初中数学九年级中考二轮复习微专题十：折叠背景下的几何探究专题导学案

初中数学九年级中考二轮复习微专题十：折叠背景下的几何探究专题导学案

一、教学背景与设计立意

（一）【基础】学情分析

九年级学生在经过一轮复习后，已掌握全等三角形、相似三角形、勾股定理、圆的性质及特殊四边形的性质等核心知识。然而，面对折叠（轴对称）这一动态变换问题，学生普遍存在两大障碍：一是无法在复杂的图形中抽取出折叠前后不变的量（对应边、对应角相等）及其生成的新的几何关系；二是缺乏将分散条件通过设未知数、建立方程（方程思想）或寻找相似三角形（转化思想）进行求解的模型意识。

（二）【重要】核心素养指向

本专题聚焦“三会”：通过动手模拟折叠与几何画板演示，培养几何直观与空间观念；通过寻找折叠过程中的不变量与等量关系，提升逻辑推理与抽象能力；通过建立方程模型求解线段长度，深化数学建模与运算能力。

（三）【非常重要】设计理念

摒弃题海战术，以“模型建构”为主线，通过“典例剖析—变式训练—归纳提升”的螺旋式上升结构，引导学生从“知其然”到“知其所以然”，再到“知何由以然”。将湖北省中考中常见的折叠模型系统化、结构化，直击【高频考点】与【难点】。

二、【核心】教学目标

1.【基础】知识与技能：理解折叠的实质是轴对称变换，能熟练找出折叠图形中的全等图形、对应线段和对应角；掌握常见的折叠基本模型（如“十字模型”、“角平分线+平行线→等腰三角形”、“一线三直角”等）的特征。

2.【重要】过程与方法：经历从复杂图形中剥离出基本模型的过程，学会运用勾股定理、相似三角形对应边成比例建立方程求解线段长度；体会方程思想、转化思想及数形结合思想在解决几何综合题中的应用。

3.【高频考点】情感态度与价值观：通过层层递进的问题设计，克服对几何综合题的畏难情绪，树立“万变不离其宗”的解题自信。

三、【非常重要】教学重难点

1.教学重点：掌握折叠问题的本质（轴对称变换），能熟练运用勾股定理和相似三角形解决折叠中的线段计算问题。

2.教学难点：针对不同类型的折叠图形（三角形、矩形、正方形），能准确识别并构造出基本模型，建立等量关系。

四、【核心】教学实施过程（6环节，深度进阶）

（一）【基础】唤醒经验，引入模型——折痕本质探析

1.操作引入：请同学们拿出一张矩形纸片，任意折叠一角，使顶点落在边上或内部。观察并思考：折痕是什么线？（对应点连线的中垂线）折叠前后的图形有何关系？（全等）

2.核心追问：在折叠过程中，哪些量发生了改变？哪些量始终不变？这一环节旨在让学生明确折叠问题的两大基本特征：

1.3.全等性：折叠前后的两部分图形全等，对应边相等，对应角相等。【基础】

2.4.对称性：折痕是对应点连线的垂直平分线。【重要】

5.【难点】铺垫：折痕不仅是全等的桥梁，更是新生成角的角平分线（对应边重合）和中垂线，为后续引出“等腰三角形”埋下伏笔。

（二）【重要】模型建构一：三角形中的折叠——“折”出等腰，“叠”出相似

1.典例呈现：（选自湖北调考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8。将△ABC沿直线DE折叠，使点C落在AB边上的点F处。

1.2.问题1：若折痕DE∥BC，求AF的长。

2.3.问题2：若折叠后使点B与点C重合，求折痕DE的长。

4.【热点】模型剖析：

1.5.情形一（折出等腰）：当折痕经过一个顶点或与一边平行时，常伴随等腰三角形的出现。引导学生分析：折叠产生的角平分线与平行线结合，必出等腰三角形。这是解决角度问题的关键突破口。

2.6.情形二（折出Rt△）：在直角三角形中折叠直角顶点落在斜边上，通常会在斜边上构造出一线三直角的基本结构，从而利用相似或勾股定理求解。本题中，连接CF，则CF⊥DE且被DE平分。若将问题转化为求FC的长度，则归结为直角三角形斜边上的高问题，实现从“折叠”到“等积法”的转化。

7.【非常重要】归纳提升：三角形折叠，“折痕”是核心。解题三步走：①看折痕（角平分线、中垂线）；②找全等（转移边、转移角）；③构Rt△（设未知数，用勾股定理列方程）。

（三）【非常重要】模型建构二：矩形中的折叠——“十字”架起，勾股定乾坤

1.典例探究：（2023湖北某市模拟）将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE为折痕，点A落在边CD上的点F处。

1.2.【基础】问题1：若AB=10，BC=6，求CE的长。

2.3.【重要】问题2：连接BD，过点E作EG⊥BD于G，探究EG与CD的数量关系。

4.【高频考点】模型提炼——“十字架”与“一线三直角”：

1.5.过程拆解：第一问是矩形折叠的经典“落地”问题。点A落在CD上，形成Rt△BCF和Rt△DFE。由于AB=BF（折叠性质），在Rt△BCF中利用勾股定理可求CF，进而得到DF。在Rt△DEF中，设DE=x，则EF=AE=6-x，再次利用勾股定理列方程求解。此即“矩形折叠，勾股搭桥”的基本套路。

2.6.变式拓展：第二问引入垂线，实际上是考察折叠的深层性质：折痕BE垂直平分AF。若过E作EG⊥BD，则EG往往是某个三角形的高或中位线。引导学生发现，若能证明点G是BD的中点，则EG是△BCD的中位线。而“折叠+中垂线+等腰三角形”的性质是证明中点的关键。这需要学生综合运用矩形的对角线相等且互相平分、折叠的对称性进行逻辑链条的构建。

7.【难点】突破策略：对于此类综合题，采用“抽丝剥茧法”：先不管无关线条，只看折痕所在的局部图形，往往是一个直角三角形或直角梯形。将已知条件标记在图上，所求线段设未知数，利用勾股定理这个“万能钥匙”打开局面。

（四）【热点】模型建构三：正方形中的折叠——全等相似，殊途同归

1.典例精析：如图，正方形ABCD中，E为边BC上一点，F为边CD上一点，将△ABE沿AE折叠，使B点恰好落在EF上的点G处。

1.2.问题1：求证：△ECF∽△FGD。

2.3.问题2：若BE=2，CE=3，求DF的长度。

4.【非常重要】模型识别——“半角模型”的折叠体现：

1.5.引导学生观察：当折叠使点B落在EF上时，往往隐含了角度特殊关系（如∠EAG=45°）。这是正方形折叠中常见的“半角”模型。证明三角形相似的关键是找角等。通过折叠，∠AGE=∠B=90°，从而∠AGF=90°，这一组直角加上正方形中的直角，很容易得到一组同角的余角相等，从而获得相似条件。

2.6.解题路径：第一问解决相似后，第二问利用相似比列出比例式。设DF=x，CF=5-x，通过相似三角形△ECF与△FGD的对应边成比例，建立方程。在这个过程中，可能会用到两次相似或勾股定理，体现了代数与几何的完美结合。

7.【基础】巩固练习：若将正方形改为矩形，上述结论还成立吗？请同学们课后探究。通过变式，让学生理解模型成立的条件，避免生搬硬套。

（五）【难点】高阶应用——折叠与隐圆、最值问题

1.综合挑战：（2024湖北新中考趋势题）在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，P是边AD上一动点，将△ABP沿直线BP折叠，使点A落在点E处。

1.2.问题1：当点E落在线段CD上时，求AP的长。

2.3.问题2：连接CE，求线段CE的最小值。

4.【非常重要】模型突破——“定点定长走圆弧”：

1.5.第一问回归基础：这是折叠问题的逆向应用，点E在CD上，则BE=BA=4，在Rt△BCE中可求CE长，再在Rt△PDE中利用勾股定理求AP。

2.6.第二问探秘最值：这是折叠问题与【热点】“隐圆”模型的结合。无论P如何运动，由于B是定点，AB=BE恒成立，所以点E的轨迹是以B为圆心，AB长为半径的一段圆弧。要求CE的最小值，转化为定点C到圆B上一点的最短距离问题，即连接B、C，与圆B的交点即为E取最小值时的位置，利用“两点之间线段最短”或三角形三边关系即可求解。

7.【高频考点】思维升华：当折叠问题中出现“定点+定长”时，要立刻联想到“圆”。这是从静态几何走向动态几何的桥梁，也是近年来湖北省中考压轴题的一大命题方向。

（六）课堂小结与反思构建

1.【重要】思维导图构建：师生共同构建“折叠问题解题导图”。

1.2.一个本质：轴对称（全等、中垂线）。

2.3.两大工具：勾股定理（代数法）、相似三角形（比例法）。

3.4.三个模型：等腰模型（角平分线+平行线）、勾股模型（直角三角形中折叠落地）、相似模型（一线三等角、十字模型）。

4.5.四种思想：方程思想、转化思想、数形结合思想、分类讨论思想（当折叠位置不确定时）。

6.【基础】自我诊断：请同学们回顾本节课，你突破了自己原有的哪一个困惑点？在解决折叠问题时，你首先会去寻找什么？

五、【重要】分层作业与拓展延伸

1.【基础】必做题：完成学案后“基础过关”部分，选取三道分别涉及三角形、矩形、正方形折叠的计算题，巩固核心方法。

2.【重要】选做题：探究题：在矩形ABCD中，将△ABD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，连接CE。请画出图形，探究四边形BCDE的形状，并证明你的结论。此题旨在考察折叠与特殊四边形的综合判定。

3.【热点】拓展题（跨学科融合）：查阅资料，了解“折纸艺术”中的数学原理，如用一张矩形纸折出一个等边三角形，并用本节课所学的折叠性质解释其合理性。体会数学来源于生活，又应用于艺术创作。

六、板书设计（结构化呈现）

1.左侧（知识区）：折叠本质→全等△→对应边、角相等；性质→折痕是中垂线。

2.中部（模型区）