黑龙江省牡丹江市某中学2025-2026学年高三年级上册第二次月考数学试题

黑龙江省牡丹江市第二高级中学2025-2026学年高三上学期第

二次月考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合4=｛刈％-3|〈1｝,8=3/一2工一3<0｝,则Ac8=()

A.(-1,4)B.(3,4)C.(-1,2)D.(2,3)

2.己知复数z满足白=-2+i,则复数z的共规复数在复平面内对应的点位于()

1-1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.有一组样本数据1,2,2,2,3,5,去掉1和5后，相较于原数据不变的是()

A.平均数B.极差C.方差D.中位数

4.设等差数列｛q｝的前〃项和为S“，若底=5,%=0,则6=()

A.5B.6C.7D.8

5.设函数/(x)=2'(i)在区间(0,1)上单调递减，则。的取值范围是()

A.(f,—2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,-KC)

S若方丘=xA月+=则实数X的值为()

6.在V/WC中，荏=3反

4

A

B

C

A.—B.4-4D.T

2

,则sin(a-f)=()

7.已知0＜。＜乃，cos—=

25I

五3727＞/2

A.—B.rn

1051010

8.已知函数f(x)=产2+mx=-2是/(x)的一个极值点,且/(X)在13,2]上有且

仅有一个零点，则实数〃的取值范围为()

二、多选题

9.已知数列｛〃,,｝的前〃项和为5.，4=94=4*+3,如下列说法正确的是()

A.%一《=-12B.｛q｝是递增数列

C.当〃>4时，4<。D.当〃=3或4时，S”取得最大值

10.将函数/(x)=siiwx(①>0)的图象向左平移8(0>0)个单位长度，得到函数

g(x)=cos<ox的图象.设函数Mx)=/'(x)+g(x),若。的最小值为?，则()

O

A.(0=2B.直线x=q是力(力图象的对称轴

C.点(-三,0)是/心)图象的对称中心D.力⑴在((哈)上单调递增

11.设函数〃x)=(x—2)匕一5),则()

A.尸。是/("的一条切线

B.r(x)=r(6—x)

C.当0<工<2时，/(4—x)</(x)

D.若/(力在区间(也-2,6)上有最小值,则实数”的范围为(4,6)

三、填空题

12.已知向量。=(1,0),5=(14),若(1—同_L5,则4=

13.袋子中放有大小、形状相同的5个小球，其中标号为“0”的小球1个，标号为力”的小球

2个，标号为“2”的小球2个.从袋中任取两个小球，已知其中一个小球的标号是“1”的条件

下，则另一个小球标号也是“1"的概率为

14.已知关于人的方程疯in2x+cos2x-机=0在，，兀)上有两个不同的实数根，则机的取值

范围是.

试卷第2页，共4页

四、解答题

15.某地有•家知名蛋糕房根据以往某种蛋糕在HX）天里的销售记录，绘制了以下频数分布

表:

日销售量（单位：个）[0,50)[50,100)[100,150)[150,200)[200,250)

频数1525302010

将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.

⑴求在未来连续3天里，有连续2天的日销量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个

的概率；

⑵用4表示在未来3天里FI销售量不低于150个的天数，求随机变量J的概率分布、均值

E仔）和方差。（/.

16.己知等差数列｛4｝的前〃项和为S”，若％=（），且,在①$7=%十12,②

4+4+%=6这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并解答.

（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）

⑴求｛勺｝的通项公式；

⑵设包=4+2",求｛bn｝的前n项和Tn.

17.已知数列｛4｝的首项4=1,s”为其前〃项和，且a川=22+2｝?€1＜）.

（I）求数列｛q｝的通项公式；

⑵若a=——，数列也｝的前〃项和为人求证：

18.在VA4c中，2cos24+8sin24=l.

2

D

⑴求A；

(2)如图，D为平面ABC上VABC外一点，且CO=1,B。=G,若AC=A8,求四边形若BQC

面积的最大值.

19.已知函数/(x)=-x+lnx,g(x)=xex-2x-m.

⑴求函数/(x)的极值点；

⑵若恒成立，求实数用的取值范围.

试卷第4页，共4页

《黑龙江省牡丹江市第二高级中学2025-2026学年高三上学期第二次月考数学试题》参考

答案

题号12345678910

答案DCDBDDDAACDBCD

题号11

答案ABD

1.D

【分析】先求解绝对值不等式和一元二次不等式，得到集合A],再由交集定义即可求得.

【详解】由门一3|<1可得—ivx—3vl,解得2Vx<4,即A=(2,4),

由X2_2X_3VO可得*—3)(x+l)vO,解得一lvxv3,即4=(—1,3),

故/W=(2,3).

故选：D.

2.C

【分析】根据题意，利用复数的运算法则，化简得到z=-l+3i,结合共辄复数的概念，以

及复数的几何意义，即可求解.

【详解】由复数z满足言=—2+i,则z=(l-i)(-2+i)=-l+3i,可得)=一1一33

故复数z的共规复数在复平面内对应的点(->3)位于第三象限.

故选：C.

3.D

【分析】根据平均数，极差，中位数的计算即可比较求解，利用方差的性质即可求解C.

【详解】样本数据1,2,2,2,3,5的平均数为|,极差为4,中位数为2,

9

去掉1和5后的数据的平均数为极差为1,中位数为2,故平均数和极差都发生变化，

4

中位数不改变，

由于去掉1和5后，数据的波动性更小，故相比较于原数据，方差变小，故ABC错误，D

止确.

故选：D.

4.B

【分析】首先由&=5求已出，结合生=0求出公差d,最后根据等差数列通项公式求出％.

【详解】因为&=驾@=5%=5,所以%=1.又见=。，所以公差”=1，则仆=%+54=6.

答案第1页，共11页

故选：B

5.D

【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.

【详解】函数在R上单调递增，而函数/（工）=2"”"）在区间（0,1）上单调递减,

则有函数），=於-4="-g2一9在区间（0」）上单调递减，因此圻1,解得心2,

所以。的取值范围是［2,Ko）.

故选：D

6.D

【分析】利用向量的线性运算，结合荏=3肥，化简得到诙=［正-而，对照题设即得

4

x的值.

【详解】因为荏=3配，可得A后=［衣，

4

______3____

所以5£=-—

4

又因为=分+二所以x=—l.

4

故选：D.

7.D

【分析】利用二倍角余弦公式得cosa=-13,则sina=4q,最后再根据两角差的正弦公式即

JC

可得到答案.

【详解】cosa=2cos2y-l=2xf-yl-1=-|,

因为0<a<乃，

「，也述.

贝！Jsin(a-5=sina8sc°sasi/x

4452I5j210

故选：D.

8.A

【分析】根据/'（—2）=4-2々=0得出%再根据/（%）的单调性以及极值即可得出.

答案第2页，共11页

【详解】由〃力=;/+9常+。，得/。)=/+以，

因为工=-2是/(力的一个极值点，所以/'(-2)=4-2。=0,

所以〃=2,f(x)=^xi+x2+b,/(X)=X24-2X=X(X+2),

在［-3,2］上有广(力>0得-3。<-2或0<xW2,/(工)<0得-2<x<0,

则/(M在［-3,-2)上单调递增，在(-2,0)上单调递减，在(0,2］上单调递增，

因/(一3)=/(())=〃,/(-2)=44+4/(2)=7与0+〃，

JJ

由函数〃力在［-3,2］上有且仅有一个零点，

420204

则一+〃<0,—+Z>>0,解得一一<b<一一，

3333

所以实数〃的取值范围为一

故选：A

9.ACD

【分析】由题意可知，数列也｝是首项为9,公差为.3的等差数列，由此求得其通项公式和

前n项和公式，并对选项逐一判断即可.

【详解】因为q=<*+3,所以%.「4=-3,又4=9,所以数列｛为｝是首项为9,公差为-3

的等差数列.

记公差为d,则d=-3,所以a.=4+(〃—l)xd=—3〃+12,S"="S；"")=-3〃2；21〃

选项A：6-q=4d=-12.所以选项A正确.

选项B：因为公差为-3,所以数列｛4｝是递减数列.所以选项B错误.

选项C：当〃>4.-3〃+12Vo.即凡<0,所以选项C正确.

/7丫147

选项D：+-J+不，所以S“在时单调递增，在〃“时单调

\=---------二----------------

"22

递减.因为S3=18.S」=18,所以当〃=3或4时，S.取得最大值，最大值为18.所以选项D正确.

故选：ACD.

10.BCD

答案第3页，共11页

【分析】对A,由诱导公式结合8的最小值求解判断；对B、C,代入法验证；对D,整体

代换结合¥=5而工性质判断.

【详解】对于A：将〃x)=sin5(3>())的图象向左平承夕(夕>())个单位长度，

得到函数g(工)=sin(血+=coss的图象，

所以切夕=g+2E,kwZ.因为e的最小值为g,

26

所以=解得«=3,A错误；

62

对于B、C：因为/?(x)=sin3x+cos3x=\/isin(3x+；,

则力(用=_&,〃卜\)肛B、C都正确；

对于D：当0<X后时，:<3]+冷,〃(力在(。*)上单调递增，D正确.

故选：BCD.

II.ABD

【分析】借助导数的几何意义计算可得A：求导后计算可得B：构造函数

^(x)=/(x)-/(4-x),利用导数研究函数单调性后可得C；结合函数单调性利用最小值性

质可得D.

【详解】对A：f(^)=2[x-2)(x-5)+(x-2)2=3(x-2)(x-4),

令r(x)=3(x-2)(x-4)=0,贝心=2或x=4,

又"2)=0,则f(x)在(2,0)处的切线为y=0,故A正确;

对B：/(6-工)=3(6-尤-2)(6-1)=3(工-2)(1)二火力，故B正确；

对C：令g(x)=/(x)-/(47),0<x<2,

则g，(x)=r(jv)+r(4-M=3(.E-2)(x-4)+3(2-x)x=24-12x>0,

故g(x)在(0,2)上单调递增,又g(2)=,⑵-"2)=0,

故g(x)=/(x)—/(4r)<0,BP/(4-x)>/(x),故C错误;

对D：由/'(力=3(工一2乂1—4),则当x«2,4)时，r(x)<0,

当xe(-oo,2)u(d,+8)时，/(x)>0,

答案第4页，共11页

故/（x）在（2,4）上单调递减，在（田,2）、（4,+8）上单调递增，

X/（4）=（4-2）2-（4-5）=-4,且/⑴=（1—2）2.（"5）=-4,

若/（x）在区间（“L2,上有最小值，则有13〃-2V4<〃7,

解得加«4,6）,故D正确.

故选：ABD.

12.-/0.5

2

【分析】根据向量垂直的坐标运算列方程，化简求得％的值.

【详解】因为向量4=（1，。），行=。,1），

所以/一必二（1一九一4）,

又（/一M）_L5,

所以（4一之6）石=（1一九_7）（1,1）=]_/1_/1=]_2/1=（）,

解得夭=;.

故答案为：y

13.-

7

【分析】设事件后结合组合数求出概率，再利用条件概率公式求解即可.

【详解】设取出的两个小球中至少有一个标号为“1”为事件A,取出的两个小球标号都为“1”

为事件B，

则P（A）=CCR=2,外训=与」，

\，C；iov7c；io

所以已知其中个小球的标号是“1”的条件下，另个小球标号也是“1”的概率为

1

叫

/\一

刈

\(/—-⑷-170

_7,

10

故答案为：—

14.（-2,-1）

答案第5页，共11页

【分析】根据题意，转化为〃?=2sin(2x+g)在但兀］上有两个不同的实数根，设f=2x+?且

xe修即为尸:和尸sin/的图象在『Jg粤］上有两个不同的交点，结合正弦函

数的图象，得出不等式，即可求解.

【详解】由方程\/5sin2x+cos2x-，〃=0,可得，〃=>/5sin2x+cos2x=2sin(2x+g),

因为方程氐in2…o$2x-m-0在俘兀)上有两个不同的实数根，

/\

即"z=2sin(2x+B)在个兀上有两个不同的实数根，

612/

'几c兀口)-r/口，17兀13兀1

设/=24+不且x［，兀J,可得［不，~^-卜

则;二4位在萼，等］上有两个不同的实数根，

2k66J

即)，=;和尸sinz的图象在等］上有两个不同的交点，

2k66J

如图所示：由图象可得-1<：<-1，解得一2<〃?<-1,

22

所以实数机的取值范围为(-2,-1).

故答案为：(-2,-1).

15.(1)0.108

(2)分布列见解析，£(<?)=0.9,/9(<)=0.63

【分析】(I)直接根据频率分布表及古典概率进行解答即可得到答案；

(2)J可能取的值为0,1,2,3,然后由二项分布求出其相应的概率，则均值与方差根据

公式求解.

【详解】(1)根据频数分布表知，日销售量不低于100个的概率为迎搭型=0.6,日销售

100

量低于50个的概率为W=°.5.

1UU

设事件A：“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日俏售

量低于50个”，

则P(4)=0.62x0.15+0.15x0.62=0.108.

答案第6页，共11页

20+10

(2)由频数分布表知，日销售量不低于150个的概率为一而一二0.3,

€可取0,1,2,3,依题意知€〜取3,0.3).

P(J=0)=C；x(1—0.3)3=0.343,

P(J=1)=C；x0.3x(1-OB):=0.441,

P(^=2)=CjxO.32x(1-0.3)=0.189,

尸偌=3)=C；x0.33=0.027.

4的分布列为

0123

0.3430.4410.1890.027

E(g)=3Xo.3=o.9,D(g)=3x().3x0.7=0.63.

16.(l)qf=〃-2；

⑵7；=用网+2向—2.

【分析】⑴根据等差数列的通项公式与前〃和公式结合已知条件求出首项和公差，进而即可

求出通项公式；

⑵由(1)得-2+2”,冉利用分组求和法即可求得Tn.

【详解】(1)设等差数列｛q｝的首项为应，公差为d，

若选择条件①$7=2+12.

q+d=0

由题可得《

74+2Id=q+3d+12

若选择条件②勾+4+%=6,

由题可得)

an=-1+(«-1)x1=n-2(neN").

答案第7页，共11页

（2）由⑴知,选择两个条件中的任何一个,都有凡=〃-2,

n

贝！J=an+2'"=n—2+2,

.*.7；,=-1+2'+0+2?+…2+2"

=（-1+0+1+…〃-2）+（21+2~+…+2"）

»（1I»-2）2（12"）

=----------1-------

21-2

=n~~3f1+2n+'-2.

2

=I

17.⑴”

2〃,n>2

⑵证明见解析

【分析】⑴应用q=S.SM（心2）,得出组是以4=2为首项的常数列，数列｛4｝的

nx

通项公式；

（2）求出｛"｝通项公式，利用裂项相消法求再证明即可.

【详解】（1）由题意,当〃=1时，出=25|+2=2%+2=4.

当〃22时，（〃-1）。“=2sl+2.又“川=2S”+2（neN*j,

所以，当〃之2时，有叫川一（〃一1”“=2可，即餐=%.

这表明从第二项起，数列4是以多=2为首项的常数列，即幺=2（〃22）.

n2n

所以，数列｛%｝的通项公式为为二仁；〃之2.

|113

（2）由（1）可得，氏=——=-,7；=/?）

的2448

,11If11A

当〃？2时，a=—=1/［、--——,

q4+14〃（〃+1）4（〃n+l）

13

所以,「=1）、+b?+…+b”=<一

4（〃+1）8,

3

综上所述，对〃wN"，都有（<片

O

答案第8页，共11页

18.⑴A咤

⑵26

A

【分析】(I)S2cos2A+8sin2-=l,利用二倍角公式得到48s2A-4cos4+1=0求解;

(2)在△86中，利用余弦定理得至IjAC?=4—20cosNBOC,易得VA8C为等边三角形,

再由N8OC表示Ss8c»S,Bc，然后由四边形A4C3的面积S=S,8e+SA八8c求解.

【详解】(1)解：由2cos2A+8sin2«=l,

得2(2COS2A-1)+8XJ；S*=1，

化简得4cos24-4cosA+l=0，

所以(2cosA-lf=0,故cosA=；.

又OvAv乃，所以A=?.

(2)在△4C£>中，

BC2=DB2+DC2-2DB-DCCOSNBDC=4-2X/3COSNBDC.

由(1)知A又AC=AB,所以V4BC为等边三角形，

所以NABC的面积S“me=-ABACs\nA=-BC2sin-=—(4-2x/3cosNBDC)

aABC2234

=V3--cosZBDC.

2

又△AS的面积S=-DBDCsinZBDC=—sinNBDC，

△Rc"n22

故四边形ABCD的面积S=S+S.nc=—sin/BDC+V3--cos/BDC,

=Gj，sinNBDC--cosZBDc]+6，

(22J

=73sinZBDC--l+>/3,

k3J

当NBOC=¥时，四边形A3CO的面积最大，最大值为2G.

o

19.(l)x=l是的极大值点，无极小值点

⑵mW1

【分析】(D首先利用导数判断函数的单调区间，再确定函数的极值