2026年高考数学复习（全国）不等式与复数（解析版）

专题1.4不等式与复数（举一反三专项训练）

【全国通用】

目录

第一部分题型专练

【题型1不等式的性质及其应用】.................................................................1

【题型2利用基本不等式求最值】.................................................................3

【题型3基本不等式中的恒成立问题】............................................................4

【题型4解常见的不等式】.......................................................................6

【题型5一元二次不等式恒成立、有解问题】.....................................................7

【题型6复数的四则运算】.......................................................................8

【题型7复数的几何意义】......................................................................10

【题型8与复数有关的最值问题】................................................................11

第二部分分层突破

A组基础跟踪练

B组培优提升练

题型专练

【题型1不等式的性质及其应用】

1.（2025,云南昭通,模拟预测）a,8c£R,b>c,下列不等式恒成立的是（）

A.a+b2>a+c2B.a2+c<a2+b

C.ab>acD.a2c<a2b

【答案】B

【解题思路】利用特例法判断ACD；利用不等式的性质判断B.

【解答过程】对于A,若c<bv0,则F<c2,a+b2<a+c2,故A错误；

对于B,因为8>C,故+b>+c,故B正确；

对于C、D,若a=0,ab=ac=0,a2c=a2b=0,故C、D错误，

故选：B.

2.（2025•河北石家庄•一模）如果Qb>0,那么"a>是的（）

ab

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解题思路】由不等式的性质作差后分别证明充分性和必要性即可.

【解答过程】若ab>0，a>b,则b-a<0,

则[_：=甘vO,即充分性成立；

ababab

若ab>0,则！_]=华<0,

abahah

所以匕Va,必要性成立，

所以如果附>0,那么“a>b"是J<J”的充要条件.

ab

故选：c.

3.(2025•河北沧州・模拟预测)已知2<aW4,-1<bW0,则2a-b的取值范围()

A.[4,9)B.(4,9)C.(5,8]D.(5,8)

【答案】B

【解题思路】由不等式的同向可加性得到结果.

【解答过程】因为2<aW4,-lVbWO得4<2aW8,0<-b<1,

所以4<2a-bV9.

故选：B.

4.(2025•北京海淀•二模)设a、b、c£R,ahc0,且Q>b>c,贝ij()

A.7+->2B.-+y<2

bcab

C.2a>b+cD.a+b>c

【答案】C

【解题思路】利用特殊值法可判断ABD选项，利用不等式的性质可判断C选项.

【解答过程】对于A选项，不妨取a=2,b=1,c=-1,则E+2=2—4=-2<2,A错;

4bc

对于B选项，不妨设Q=—1,b=—2,c=-6,贝哈+£=2+3=5>2,B错；

ab

对于C选项，因为a>b>c,由不等式的基本性质可得2a>b+c,C对：

对于D选项，不妨设Q=-1,b=-2,c=-2.5,则a+b=-3V-2.5=c,D错.

故选：C.

【题型2利用基本不等式求最值】

5.（2025•四川绵阳•模拟预测）若Q>0,b>0,且Q+4b=5,则工+：的最小值是（）

ab

A.16B.25C.4D.5

【答案】D

【解题思路】利用常数代换，结合基本不等式可得.

【解答过程】因为Q>0,b>0,且Q+4b=5,

所%+泻G+3（a+4b）=吏+?+A】6）T17+2j^=5,

4b_4a

当且仅当7=T,即a=b=l时等号成立，所以：的最小值是5.

（a+4b=5ab

故选：D.

6.（2025•全国•模拟预测）已知工，y为正数，则生生的最小值为（）

xy

A.4B.3V2C.3D.2V6

【答案】D

【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值.

【解答过程】由x,歹均为正数，则红包=卫+型之2耳瓦=2遍.

xyyx\yx

当且仅当名=以即y=4灯寸取等号，

yx3

故也变的最小值为2V6.

故选：D.

7.（2025•广东梅州•模拟预测）已知正实数满足盯+X+2y=4,则％+2y的最小值是（）

A.473-4B.4C.2V3-2D.2遮

【答案】A

【解题思路】由题意得％=W—2,代入％+2y得％+2y=W+2（y+l）—4,再由均值不等式求解即可.

【解答过程】由xy+x+2y=4,y>0,可得％=匕§=匕丝平些二二一2,

所以％+2y=—2+2y=+2（y+l）—4之2x2（y+1）—4=4>/3—4,

当且仅当后=2（y+1）,即y=V5-l时，等号成立.

故选：A.

8.（2025•辽宁盘锦•三模）已知正数租、/满足4m+6〃=1,则上+网的最小值为（）

mn

A.2+4V3B.4+40C.7+4我D.7+273

【答案】B

【解题思路】将4m+6九=1代入所求代数式，结合基本不等式可求得其最小值.

【解答过程】因为正数相、"满足4m+6〃=1,

所以工+网+生=4+空+如Z4+2/^^=4+4V3,

mnmnmnyjmn

（

6n=—2m

当且仅当卜m;6：1，即m=l-圣小日后时等号成立，故HF的最小值为4+46.

.m>0,n>0

故选:C.

【题型3基本不等式中的恒成立问题】

9.（25-26高一上•江苏扬州•期中）已知实数％>0,y>0,：+：=3,且x+y2m恒成立，则实数m的取

值范围为（）

A.[m\m<9}B.{m\m<3}C.{m\m>9}D.{m\m>3}

【答案】B

【解题思路】由乘1法，求得％+y的最小值，即可求解.

【解答过程】x+y=i（x+y）（i+j）=i（5+f+y）>i（5+2j^）=3,

当且仅当？="，即x=l,y=2时，取等号，

xy

所以m<3,

故选：B.

10.（25-26高一上•辽宁大连•期中:设实数“满足x>py>3,不等式k（2x-3）（y-3）<8x3+y3-12x2-

3y2恒成立，则实数k的最大值为（）

A.12B.24C.32D.48

【答案】B

【解题思路】原不等式可转化为名+总工匕利用均值不等式求空+总最小值即可.

y-32x-3y-32x-3

【解答过程】由y>3变形可得2%-3>0,y-3>0,

令a=2x-3>0,b=y-3>0,

则A(2x-3)(y-3)<8x3+y3-12x2-3y2转化为上<啜二广了,即^

ojvy*OJy<JLXJ

其中%+上=处空+生支工生亘i+更直=12仁+与之24口=24,

y-32x-3baba\baJ-\Jba

Q=3

当且仅当］?=3,即％=3,y=6时取等号，

b_a/

ab

所以不等式"+恒成立，只需kW24.

故选：B.

11.(25-26高一上•江苏南京•期中)己知%>0,y>0,且j+j=l,若％+2y>m?+2血恒成立，则实数

m的取值范围是()

A.(-2,4)B.(-4,2)

C.(-00,-2]U[4,4-oo)D.(-co,-4]U[2,4-co)

【答案】B

【解题思路】不等式无+2丫>血2+2加恒成立，等价于％+2y的最小值大于机2+2小，所以先利用基本不等

式求出x+2y的最小值，然后解关于m的不等式即可.

【解答过程】因为％>0,y>0,>-+-=1,

xy

所以％+2y=(%+2y)+3=2+j+§+224+2=8,

当且仅当2="，即X=4,y=2时取等号，

yx

所以％+2y的最小值为8,

不等式x+2y>m2+27n恒成立，等价于x+2y的最小值大于m?+2m,

所以8>m2+2m,解得—4<m<2,

故选:B.

12.(25-26高一上•山东•期中)已知a,b为正实数，且3a2-2ab+4-0,若不等式b-号。、机恒成立,

则实数m的取值范围是()

A.(-oo,2]B.(-00,4]C.(-oo,2V2]D.(-8,4伺

【答案】C

【解题思路】根据题意得b=|a+久a>0),®iJb-|a=a+^>2V2,再根据恒成立问题转化为最值即可.

【解答过程】3a2—2ab+4=0艮历=罂=|。+：(。>0).

.•.b-^a=a+->2V2(当且仅当Q=乙=四时取等号)，

2aa

又不等式力一；。工771恒成立，

所以mW(b-；a)=2V2.

\2/min

故选：C.

【题型4解常见的不等式】

13.(2025•河南•模拟预测)若集合4={%|-2WxWO},F={x|x2-x-2<0},则4nB=()

A.[-2,2]B.[-1,0]C.[-2,0]D.[-1,2]

【答案】B

【解题思路】解不等式，得到8={川-1工工工2},利用交集概念求出答案.

【解答过程】B={x\x2-x-2<0}={x|-lW%W2},又A=[x]-2<x<0},

所以An8={x|-2<x<0}n{x|-l<x<2]={x\-l<x<0}=[-1,0].

故选：B.

14.(2025・湖北黄冈•三模)已知集合力=5|£工1},8={工k2-3工+2工0},则力CB=()

A.(-co,1)u(2,+oo)B.(1,2)

C.(-8,1)u[2,+8)D.(―co,1]U[2,4-00)

【答案】C

【解题思路】利用分式不等式和一元二次不等式可求得集合4B,再利用交集运算法则可得结果.

【解答过程】对于集合4={川一)工1},—-—IWO,进一步化简为二30,

所以4={x\x<1或%>2].

对于集合8={x|x2-3x+2>0},因式分解得(无-1)(%-2)>0,

所以B={x\x<1或%>2).

所以AnB={x\x<1或%>2}=(-co,1)u[2,+co).

故选：C.

15.(2025・上海杨浦•三模)不等式二32的解集为.

【答案】W》25,或％<2}.

【解题思路】将分式不等式化成一元二次不等式，求解即得.

【解答过程】^<2等价于要W。，即鼠一嬴>o，

解得％25或2,即原不等式的解集为：｛%氏25,或“V2｝.

故答案为：｛对X之5,或为<2｝.

16.（2025・上海•模拟预测）Qx+b<0的解集为（-8,-1）,则（以一力）（工+2）<0的解集为.

【答案】（-2,1）

【解题思路】由不等式Q%+h<U的解集为（-8,-1）,可得到b=a且a>。,代入一元二次不等式求解即

可.

【解答过程】由题干知，不等式ax+b<0的解集为（-8,-1），

可得到｛?；£，代入一元二次不等式得

（ax—a）（x+2）<0=>a（x—l）（x+2）<0,

由于a>0,所以（x—1）（%+2）<0,即-2<x<1.

故答案为：（一2,1）.

【题型5一元二次不等式恒成立、有解问题】

17.（2025•河南•模拟预测）已知命题^X€4"2一小"+机〈0，，是假命题，则实数m的取值范围为（）

A.[0,4]B.（0,4）C.[0,2]D.（0,2）

【答案】A

【解题思路】已知原命题为假命题，那么它的否定“Vx6R,/-mx+m20”为真命题.对于一元二次函数y=

x2-mx+m,要使其对于任意实数x都大于等于0,则需要考虑其判别式A的取值范围.

2

【解答过程】已知原命题为假命题，那么它的否定"％eR,X-mx+m>0”为真命题.

对于一元二次函数y=必一小》+m,要使其对于任意实数不都大于等于0.

因为y=x2—mx+m>0恒成立，所以△<0,即/_4m<0,解得0WmW4.

故选:A.

18.（2025・浙江,模拟预测）若不等式忆必+（左一6）%+2>0的解为全体实数，则实数k的取值范围是（）

A.2<k<18B.-18<k<-2

C.2</c<18D.0<k<2

【答案】C

【解题思路】分类讨论k=0与k学0两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解.

【解答过程】当上=0时，不等式依2+於一6%+2>0可化为-6工+2>0,显然不合题意；

当AHO时，因为左/+（忆一6）%+2>0的解为全体实数，

所以IAC冬,0.…“〃解得2V/CV18；

综上：2</c<18.

故选：C.

19.（2025・辽宁•三模）若FxE（0,+8）,使％2一。工+4<0”是假命题，则实数a的取值范围为.

（答案]（-8,4]

【解题思路】将问题转化为％：在（0,+8）上恒成立“，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解.

【解答过程】因为叼%€（0,+8）,使/一QX+4<0”是假命题，

所以“V%W（0,+8）,x2-ax+4>0”为真命题，

其等价于Q<x4-:在（0,+8）上恒成立，

乂因为对勾函数/'（%）=%+:在（0,2]上单调递减，在[2,+co）上单调递增，

所以/（X）min=/（2）=4,

所以QW4,即实数Q的取值范围为（一8,4].

故答案为：（一8,4].

20.（2025•山东,二模）已知不等式3%2+3-2及+420对任意的％6（0,+8）恒成立，则实数〃的最小

值为•

【答案】2-4V3

【解题思路】分离参数，利用基本不等式即可求解.

【解答过程】因为不等式3x2+（a-2）x+4>0对任意的％6（0,+8）恒成立，

所以a-2>-3%对任意的“e（0,+8）恒成立，

又当工€（0,+8）时，一3%—：=_（3X+B<-2=-4V3,当且仅当3%=%即％=苧时，等号成立,

所以。一2之一4vL即。工2-4百，所以实数。的最小值为2-4百.

故答案为：2-4V3.

【题型6复数的四则运算】

21.（2025•山东•三模）若复数z满足三=2i,则|z|的值为（）

A.V3B.V2C.2D.2V2

【答案】D

【解题思路】先利用复数的乘法运算求得z=2+2i,然后利用复数模的运算求解即可.

【解答过程】因为£=2i,所以z=2i(l—i)=2+2i,所以|z|二72+2?=2fL

l-l

故选：D.

22.(2025•河南•模拟预测)已知复数z满足z-i=*,则2的虚部是()

1—1

A.1IB.1C.号3D.3

【答案】D

【解题思路】利用复数四则运算法则得到2=^+去，从而根据共枕复数和虚部的概念得到答案.

【解答过程】z=W+i=1+i=^+i=g+?,

故Z=；—故虚部为—

故选：D.

23.(2025•云南•模拟预测)已知复数z=l+i,则|z|+Z=()

Z

A.2-iB.2+iC.V2-iD.V2+i

【答案】C

【解题思路】利用系数模的运算，共挽运算，除法运算来求解即可.

【解答过程］|z|+白=|1+"+台=鱼+印=&+?二&一、

Z1+1LL

故选：C.

24.(2025・浙江•模拟预测)已知i是虚数单位，复数z满足急=l-i,则|z|=()

A.V29B.3百C.x/26D.5

【答案】C

【解题思路】先根据复数的四则运算求出复数z,再求模即可.

【解答过程】由言二1一「得z,i=(l-i)(3+2i)=5-i,

所以2=斗=梨=一1一5「

\z\=V26,

故选：C.

【题型7复数的几何意义】

25.(2025・四川成都・模拟预测)已知复数z满足(l+i)z=7—i,则在复平面内复数z所对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解题思路】根据复数除法运算及复数在复平面内所对应的点即可判断.

【解答过程】由已知得z=W=需普2=三%=3-4「

1+1(14-I)(1-I)2

则攵数z所对应的点为(3,-4),位于第四象限.

故选：D.

26.(2025•全国•模拟预测)已知复数z在复平面内对应的点为(3,4),则段=()

.55.p,5,5.厂34.43.

A-3~VB-Z+丁C.---iD.-+-i

【答案】c

【解题思路】根据复数的几何意义可得z=3+4i,进而得到5=3-4i,进而求解即可.

【解答过程】根据题意有z=3+4i,则5=3-4i,

wZ3-4i3-4i34.

故r百=7而=R=

故选:c.

27.(2025•陕西西安•模拟预测)若且数z=3+mi(mGR)在在平面内对应的点在直线x-3y=0上，贝Uz(l—

i)=()

A.4-4iB.2-4iC.3-2iD.4-2i

【答案】D

【解题思路】利用复数的几何意义得出对应点坐标，代入直线方程可得m,进而得出复数z,最后利用复数乘

法运算即可.

【解答过程】因为z=3十mi(mE/?),

所以3数z在更平面内对应的点为(3,m)

又点(3,m)在直线4-3y=0上，

所以3—3m=0,解得机=1,

所以复数z=3+3

z(l-i)=(3+i)(l-i)=4-2i,

故选：D.

28.(2025•甘肃白银•三模)已知复数z满足£=-2+「则复数z的共挽复:数在复平面内对应的点位于()

i-i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解题思路】根据题意，利用复数的运算法则，化简得到z=-l+3i,结合共规复数的概念，以及复数的几

何意义，即可求解.

【解答过程】由复数z满足三二一2+i,则z=(1-i)(-2+i)=-1+3i,可得，=-l-3i,

1—)

故及数Z的共规里数在更平面内对应的点(-1,-3)位于第三象限.

故选：C.

【题型8与复数有关的最值问题】

29.(2025・湖南•模拟预测〉若z是复数，|z-2i|-1,则|z|的最大值为()

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【解题思路】设2=%+川(％、ER),由条件结合复数的几何意义确定复数z在复平面上的对应点为Z(x,y)的

轨迹，结合复数模的几何意义求结论.

【解答过程】设2=x+yi(x,yGR),则复数z在复平面上的对应点为Z(%y),

因为|z—2i|=1,

所以J/+(y-2)2=1,故/+(y-2)2=1,

所以点Z的轨迹为以点(0,2)为圆心，1为半径的圆，

所以点Z到原点的最大距离为2+1=3,

所以|z|的最大值为3.

故选:B.

30.(2025,辽宁•模拟预测)已知复数为/2分别满足|为|=1,吃+3+4“=2,则氏-z2|的最大值为()

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【解题思路】先通过模长公式求出复数Z2在复平面内对应点的轨迹是以B(-4,3)为圆心，2为半径的圆，再利

用也-Zzl的最大值为两圆圆心距加两个圆的半径即可求得结果.

【解答过程】设Z2=x+yi(x,yeR),则「z?+3+4i|=|3-y+(x+4)i|=J(3-y)2+(x+4)2=2,

如图，复数Z2在复平面内对应点的轨迹是以8(-4,3)为圆心，2为半径的圆，

复数zi在复平面内对应点的轨迹是以原点0为圆心，I为半径的圆，

31.(2025•黑龙江佳木斯・三模)已知复数z满足怙一1|=1,则|z—i|的最小值为.

【答案】V2-1/-1+V2

【解题思路】根据复数模的几何意义，将条件转化为距离问题即可得到答案

【解答过程】设2=x+yi(x,y€R),

由|z—1|=1得枕一1+yi|=1,

所以(％-I)2+y2=1,

即点(x,y)是圆心为(1,0),半径为1的圆上的动点，

|z-i|=Jx2+(y-I)?,表示的是点(%,y)与点(0,1)的距离，

所以其最小值为点(0,1)到圆心(L0)的距离减去半径，

即|z—i|的最小值为a-L

故答案为：V2-1.

32.(2025・上海杨浦•二模)已知复数z满足|z—l+i|=1,其中i为虚数单位，则|z|的最小值为.

【答案】V2-1

【解题思路】根据给定条件•，利用好数模的几何意义求出最小值.

【解答过程】在复平面内，|z-1+i|=1表示复数z对应的点Z与复数1一i对应点4(1,-1)的距离为1，

因此点Z的轨迹是以4(1,-1)为圆心，1为半径的圆，

|z|表示点Z到原点。的距离，所以|z|的最小值为|。川一1=夜一1.

故答案为：V2-1.

分层突破

一、单选题

1.（2025•江苏南通•模拟预测）已知全集（7={%|1工X£4},集合4={%|分工1},则。渊二（）

X-5

A.{x|lW%W2或3工％W4}B.{%|1Wx<2或3V%44}

C.{x|l或3V%W4}D.{%|14%V2或3W%W4}

【答案】D

【解题思路】解不等式化简集合4再利用补集的定义求解•.

【解答过程】不等式笔解得24%V3,

x-3x-3

即A=[x\2<x<3}»而U={x|l<x<4},

所以Q力={x\lWxV2或3WxW4}.

故选:D.

2.（2025•河南•模拟预测）若复数z满足iz=2+3i,则z的虚部为（）

A.-2B.3C.-2iD.3i

【答案】A

【解题思路】利用第数的除法运算求得z,从而求得z的虚部.

【解答过程】因为iz=2+3i,所以2=牛=等=号=3-2力

所以z的虚部为一2.

故选：A.

3.（2025・海南•一模）不等式之一>。的解集为（）

x+l

A.（一1,十8）B.（2,+8）C.（—1,2）D.（—co,—1）U（2,十8〕

【答案】B

【解题思路】根据分式不等式的解法求解.

【解答过程】由不等式可得X+1N0,且止?=卫誓=%-2>0,所以工>2.

X+1*+1

不等式的解集为（2,+8）.

故选：B.

4.（2025・陕西榆林・模拟预测）已知复数z二士,则2对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解题思路】根据复数的除法运算以及共物复数的概念进行判断即可.

【解答过程】因为复数Z=±l-3i3.

(l+3i)(l-3i)1010

所以"卷+制

所以5对应的点位于第一象限.

故选：A.

5.（2025・四川绵阳•模拟预测）己知a,h,c均为实数，则下列说法正确的是（）

A.若a>b,则ac>beB.若a>b,Me-a>c-b

若若则

C.bvavo,WOa-<7bD.b,cHO,3

【答案】c

【解题思路】结合不等式的性质逐项分析即可.

【解答过程】对于A,若c=0,则ac=bc=O,故A错误;

对于B,由题设一aV-b,所以c-aVc-b,故B错误;

对于C,由b<a<。，则故C正确；

对于D,因为CHO,a>h,所以京〉/故D错误.

故选：C.

6.（2025・河南信阳・模拟预测）己知。+6=1（出>0）,则！+：的最小值为（）

?ab

9

A.1B.2C.4D.4

4

【答案】c

【解题思路】利用“1”的代换结合基本不等式求解即可.

【解答过程】因为a+b=l（ab>0）,

所以6+J（a+b）=2+:+£22+2席=4.其中均正数.

当且仅当即a=力时取等号.

故选；C.

7.(2025•四川成都•一模)已知复数z=(3+i)(2-ai),aG/?,i为虚数单位，若z为纯虚数，则团=()

A.10B.20

C.9D.18

【答案】B

【解题思路】化简得到z=(6+a)+(2—3a)i,根据纯虚数得到方程和不等式，求出Q=-6,z=20i,求出

模长.

[解答过程】由题意得z=(3+i)(2-ai)=(6+a)+(2-3a)i,

a6R且z为纯虚数，二+；一],a=-6,

(2-3Q平0

•••z=20i,•••\z\=\z\=20.

故选：B.

8.(2025・湖北•模拟预测)己知实数Q,b满足弓一2)&一3)=6,则帅的最大值为()

A.3B.C.二D.；

2524124

【答案】B

【解题思路】由题设可得2Q+3b=1,再应用基本不等式求目标式的最大值.

【解答过程】因为&-2)&-3)=6,所以2Q+38=1,

因为ab=1x2ax3d<乂"剪=/，

当11仅当2Q=3b=；,即Q=；，力=；时等号成立，故ab的最大值为金■.

24624

故选：B.

二、填空题

9.(2025・上海静安•一模)已知复数z满足(3—i)z=3+i(其中i为虚数单位)，则复数2=.

【答案M+'i

【解题思路】由已知得出2=笠，结合复数的除法化简可得复数z.

3—1

【解答过程】因为(3—i)z=3+i,所以2=若=1*=等=?+在.

6—1(3—1H3+IJ1U55

43

+

故答案为:5-5-

10.(2025•上海杨浦•一模)不等式3<0的解集为.

【答案】(-3,2)

【解题思路】根据题意，转化为(％-2)(%+3)V0,结合一元二次不等式的解法，即可求解.

【解答过程】由不等式考<0,可得(％-2)(X+3)V0,解得一3VXV2,

所以不等式］<0的解集为(一3,2).

AIO

故答案为:(-3,2).

11.(2025•云南昆明•模拟预测)若复数z满足|z|+8i=z+4,则在复平面内，复数z所对应的点位于第

象限.(填“一、二、三、四”中的一个)

【答案】一

【解题思路】先设z=a+bi(a/wR),再根据复数相等列方程，解得a,b,最后根据复数几何意义得到答案.

【解答过程】设2=。+济9/€/?),故/答+b2_4+8i=a+6i,则产

解得a=G,b=8,故在更平面内，复:数z所对应的点为(6,8),位于第一象限.

故答案为：一.

12.(2025•四川眉山•模拟预测)已知Q,bWR+,4a+b=l,则华的最小值是

ab

【答案】9

【解题思路】先求出：的最小值，再将空化为即可求得答案.

ahahah

【解答过程】因为a,b£R+,4a+b=l.

te；+；=G+l)(4a+fc)=5+；+T-5+2JF^=9,

当且仅当2=结合4a+b=l,即。=:，匕=刎等号成立，

所以^^=工+，29.,即，裂的最小值为9,

ababa+b

故答案为：9.

B组培优提升练

一、单选题

1.(2025•上海杨浦•一模)已知实数a,b,c,d满足：a>b>c>d,则下列不等式恒成立的是()

A.a-c>b-dB.a+c>b+dC.ab>cdD.ac>bd

【答案】B

【解题思路】举出反例可判断ACD,根据不等式的基本性质，可判断B,进而得到答案.

【解答过程】对于A,令a=4,b=3,c=2,d=1,满足a>b>c>d,

此时a—c=2,b-d=2,a—c=b—d,故A错误；

对于B,由a>b,c>d,两式相加得a+c>b+d,故B正确；

对于C,令a=1,b=0,c=-1,d=-2,满足a>b>c>d,

此时ab=0,cd=2,ab<cd,故C错误；

对于D,令Q=1,b=—1,c=-2,d=-3,满足Q>b>c>d,

此时QC=-2,bd=3,ac<bd,故D错误.

故选：B.

2.(2025・湖北孝感•模拟预测)已知Q>0,8>0,且Q+b=1+2+4,则a+b的最小值为()

ab

A.2V5-2B.2V5-IC.I+2V5D.2+2V5

【答案】D

【解题思路】利用基本不等式可得到C+?(a+b)=10+-+千216,再代换，令5=。+力，解一元二次

不等式可得答案.

【解答过程】因为Q>0,b>0,

所以&+枳Q+b)=10+^+y>10+216,

当且仅当2=当时，取等号.

ab

令5=°+万得：Q+S>16,

由a+b=L+?+4得：-4-7=s—4,

abab

所以：(s-4)s>16,即S2-4S-16N0,

解得：s<2-2通或s>2+2V5,

又因为Q>0,b>0,所以s=a+b>0,

2_空

故5=。+822+2代，当且仅当］。一J。,即匕=3a=更芈时，取等号.

a+b=-+-+42

ah

故选：D.

3.(2025•吉林松原•模拟预测)已知。为原点，复数内医2在复平面内对应的点分别为Zi，Z2,则”|zi+Z2l=

\zr-Z2I”是“两•两=0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解题思路】由复数的运算、模的计算、复数的几何意义、数量枳的坐标公式以及充分条件和必要条件的概

念依次判断即可得到结果.

［解答过程］设zi=a+b\,z2=c+di(a,bfc,deR),则OZ；=(a,b),OZ^=(c,d),

若％+Z2I=|zi—Z2I»则|a+c+(b+d)i|=la—c+(b—d)i|,

即J(a+d+(b+d)2=J(a-c)2+(b-d)2,

所以ac+bd=0,0ZY,OZ2=ac+bd=0,充分性成立；

若OZ；-OZ2=0,则ac+bd=0,又(a+c)2+(b+d)2—|(a—c)2+(b—d)2\=4(ac+bd)=0,

22

所以J(a+c)2+(b+d)2=J(a-c)+(b-d),

即%+Z2|=|Zi-Z2l，必要性成立.

综上所述,“|Z1+Z2I=怙1_Z2I”是“两•两=0”的充要条件.

故选：C.

4.(2025•山东济宁•模拟预测)已知％>0,y>0,且%y+2y2-36=0,则孙2的最大值()

A.12B.6V6C.36D.24x/6

【答案】D

【解题思路】由条件研十2y2-36=0得;r=半一2y,代入方/再运用均值不等式即可求出胡2的最大值

【解答过程】由孙+2y2-36=0,得y(x+2y)=36,则x=^-2y,

因为3>0,y>0,所以盯2=y2偿_2y)=y(36—2y2)=yjy2(36—2y2)(36—2y2)

=gx4y2(36-2y2)(36-2yz)"x佰迈用I匹可=24通

当且仅当丫=逐，％=4伤时等号成立，

所以秒2的最大值为24连，

故选：D.

5.(2025•四川•模拟预测)已知一元二次函数f(%)的定义域为R,若/"(一2-%)=/。)，/(-2)</(-I),

且该二次函数的图象经过P(2,m2+4)、QS,4m)不同两点，则"的取值范围是()

A.(-co,-4)B.(一8,-4)U(2,+8)

C.(2,+co)D.(-co,-4]U(2,+co)

【答案】D

【解题思路】分析可知f(x)的图象关于直线％=-1对称，设/'(%)=a(X+1)2+c,其中。工0,结合已知条

2)QftIc2IA

、2一，将两个等式作差可得出关于〃的不等式，即

/(n)=(n+lya+c=4m

可求出实数n的取值范围.

【解答过程】因为一元二次函数/。)的定义域为上且“一2-%)=/(%),

所以函数/(%)的图象关于直线％=-1对称，设/a)=Q(x+l)2+c,其中QO0,

由/(一2)可得Q+CVc,故QV0,根据题意