三角函数常考公式16个题型【三角函数同角公式+诱导公式+两角和差+辅助角+和差化积公式】原卷版-2025-2026学年高一数学（人教A版必修第一册）

三角函数常考公式（16个题型）

早页型分举辄瞧联舜.归耸堂同沏

【题型1:弧长扇形面积公式】

【方法技巧】

一、核心公式

设圆心角为。（弧度制），扇形半径为人弧长为/,扇形面积为S,贝ij：

1.弧长公式：l—arx

2.扇形面积公式：S=-lr=^-ar2

22

二、方法技巧

1.单位统一优先：计算前需将圆心角转化为弧度制，避免角度制直接代入公式；

2.公式选择策略：已知。和〃时，宜接用/二a厂求弧长；已知/和尸时，优先用S=求面积;

2

3.角度制转换：若圆心角为角度制9°,需先转化为弧度。=黑，再代入公式;

180

4.实际应用验证：结合图形，弧长和面积应为正数，可通过结果符号辅助验证计算正确性.

（2025•江苏•模拟预测）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数摺聚清风，一捻生

秋意''是宋朝朱翌描写折扇的诗句,如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形。CD,再在该扇形内

剪下一个同心小扇形。力B（作为扇骨留白），形成扇环形状的崩面力BCD.当扇子扇形的圆心角为争ad时,

扇面看上去形状较为美观.已知4）=20cm,弧AB的长为争m,则此扇面的面积为cm2.

小裁牛力1（24-25高一上•江苏盐城•期末）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的

诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以有“怀袖雅物”的别号.当折扇打开后

所在扇形的周长为8分米，面积是4平方分米，则折扇所在扇形的圆心角为弧度.

►小能牛力2（24-25高一上•广东梅州・期末）图1是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，象征

着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.图2是会徽的几何图形，设前的长为，1，前的长为12,若

。=3/2,AB=4,且乙4。0=工则几何图形ABCO的面积为（）

O

2

D

I9tnAsianGames

Hangzhou20220

图1图2

B.40n50n

A.lOnC.15ITD.~3~

小锹牛乃m（24-25高一上•黑龙江哈尔滨•期末）已知弧长为2ncm的弧所对的圆心角为云则这

条弧所在的扇形面积为.

【题型2：任意角的三角函数】

【方法技巧】

一、核心公式

设任意角G的终边上一点为尸（X/），点P到原点的距离为r=“2+'2>0）,则:

1.sina=—；

x

2.cosa=—

r

3.Iana=2(xw0)

x

二、方法技巧

1.象限符号判断：根据a终边所在象限，确定x、N的正负，进而判断三角函数的符号；

2.特殊角记忆：熟记0、9、£、£、£等特殊角的三角函数值；

6432

3.终边在坐标轴上的情况：若a终边在x轴上，歹=0,则sina=0；若在歹轴上，1=0,则1@11。无意

义；

4.单位圆简化：若尸=1（单位圆），则sina=y、cosa=x,可直接用终边与单位圆交点坐标求三角函

数值.

住兽例做（24-25高一下山东威海期耒）己知角a的终边经过点P（—3,2）,贝！Jsina=（)

A.誓B.-誓c•嚼D•-誓

小铁牛才1（24-25高一下•内蒙古呼和浩特•期末）如图，在平面直角坐标系中，AB,CD,

丽,而分别是单位圆上的四段弧（不含与坐标轴的交点），点P在其中一段上，角a以0工为始边,OP为终

边，若sinaVcosaVtana,则P所在的I员I弧是（）

3

A.ABB.CDD.GH

》小被牛力2(24-25高一下•四川德阳・期末)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空

间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔(L.E.J.Brouwer),简单地讲,

就是对于满足一定条件的连续函数义无)，存在一个点打，使得/住0)=~，那么我们称勺为该函数的“不动

点”.若函数/(%)=%2-5%+9的“不动点”为根，角a的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终

边经过M(m,—4),则sina=()

A.-7C«-ID.z

小铁牛力3(24-25高一下•河南南阳•月考)已知a是第二象限的角，P(x,3)为其终边上的一点,

且sina=则X=()

A.-6B.±6C.±672D.-672

【题型3：同角公式“知一求二”】

【方法技巧】

一、核心公式

对任意角。，有：

1.平方关系：sin2a+cos2a=1：

cina

2.商数关系：tancz=----(cosawO)。

cosa

二、方法技巧

1.符号确定优先：先根据a的象限，确定待求三角函数的符号；

2.联立方程求解：已知sina(或cosa),结合平方关系求cosa(或sina),再用商数关系求tana；

3.已知tana的处理：可设sina二左tana、coscr=k(攵w()),代入平方关系求人，进而得sina、

cosa；

4.开方注意正负：由平方关系开方时，需结合a的象限确定符号，避免漏解.

(24-25高一下•贵州黔南期末)已知6为锐角，且85。=3则12血=.

•经典例题«3

►小铁牛万1(24-25高一下•四川眉山・期末)已知sin/?=—冬—^</?<0,则cos0=()

A.匹B.一匹C.一迹D.?V5

5555

4

/小祺牛丸2（24-25高一下•贵州遵义•期末）已知tana=3,0<a<^,则sina=（）

A•智B包CD3皿

'To""-而"io"

►小被牛乃5(24-25高一下•广东深圳•期末)已知tana=—2,a6(0,n)＞则sina=()

A.-华B.一匹C.匹D.2

555

【题型4：同角公式“和差积”的关系】

【方法技巧】

一、核心公式(

对任意角。，有.：

1.(sina+cosa)2=1+2sinacosa；

2.(sina-cosaf=l-2sinacosa；

3.(sina+cosa)2+(sina-cosaf=2.

二、方法技巧

1.知一求二：已知sina+cosa、sina-cosa、sinacosa中的任意一个，可通过平方关系求另外两个;

2.范围辅助判断：利用sina+cosa正］、sinacosa£,辅助确定符号或验证结果：

3.化简应用：遇到sina+cosa与sinacosa的混合式子，可通过平方关系转化为单一形式.

►经募例题（25-26高一上,黑龙江大庆,期末）已知。6（—n,O）,sin0+cos。=则下列结论不正确

的是（）

A.0G（-^,0）B.cos0=

37

C.tan0=-74D.sin0—cos0=-5

►小拿牛丸1（25-26高一上,贵州•期末）如果角6满足sin。+cos。=VL那么tanJ+U的值是

()

A.-1B.—2C.1D.2

（24-25高一上•广东汕头•期末）已知cosa+sina=―,当，则备的值为

►小钱牛乃24

（）

►小铁牛万5【多选题】（24-25高一下•江苏镇江•开学考试）已知sine+cos6=g0e（O,n）,

则下列等式正确的是（）

5

127

A.sin6cose=一云B.sin0—cos0=-

C.tan。=一,D.sin304-cos36=

【题型5：同角公式的“弦化切”题型】

【方法技巧】

一、核心思路

将含sina、cosa的式子，通过除以cosa（或cosza），转化为含tana的式子（cosawO）.

二、方法技巧

1.齐次式处理：若式子是sina、cosa的齐次式（各项次数相同），分子分母同除以cos'a（k为次

数），转化为tana的表达式；

gsin~a+2sinacosatan-a+2tana

例：------7-------------5---------=-----------------5---------；

cosa-sina1-tana

2.含“1”的式子：利用lusi/a+cos2a将式子化为齐次式，再弦化切；

3.特殊情况：若cosa=0,则tana无意义，需单独验证此情况是否成立.

1-,og23

（25-26高一上•黑龙江哈尔滨・月考）(1)求值(一27旨+2+log49-log32.

3sina+cosa

(2)已知tana=2,求的值.

2sina+3cosa

（高一上•全国•课后作业）已知（）侣呢一倡理,为第二象限角.

小钱牛刃125-26/a=a

(I)若/(a)=3,求宝in2a+cos2a的值;

(2)若cos2a/(a)=求sina—cosa的值.

（24-25高一上,江苏镇江•期末）设tana=­g则siMa+l)

sinacosa-2cos2cr

3

A.BC.-1D.I

5-1

小被牛乃5（24-25高一上•广东深圳•期末）化简求各式的值:

⑴停声⑶-0.1253：

(2)log4y+log23-logo.51

(3)已知sma+c°sa=3,计算sin2a—2sinacosa的值;

sina-cosa

【题型6：诱导公式的化简求值】

6

【方法技巧】

一、核心规则

诱导公式可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：

设角为。，将原式化为人至+。的形式（AwZ）；

2

“奇变偶不变”：〃为奇数时，三角函数名改变（sin—cos,tan不变）；左为偶数时，三角函数名不变;

“符号看象限”：将a视为锐角，判断八三+a所在象限，确定原式的符号.

2

二、方法技巧

1.逐步化简：多步诱导时，按“奇变偶不变，符号看象限”逐步转化，避免一次处理多个诱导项；

2.符号优先确定：先确定化简后的符号，再写三角函数名与角；

3.特殊角结合：化简后若角为特殊角，直接代入其三角函数值计算.

（25・26高一上・江苏泰州•月考）已知函数/X。）=3，其中"竽

，经善例题'、'sin宁（--0；广）sin厂（n-0；）：sin%（-誉■一&）2

,kez.

(1)化简/(6);

(2)若/1(6)=2,求心+一”的值；

'、'cos20cos0sin0

(3)若2sin®-f(0+》+sin(0+)f(。)=1,求f(B)的值.

►小钱牛乃7（25-26高三上•辽宁大连•期中）计算求值.

■

(1)已知sin(无+以=求sin停一%)+的值.

(2)若sin8=—缪，且。6(一；,0),求下列式子的值.

10\2，

G)2sin6+3cos6(日)sin(6-g)cos(6+玛tan(n-6)

3sin6-2cos6'tan(-6»-n)sin(-0-n)'

小领牛力2【多选题】（23-24高一上•黑龙江哈尔滨•期末）（多选）已知sina二£awg，n），

则（）

43

A.sin(n—a)="B.tan(IT+«)=--

C.sin(尹Q)TD.cos(^-a)=-1

小铁牛力5（24-25高一下•广东汕头期末）cos（—个）=（）

A--TB.孝C.-fD.当

【题型7：诱导公式中“角的拼凑”】

【方法技巧】

7

、核心思路

将所求角拼凑为“已知角+特殊角（或乃、工的整数倍）"，再利用诱导公式转化为已知角的三角函数.

2

二、方法技巧

1.角的关系分析：观察所求角与已知角的和、差是否为万、巴等特殊角，例:

2

a二不一（4一a）；

）尸、

々二万一万一夕；

2.拼凑后化简：将所求角代入诱导公式，转化为己知角的三角函数，再代入已知值计算;

3.符号独立判断：拼凑后的角所在象限，需单独判断以确定符号，与己知角的象限无关.

（24-25高二下•黑龙江牡丹江•期末）已知sinQ-x）=半，且0<%<去求sing+x）-

cos得+”）的值为（)

A.公B.苧C.0D•-竽

小微牛力1（24-25高一下•内蒙古呼和浩特•期末）已知f（a）二臂丁）。夕

cosQ+aJsin（-Tr-a）・sin（a-：J

(1)化简/(a);

(2)若/(a+：)=|,求/停-a)

。戟牛刃2（24-25高一下河北保定•期末）已知加（"力="贝iJcosG+a）=（）

C一

A-BYJ5

►小被牛力5（24-25高一下•河南新乡期末）⑴已知tan（：a）=g,求tan得+a）的值;

（2）化简：35+：）弋3…）1,亭向

sin（iT+a）cos（-a-n）

【题型8：两角和差公式的逆用】

【方法技巧】

一、核心公式(微软Word公式格式)

1.正弦逆用：sinacos/3+cosasinfi=sin(a+fi)；

sin«cos/y-cosasin/?=sin(a-p)•

2.余弦逆用：cosacosp-sinasinp=cos(a+/3)；

cosacosp+sinasin=cos(a-/3)；

tana+tan£.小

3.正切逆用：--------9=tan(a+〃)；

1-tanatanp

8

工tana许-tan…£/…八、)，

二、方法技巧

1.公式结构匹配：观察式子的系数、函数名，匹配两角和差公式的右边形式；

2.系数调整：若式子有系数(如」sina+正cosa)，可转化为sin工sina+cos2cosa=cos(a-E)；

22666

3.符号一致：逆用公式时，注意式子的符号与公式右边的符号保持一致，避免符号错误.

•经典例题(24-25高二下•云南•期末)cos^cos^-sin^s*=()

A-B.|C.一苧D.当

卜.锹牛乃1(24-25高一下•广东汕尾•期末)已知sin(a—/?)cosa—cos(/?—a)sina=等，0是

第四象限角，则cos(/?+9的值是()

A•笔B_邈c3mD_3>/To

・"HT•iu•IU

(24-25高一下•江苏镇江•期末)已知0。工141800满足回竺皓产二遮，则a

k小色牛刃2tan39-tan810

的值为()

A.30°B.60°C.120°D.150°

(24-25高一下•江苏连云港•月考)下列等式正确的是()

A.sinl5^osl5^=lB.2sin222.5n-l=-^

2

C.cos26°cos340+sin26°sin340=1ntan710-tan260.

'l+tan710tan260—

【题型9：两角和差公式中“角的拼凑”】

【方法技巧】

一、核心思路

将所求角表示为“已知角的和或差”，例:

a=(a+0)-0；

2a=(a+/)+(a-/?)；

P=(a+/3)-aQ

二、方法技巧

1.角的分解优先：分析所求角与己知角的数量关系，确定拼凑方式；

2.代入公式计算：将拼凑后的角代入两角和差公式，展开后代入已知角的三角函数值;

3.范围辅助符号：若已知角的范围，可推导拼凑后角的范围，确定三角函数的符号.

♦经翼何做(2025・广东深圳•二模)若cos(a+q=g,戊«0,今，则sina=()

9

B・黑C.?D.警

A飞

一被牛R（23-24高二下•贵州六盘水•期末）已知a,夕为锐角，若tana=*COS（Q+A）=一字

1VLa

则sin/?=()

A.迪B•平c•禁

10D-T

（23-24高一上•广东清远•期末）已知a,£为锐角，且呵竺处空吗■=3.

>小被牛力2sin（-a）sin（3n-a）cos^a-

(1)求2sina+cosa的值：

(2)若cos(a+/?)=1,求sin/7的值.

（24-25高一上•陕西西安•期末）已知Q,/满足0<"%?</?<],cos（；+a）=

小被牛力3勺v4\4/

sing+/?）=M则sin（a-0）=.

【题型10:两角和差公式中的化简求值】

【方法技巧】

一、核心公式

1,正弦和差:sin(a±^)=sinacos±cosasinp；

2.余弦和差：cos(cr±P)=coscos/?+sinasin0；

,c、tana±tan6

3.正切和差：tan(«±/?)=----------------

1+tancrtanfl

二、方法技巧

1.已知角优先代入：先确定已知角的三角函数值，再代入公式；

2.范围确定符号：若己知角的范围，先确定其三角函数的符号，避免代入错误值；

3.复杂式子化简：先利用诱导公式等化简式子，再代入两角和差公式计算：

4.正切公式注意分母：使用正切和差公式时，需保证分母l¥tanatan〃wO.

经善例题（2025•贵州遵义•模拟预测）已知a,0G（0,^）,sinasin/?=等,cos（a—/?）=黑,则tan

(a+夕)=()

A.7B.1C--7D.-7

小裁牛力1(24-25高二下•河南周口•期末)已知cos(a+/?)+cos(a—0)=警，sin(a4-/?)—

sin(a—/?)=以2,则tan/?=

S

小锹牛力2(24-25高一下•山东威海•期末)已知cos(a—/?)=—；,sinasin/?=―^则cos

(a+/?)=()

10

A-I

＞小微牛乃m(24-25高一下•甘肃白银期末)已知sin(R+8)—sin(4—8)=平，cos(4+8)+

C0S(71_8)=等.

⑴求tanB的值;

(2)求sin2B的值.

【题型11:二倍角公式的化简求值】

【方法技巧】

一、核心公式

1.正弦二倍角：sin2a=2sinacosa；

2.余弦二倍角(三种形式)：

cos2a=cos2a-sin2a=2cos:a-1=l-2sin2a；

3.正切二倍角：tanla=——2tan(tana±1).

1-tan~a

二、方法技巧

1.余弦二倍角形式选择:

de21+cos2a.2l-cos2a

降1t幕：用cos"a=--------------sina=--------------

22

升基：用1+cos2。=2cos2a、l-cos2cz=2sin2a：

2.“1”的代换：利用lusiYa+cos?。，结合二倍角公式化简式子;

3.正切二倍角注意：若tana=±l,则2a=：+%万，tan2a无意义：

2

4.二倍角的延伸：如sin4a=2sin2。cos2。，可多次应川二倍角公式.

（24-25高一下•广东汕头・期末）已知普：=♦，则上竽=______

•经典的败l-sinzx2cos2x

►小被牛力1（24-25高一下.辽宁葫芦岛•期末）已知嗯著=4.

(1)求tana的值;

（2）若a是第一象限角，tan（。-0）二—最求嘿笔的值.

（24-25高一下•广东茂名•期末）已知;二吗：：*：=3,则tan26=（）

小斌牛力2i+coszt7+sinzt7

A3

A・松c—Dg

（24-25高一下•山东潍坊•期中）己知角。的终边在第三象限，3这=一2标则

sin?。+sin(3n—8)COS(2TT+0)—&cos2。等于()

11

A.一遐B.逗C.D.1

6633

【题型12：辅助角公式的化简求值】

【方法技巧】

一、核心公式

对任意实数。、b,有：

asina+bcosa=Jn2sin(a+0)

hb

其中tan0二—(或cos0=耳+/），4的象限由。、匕的符号确定.

a

二、方法技巧

1.系数计算准确：jT+w的计算需准确,避免开方错误；

hjr

2.辅助角。的确定：由Q、力的符号确定。所在象限，再结合tan，=—确定。（常用特殊角，如二、

a6

£),

4

3.化简后应用：化简为，苗+一sin（a+。）后,可求最值、周期、单调性等:

4.符号一致：注意公式中sin（a+。）的符号，与。、6的符号保持对应.

♦候典例版|【多选题】（24-25而一下•江苏南通・期中）下列式子中正确的是（)

A.(^-tan5o)tanl00=2

ta吟+tan"__

ltani2

QVl-sinl0°coL40°_V2

•cos1002

D.2cosl0°____!_=_虫

2tanl0°2

AS•钱牛乃7（24-25高一下•云南保山・期末）当x=例寸，函数/（%）=5sinx-12cos义取得最小值,

则cos。=()

5B.D.12

A.C-H73

小被牛刀2（24-25高二下•云南昆明•期末）已知Vasina—cosa=则cos（2a—g）=

,小祺牛刀3（24-25高一下•江苏徐州•期末）已知cos（a-9+cos（a+3=¥，贝kos（2a-3

=()

_V2157

A.B.-辛C.D.

16B

【题型13:和差化积公式的化简求值】

12

【方法技巧】

一、核心公式

1.正弦和差化枳:

a-\-Ba-B

sina+sin〃=2sin-----cos...-

22

a+fl.a-p

sina—sin=2cos-----sin...-

22

2.余弦和差化积;

a+Ba-B

cos«+cos/?=2cos-----cos----

22

a+B.a-p

cosa-cos4=-2sin-----sin...-

22

二、方法技巧

与,Va-B）；

1.公式结构记忆：注意和差化积公式的系数（均为2）、角的形式（

2

2.角的匹配：将式子中的角转化为a和夕，再套用公式;

3.符号注意：cosa-cos/的公式前有负号，避免遗漏;

4.与积化和差互逆:化简后若出现积的形式，可结合积化和差公式进一步化简.

经典的做（24-25高三下•江苏南通月考）已知€（0,。，cos（x+y）=—得，sin2x-sin2y=—

今则tan2K=()

JLO

A6333C33

A-正B・正一蕊D.

c56

》小被牛丸1（23-24高一下•四川凉山・期末）（1）①借助两角和差公式证明：cosa+cos0=2cos

竽osi.

②在△ABC中，求证:cosA+cosB+cosC=1+4sin?si埠峙.

(2)若cosa+cos/?=sina—sin/?=求sin(a—0)的值.

小锹牛力2（23-24高一上•江西鹰潭•期末）已知cosa+cos/?=卷，sina—sin/?=—则tan

（a-S）的值为（）

A119120r119D・圈

A-南B,一而J-120

小钱牛力5(23-24高二上,四川成都•期末)计算：cos20°cos400-cos40°cos800+cos80°cos20°

)

A1C3D.亨

A，B

2-IJ4

13

【题型14：综合类型的给值求值】

【方法技巧】

一、核心思路

结合“同角公式、诱导公式、两角和差公式、二倍角公式”等，将所求角转化为己知角的组合，逐步化简

求值.

二、方法技巧

L步骤拆解：将求值过程拆分为“角的转化一公式选择一代入计算”三步:

2.中间量求解：若直接代入困难，先求中间量（如sinacosa、tana）；

3.符号多层验证：每一步转化后，均需结合角的范围确定三角函数的符号;

4.公式优先顺序：优先用诱导公式化简角，再用同角或和差公式计算.

经善例题(25-26高一上•云南昆明,期末)已知sin(a+夕)=|,tana=2tan/?,则sinacos^=()

A-IB.孝D・|

小钱牛D1（24-25高一下•湖南常德•期中）已知sinacos^=2cosasin/?,sin(a+/?)=；,则sin

(/?一©=

小桃牛J92（24-25高三上•江苏无锡•期末）已知tana=3,tan(a-")=5,则黑篙

23

AR25

77B・T7*D.5

（24-25高三上•山东淄博•期末）已知sin(a_/?)=_],翳=_彳，则sin(a+/?)的

值为（）

_2

AB

3-C1D品

【题型15：综合类型给值求角】

【方法技巧】

一、核心步骤

1.求角的三角函数值：选择一个能唯一确定角的三角函数（如范围在（0,乃）时选cosa,范围在时

选sin。）；

2.确定角的范闱：结合已知条件，尽可能缩小角的范围（如由sina>0且cosacO确定仪£（/,1））；

3.确定角的大小：结合三角函数值与角的范围，确定角（常用特殊角）.

二、方法技巧

1.三角函数选择：优先选择在角的范围内单调的三角函数，避免多值；

2.范围缩小：利用己知角的范围、三角函数的符号等，多次缩小所求角的范围；

3.特殊角验证：若求得的二角函数值对应特殊角，百接验证该角足否在范围内.

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，经柒蝌必(24-25高二下.•陕西榆林•期末)已知tana=£翳，且。6€(0,以，则下列选项正确的

是（）

A.a+B.2a—0=]C.2a+0=1D.2a+/?=n

＞小被牛刃1（24-25高一下•江苏镇江•期末）已知内/?为锐角，tana二'，cos（a+0）=—条

则2a+0的值为（）

A.乎B.n