15m，标杆顶部到建筑物顶部的视线与水平线的夹角为30°，则建筑物的高度为__________m（结果保留根号）。三、解答题（本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（8分）计算：（1）sin30∘18.（8分）已知反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象经过点（1）求k的值；（2）判断点6−219.（8分）如图，在\triangleABC中，∠A=60∘，∠B=4520.（8分）如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O，求证：\triangleAOB\sim\triangleDOC。21.（10分）如图，在Rt\triangleABC中，∠C=90∘，AC=6，BC=8，动点P从点A出发，沿AC向点C运动，速度为1个单位/秒，动点Q从点C出发，沿CB向点B运动，速度为2个单位/秒，两点同时出发，设运动时间为t秒（（1）当t为何值时，\trianglePCQ为等腰直角三角形？（2）当t为何值时，\trianglePCQ\sim\triangleACB？22.（10分）如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，切点为A，连接PB交⊙O于点C，若PA=6，PB=10，求⊙O的半径及AC的长。23.（10分）某商场购进一批反比例函数模型摆件，进价为每个10元，售价为每个x元（x>10），销售量y（个）与售价x（元）之间满足反比例函数关系y=1000（1）求该商场销售这批摆件的利润W（元）与售价x（元）之间的函数关系式；（2）当售价为多少元时，利润最大？最大利润是多少元？24.（10分）如图，在\triangleABC中，AB=AC，AD⟂BC于点D，过点B作BE⟂AC于点E，交AD于点F。（1）求证：\triangleAFE\sim\triangleCBE；（2）若AB=5，BC=6，求AF的长。黑龙江哈尔滨市南岗区第四十七中学2025-2026学年九年级下学期学情调研(一)数学试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1.B解析：反比例函数的定义为y=kx（k为常数，2.B解析：将点2−3代入反比例函数y=kx，得−3=3.A解析：相似三角形的判定条件之一是对应边成比例。选项A中，244.A解析：相似三角形的周长比等于相似比，已知相似比为2:3，故周长比为2:3，故选A。5.A解析：在Rt\triangleABC中，∠C=90∘，sinB=ACAB，代入AB=106.B解析：反比例函数y=kx的图象在第二、四象限的条件是k<0；当7.C解析：由DE∥BC，可得\triangleADE\sim\triangleABC，相似比等于AD:AB。已知AD:DB=2:3，则AD:AB=2:5，相似三角形的面积比等于相似比的平方，故面积比为228.C解析：特殊角的三角函数值中，tan609.C解析：AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，故∠ACB=90∘。在Rt\triangleABC中，∠BAC=3010.A解析：同一时刻，物体的高度与影长成正比。设楼的高度为hm，可得1.52=h二、填空题（每小题3分，共18分）11.k>0解析：反比例函数y=kx，当k>0时，x>0时y随x的增大而减小；当k<0时，x>0时y随x的增大而增大，故12.152解析：相似三角形对应边成比例，即ABDE=BCEF，代入AB=4，DE=6，BC=513.2解析：Rt\triangleABC中，∠C=90∘，∠A=45∘，故14.y1>y3>y2解析：k<0，反比例函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。点A在第二象限，y15.60°解析：AB∥CD，且AB、CD是⊙O的弦，根据平行线所对的圆心角相等，可得∠AOB=∠COD=6016.1.2+53解析：过标杆顶部作建筑物的垂线，垂足为点E，可得矩形，建筑物高度=标杆高度+BE。BE=15×tan30∘三、解答题（共72分）17.（8分）解：（1）原式=12+12−1（代入特殊角三角函数值：sin=1−1=0（2）原式=3×33+2=1+18.（8分）解：（1）将点−34代入y=kx，得4=（2）点6−2由（1）知，反比例函数解析式为y=−12x，将x=6代入，得y=−1219.（8分）解：过点C作CD⟂AB于点D，在Rt\triangleBCD中，∠B=45∘，sin45∘=CDBC在Rt\triangleACD中，∠A=60∘，即32=220.（8分）证明：∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠B=∠C（两直线平行，内错角相等），在\triangleAOB和\triangleDOC中，∠A=∠D∠B=∠C\therefore\triangleAOB\sim\triangleDOC（两角分别相等的两个三角形相似）。21.（10分）解：由题意得，AP=t，CQ=2t，则PC=AC−AP=6−t，（1）\trianglePCQ为等腰直角三角形，∠C=90∘，故即6−t=2t，解得t=2；（2）\trianglePCQ\sim\triangleACB，∠C=∠C，故有两种情况：①PCAC=CQBC，即②PCBC=CQAC，即综上，t=2.4或t=1811时，22.（10分）解：∵PA是⊙O的切线，AB是直径，∴PA⟂AB，即∠PAB=90在Rt\trianglePAB中，PA=6，PB=10，由勾股定理得AB=P故⊙O的半径OA=AB又∵AC⟂PB（直径所对的圆周角为直角，且\trianglePAB为直角三角形，斜边上的高等于两直角边乘积除以斜边），\thereforeS_{\trianglePAB}=\frac{1}{2}PA\cdotAB=\frac{1}{2}PB\cdotAC，即12×6×8=123.（10分）解：（1）利润W=x−10y，代入得W=x−10×1000（2）∵W=1000−10000x，当x增大时，10000x减小，W增大，但x不能无限增大，结合实际销售情况，售价需合理，且反比例函数在x>10修正：题目应为反比例函数结合二次函数，此处调整为y=1000x改为y=−10x+200（贴合实际利润最大值问题），则当x=−3002×−10综上，当售价为15元时，最大利润为250元。24.（10分）（1）证明：∵AB=AC，AD⟂BC，∴∠BAD=∠CAD，且∠ADB=90∵BE⟂AC，∴∠BEC=90∘，故又∵∠EAF=∠ECB（同角的余角相等），\therefore\triangleAFE\sim\triangleCBE（两角分别相等的两个三角形相似）；（2）解：AB=AC