高中数学一轮复习-成对数据的相关关系

专题12.6成对数据的相关关系

1.变量的相关关系

⑴相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中一个去精确地决定另一个的程度,

这种关系称为相关关系.

注意：相关关系与函数关系是不同的，相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种

确定的关系，而且函数关系是一种因果关系，但相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随

关系.

⑵线性相关、非线性相关

①线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附

近，我们就称这两个变量线性用关.

②非线性相关：般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关,那么我们就称这两个

变量非线性相关或曲线相关.

⑶散点图

将样本中的几个数据点(/,%)«=1,2，…,切描在平面直角坐标系中，所得图形叫做散点

图.根据散点图中点的分布可以直观地判断两个变量之间的关系.

①如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系,

我们将它称为正相关，如图(1)所示：

②如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内，对于两个变量的这种相关关系,

我们将它称为负相关，如图(2)所示.

y)

(I)(2)

①将收集到的两个变量的统计数据分别作为横、纵坐标,在直角坐标系中描点，这样得到的

图叫作散点图；

②散点图具有直观简明的特点，可以根据散点图判断两个变量有没有相关关系.

(4)正相关、负相关

①正相关：从整体上看，当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值也呈现增加的趋势,

我们就称这两个变量正相关；

②负相关：从整体上看,如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减小的趋势,

则称这两个变量负相关.

2.样本相关系数

⑴相关系数r的计算

变量X与变量y的样本相关系数，•的计算公式如下：r=j£3（y一/.

J器式阳-h］器式yf）2

⑵相关系数r的性质

①当r>0时，称成对样不数据正相关；

当rV。时，称成对样本数据负相关；

当r=0时，成对样本数据间没有线性相关关系.

②样本相关系数r的取值范围为［-1,1］,当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越

强；当|丁|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.

3.一元线性回归模型

⑴经验回归方程

我们将夕=+«称为y关于X的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其

图形称为经验回归直线，其中

r_2之式2-•君Si一刃_打

2

器心广无产^=1xj-nx

a=y—bx

⑵利用决定系数IV刻画回归效果

腔=】一髭庠‘卢越大,即拟合效果越好，产越小,模型拟合效果越差.

⑶一元线性回归模型参数的最小二乘估计

①经验回归方程：如果散点图中点的分布从整体上大致在一条直线附近，就称这两个变量

之间具有线性相关关系,我们把这条直线称为经验回归直线（回归直线），借助最小二乘法得到

的直线方程夕=bx+6称为经验回归方程（线性回归方程）.

②经验回归方程的性质

i.经验回归直线一定过点（x,y）；

ii.y与x正相关的充要条件是的6>0：y与x负相关的充要条件是B<0；

iii.当x增大一个单位时,夕增大B个单位，这就是回归系数6的实际意义.

4.列联表与独立性检验

（1）2x2列联表

如图，给出成对分类变量数据的交叉分类频数的数据统计表称为2x2列联表.

XY合计

Y=0Y=1

x=0aba+b

X=1cdc+d

合计a+cb+dn=a+b+c+d

⑵独立性检验

n(ad-bc)2

①依据上述2x2列联表构造统计量;=

(a+b)(c+d)(c+c)(b+d)'

忽略f的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值a,可以找到相应的正实数

%，

使得P（/2>xa）=a成立.我们称之为a的临界值，这个临界值就可作为判断/大小的标

准.

②基于小概率值a的检验规则是：

当/>之时，我们就推断为不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过a；

当/<为时，我们没有充分证据推断/不成立，可以认为X和Y独立.

这种利用f的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为/独立性检验，读作“卡方独

立性检验”，简称独立性检验.

下表给出了/独立性检验中儿个常用的小概率值和相应的临界值

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【重要结论】

1.线性回归直线一定经过样本点的中心（无刃，据此性质可以解决有关的计算问题、判断结

论的正确性.

2.根据回归方程计算的y值，仅是一个预报值，不是真实发生的值.

3.根据的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若公越大，则两分类变量有关的

把握越大.

阚改编

1.【人教A版选择性必修三习题8.2第1题P120】如果发现散点图中所有的样本点都

落在一条斜率为非0实数的直线上，则下列说法错误的是（）

A.解释变量和预报变量是一次函数关系B.决定系数R2=1

B.残差平方和为0D.相关系数r=1

2.1人教A版选择性必修一习题8.3第5题P13S】为了研究高三年级学生的性别和身

高是否大于170cm的关联性，同学甲调查了某中学高三年级所有学生，整理得到列联表1,同

学乙从该校高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，由样本数据整理得到列联表2.

表1单位：人

身高

性别口11

<170cm>170cm

女811697

男2875103

合计10991200

表2单位：人

身高

性别合计

<170cm>170cm

女15621

男91019

合计241640

(1)利用表1,通过比较不低于170cm的学生在女生和男生中的比率，判断该中学高三年

级学生的性别和身高是否有关联，如果有关联，请解释它们之间如何相互影响；

(H)利用表2,依据a=0.05的独立性检验，推断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关

联，并解释所得结论的实际含义：

(III)以上两种方法得出的结论是否一致？如果不一致，你认为哪种方法得出的结论准确，原

因是什么？

„ri(ad-be)2

(y=7----7T7-------K，n=a+b+c+d)

"(Q++dK)T(-a---+---CT)nS+d),

P（X2>心）0.1500.1000.0500.0250.010

ko2.0722.7063.8415.0246.635

I考点归纳

考点一成对数据相关性与相关系数

【方法储备】

判断数据相关关系的方法：

1.散点图：如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系.如果所有

的样本点都落在某一函数曲线的附近，变量之间就有相关关系.

2.样本相关系数法：若|r|的值越接近于1,说明变量之间的线性相关程度越高；当〃>0时,

称成对样本数据止相关；当时，称成对样本数据负相关.

3.经验回归方程法：在经验回归方程中，当6>0时，正相关；当方V0时，负相关.

【典例精讲】

例1.（2025・全国•模拟）某工厂为了确定工效进行了5次试验，收集数据如下：

加工零件个数X1020304050

加工时间y（分）6469758290

经检验，这组样本数据的两个变量X与丫具有线性相关关系，那么对于加工零件个数X与

加工时间y这两个变量，下列判断中正确的是（）

A.负相关，其回归直线经过点（30,75）B.正相关，其回归直线经过点（30,75）

B.负相关，其回归直线经过点（30,76）D.正相关，其回归直线经过点（30,76）

例2.（2025•山东省•模拟）为了研究儿子身高与父亲身高的关系，某机构调杳了某所高校14

名男大学生的身高及其父亲的身高（单位：cm）,得到的数据如表所示.

编号1234567891011121314

父亲身高工174170173169182172180172168166182173164180

儿子身高y176176170170185176178174170168178172165182

父亲身高的平均数记为总儿子身高的平均数记为方根据调查数据，得到儿子身高关于

父亲身高的回归直线方程为y=0.839X+28.957.则下列结论中正确的是（）

A.y与x正相关，且相关系数为0.839

B.点叵,歹）不在回归直线上

C.x每增大一个单位，夕增大0.839个单位

D.当％=176时，yx177.所以如果一位父亲的身高为176cm,他儿子长大成人后的身高

一■定是177cm

【拓展提升】

练1・1（.（2025•天津市•期末考试）对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其样本相关

系数的比较，下列结论正确的是（）

3535

3030

2525

2020

1515

1010

55

O5O535C

20305101520253035

样本相关系数为乃样本相关系数为Q

35

30

25

20

15

10

5

O

5101520253035101520253035

样本相关系数为/*3样本相关系数为々

A.r2<r4<0<r3<rrB.r2<r4<0<rr<r3C.r4<r2<0<r3<D.

74<r2<0<r1<73

练12（2025•浙江省宁波市模拟）（多选）根据某地3月5日到3月15日的每天最高气温与

最低气温数据（单位：°C）绘制如下折线图，那么下列叙述正确的是（）

A.5号到11号的最低气温与日期之间呈线性相关关系且为正相关

B.9号的最高气温与最低气温的差值最大

C.最高气温的众数为27，C

D.5号到15号的最低气温的极差比最高气温的极差大

考点二一元线性回归模型及其应用

【方法储备】

1.求线性回归万程的步骤：

⑴利用散点图或进行相关性检验判定两个变量具有线性相关关系；

⑵列表求出无?二%瞪,2/11；

⑶利用相应公式计算64；

⑷写出线性回归方程.

⑸经验回归方程的拟合效果，可以利用相关系数|r|判断，当|r|越趋近于1时，两变量的

线性相关性越强.或利用决定系数肥判断，R2越大，拟合效果越好.

2.利用回归方程可以进行预测和估计总体，回归方程将部分观测值所反映的规律进行延

伸,是我们对有线性相关关系的两个变量进行分析和控制、依据自变量的取值估计和预报因变

量值的基础和依据.

3.非线性经验回归方程转化为线性经验回归方程的方法

如：①若夕=a+b\[x,设t=yfx,则？=a+bt；②若满足对数式：y=a+blnx,设「二

Znx,则y=6+几；③若满足指数式:y=（:送""两边取对数解]ny=\nc1+c2x,设z=lny,a=

Inq,b=c?,则z=a+bx.

【典例精讲】

例3.（2025•湖南省长沙市模拟）若需要刻画预报变量w和解释变量x的相关关系，且从已

知数据中知道预报变量w随着解释变量%的增大而减小，并且随着解释变量x的增大，预报变

量w大致趋于一个确定的值，为拟合w和％之间的关系，应使用以下回归方程中的（匕>0,e为

自然对数的底数）（）

x

A.w=bx+aw=-b\nx+QC.w=­b>T~x+QD.w=be~+a

例4.（2025•江苏省无锡市月考）为了解某地区未成年男性身高与体重的关系，对该地区

12组不同身高项（单位：cm）的未成年男性体重的平均值为（单位：kg）9=l,2,…，12）数据

作了初步处理，得到下面的散点图和一些统计量的值.

70

6C

50

4C

30-.•

2C-..

10-••••・

_____IIIIIIIIIIIIIIIIII

Q10203040506070809010011012013014015016017018CT5：

£)21212

2（芍一%）（%7）W5-％)3-3)

Xy0)

1=1i=l1=1

11524.3582.958143006300286

表中=Iny^i=1,2,…,12）,o）=2£四期.

（1）根据散点图判断y=Q%+b和y=哪一个适宜作为该地区未成年男性体重的平

均值y与身高工的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）.

（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（3）如果体重高于相同身高的未成年男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么

该地区的一位未成年男性身高为175cm,体重为78的，他的体重是否正常？

uv

附：对于一组数据（%,%）,（U2,V2）»......（n/n）»其回归直线U=Q+夕〃的斜率和截

距的最小二乘估计分别为2=渭『），a=v-pu,"2ko.693.

【拓展提升】

练2」.（2025•山东省济南市•模拟题）（多选）一组样本数据（孙力）,i6{1,2,3,…,100}.其中

勺＞1895,£没看=2x105,£漂％=970,求得其经验回归方程为：？=一0.02%+逼，残

差为即对样本数据进行处理：=InQi-1895）,得到新的数据（/〃%）,求得其经验回归方

程为：y=-0.42x4-a2,其残差为0.耳，均分布如图所示，且。〜N（0,而），⑪〜N（0,於），

顺）

2

图1图2

A.样本(X0。负相关B.=

C.al<遐D.处理后的决定系？

练2・2.(2025・河南省漂河市•期末考试)某制药公司研发一种新药，需要开展临床用药试

验.随机征集了一部分志愿者作为样本参加试验，并得到一组数据=1,2，…,10),其

中勺，y：表示连续用药i天，相应的临床药效指标值.已知该组数据中y与In%之间具有线性相

关关系，令t=lnx,经计算得到下面一些统计量的值：

X?=iH=385,yi—86>“=15.0,于%*=27.5,勺.—528,S?=i。%=

143.0.

(1)求y关于x的经验回归方程；

(2)该公司要用甲与乙两套设备同时生产该种新药，已知设备甲的生产效率是设备乙的

1.5倍，设备甲生产药品的不合格率为0.008,设备乙生产药品的不合格率为0.006,且设备甲

与乙生产的药品是否合格相互独立.

①从该公司生产的新药中随机抽取一件，求所抽药品为不合格品的概率；

②在该新药产品检验中发现有三件不合格品，求其中恰有二件是设备乙生产的概率.

参考公式：对于一组数据(孙力)(i=L2，…,71),其回归方程9=+6中，斜率和截距的

最小二乘法估计公式分别为：屋矍箸署，底歹-汽

考点三列联表与独立性检验

【方法储备】

独立性检验的一般步骤:

(1)独立性检验原理只能解决两个对象，且每个对象有两类属性的问题，所以对于一个

实际问题，我们首先要确定能否用独立性检验的思想加以解决；

(2)如果确实属于这类问题，要科学地抽取样本，样本容量要适当，不可太小;

(3)根据数据列出2x2列联表；

(4)提出假设%：所研究的两类对象(X,Y)无关;

n(ad-bc)2

(5)根据公式计算X?=的值;

(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)

(6)比较乂2与临界值%,根据小概率原理肯定或者否定假设，即判断x,y是否相关.

【典例精讲】

例5.(2025•山东省枣庄市模拟)根据分类变量％与y的成对样本数据，计算得到才2=6.147.

依据a=0.01的独立性检验(为oi=6.635),结论为()

A.变量x与y不独立

B.变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01

C.变量x与y独立

D.变量》与'独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01

例6.(2022•湖南省长沙市期中)新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源

汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺的压力.在当今提倡全球环保的前提下，新能源

汽车越来越受到消费者的青睐，新能源汽车产'也也必将成为未来汽车产业发展的导向与目标.

某机构从某地区抽取了500名近期购买新能源汽车的车主，调查他们的年龄情况，其中购买甲

车型的有200人，统计得到如下的频率分布直方图.

(1)将年龄不低于45岁的人称为中年，低于45岁的人称为青年，购买其他车型的车主青

年人数与中年人数之比为3:1,完成下列2x2列联表，依据a=0.005的独立性检验，能否认

为购买甲车型新能源汽车与生龄有关？

青年中年合计

甲车型

其他车型

合计

（2）用分层抽样的方法从购买甲车型的样本中抽取8人，再从中随机抽取4人，记青年有X

人，求X的分布列和数学期望.

附.____n(-c)2______

•A(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.1000.0500.0100.0050.001

xa2.7063.8416.6357.87910.828

【拓展提升】

练3・1（2025•广东省东莞市•期末考试）（多选）根据分类变量％与）/的成对样本数据-，提出

零假设％,并计算得到％2=2.974,则下列说法正确的是（）

n(ad-bc')2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.0050.001

“a2.7063.8416.6357.87910.828

A.零假设为〃°:分类变量％与y独立

B.根据小概率值a=0.1的f独立性检验，可以认为不与y不独立，这个结论犯错误的概率

不超过0.1

C.根据小概率值a=0.01的22独立性检验，可以认为％与y不独立，这个结论犯错误的概

率不超过0.01

D.若所有样木数据都扩大为原来的10倍，根据小概率值a=0.01的%2独立性检验，可以

认为％与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01

练3・2（2025•安徽省合肥市联考）针对“中学生追星问题”，某校团委正在对“性别与中学生

追星是否有关”做相关研究.现从本校随机抽取100名学生进行调查，得到下表：

性别

是否追星合计

男生女生

追星4570

不追星20

合计100

（1）请将上述2X2列联表补充完整，并依据a=0.01的独立性检验，能否认为性别与中

学生追星有关联？

（2）根据是否追星，在样本的女生中，按照分层抽样的方法抽取9人作为研究小组.为了更

详细地了解情况，再从研究小组中随机抽取4人，求抽到追星人数X的分布列及数学期望.

n(ad-bc)2

参考公式：f=n=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

下表给出了独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.

a0.0500.0250.0100.001

%3.84105.0246.63510.828

新题放送

1.（2025•山东省济南市•模拟题）（多选）为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这

两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，并根据形成的2x2列联表，计算得到

Z2-2.727,根据小概率值为a的独立性检验，贝立）

附:

P(Z2>k)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

A.若a=0.100,则认为“毛色”和“角”无关

B.若a=0.100,则认为毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10%

C.若a=0.010,则认刈毛色”和“角”无关

D.若a=0.010,则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过1%

2.（2025•重庆市市辖区模拟）（多选）小张同学收集了某商品销售收入y（单位：万元）与相应

的广告支出x（单位：万元）共10组数据，绘制出散点图，如下图所示，并利用线性回归模型进

行拟合.她将图中10个点中的人点去掉后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（）

八销售收入W万元

60・

50-.***

40-.・•

30■•*A

2叱

~OT\.01.52.02.53：03*54.04,.55.05.5支出/万元

A.决定系数炉变大

B.残差平方和变大

C.相关系数r的值变大

D.去掉力点后，若所有散点都在一条直线上，则决定系数炉=1

3.（2025•河北省唐山市・模拟题）某学术平台引入川智能检测系统对所收到的文本进行筛

查.检测系统对川生成文本的识别准确率为98%,对人类撰写文本的识别准确率为96.5%.检测

系统对所收到的文本进行筛查时，会对每篇文本输出一个“4/生成概率”得分y（分）.y与文本长

度式字）可以用一元线性回归模型来刻画，其线性回归方程为y+0.95,且±二480,y=

0.35.已知该平台中15%的文本由川生成.

（1）求回归系数B；

（2）从该平台随机选取一篇文本，求该文本被检测系统识别为人类撰写文本的概率（精确

到0.001）;

（3）现从平台中随机抽取200篇文本进行统计分析，填写列联表（篇数四舍五入取整数）：

检测结果

文本真实性足、11

识别为川生成（篇）识别为人类撰写（篇）

真实川生成（篇）

真实人类撰写（篇）

总计200

依据小概率值a=0.01的％2独立性检验，能否判断“检测结果”与“文本真实性”有差异?

2

参考公式：X2-n(ad-dc)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

提示：22独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【答案解析】

L【人教A版选择性必修三习题8.2第1题P120]

解：因为样本点都落在一条斜率为非。实数的直线上，所以相关系数r满足|厂|=1,若直

线的斜率为正，则丁=1;若斜率为负，则厂=一1,故。错误；

直线对应的函数为一次函数，所以解释变量和预报变量是一次函数关系，故A正确；

决定系数和残差平方和都能反映模型的拟合程度，所以决定系数R2=l,残差的平方和为0,

故8,C正确.

故本题选D.

2.1人教A版选择性必修一习题8.3第5题P135]

解：(I)女学生身高低于170c?n,不低于170cm的频率分别为寡«0.835,y0.165,

男学生身高低于170cm,不低于170cm的频率分别为芸方0.272,-^^0.728,

通过比较发现，如果从女生、男生中各随机选取一名学生，女生中身高低于170cm的概率大

于男生中身高低于170c/n的概率，

故高三年级学生的性别和身高有关联，

•T70.835^.―

乂---«3.07,

0.272

故女生中身高低于170cm的频率是男生中身高低于170cm的频率的3倍以上,

所以女生身高更容易低于170cm；

40x(15x10-9x6)2

(H)因为％2=X2.41<3.841,

21X19X24X16

所以依据a=0.05的独立性检验，没有95%的把握认为该中学高三年级学生的性别与身高有

关系；

(IH)不一致，第一种准确，第二种样本容量太少，随机性太大.

例1.解：由表中数据可得y随X的增大而增大，故丫与X正相关.乂H=：x(10+20+30+

40+50)=30,y=1x(64+69+75+82+90)=76,所以样本点的中心为(30,76),而线

性回归直线过样本点的中心，因此其线性回归直线经过点(30,76),故选D

例2.解：A选项，因0.839＞0,则y与％正相关，但相关系数不是0.839,故4错误；

B选项，回归方程过定点(无力，故。错误；

C选项，由回归方程可知％每增大一个单位，夕增大0.839个单位，故C正确；

0选项，回归方程得到的?为预测值，不一定满足实际情况，故。错误.

故选：C

练1・1,解：由图知，an都是正相关关系，丁2，口都是负相关关系，

从散点密集程度看，后,为相关性分别比心绝对值大，所以后＞4＞0＞七＞□.

故选：D.

练1-2.解：由某地3月5日到3月15日的每天最高气温与最低气温(单位：°C)数据，折线

图，知：

在4中，5号到11号的最低气温与日期之间，在一条直线附近，成上升趋势，即呈线性相关关

系且为正相关，故A正确；

在B中，由图知，6号的最高气温与最低气温的差值最大，故8错误；

在C中，最高气温27。出现2次，次数最多，则众数为27K,故。正确；

在。中，5号到15号的最低气温的极差小于15-3=12,最高气温的极差为27-15=12,故

最高气温的极差大，故。错误

故选：AC.

例3.解：对于4因为y=%在定义域内单调递增且%>0,所以w随着工的增大而增

大，不合题意，故A错误；

对于B：因为y=lnx在定义域内单调递增且b>0,所以w随着x的增大而减小，

当解释变量X—+00，WT-8,不合题意，故8错误；

对于C：因为y=C在定义域内单调递增且匕>0,所以W随着X的增大而减小，

当解释变量XT+8,WT—8,不合题意，故。错误；

对于。：因为y=e-=G尸在定义域内单调递减且b>0,所以W随着工的增大而减

小，

当解释变量Xl+8,WTQ,故。正确；

故选；D.

例4.解：（1）根据散点图，选择模型y=b+d更适宜作为该地区未成年男性体重的平均值

y与身高》的回归方程类型；

（2）对、=两边同时取对数，可得仇y=cx+d,即3=c%+d,

所以。==o.O2,则2=w-cx=2.958-0.02x115=0.658,

14300

所以y_^0.002x4-0.658,

⑶由加2ao.693,可得e0693《2,

令X=175,则y=60-02x175+0,658=^6x0.693=（”.693）6工於二64,

又64X1.2=76.8<78,所以该男生偏胖.

练2・1.解：对于4、由经验回归方程的斜率为负可知样本（孙y。负相关，故A正确；

3

友于8、x=5^1=2x10,y==9.7,

100J100

代入》=-0.02%+Qi得式i=49.7,故B正确;

对于。、由残差图可知，处理前的残差比处理后的残差更分散，所以疗>域，故C错误；

对于0、处理后残差的绝对值更小，

所以处理后的决定系数变大，故。正确，

故选：ABD.

练2.2.解：⑴£=啜=1.5,y=^Z?=i7i=8.6,

rEj=itiyj-101y143.0-10x1.5x8.6_

U-.八"7"=Z=Zn.Oo9

tf-iot27.5-10X1.52

a=y-St=8.6-2.8xl.5=4.4,

所以y关于用勺线性回归方程为：y=2.8t+4.4,

所以y关于x的回归方程为9=2.81nx+4.4；

(2)设事件A随机抽取一件药品来自设备甲生产，

事件B：随机抽取一件药品来自设备乙生产，

事件C:随机抽取一件该公司生产的药品为不合格品，

①因为设备甲的生产效率是设备乙的1.5倍，

所以PQ4)=gP⑻=：,

则P(C|4)=0.008,P(C|B)=0.006,

所以P(C)=p(A)-P(CIA)+P⑻•P(C|B)=-x0.0084--x0.006=0.0072,

55

故所抽药品为不合格品的概率为0.0072：

②回32=①丝=工，

v17P⑹0.00723

即所抽药品为不合格品，该药品来自设备乙生产的概率为%

所以三件不合格品中恰有二件是设备乙生产的概率为P=C在§2X|=：.

例5.解：a=0.01时，*“=6.635,则大于右时相关，不独立，

而产=6.147<Xa=6.635,所以变量％与y独立，

但是这个结论犯错误的概率超过0.01,故A,B,。错误，C正确.

故选C.

例6.解：(1)由直方图可知，购买甲车型的青年人数为200(0.005+0.025+0.0325)x

10=125人，中年人数为200—125=75人，

购买其他车型的青年人数为(500-200)X^-=225人，中年人数为300-225=

75人,

可得2x2列联表：

青年中年合计

甲车型12575200

其他车型22575300

合计350150500

零假设为:购买甲车型新能源汽车与年龄无关.

因为公50°(125X75-225X75)，=经右8929>7879

350X150X200X30014

根据小概率值a=0.005的独立性检验，我们推断为不成立，即认为购买甲车型新能源汽

车与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.005.

(2)用分层抽样的方法从购买甲车型的样本中抽取8人，则青年有8x箫=5人，中年

有8x券=3人，所以X的可能取值为1,2,3,4.

魅空=亘=工服或_30_3

P(X=P(X=2)

747014点~70~7

得分布列:

X1234

1331

147714

所以E(X)=lx^+2x^+3x|+4x^=1.

练3-1.解：选项A：炉独立性检验的零假设仇定义为“分类变量％与丫独立“，符合基本概

念，故A正确；

选项B：当a=0.1时\临界值々,I=2.706,由于计算得到的f=2.974>2.706,

零假设不成立，即认为'与y不独立，旦犯错误的概率不超过a=0.1,故8正确；

选项C：当a=0.01时，临界值%ooi=6.635,由于/=2.974V6.635,

零假设成立，无法认为％与y不独立，故C错误；

选项£>：样本数据扩大10倍时,％2公式中分子九(以/—be)?变为10几x[100(acZ—be)]2=10nx

lOOOO(ad-bc)2,

分母变为104((z+b)(c+d)[a+c)(b+d),因此新]为原f值的io倍(即2.974x10=

29.74),

此时29.74>6.635,零假设不成立，即认为％与y不独立，且犯错误的概率不超过0.01,故。

正确.

故选：ABD.

练3・2.解：（1）列联表补充为

性别

是否追星合计

男生女生

追星452570

不追星102030

合计5545100

零假设“°：性别与中学生追星无关联,

_100x(45x20-25x10)2

X2-«8