切线法应用（培优重难专练）-2026年高考数学二轮复习讲练原卷版

重难点03切线法应用

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合速度提升曲技巧掌握*手感养成

&重难考向聚焦

锁定目标精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向

他重难考向保分攻略

授予利器瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化

性重难冲刺练

模拟实战挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的"题感"

出*天句豪―3.*住金》

近三年：切线，作为导数考察的•部分，切线在近几年高考中以多种形式考察，既有选择题填空题形式考

察，也在大题中进行考察，在大题中作为基础计算来考察的。考察求某点处求切线方程，考察过某点求切

点或者参数，考察两天曲线的公切线，特别是作为比较难的考察点，考察切线与不等式，考察切线与零点

结合的。

预测2026年：切线是导数基础知识，基本技能之以切线为方法的突破点，切线法应用灵活多变，所

以要注意切线法的数学思想考察，切线法在转化和化归题型中的运用。

“在点”切线求参、切线法零点求参

“过点”切线、折线双切型

切线基础切线法应用

切线条数求参J不等式恒成立求参

存在公切线求参J牛顿法

切线分隔法应用

切线逼近型

距掰公式几何意义型\

＜切线逼近整数解

点到亘线距离公式转化型、切线分隔法综合

切线转化两根型

构造曲线型J

不等式3式放缩型

抽象函数切线J

：章奉考向保令攻第量不利品瓦解0支

考向01切线基础1：“在点”切线求参

44重吵什.

“在点”型切线，列方程求参

1、设切点（或者给出了切点）：P（X。,%）'

2、%=f（x°）

，在点”型

rr

3、y=f（x）=>k=f（x0）0

4、切线方程：y-y0=Zr（j-x0）

1.（25-26高三上.山东商泽・期中）已知“YhNsiMr+E—lS>。）在点（山祖切>0）处的切残与X轴平

行，则。的值可能为（）

2.（25-26高三上•山西大同•期中）已知曲线y=x+h】x在点（1,1）处的切线与曲线y=or2+x+2（aw0）相

切，贝ij〃=（）

11II

A.——B.-C.一一D.—

221212

3.（25-26高三上•河北邯郸•期中）已知一2兀<N<X2<X3<X4<2兀，曲线=cosx在点

（%/a））（i=l,2,3,4）处的切线都过坐标原点,则（）

A.MtarU]>x2taiu2B.X]+x4>x2+x3

3333

C.X+—>X+—D.刍+—<x4+一

X2%X?8

e*xW0

4.（25.26高三上•江苏•月考）已知函数/（”=居1+力+1'o’若在点尸可以作曲线尸/⑴的两条

切线，则点P的坐标可以为（）

A.（U）B.（1,2）C.（-1,1）D.（2,2）

考向02切线基础2：“过点”切线

.若已知函数/*）过平面上一点（“）'%）,且/*）或点*。'%）其中一项含有参数，但已知过该点切线

数量，可参考考向四，设切点凡乂），此时左=/"）,由切点区方）与斜率攵=广区）写出切线方程

=广（%）・。一再），再将点（X。，）'。）代入，最后进行参变分离或利用判别式法求解参数范围.

1.（2025高三•全国•专题练习）过坐标原点作曲线〃x）=Mx-c）2（c/0）的两条切线，记其斜率分别为

k、,左2，则|4一周二（）

A.cB.c2C.c3D.c4

2.（24-25•广东深圳•阶段练习）将函数），=/+16的图象绕坐标原点顺时针旋转。后第一次与x轴相切，

则tan。=（）

A.8B.4C.12D.5

3.（2025・河南周口•二模）将曲线y=ln，绕原点逆时针旋转角a后第一次与），轴相切，贝ijtana=（）

x

2e

A.—B.—C.—2eD.—e

e2

4

4.（2025高三•全国•专题练习）过点?（1,2）作曲线C:），=±的两条切线，切点分别为4,3,则直线A8

x

的方程为（）

A.2x+y-8=OB.2x+y-6=0

C.2x+y-4=0D.x+2y-5=0

考向03切线基础3：切线条数求参

44索吵什.

.“过点”型切线，核心在于先设切点

1、设切点（或者给出了切点）：P（x°,y0）］

2、旷f（X。）“在点，，型

3、y=f'（x）nk=f'（x0）。

4、切线方程：y-y0=Z:（J-X0）

^■^^■<^^**^*"^***^*■^*"^*>>^**^«"^*"^*«^^**^

5、过（a,b）,代入：丫+0=攵（工_%）｝,过点”型

得b-y0=k（a-Xo）n解出x0一'

1.（2025高三•全国•专题练习）过点。（l,〃?）（〃7tR）有〃条直线与函数〃x）=xe*的图像相切，当〃取最大

值时，，〃的取值范围为（）

A.一~<m<cB.--■<加<0C.--</«<0D.，〃<e

c-c-c

2.（2022•江苏南通•模拟预测）已知过点A（40）作曲线），=（17）k的切线有且仅有1条，则。=（）

A.-3B.3C.一3或1D.3或1

3.（2025高三•全国•专题练习）过曲线。"（1）=/-依+》外一点A（l,0）作。的切线恰有两条，则（）

A.a=bB.a-b=lC.b=a+\D.a=2b

4.（2023•全国•模拟预测）若过点（〃5）可作函数），=2x+L（x>0）图象的两条切线，则必有（）

X

A.0<2in+—<nB.0<//<2m

m

cr1

C.2m<n<2m+—D.n<2in

考向04切线基础4：存在公切线求参

44重吵什.

.两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过

渡.主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的

参数，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：

①切点处的导数是切线的斜率；

②切点在切线上；

③切点在曲线上

而解泊方程根的问题最常见的方法是转化为函数交点后，利用数形结合解答：

1.转化为两个函数）=g（H，y=/7（x）的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就

是函数零点的个数。

2.转化为y=ay=g（x）的交点个数的图象的交点个数问题.

1.（24-25高三上•广东广州•月考）若直线丁=丘+。是曲线/（工）二/2旧与屋"二1+2-2025的公切线,

则人（）

1202320252

A.-------B.-------C.-------D.-------

2025202440474047

2.（24-25高三上•海南•开学考试）函数"“=l+hu与函数g（x）=e'-l公切线的纵截距为（）

A.1或0B.-1或0C.1或eD.-1或e

3.（24-25高二下•全国•课后作业）若曲线a：y=r与曲线G：），=?S>0）存在公共切线，则实数a的取值

范围为（）

2

A.（0,1）B.I1,—C.—,2D.C

I4；L4J7,+00

4.（2024•辽宁•模拟预测）若至少存在一条直线与曲线f（x）=2Y+3和网”=3一瓜中工0）均相切，则/

的取值范围是（）

A.[-4e,0）B.[2e,-K»）

C.（4,（））U（0,田）D.[«（））1_]（。,向

故选：D.

考向05切线转化1:距离公式几何意义型

.两点距离公式几何意义：__________________

A（2），5（”2）,定义%=”内-%）2+伍-凹）~。所以，如果见到形如J（a-b）2+（c-d）2，可以转

化为两点距离来求最值，转化时候?注意每个点对应到函数或者曲线。

1.（2024•湖北•模拟预测）设£>=J（X-。）2+8-+a+1,其中e%2.71828,则。的最小值为

（）

A.72B.V2+1C.百D.75+1

2.（2022•山东聊城•二模）实数不勺，到，）’2满足：=0,勺一），2-4=0,则

（XL%）?+（,一%）2的最小值为（）

A.0B.2&C.4忘D.8

3.（24-25高三上•江西赣州•期中）已知点人（不巧），刑七,以），定义d,、B=J（K一%『+（C-），/为A8的

“可测距离”.若点4B在曲线），=产2+。上，且乙8的最小值为4,则实数。的值为.

4.（2024•安徽合肥•一模）已知点4（2,y）,3（%,%），定义=J（X-力y+（甲一X『为人，吕的“镜像距

离〃.若点4B在曲线），=ln（x-0+2上，且的最小值为2,则实数。的值为.

考向06切线转化2：点到直线距离公式转化型

越号重沙什.

•点到直线距离公式，可以借助转化

aA

|a¥+by+c|=5/a2+b2-1J'）十1=+b」-d

_______________________信十一£

1.（25-26高二上•广东•期中）不全为。的实数对（a力）满足关系式k+"“=|4a-3"1|=行万，则这

样的实数对（。力）共有（）组.

A.1B.2C.3D.4

2.（25-26高二上•湖北荆州•期中）已知函数f（x,刃=4g-2尸+（立了—4尸+卜—y+3网的最

小值为（）

A.72B.2C.2&D.4

3.（25-26高二上・甘肃兰州•期中）已知实数不和如已满足，M+）'：=4,¥+$=4,

只演+0必=_2,则|芭+乂一4|+|占+），2-4|的最大值为（）

A.2x/2+lB.2及+8C.2&+GD.276+8

/、，岛+），+1

4.（2024•四川凉山•二模）已知点P（x,y）是曲线），=/上任意一点，则J”,］严最大值为（）

A2后-厉D2V5-V15「厉+2逐nV15+2V5

A.---------------D.---------------C.-------------U.---------

105105

考向8切线转化3：构造曲线型

色等橐吵什.

.对于双变量型，选择对应的函数关系，分别作主元x与y,构造曲线（函数），转化求解。

1.（2025高三•全国•专题练习）已知实数&〃,c,d满足手=匕"=1,其中e是自然对数的底数，则

〃一1a

（a_c）2+e-d）2的最小值为

A.18B.12C.1()D.8

2.（2025高三•全国•专题练习）若一一1,则（X/X2尸+g例2的最小值为（)

y>2

104-娱2010石+&

D.-----------------

55

――20e2+100

・D.-e4+5e2+5

54

3.（2025高三•全国•专题练习）已知实数满足:一=二=1,则（a-c）:+（〃-4丫的最小值为

bae

+1

+1

e1+\

4.（2025高三•全国•专题练习）已知lna-ln3=lnc仇/=-3,则（a-/?）?+（d-c）2的最小值为

3M

5

考向07切线转化4：抽象函数切线

色等橐吵什.

.拍象函数取导数，按照复合函数求导法则进行求导运算。复合函数求导，简单记忆为“外导乘内导”。

1.（2024•青海•二模）定义在R上的函数/"）满足2/（3-文）一/（"=/一12工+18,/'（刈是函数/（外的

导函数，以下选项错误的是（）

A./（0）+/（0）=0

B.曲线y=/（x）在点（1J⑴）处的切线方程为2l-），-1=。

C./（力-/'（"之〃?在R上恒成立，M/n<-2

小）-/'3，_祀

2.（24-25高三上•湖南•开学考试）已知定义在R上的函数/'（X）满足2/（x）=/（-x）+3e',则曲线

）一/（x）在点（。，/（0））处的切线方程为

A.y=3x+3B.y=3x-3

C.y=x+3D.y=x-3

3.（2024•广西桂林•模拟预测）已知函数的定义域为R,且/（0）=/色卜1,若

/（x+y）+/（x-），）=2/（x）・cos），：则函数/（力（）

A.以兀为最小正周期

B.最大值是1

/X

C.在区间上单调递减

44J

D.在x处的切线方程是），=—+：+1

4.（24-25高三上•重庆•开学考试）已知定义在R上的函数/（©满足/（"-2/（T）=e1则曲线），=/（“

在点（（），/（（）））处的切线斜率为（）

11

A.-1B.--C.-D.1

考向09切线法应用1：切线法零点求参

44重吵什.

.涉及到零点个数和零点存在等求参，可以借助切线分界法+单调性(包含简单易判断的凸凹函数单调

性)来处理。切线分界法，需要运用“在点”与“过点”切线知识来求解。

—+—XX<0

1.(2025高三・全国•专题练习)已知函数4.i)=2',若函数y=〃x)-依有且只有3个零

ln(x+l),x>0

点，则实数攵的取值范围为()

A.C.(1*)D.

d2x-l,-Gx<2

2

2.(24-25高三上•山东德州•期中)己知函数"刈=<若函数g(x)=/("-必有三个不

x

ln-,2<x<8

2

同的零点，则实数。的取值范围是()

B.

D.

3.(25-26高三上•河北•月考)已知函数/(x)=e*-*+(0_]次〃>0),若存在两个不同的实数不々满足

/(x,)=/(x2)=0,且玉<0</，则实数。可能的范围是()

A.(0,-^)B.(；/)

C.(1,—)D.q,+8)

4.(2023・河北唐山•模拟预测)已知函数/(刈=依―111工+1的图象与函数8")=口人+质-过11¥的图象有

且仅有两个不同的交点，则实数A的取值范围为()

A.[0,+oo)B.

C.f-1,-p-lu[0,e)D,-l,-^-lu[0,+oo)

考向10切线法应用2：折线双切型

44索吵什.

.双折线，主要是涉及到直线含绝对值对应的折线。折线要注意以下儿个容易失误的地方：

1.折线往往对应曲线局部的切线，要注怠切线与割线过渡的交点问题，如下图所示。

2.绝对值型折线，有对称轴，|ax-b|,对•称轴是x=P,所以注意对称轴的“同步变化”对•交点的影

3

响。

则实数k的取值范围是()

A.(-l,e)B.(y,-l)u[e,+8)

C.[-1,1)D.(^o,-l)u(l,+co)

2.(2025高三•全国•专题练习)已知函数=；＜o，若函数晨6=/(司-卜-4恰有2个零点，

则实数人的取值范围是()

A.[-l,e)B.(Yo,-l]U[e,同

C.(-1,1]D.(-a?,-l)u[l,-h»)

3.(25-2G高二上•安徽•期中)若函数/(x)=lnx+4-1-1有且仅有两个零点，则。的取值范围为()

A.(0,e)B.(±eC.3。0D.1

9

4.(24-25高三下•贵州贵阳•月考)已知函数/(x)=|x-。|+—,若不等式“力22在xe[l,2]上恒成立,则

参数。的取值范围是()

A.[1,3]B.(5]」[3,+8)C.[272-2,3]D.(f2&—2崎3,+8)

考向11切线法应用3：不等式恒成立求参

44重吵什.

.不等式恒成立问题常见方法：

①分离参数aNf（x）恒成立（。2/⑺皿即可）或a«f（x）恒成立（a4f（x）1nhi即可）；

②数形结合（），=/（"图像在），=屋力上方即可）；

③讨论最值/（耳."或4°恒成立.

1.（2025•黑龙江•一模）若不等式儿+149-or?对一切xeR恒成立，其中a,beR,e为自然对数的底

数,则a-人的可能取值为（）

2.（2025•黑龙江大庆•模拟预测）已知条件，为“对VxwR,Wxe1-av+^>0w,实数。在区间口,用）上

变化时，满足条件P的实数。最大值与最小值之积为与实数。有关的函数/（〃），则/（与的最小值为

—'yX'—1,X>1,

（2025高二•全国•专题练习）已知函数若“X）之但则〃的取值范用是（

C.[-3,-1]D.[-1,0)

4.（2024•四川眉山•三模）若关于x的不等式huK泼-加一1（，”0）恒成立，则的最大值为（）

a

考向12切线法应用4：牛顿法

牛顿迭代，只需要按照试题所给的定义要求，分步求对应的切线以及切线的横坐标即可

1.（23-24高二下♦江苏南通•月考）牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法.如图，方程/。）=。的根就是

函数/0）的零点，•，取初始值/，/3）的图象在点（.”,函面））处的切线与x轴的交点的横坐标为A,

/（©的图象在点（巧，/（&））处的切线与x轴的交点的横坐标为七，一直继续下去，得到巧，与，...，

X”,它们越来越接近匚设函数/a）=r+灰，/=2,用牛顿迭代法得到则实数（）

2.（23-24高一下•四川乐山•期木）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法一一牛

顿法.设广是/(力=/+公1=0(刀>0)的根，选取与=1作为「的初始近似值，过点(%,/小))做曲线

)，=/")的切线/,/与％轴的交点的横坐标为为，称王是「的一次近似值；过点(%,/'(%))做曲线

)，=/(x)的切线，则该切线与工轴的交点的横坐标为勺，称超是「的二次近似值.则占二()

211八1317

A.-B.—C.—D.—

3202127

3.(2025高三•全国•专题练习)设r是方程f(x)=0的根，选取X。作为r的初始近似值，过点(x°,f

(xo))作曲线y=f(x)的切线!，/的方程为y=f(xo)+/'(%)(x—x0)»求出/与x轴交点的横坐标

__fW_

X1-X0八%)'称xi为r的一次近似值.过点(xi,f(xi))作曲线y=f(x)的切线，并求该切线与x

轴交点的横坐标X2=xi-粥，称X2为r的二次近似值.重复以上过程，得r的近似值序列，其中,

称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式.已知而是方程.5一6=0的一个

根，若取xo=2作为r的初始近似值，则在保留四位小数的前提下，舟

A.2.4494B.2.4495C.2.4496D.2.4497

4.(2023•广西•模拟预测)人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿在《流数法》一书中，

给出了高次代数方程的一种数值解法一一牛顿法.这种求方程根的方法，在科学界已被广泛采用，例如求方

程+3x+3=()的近似解，先用函数零点存在定理，令/(H=V+2/+3X+3,/(-2)=-3<0,

/(-1)=1>0,得上存在零点，取见=—1,牛顿用公式上”="17CU反复迭代，以乙作为

〃力=。的近似解，迭代两次后十箕得到的近似解为；以为初始区间，用二分法计算两次

后，以最后一个区间的中点值作为方程的近似解，则近似解为.

考向13切线分隔法综合1:切线逼近型：

.利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法

⑴利用零点存在的判定定理构建不等式求解.

(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.

(3)转化为两熟悉的函数图象的上、卜.关系问题，从而构建不等式求解.

函数零点个数求法，可以通过“分涵”，转化为直线与曲线交点的问题。直线与曲线的交点问题，借助

切线寻找分界情况。要注意函数凸凹的情况。如下图的极端情况，要注意区分

1.(2025•湖北荆州•模拟预测)一个小孩玩滚珠子游戏，试图将大小不一的圆珠通过由曲线G，q形成的

空隙(如图)，曲线G，Cz可以近似看作函数)的图象，要使圆珠通过空隙，则圆珠

直径的取值范围应为()

c.

D-

2.（2025•安徽•一模）已知点尸（＜,），）满足：/一日一111（21一），）,,1,。是函数），=2已,图象上任意一点.则|「。|

的最小值为,_

3.（2025•河北邯郸•二模）设函数—匕）（米—，/万），若存在实数2=%,使得/*）＞。

恒成立，则实数〃的取值范围是.

4.（24-25高三上•江苏苏州•期中）如图，对于曲线G所在平面内的点。，若存在以。为顶点的角。，使

得对于曲线G上的任意两个不同的点4,B,恒有NAOBVa成立，则称角。为曲线G的相对于点。的“界

.re1-1+1,x>0

角〃，并称其中最小的〃界角〃为曲线G的相对于点。的“确界角〃.已知曲线…。（其初

116

曲线。的相对于点。的“确界角〃为£,则^二

故答案为：”•

考向14切线分隔法综合2：切线逼近整数解

44索吵计.

.对于不等式舍参型整效斛，多样化为切线逼近求不等式整数邠，O

属化©标：

1.一例是可求导勘图的函数

2.一侧是含参型动直线。

3.通过动近戌与函数图像的关东，代人搂数值，与找满足整数斛的参数范国

4.要注意的是，因为是满足的整教斛，所以代入点时，要“跳跌型”代入。

1.（24-25高三上•吉林长春・期末）若关于x的不等式依「2av+av。的非空解集中无整数解，则实数。的

取值范围是（）

2.（2025・四川达州•二模）关于大的不等式后-4+⑪>0（4>0）的整数解个数为〃,61<）时,

。皿M），设S”为数列后的前〃项和，则。（）

3.（24-25高二下•江苏无锡•期中）已知函数/（x）=eX-ln（x+"7）,若〃司>0恒成立，则正悠数机的最

大值为（）

A.1B.2C.3D.4

4.（2022•全国•模拟预测）若不等式a（x+l）e—x<（）有且仅有一个正整数解，则实数。的取值范围

是.

考向15切线分隔法综合3：两根型

1.（2025高三•全国•专题练习）已知直线/与曲线和g（x）=lnx分别相切于点人苦耕）,

W程，2）.有以下命题：（1）/4。8>90。（。为原点）；（2）x,e（-l,l）；（3）当为<。时，

巧-占>2（0+1）.则真命题的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

2.（24-25高二下•海南省直辖县级单位•期中）已知直线/分别与曲线〃”=lnx,g（x）=e'相切于点

（、上1内），伍,炉），则------77的值为（）

X|X2~1

A.2B.1C.-2D.-5

3.（2023•四川泸州•三模）已知函数y=er-ax有两个零点七,与，函数y=lnx-Jx有两个零点电，

Ji

与，给出下列三个结论：玉=hu\；x3=e；&飞=只.其中所有正确结论的序号是（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

4.（2023•湖北武汉•二模）已知直线）』履+/与函数y=Asin（s+/）（A>0,3>0）的图象恰有两个切点，设

满足条件的人所有可能取值中最大的两个值分别为勺和心，且仁>他，则（）

k.75477k.5k,7

A—>—RcD—<-

k233女235k23k25

考向16切线分隔法综合4：不等式3式放缩型

1.（25-26高三上•山东•月考）若不等式e-22次+此Inx恒成立，则实数〃的取值范围是（）

A.11n2B.-JC.[1,2]D.[l,c]

---e.

2.（25-26高三上•福建龙岩•月考）设当x>0时，恒有

e1-1+x2+2>x2+（«+l）x+/?+1>（x+1）2-x\nx,贝（）

A.-1B.0C.1D.2

3.（24-25高一上•山东日照•期末）已知函数/（幻=-云+〃，若对任意的xw[2,8],不等式

—V+12K/（x）K-/+8『恒成立，则〃的最大值为（）

A.8B.9C.32D.36

4.（23-24高二下•上海•期中）对于函数丁=/（"和）=g（x）,及区间。，若存在实数左力，使得

/⑴之履+匕之8（刈对任意xe力恒成立，则称y=/（x）在区间。上“优于〃y=g（x）.有以下两个结论:

①/（力=log/在区间。=[1,2]上优于g（力=（x-If；

②f（x）=d+2在区间上优于g（x）=ex.

那么（）

A.①、②均正确B.①正确，②错误

C.①错误，②正确D.①、②均错误

馍M泰式做式q次

w章雍冲利族

（建议用时：60分钟）

一、单选题

1.（2025高三•全国•专题练习）已知函数””的部分图象如图所示，其导函数为/'（X）,则（）

，t

A.rW>fXx2)>fXx3)B.fw>f(x.)>f\x2)

C.f(xA)>/(冬)>fwD.f\x2)>f'(xj

2.（25-26高三上,江苏南通•期中）若曲线y=xe'有两条过点（凡0）的切线，则实数。的取值范围是

（）

A.（0,+a）B.（-4,-KO）C.（-4,0）D.（一8,T）U（O,+8）

3.（2025•广东佛山•一模）已知函数/。）=丁-4/+包+1卜的图象与x轴相切，则实数”勺所有可能的

值之积为（）

A.-3B.0C.2D.3

4.（25-26高三上•江苏苏州•期中）过点P（/，%）作曲线y=hu的两条切线，记两切点分别为A（X，y）,

8（*2,%），若两条切线斜率之积为1,则生一的取值范围是（）

玉）

A.（0,1）B.（0,1]C.[1,+功D.（1,+功

5.（25-26高三上•重庆•月考）已知曲线C：y=（f,点p5,%）在。上，则艮q-4/一6|的最小值为

（）

131533

A.-B.-C.—D.—

4444

6.（25-26高三上•宁夏银川•期中）己知P（x°,先）是/。）二」图象上任意一点，在尸