2025-2026学年湖南长沙市立信中学九年级下册第一次核心素养数学试题（3月） 有解析

//2025-2026学年湖南长沙市立信中学九年级下学期第一次核心素养数学试卷(3月）一、单选题

1.《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中“方程术”最早引入“负数”，用正、负数表示相反意义的量．若跳远测试以2米为基准，跳2.1米记作+0.1米，那么跳1.7米应记作（

A.+0.3米 B.−1.7米 C.+1.7米 D.−0.3

2.未来乃可预见之时代，寰宇知名人工智能企业徽标林立，请问下列图示中，属中心对称而非轴对称的图像是（

）A. B. C. D.

3.下图是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（

）

A. B. C. D.

4.不等式组5x−3A. B.

C. D.

5.某校九年级一班在以“梦想启航，马到成功”为主题的元旦联欢会上，共设计了4个小游戏．如果甲同学和乙同学每人随机选择参加其中的一个小游戏，则他们俩恰好选到同一个小游戏的概率是（

）A.12 B.13 C.14

6.对于一次函数y=2xA.它的图象与y轴交于点(B.y随x的增大而减小C.当x>1D.它的图象经过第一、二、三象限

7.一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α=25∘，则摩擦力F2与重力G方向的夹角βA.155∘ B.125∘ C.115∘

8.计算2a2−A.1a−1 B.1a+1

9.如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y=−0.01(x−20)2+4，桥拱与桥墩AC的交点C恰好位于水面，且A.5米 B.4米 C.2.25米 D.1.25米

10.进位制是人们为了计数方便而人为定义的带进位的计数方法．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．计算机中常用的十六进制是一种逢十六进一的计数制，我们采用数字0∼9和字母A∼十六进制01234567十进制01234567十六进制89ABCDEF十进制89101112131415

例如，用十六进制表示E+F=1D，用十进制表示也就是14A.D2 B.2D C.F5二、填空题

11.因式分解：3a

12.某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占30%，演唱技巧占40%，精神面貌点30%考评．某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得95

13.若关于x的一元二次方程x2−2x+

14.如图所示，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点O，A，B均为格点，则扇形OAB的面积大小是________．

15.如图，在五边形ABCDE中，AB∥DE，AO，EO分别平分∠EAB和∠AED

16.如图，⊙O的直径是AB=12cm,AM、BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM、BN分别相交于D、C两点，设AD=三、解答题

17.计算：1−

18.化简求值：(2a−b)

19.如图，已知AB∥CD，点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以点E，F为圆心，大于12EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交问题解决：（1）若∠ACD=78（2）若CN⊥AM，垂足为点N，求证：

20.2025年3月28日缅甸7.9级强震发生后，中国政府第一时间宣布启动紧急人道主义救援行动，中国云南救援队成为了首支抵达缅甸的外国救援队伍．为了增强学生应急避险和自救互救能力，某校组织全校学生进行“防震减灾知识测试”，测试卷共有10道题，测试后随机抽取该校20名学生，将他们答对题目的数量进行统计，并将统计结果整理成如下统计图：

请你根据统计图中的信息，解答下列问题：（1）所抽取学生答对题目数量的众数为________道，中位数为________道；（2）求所抽取学生答对题目数量的平均数；（3）若该校共有800名学生，请你估计该校将这10道测试题目全部答对的学生有多少名？

21.如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，过点D分别作DE//AB交AC于点E，DF//AC交AB于点F，连接AD，AD平分（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）连接EF交AD于点O，若∠BAC=60∘，

22.一中双语举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生，已知购买2个甲种文具，1个乙种文具共需要花费35元，购买1个甲种文具，3个乙种文具共需要花费30元．（1）求购买一个甲种文具，一个乙种文具各需多少钱？（2）若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元，又不多于1000元，问有多少种购买方案？

23.如图，受电弓是动车从接触网取得电能的电气设备，已知受电弓的下臂杆AB=196cm，上臂杆BC=200cm，下臂杆AB与车顶MN的夹角∠BAM=30∘（1）求下臂杆的顶端B与车顶MN的距离；（2）求上臂杆的顶端C与车顶MN的距离(参考数据：sin37∘≈0.60，

24.我们约定：当x1，y1，x2，y2满足(x1+（1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）；

①函数y=kx（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；________

②函数y=x（2）若关于x的一次函数y=kx+b是“对偶函数”，它与二次函数y=x2（3）已知点M(0,3)、N(1,0

25.如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD相交于点E．且BD为⊙O（1）求证：AE⋅（2）当CD=BC时：

①过点E作EF⊥AD于点F，求证：1AB+1AD=1AF；

②当BD

答案与试题解析2025-2026学年湖南长沙市立信中学九年级下学期第一次核心素养数学试卷(3月）一、单选题1.【正确答案】D本题主要考查正负数的实际应用，理解基准值与正负数的关系是关键跳远测试以2米为基准，超出基准的部分记为正数，不足部分记为负数.跳1.7米比基准少0.3米，应记作-0.3米.解：∵跳远测试以2米为基准，超出基准的部分记为正数，不足部分记为负数.

∴跳2.1米比基准多0.1米，记作+0.1米.

同理，跳1.7米比基准少2−1.7=0.3（米），

∴应记作-0.3米.2.【正确答案】B本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180∘解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合题意；

B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故B符合题意；

C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C不符合题意；

D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意．

故选：B．3.【正确答案】A本题考查三视图，左视图即为从左面看到的图形，据此即可解答．解：它的左视图是．

故选：A．4.【正确答案】D先求出不等式组的解集，再表示出数轴即可解题.解：5x−3>24−2x≤05.【正确答案】C本题主要考查了简单概率的计算，解题的关键是掌握列表法或画树状图法求概率利用画树状图法求概率即可.解：设4个小游戏分别为A，B，C，D画树状图如下：

等可能出现的情况有16种，

符合条件的情况有4种，

∴他们俩恰好选到同一个小游戏的概率是416=16.【正确答案】A本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案．解：A.当x=0时，y=−1，即一次函数y=2x−1的图象与y轴交于点(0,−1)，说法正确；

B.一次函数y=2x−1图象7.【正确答案】C本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，根据题意结合图形可知β是重力G与斜面形成的三角形的外角，从而可求得β的度数．解：∵重力G的方向竖直向下，

∴重力G与水平方向夹角为90∘，

∵摩擦力F2的方向与斜面平行，α=25∘，

∴β8.【正确答案】A本题考查分式的加法运算，先通分化为同分母，再进行计算，最后约分化简即可．解：原式=2(a−1)(a+1)+1a9.【正确答案】C根据OA=5知点C的横坐标为−5解：∵AC⊥x轴，OA=5米，∴点C的横坐标为−5，

当x=−5时，y=−0.01(x−20)10.【正确答案】A本题主要考查了有理数的混合运算．本题需先根据十进制求出E与F的乘积，再把结果转化成十六进制即可．解：由于E×F=14×15=210，

则210÷二、填空题11.【正确答案】3首先合并同类项，然后提公因式3即可分解．解：原式=3(a2+12.【正确答案】91.7本题考查了加权平均数．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算．

根据加权平均数的计算方法求解即可．解：由题意知，该参赛队的最终成绩是90×30%+95×13.【正确答案】1本题考查一元二次方程的根，把x=1代入方程，建立关于解：把x=1代入方程，得

1−2+k=14.【正确答案】5根据题意知，该扇形的圆心角是90∘．根据勾股定理可以求得OA＝OB∵每个小方格都是边长为1的正方形，

∴OA＝OB=12+215.【正确答案】90°根据平行线的性质可得∠EAB+∠AED=180∘解：∵AB∥DE,

∴∠EAB+∠AED=180∘

∵AO，EO分别平分16.【正确答案】y根据切线长定理得到DE=DA=x，CE=CB=y，则解：作DF⊥BN交BC于F，

∵AM、BN与⊙O切于点定A、B，

∴AB⊥AM，AB⊥BN，

又∵DF⊥BN，

∴∠BAD=∠ABC=∠BFD=90∘，

∴四边形ABFD是矩形，

∴BF=AD=x，DF=AB=12，

∵BC=y，

∴FC=BC−BF=y−x三、解答题17.【正确答案】4本题主要考查了零指数幂与负指数幂及特殊三角函数值的混合运算．原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．解：1−2+π−2022018.【正确答案】6ab，12本题考查了整式的化简求值，解题的关键是掌握整式的混合运算法则．先根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式将式子展开，再合并同类项，最后代入值计算即可.解：(2a−b)2+(a−b19.【正确答案】51证明见解析（1）利用平行线的性质求出∠CAB=102∘（2）根据AAS证明三角形全等即可.（1）解：∵AB∥CD,

∴∠ACD+∠CAB=180∘（2）证明：∵AM平分∠CAB,

∴∠CAM=∠MABr

∵AB∥CD,

∴∠AMC=∠MAB,

∵20.【正确答案】10，8所抽取学生答对题目数量的平均数为8道估计该校将这10道测试题目全部答对的学生有240名（1）根据众数和中位数的定义即可求解；（2）根据平均数的定义即可求解；（3）先计算答对10题学生的占比，再乘以800即可得出答案．（1）解：由统计图可得，所抽取学生答对题目数量的众数为10道，中位数为8道．

故10；

（2）解：5×1+6×3（3）解：800×620=240（名），

∴21.【正确答案】见解析5（1）先证四边形AEDF是平行四边形,再通过等角对等边证AE=DE（2）先证明ΔAEF是等边三角形,则EF=AE=5,根据菱形的性质得到EO=52,（1）证明:∵DF//AC,DE∥AB,

∴四边形AEDF是平行四边形,∠ADE=∠FAD,

∵AD平分∠BAC,

∴∠（2）解:∵四边形AEDF是菱形,∠BAC=60∘,AE=5,

∴AD⊥EF,AO=DO,22.【正确答案】解：设购买一个甲种文具a元，一个乙种文具b元，

由题意得：{2a+b=35a+3解：设购买甲种文具x个，则购买乙种文具120−x个，则

{15x+5120−x≥95515x+5120−x≤1000,

解得：35.5≤x≤40（1）设购买一个甲种文具a元，一个乙种文具b元，根据“购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元”列方程组解答即可；（2）设购买甲种文具，个，则购买乙种文具120−此题暂无解答23.【正确答案】下臂杆的顶端B与车顶MN的距离为98cm上臂杆的顶端C与车顶MN的距离约为218cm（1）讨点R作BD∣MN，垂足为D，利用∠BAM（2）过点C作CE⊥MN，垂足为E，过点B作BF⊥CE，垂足为F.证明EF=BD=98cm，BF∥DE，利用sin∠CBF（1）解：过点B作BD⊥MN，垂足为D.

在RtΔABD中，

∵∠BAM=30∘,AB=196cm（2）解：过点C作CE⊥MN，垂足为E，过点B作BF⊥CE，垂足为F.∵BD⊥MN,

∴四边形DEFB为矩形，

∴EF=BD=98cm,BF∥DE,

∴∠24.【正确答案】①​;②​;y=x+\dfrac{15}{4}}$

${a=-\dfrac{9}{4}{或}-2\lta\lt-\dfrac{3}{8}}$（1）据题目中给出的“对偶点”，“对偶函数”的定义逐个判断；（2）根据“对偶函数”的定义可得y1=kx1+b①−x1=−ky1+b②①−②可得k=1，再利用根与系数的关系得到AB，即可解出b，得到一次函数的

解析式；

!a2x12−ax1+2a+1=0

∴∵x1+y22+x2+y12=0,且x1+y22≥0,x2+y12≥0,

（1）解.∴x1+y22=0,x2+y1≥0,x2+y1≥0,

∴x1+y22=0,x2+y1=0,

∴x1=−y2,x2=−y1,

即点x1,y1与点−y1,−x1在函数图象上，且x1+y1≠0

①函数y=kx（k是非零常数），