角平分线的相关计算-2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题（一）角平分线的相关计算

类型1角平分线遇垂直

1J2025陕西西安期中]如图,AD是4ABC的角平分线,DF_LAB,垂足为F,点E,G分别在边AB,AC上且DE=D

G,AADG和^AED的面积分别为50和40,RI]AEDF的面积为（）

A.4B.5D.7

（第I题图）

2.（2025江西宜春期末|如图QE平分/AOB点F在OE上，且FA_LOA,FD_LOB,垂足分别为A,D,点C在OA

上，连接FCFB,且FC=FB.判断OB-OC与AC的数量关系

3.12025北京朝阳区期中|如图，在△ABC中.NACB=6（FAG三分/BAC交BC于点G,BD平分NABC交

AC于点D,AG,BD相交于点F,BE_LAG交AG的延长线于点E,连接CE.

(1诺NBAD=70。,求NEBC的度数;

（2试判断BE二CE是否成立，并说明理由.

类型2角平分线与平行线相结合

4.12025江苏扬州期中|如图点1为aABC三个内角的平分线的交点，AB=4,AC=3,BC=2,将NACB平移使其

C

顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为.

B

5.［2024江苏扬州期中］在4ABC中,AD是仆ABC的角平分线.

⑴如图⑴，过C作CE〃AD交BA的延长线于点E,若F为CE的中点.连接AF,求证:AFJ_AD;

(2)如图(2),M为BC的中点.过M作MN/7AD交AC于点N.交BA的延长线于H.若AB=8.AC=14,求NC的

长.

明(1)

类型3利用角平分线截长补短

6.［2025广东汕头月考］如图,△ABC中,NB=2NA,NACB的平分线CD交AB于点D.已知AC=16,BC=9,则B

D的长为()

A.6B.7C.8D.9

7J2025安徽马鞍山期中］在数学活动课上,数学老师出示了如下题目：

如图(1)在四边形ABCD中,E是边CD的中点,AE是NBAD的平分线,AD〃BC,求证:AB=AD+BC;

小聪同学发现以下两种方法：

方法1：如图⑵，延长AE,BC交于点F;

方法2:如图⑶在AB上取一点G,使AG=AD,连接EG,CG.

⑴请你任选一种方法写出这道题的完整证明过程；

(2)如图(4),在四边形ABCD中、AE是NBAD的平分线、E是边CD的中点，LO+；匚88=180BAD=60\

求证:CB=CE.

ABABAGBAB

图（】）图（2）图（3）到4）

类型4双角平分线

8.［2025广东广州月考］如图，在△ABC中,NA=84。,点O是NABC和/ACB的平分线的交点点P是/BOC

和/OCB的平分线的交点若/P=100，，则NACB的度数是（）

9」2025江西南昌月考］如图点F,C在AN上，点B,E在AM上,EG,FG分别是NMEF和NNFE的平分线.交点是

G,BP,CP分别是NMBC和NNCB的平分线,交点是P.若NG=69。,则NP二.

10.［2025辽宁抚顺月考，难］综合与探究：小明在学习中遇到这样一个问题：已知NMON=90。，点A,B分别

在0M,ON上运动（不与点0重合）.

（1探究与发现:如图⑴若BC是/ABN的平分线,BC的反向延长线与/BAO的平分线交于点D.

①若NBAO=70。,贝［JZD=°;

②ND的度数是否随A,B的运动而发生变化?并说明理由.

（2拓展延伸:如图⑵，若UABC=\^ABN^BAD=BAO^C的反向延长线与AD交于点D,求ND的度数

⑶［难I在图（1）的基础上将2MON=90。"改为"NMON=（T.其余条件不变、随着点A.B的运动（如图⑶）,ND二—

_（用含a的代数式表示）.

图（1）图（2）图⑶

1.B

2.OB-OC=2AC【解析】VOE平分NAOB,FA_LOA,FDJ_OB,・•・NAOF=NDOF,NFAC=ZFDB=90。，FA

口/。尸=匚。。尸，

=FD.在^FAO和△FDO中，｛匚E40=nFQ090△FAO^AFDO(AAS),?.OA=OD.在RtAFAC和R(

OF=OF,

△FDB中，｛二二一工2FAC^RtAFDB(HL),/.AC=BD,AOA=OD=OB-BD=OB-AC.VOC=OA-AC,Z.OC=(OB-A

C)-AC=OB-2AC,:.OB-OC=2AC.

3.【解】(l)・・・NACB=60o,NBAD=70。，

匚口44C=180-3ACB-[｝BAD=\^-60-70=50

VAG平分/BACBD平分/ABC,

1_8卜HD+_8AG=25+35=60.

:.BE3AG^\1BEF=^，0[尸8E=90-[BFE=90-60=30,

3EBC=FBE-UFBG=30L25'=5.

(2坏成立.理由如下:如图.延长BE,AC交于点H.

：AG平分UB4C,BEU4G,

HBAE=nHAE,

DBAE=CHAE,UAEB=AEH=90.在△ABE和△AHE中，｛AE=AE,

DAEB=UAEH,

/.AABE^AAHE(ASA),/.BE=HE.

彳取设BE=CE,则BE=HE=CE,AZEBC=ZECB,ZECH=ZEHC,

JZBCH=ZBCE+ZHCE=ZEBC+ZEHC.

匚口。。〃+口£4。+口后〃。=180,口口反?〃=90

□力C8=180-□^C/f=180-90=90，这与已知条件匚4C8=60矛盾，

・•・假设不成立，即.BE二CE不成立.

4.4【解析】如图.连接ALBI.®平移后两边与AB分别交于点D,E「・•点I为AABC三个内角的平分线

的交点，・・・AI平分口。氏二。/=〔8〃.由平移得AC〃。/,口口。/=匚//。,口[区4/=〔力/。,[/。=。/.同理可得

BE=EC。花的周长为DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4,,即图中阴影部分的周长为4.故答案为4.

5.(1)【证明】如图(1)「・・人口为448(2的角平分线,

AZ1=Z2.

•・•CE〃AD,・•・N1=NE,N2=N3,；・NE=N3,

，AC=AE.

•・・F为EC的中点,・・・AF_LEC.

VAD//EC,二ZAFE=ZFAD=90\AF±AD.09(1)

⑵【解】如图⑵，过B作BK〃AC交NM的延长线于点K「・・N3=NC,NK=N4.

*/M为BC的中点,BM=CM.

□K=U4,

在ABKMCNM中，｛n3=nc,

BM=CM,

；△BKM^ACNM(AAS),ABK=CN.

.MN//AD.AZ1=ZH,Z2=Z4=Z5.图(2)

VAD是月ABC的角平分线.・•.N1=N2,

/.ZH=Z5=ZK,AAH=AN,BH=BK.

设CN=xWBK=x,AH=AN=AC-CN=14-x,・・・BH=AB+AH=8+14-x=22-x」・・22-x=x.解得x=l1,.\CN=11.

6.B【解析】如图，在CA上截取CN=CB,连接DN.YCD平分NACB,，ZBCD=ZNCD,又VCD=CD.

••・△CBD妾△CND(SAS),，BD=ND,ZB=ZCND.VBC=9,AC=16,/.CN=9.AN=AC-CN=7.VZCND=ZNDA+

NA,・・・ZB=ZNDA+ZA.VZB=2ZA,.\ZA=ZNDA,AND=NA,..BD=AN=7.故选B.

7.(1)【解】选择方法一.延长AE,BC交于点F.

丁E是边CD的中点,・•・DE=CE.

•・,AD〃BC,・・・ZDAE=ZCFE.

又：ZDEA=ZCEF,.,.ADAE^ACFE(AAS),..AD=CF.

VAE是NBAD的平分线.・•・ZBAF=ZDAE=ZCFE.

..AB=BF=BC+CF=BC+AD.

选择方法二.在AB上取一点G、使AG=AD,连接EG,CG.

VAE是/BAD的平分线,・・・NBAE:NDAE.

又「AD=AG,AE=AE,/.ADAE^AGAE(SAS),

,DE=GE,ZADE=ZAGE.

VE^j5CD的中点，,DE=CE=GE,.\ZECG=ZEGC.

；AD〃BC,AZADE+ZECG+ZBCG=180。.

,/ZAGE+ZEGC+ZBGC=ZADE+ZECG+ZBCG=180°,

•・•ZBCG=ZBGC.I.BC=BG,..AB二AG+BG=AD+BC.

⑵【证明】如图过点C作AD的平行线交AB于点K,交AE的延长线于点H,连接EK,则/DAE=NH.

与方法一同理可知△DAE^ACHE,

AAE=HE.

•；AE平分EBAD.WBAE=BAD=3(),

AAK=KH.

・•・KE_LAH,・・・ZEKH=90o-30°=60°.

•・•KH〃AD,工NBAD=NBKH=60°=ZEKH,ZD+ZKCE=180°.

□Q+”CO=180,口口8。石=；匚8。》KCB.

又KC=KC,，AKCE^AKCB(ASA),/.CB=CE.

8.C【解析】VOP平分NBOCCPZBCO,/.ZBOP=ZCOP,ZBCP=ZPCO.®ZBCP=ZPCO=x,ZBOP=

ZCOP=y.:ZP=100°,/.ZPCO+ZCOP=x+y=80°./.ZOBC=180°-(ZBOC+ZBCO)=180°-(2x+2y)=180o-160°=20°.

•・•BO平分/ABC，ZABC=2ZOBC=40°.VZA=84°..\NACB=180°-40°-84°=56c.故选c>

9.690【解析】：EG,FG分别是/MEF和/NFE的平分线，口口G尸E=|匚NFE,匚GEQ；□,“££□匚9=180

□NFE-；DMEF=180-久匚NFE+DMEF)=180彳(360-□/JF£-EJ£F)=180彳[360-(180-CJ)]=90-g「4=69。.同

理，匚P=90-gn/=69.故答案为69。.

10【解】(1)①•••/BAO=7()o,AD平分/BAO,

CL]