教学材料《工程力学》-项目四

任务一圆轴扭转的概念及工程实例相关知识日常生活和工程实践中，等直截面圆杆的扭转是常见的。例如当钳工攻丝时(见图4.1),加在手柄上的两个等值、反向的力组成力偶，作用于丝锥杆的上端，工件施加于丝锥的反力偶作用于丝锥的下端，使得丝锥产生扭转变形;再比如汽车转向时(见图4.2)，司机在方向盘上施加一转向力偶作用于转向杆的上端，转向轮通过连杆机构和转向器施加一反力偶作用于转向杆的下端，使得转向杆发生扭转变形。这些杆件的两端都受到一对数值相等、转向相反、作用面垂直于杆轴线的力偶的作用。它们的变形特点是各杆截面产生相对转动(见图4.3)，这种变形即为扭转变形。以扭转变形为主的杆称为轴。工程上大多数轴采用圆截面或圆环截面。返回任务二扭矩及扭矩图一、外力偶矩的计算受扭转作用的轴上的外力偶矩一般不直接给出，往往是通过轴上的额定功率和额定转速计算出，设电动机通过传动系统作用在传动轴上的额定功率为P(kW),额定转速为n(r/min，则因1kW=1000N·m/s，所以输入P个1kW，就相当于在每秒钟内输入功为电动机通过传动系统作用在传动轴上的力偶矩为Me，这个力偶矩在每秒内完成的功为2π×。因为M所完成的功就是电机输入的功，所以有:下一页返回任务二扭矩及扭矩图由此得出外力偶矩Me的计算公式用相同的方法，可以求得当功率P为马力时(1马力=735.5N·m/s，外力偶矩丝的计算公式:在确定外力偶矩的方向时，应注意输入力偶矩为主动力偶矩，其方向与轴的转向相同，输出力偶矩为阻力偶矩，其方向与轴的转向相反。上一页下一页返回任务二扭矩及扭矩图二、扭矩与扭矩图若已知轴上所作用的外力偶矩，可用截面法研究圆轴扭转时横截面上的内力。分析如图4.4(a)所示的圆轴，在任意截面m-m处的内力分为两段，若取左半段为研究对象[见图4.4(b)]，因A端有外力偶的作用，为保持左段平衡，故在m-m截面上必有一内力偶矩T与之平衡，T称为扭矩。由平衡方程:得如取右半段为研究对象，如图4.4(c)所示，求得的扭矩与取左段时求得的扭矩大小相等，转向相反，它们是作用与反作用关系。上一页下一页返回任务二扭矩及扭矩图为了使无论用左半段或右半段求出同一截面上的扭矩T不仅大小相等，而且符号也相同，我们在这里对扭矩符号进行约定:按右手螺旋法则，四指的转向与扭矩T的转向一致，大拇指指向与截面外法线方向一致时，T为正;反之，T为负。根据这一规定，在图4.4(b)和图4.4(c)中，M-m截面上的扭矩都是正的。当轴上作用有多个外力偶时，以外力偶作用截面为界，会将扭转轴分成多段，一般来说，各段上的扭矩T不相等，可用图像来表示各段上扭矩T的变化情况。图中以横坐标表示受扭轴的轴线位置，纵坐标表示相应截面上的扭矩大小，这种图称为扭矩图。上一页返回任务三圆轴扭转时的应力和变形一、薄壁圆筒扭转时的切应力图4.6(a)所示为一等厚薄壁圆筒。受扭之前表面上所画的圆周线和纵向线构成方格。试验结果表明，扭转变形后由于截面q-q相对截面p-p有相对转动，使方格的左右两端发生相互错动，但圆筒沿轴线及周线的长度都没有发生变化。这表明，圆筒横截面和包含轴向的纵向截面上都没有正应力，横截面上只有切应力τ存在，它组成与外力偶矩相平衡的内力系。因为薄壁圆筒的厚度t很小，可以认为沿径向筒厚方向的切应力均匀分布，如图4.6(c)所示。这样，横截面上的内力系对x轴的力矩应为2πrt·τ·

r，其中r是薄壁圆筒的平均半径。取q-q截面以左部分圆筒作为研究对象，由平衡方程:下一页返回任务三圆轴扭转时的应力和变形得:用相邻的两个横截面和两个纵向截面从圆筒中取出边长分别是dx,dy,和t的单元体，图4.6(d)所示。单元体的左、右两侧面是圆筒截面的一部分，所以无正应力，只存在切应力。两个面上的切应力均可由式(a)计算得到，二者数值相等但方向相反。于是组成了一对力偶，为保持平衡，单元体上、下两个侧面上必须有切应力，并且组成力偶和相平衡。上一页下一页返回任务三圆轴扭转时的应力和变形设单元体上、下两个面上的切应力为τ′，则由平衡方程:故有式(b)表明，在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线，这就是切应力互等定理，也称为切应力双生定理。在上述单元体的上、下、左、右截面上只有切应力而没有正应力，这种情形称为纯剪切。纯剪切单元体的相对两侧面将发生微小的错动，如图4.6(e)所示。使原来相互垂直的两个棱边的夹角改变了一个微量γ,γ即为剪应变。上一页下一页返回任务三圆轴扭转时的应力和变形从图4.6(b)可以看出，γ也就是表面纵向线变形后的倾角。若明为圆筒两端的相对扭转角，ψ为圆筒的长度，则剪应变为利用薄壁圆筒的扭转，可以实现纯剪切试验。试验结果表明，当切应力低于材料的剪切比例极限时，扭转角明与扭转力矩M,成正比，如图4.7(a)所示。所以上述试验表明，当切应力不超过材料的剪切比例极限时，剪应变γ与切应力τ成正比，如图4.7(b)所示。这就是剪切胡克定律，其表达式可以写成:上一页下一页返回任务三圆轴扭转时的应力和变形因γ为量纲为1，故G与切应力τ具有相同的量纲。至此，我们已经引入了材料的三个弹性常数，即弹性模量E、泊松比µ和剪变模量G。对各向同性材料，三个常数之间有关系:可见，三个常数中，只要知道任意两个，另外一个即可确定。二、圆轴扭转时的切应力

1.变形几何关系为了观察圆轴的扭转变形，与薄壁圆筒的受扭一样，在圆轴表面作两条圆周线和平行于轴线的纵向线，如图4.8(a)所示。上一页下一页返回任务三圆轴扭转时的应力和变形然后在杆的两端分别施加两个外力偶矩Me，使杆发生扭转变形。由图4.8(b)可以观察到如下变形特征:

(1)两个圆周线的形状、大小和两个圆周线之间的距离均未改变，只是绕圆周旋转了一微小角度。

(2)各纵向线倾斜了同一个微小角度γ圆柱表面上由圆周线与纵向线所围成的矩形变成了平行四边形。根据上述现象，从变形的可能性出发，认为圆周线反映了横截面的变形，便可得出假设:圆轴扭转前的横截面为平面，在其两端施加外部力偶Me变形后仍保持为平面且形状和大小不变，这就是扭转时的平面假设。上一页下一页返回任务三圆轴扭转时的应力和变形按照这一假设可以推出，扭转变形中，横截面就如刚性平面一样，绕轴线做相对转动。因此，出现了圆柱表面上矩形的直角改变量γ，这一角变形量为切应变。在弹性变形范围内，切应变γp很小，由图4.9(b)可以得出:切应变为2.物理关系上一页下一页返回任务三圆轴扭转时的应力和变形试验结果表明，在线弹性范围内，切应力τ与切应变γ成正比，这一关系称为剪切胡克定律。即:切应力在横截面上的分布如图4.10所示。3.静力平衡关系在横截面上半径为ρ处取一微面积dA，如图4.11所示，作用于此微面积上的内力的合力为τ

ρdA，其方向垂直于半径。该内力对圆心o的内力矩为ρτ

ρdA。整个横截面上这些内力矩的合成结果应等于横截面上的扭矩T。即:上一页下一页返回任务三圆轴扭转时的应力和变形将式(b)代入式(C)，并将积分常数提到积分号之外，有:在这里，定义:为横截面的极惯性矩。它仅与截面的形状和尺寸有关，是截面的一个性质参数。于是，式(d)可写为或上一页下一页返回任务三圆轴扭转时的应力和变形将式(e)代入式(b)，就得到横截面上任一点的切应力计算公式:由公式(4.6)可知，当ρ达到最大值R时，即圆周边缘上各点处切应力为最大值。最大切应力为该式中的R,lP都是截面的几何参数，将它们统一表示为则最大切应力计算式为上一页下一页返回任务三圆轴扭转时的应力和变形试验结果表明，对于圆截面杆件，平面假设才是正确的，因此，式(4.6)和式(4.7)只适用于圆截面受扭直杆。此外，在物理关系里应用到了剪切胡克定律，所以其只适用于线弹性范围。三、极惯性矩IP和抗扭截面系数WP

1.圆形截面按照极惯性矩的定义，设圆形截面的直径为D，在此截面上半径为ρ处，取一dρ的环形微分面积，如图4.12(a)所示，即:则极惯性矩:上一页下一页返回任务三圆轴扭转时的应力和变形抗扭截面系数:2.圆环形截面设圆环形截面的内径为d，外径为D，并定义:如图4.12(b)所示，则它的极惯性矩为抗扭截面系数:上一页返回任务四圆轴扭转时的强度和刚度计算相关知识由式(4.7)可知，等直圆截面轴最大切应力发生在截面外周各点处，为了使圆轴能正常工作，必须使最大工作切应力不超过材料的许用切应力，于是等直截面圆轴扭转时的强度条件为通常，许用切应力[τ]根据扭转试验确定。在静载作用下，它与拉伸时的许用正应力[σ]之间具有如下关系。塑性材料:下一页返回任务四圆轴扭转时的强度和刚度计算脆性材料:应用式(4.12)，可以对轴进行强度校核、设计截面尺寸、确定许可载荷三类问题的分析计算。扭转变形的标志是两个横截面之间绕轴线的相对转角，即扭转角。由公式(e);得：如图4.9所示，沿轴线x积分，即可得到相距距离为l的两个横截面之间的相对转角:上一页下一页返回任务四圆轴扭转时的强度和刚度计算若两截面之间的扭矩T的值不变，且为等截面轴，则式(g)中的积分函数为常数，于是等截面圆轴受扭时的相对扭转角为当轴的各段内扭矩T的值不同或者各段内具有不同的极惯性矩时，例如阶梯轴，就需要分段计算各段的扭转角，然后按代数相加，得两端截面的相对扭转角:上一页下一页返回任务四圆轴扭转时的强度和刚度计算今后用θ表示变