2026年天津市南开区高三一模高考数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025—2026学年度第二学期高三年级质量监测（一）数学学科试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至9页.第Ⅰ卷注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.参考公式：·如果事件，互斥，那么.·对于事件，，，那么.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知，则“”是“为偶函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知，，，则（

）A． B． C． D．4．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．5．下列说法正确的是（

）A．样本数据点的中心不一定在线性回归直线上B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C．回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线D．如果两个变量的相关性越强，则相关系数就越接近于16．已知是函数的一条对称轴，且，则（

）A． B． C．或 D．或7．已知，则（

）A． B． C． D．8．已知矩形中，，，将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列说法正确的是（

）A．存在某个位置，使得直线与直线垂直B．存在某个位置，使得直线与直线垂直C．存在某个位置，使得直线与直线垂直D．对任意位置，三对直线“与”，“与”，“与”均不垂直9．双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（

）A． B． C． D．第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；2.本卷共11小题，共105分.二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10．是虚数单位，，则______.11．的展开式中的常数项为_______．12．过点及圆：与抛物线的一个交点的直线被圆截得的弦长为______.13．学校举办“校园歌手大赛”，某参赛同学的参赛曲库中有5首歌，分别是：抒情歌1首，流行歌2首，摇滚歌2首.若他演唱这三类歌曲能晋级下一轮的概率分别为，，，他比赛时，随机从这5首歌里选择一首演唱，则他能晋级的概率为______；若他晋级了，则这名学生是演唱流行歌晋级的概率为______.14．在中，，点在线段上，点在线段上，且满足，.记，，用和表示______；若，，则______.15．已知，，若函数在区间上至少有一个零点，则的最小值是______.三、解答题：本大题共5题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．在中，内角，，的对边分别为，，.已知，，.(1)求角的大小；(2)求的值；(3)求的值.17．如图，在四棱锥中，平面，，，，分别是棱，的中点，.(1)证明：平面；(2)求点到平面的距离；(3)求平面与平面夹角的余弦值.18．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，短轴长为2，过右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于第一象限的点，且.(1)求椭圆的方程；(2)直线：（）与椭圆交于点，，若椭圆上存在点使得四边形为平行四边形.且，求的值.19．已知等差数列的公差为2，正项等比数列的首项为2，且，.(1)求和的通项公式；(2)若，记数列，的前项和分别为，，求使（）成立的的最小值；(3)在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列，.求.20．已知函数，.(1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的方程；(2)在（1）的条件下，若恒成立，求实数的取值范围；(3)设，证明：函数有两个零点，（），且满足.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．C【分析】首先列举法求出集合，再根据并集的定义求即可.【详解】解方程得，所以.又，所以.故选：C.2．A【详解】当时，为偶函数，故充分性成立，为偶函数时，,故必要性不成立，故“”是“为偶函数”的充分不必要条件.3．B【详解】由函数的单调性可知：，即,又,故.4．D【分析】根据函数的奇偶性以及，逐一验证选项，即可求解.【详解】由图可知：的图象关于坐标原点对称，故为奇函数，且，对于A，，故为偶函数，不合题意，对于C，，故为偶函数，不合题意，对于B，，故为奇函数，但，不合题意，对于D，，故为奇函数，，符合题意.5．B【分析】根据线性回归直线的性质可判断选项ABC；根据相关系数的性质可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于选项A：样本数据点的中心一定在线性回归直线上，故A错误；对于选项B：残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故B正确；对于选项C：线性回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点，故C错误；对于选项D：如果两个变量的相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1，故D错误；故选：B.6．B【分析】根据对称轴过最值点可知，利用可求得，由此可得，代入即可.【详解】由是函数的一条对称轴，知，∵，，，，，又，，，.故选：B.7．BCD【分析】根据不等式的性质依次判断即可.【详解】对于A，由，得，故A错误；对于B，由，得，即，故B正确；对于C，由，得，故C正确；对于D，由，得，又，故，故D正确．故选：BCD．8．B【分析】A选项，假设存在某个位置，使得直线与直线垂直，推出⊥，得到矛盾；B选项，假设存在某个位置，使得⊥，推出⊥平面，由可知，存在这样的等腰直角三角形；C选项，假设存在某个位置，使得直线与直线垂直，推出⊥，由于，所以不存在这样的直角三角形；D选项，由ABC可推出D错误.【详解】矩形在翻折前和翻折后的图形如图（1）、图（2）所示．在图（1）中，过点A作⊥，垂足为E，过点C作⊥，垂足为F，由边不相等可知点不重合．在图（2）中，连接，对于选项A，若⊥，又知⊥，，所以⊥平面，所以⊥，与点不重合相矛盾，故选项A错误；对于选项B，若⊥，又知⊥，，所以⊥平面，所以⊥，由可知，存在这样的等腰直角三角形，使得直线与直线垂直，故选项B正确；对于选项C，若⊥，又知⊥，，所以⊥平面，所以⊥，已知，，则，所以不存在这样的直角三角形，故选项C错误；由以上可知选项D错误．故选：B．9．B【分析】设切点为，，连接，过点作⊥轴于点E，由三角形面积公式及双曲线定义得到，，，再结合余弦定理即可求解.【详解】设切点为，，连接，则，，过点作⊥轴于点E，则，故，因为，解得，由双曲线定义得，所以，在中，由余弦定理得，化简得，所以，解得，所以离心率.故选：B10．【详解】因为，所以.11．【分析】根据二项式展开式的通项公式，将代入通项中即可得到常数项.【详解】展开式通项为：；令，解得：，展开式中的常数项为.故答案为：.12．【详解】联立，解得或，所以交点坐标为或，当直线经过和时，该直线的方程为，即，此时圆心到直线的距离为，所以弦长为；当直线经过和时，该直线的方程为，即，此时圆心到直线的距离为，所以弦长为；综上所述，弦长为13．【分析】首先根据题意写出各事件的概率，再根据全概率公式求解；第二个小题根据贝叶斯概率公式求解.【详解】设某参赛选手演唱抒情歌，流行歌，摇滚歌分别为事件，该选手晋级为事件，由条件可知，，，，，，，所以；所以他能晋级的概率为；，所以这名学生是演唱流行歌晋级的概率为.14．【分析】根据向量的线性运算，以及数量积的运算律，即可求解.【详解】由题设，，所以.,,15．【分析】经过整理，换元，方程变形为关于的直线，那么，表示直线上的点到原点的距离的平方，那么距离的最小值就是原点到直线的距离，利用点到直线的距离求最小值.【详解】由题意可知存在使，整理为：设，整理为关于的直线，那么，表示直线上的点到原点的距离的平方，那么距离的最小值就是原点到直线的距离所以，当时，是单调递增函数，当时取得最小值.即的最小值是.16．(1)(2)(3)【分析】（1）由正余弦定理求解即可；（2）根据余弦定理求解；（3）由余弦定理及两角差的余弦公式、二倍角的正弦公式求解.【详解】（1）因为，由正弦定理得，所以，即.又由余弦定理得，又为三角形内角，所以.（2）因为，，由余弦定理得，解得，所以.（3）由余弦定理得，所以.所以，.所以.17．(1)证明见解析(2)(3).【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据向量的坐标运算，结合垂直的坐标关系即可求证，（2）（3）求解平面法向量，根据点面距的向量法以及夹角公式即可求解.【详解】（1）以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，，.因为，，平面，所以平面.（2），，.设平面的法向量为，则即，令，得，所以.（3），.设平面的法向量为，则，即，令，得.设平面与平面夹角为，则.18．(1)(2).【分析】（1）根据椭圆的定义及勾股定理求出即可得解；（2）假设存在，直线与椭圆方程联立，再由韦达定理及向量的运算求出C点坐标，再由列出方程求解即可.【详解】（1）因为，，所以，.因为，，所以，因为，所以，，所以椭圆方程为.（2）设，，联立方程得，所以，整理得

①，所以，，.因为上存在点使得四边形为平行四边形，所以，即，将代入得，整理得

②，所以，由②知，，因为，所以，整理得，解得，由②知，符合①，因为，所以19．(1)，；(2)8；(3)【分析】（1）根据等差等比数列基本量的计算即可得解，（2）利用裂项相消法求和，即可解不等式得解，（3）根据等差数列的性质先求解，进而利用错位相减法即可求解.【详解】（1）设的公比为，依题意，有解得，，所以，.（2）由（1）知，，所以，由，得，化简得，解得，所以的最小值为8.（3）依题意，，则，两式相减可得：，所以.20．(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）根据斜率求解，即可根据点斜式求解直线方程，（2）分离参数，构造函数，利用导数求解函数的最值，即可得解，（3）根据导数求解函数单调性，进而可得最小值，根据两个零点得，通过代入可将问