2024-2025学年广东广州增城区九年级（上）数学期末试题及答案

广东省广州市增城区2024-2025学年上学期九年级数学期末试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.“掷一枚质地均匀的骰子，向上一面点数为6”这个事件是()

A.随机事件B.确定事件C.不可能事件D.必然事件

2.剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一,下列剪纸图案中,既是轴对称图形乂是中心对称图形的是

()

D.

3.反比例函数y=:的图象一定经过的点是()

A.(-1,4)B.(1,-4)C.(-2,2)D.(2,2)

4.抛物线y=(x-3)2+4的顶点坐标是()

A.(3,-4)B.(3,4)C.(-3,-4)D.(-3,4)

5.若。。的半径为6cm,PO=5cm,则点P与。。的位置关系是()

A.点P在0。外B.点P在00上C.点P在。。内D.不能确定

6.如图，在△408中，4(1,遍)，点4在x轴上，将△408绕点O旋转180“，点力的对应点4,的坐标为

A.B.(-V5.1)C.(-1,-V5)D.(V5,-1)

7.如图，一次函数y=ax+匕的图象与反比例函数y=：的图象交于点4(2,3),8(—3,—2),则不等式ax+b>

士的解集是()

初中

8.某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了1640张照

片，如果全班有“名学生，根据题意，列出方程为()

A.x(x+1)=1640B.x(x-1)=1640

C.1x(x+1)=1640D.1x(x-1)=1640

9.利川相机的“微距模式''可以拍摄得到与土际物体等大或比戛际物体稍大的图像.如图是一个微距拍摄成

像的示意图.若拍摄60mm远的物体48,其在底片上的图像力身’的宽是36mm,焦距是90mm，则物体4B

的宽是()

A.6mmB.12mmC.24mmD.30mm

10.已知二次函数y=a（X-l）2-a（QW0）,当一14%W4时，y的最小值为-4,则a的值为（）.

A.g或4B.一；或一gC.一（或4D.或4

二、填空题

11.若％=1是关于x的一元二次方程%2-ax+1=0的解，则a=

12.如图，PA.P8是。。的两条切线，A、8是切点，若"1PB=6O。，PO=8,则。。的半径等于

13.如图，圆锥的底面半径OC=4cm,母线长AC=8cm,则圆锥的侧面积为

初中

A

14.在一个暗箱里有，〃个除颜色外完全相同的球，其中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸

出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4,由此可以推算出“约

为.

15.如图，已知力(4,0),B(3,4),将△OAB以点O为位似中心，相似比为2:1,放大得到△。不B’，则顶点

8的对应点8'的坐标为

AC=8,AB=IO,。是4。上一点，且CQ=3,£是4c边上一点,

将△QCE沿QE折叠，使点C落在点尸处，连接8巴则4少的最小值为

三、解答题

17.用配方法解方程：x2-6x+8=0

18.如图，点、A,B,C,。在。。上，AB=CD.求证：BD=AC.

初中

19.如图，在平面直角坐标系中，△A8C的顶点分别为A(2,2),8(0,3),C(l,0).

(1)作出448。绕点。顺时针旋转90。的△为当Ci；

(2)直接写出点A，Bi，G的坐标.

20.某校开展征文活动，征文主题只能从“爱国”、“敬业”、“诚信”、“友善”四个主题中选择一个，每名学

生按要求都上交了一份征文，学校为了解选择各种征文主题的学生人数，随机抽取了部分征文进行了调查,

根据调杏结果绘制成如下两幅不完整的统计图.

学生选择征文主题条形统计图学生选择征文主题扇形统计图

(1滔上面的条形统计图补充完整；

(2)如果该校七年级共有1200名考生，请估计选择以“友善”为主题的七年级学生有名.

(3)学生会宣传部有七年级的2名男生和2名女生，现从中随机挑选2名同学参加“主题征文”宣传活动，请

用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女''的概率.

21.如图，ZA=ZD,AC,8。相交于点E,过点C作CE〃4B交8。于点凡

初中

(1)求证：ACEFsADEC；

(2)若£/=3,EC=5,求。尸的长.

22.如图，已知心。中，ZC=90°,力。是/氏4C的角平分线.

(I)请尺规作图：作。。，使圆心。在48上，且力。为。。的一条弦.(不写作法，保留作图痕迹)；

(2)判断直线5c与所作。。的位置关系，并说明理由.

23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数歹=-x+》的图象与反比例函数y=：(xVO)的图象交于点/

(-1.6),与x轴交于点从点C是线段45上一点，且△OCZ?与△O//的面积比为1：2.

⑴求左和力的值；

(2港△O8C绕点。逆时针旋转90。，得到△。9C,判断点C是否落在函数«<())的图象上，并说

明理由.

初中

24.抛物线y=必।b4经过4(2,0),两点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若M是线段48上的一个动点，过点M作MNJ.X轴，交抛物线于点N,求线段MN的最大值；

(3度抛物线在4轴下方的部分沿%轴翻折到“轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后图象与原图象在不

轴上方的部分组成了一个形状的新图象，若直线y=+力与该新图象恰好有三个公共点，求b的值.

25.如图，△48。是内接于O。，是。。的直径，Z,ABC=30°,AB=6.

(1)求BC的长;

⑵点。为。。的一个动点，且位于直至48的上方，点。从点B开始沿着。。运动至点C,连接D。，延长。。

交。。于点E,连接力£,BE.

①当CE平分乙1CB时，试探究力。，8C和CE三者之间的数最关系，并证明你的结论；

②MD与CE交于点P,求点E运动过程中，点P的运动路径长.

初中

《广东省广州市增城区2024-2025学年上学期九年级数学期末试卷》参考答案

题号12345678910

答案AADBCCABCD

1.A

【分析】根据随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，即

可解答.

【详解】解：掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，

掷一次骰子，骰子向上一面的点数为6的事件是随机事件，

故选：A.

【点睛】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的

关键.

2.A

【分析】本题考查了轴对称图形、中心对称图形的识别.熟练掌握：平面内，一个图形沿一

条直线折售，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形；如果把一个图形绕某一点

旋转180。后能与自身重合，这个图形是中心对称图形是解题的关键.

根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可.

【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合要求；

B、是轴对称图形，不是口心对称图形，故不符合要求：

C、不是轴对称图形，是口心对称图形，故不符合要求：

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；

故选：A.

3.D

【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据k=肛对各选项进行逐一判断

即可.

【详解】解：•・•反比例函数y=%

；•k=4,

人、・・・-1乂4=一4=4,・・・点（一1,4）不在函数丫=：图象上，故本选不项符合题意：

B、•••1乂（-4）=一464.・・・点（1,一4）不在函数丫=：图象上，故本选项不合题意；

C、・・・-2x2=-4*4,・••点（-2,2）不在函数丫二:图象上，故本选项不合题意；

初中

D、・・・2x2=4,・,•点(2,2)在函数丫=：图象上，故本选项合题意.

故选：D.

4.B

［分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数y=a(x-/i)2+k的顶点坐标为(九,k)求解

即可.

【详解】解：抛物线y=(x-3)2+4的顶点坐标是(3,4),

故选B.

5.C

【分析】根据点到圆心的更离即可得出答案.

【详解】解：•・,点尸到圆心的距离P0=5cm小于圆的半径6cm,

・••点尸在圆内.

故选C.

【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内：当点到

圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外.

6.C

【分析】本题考查旋转性质、中心对称图形，根据中心对称图形的性质得到点力与T关于原

点对称，再根据关于原点对称的点的坐标都互为相反数求解即可.

【详解】解：•••△力。8绕点。旋转180。，

，点力与4,关于原点中心对称，

，点A的坐标为(—1,—V5)»

故选：C

7.A

【分析】此题主要考查函数与不等式之间的关系，解题的关键是正确理解函数图象和性质.

观察函数图象即可求解.

【详解】解：观察图象可得，当一3VXV0或x>2时，一次函数的图象位于反比例函数

图象的上方，

不等式ax+b>"的解集为-3<%<0或%>2.

X

故选：A.

初中

8.B

【分析】本题考查了赠送儿物问题，解题关键是理解题意，本题根据每一个同学都将自己的

相片向全班其他同学各送一张表示留念，那么x人，每人都赠送了(％-1)张，据此列出方程

即可.

【详解】解：•・•每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，

：,x(x-1)=1640

故选：B.

9.C

【分析】此题考查r相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质：对应高之比等于相

似比，证明△AB。〜△A'B'O,得到黎二焉求出力以熟练掌握相似三角形的判定定理是解

题的关键.

【详解】解：:力例历夕,

：.^ABOFA'B'O,

•AR_60日［1力8_60

••石7-90'"36"90,

得48=24

故选：C.

1().D

【分析】本题主要考资二次函数的性质，分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解

答.

【详解】解：二次函数'=。。-1)2-。(。=#0)的对称轴为：直线％=1,

(1)当a>0时，当一时，y随工的增大而减小，当y随汇的增大而增

大，

•••当”=1时，y取得最小值，

•••y=a(l—I)2—a=-4,

二a=4；

(2)当a<0时，当一1Wx41时，y随工的增大而增大，当1WxW4,y随式的增大而减小,

当x=4时，y取得最小值，

2

•••y=a(4—1)—a=-4,

1

•••a=-

初中

故选：D.

11.2

【分析】本题考查一元二次方程的解，理解方程的解是解答的关键.将x=l代入已知方程

组求解即可.

【详解】解：・.”=1是关于X的一元二次方程%2-。％+1=0的解，

/.I2—a+1=0,

解得Q=2,

故答案为：2.

12.4

【分析】本题考查了切线长定理，切线的性质和直角三角形的性质，根据切线的性质求得

OA1AP,P。平分乙4P8,再由直角三角形的性质得04=>0=4,解题的关键是熟练掌握

知识点的应用.

【详解】解：・・了小PB是。。的两条切线，

：.0A1AP,P。平分乙4PB,

工4。力0二90。，/.AP0=\/-APB=30°,

：,OA=^PO=4,即00的半径等于4,

故答案为：4.

13.32ircm2

【分析】本题考查了圆锥的计算，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆

锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解.

【详解】解：圆锥的侧面积为：1x27ix4x8=327rcm2.

故答案为：32/rcm2

14.10

【分析】本题考查了由频率估计概率，由题意得山摸到红球的概率为0.4,从而得到m=4+

0.4,计算即可得解，解题的关键是掌握利用大量试验得到的频率可以估计事件的概率.

【详解】解：•・•通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4,

・•・摸到红球的概率为0.4,

，巾=4♦0.4=10,

初中

：.m约为10,

故答案为：10.

15.(6,8)或(一6,—8)/(—6,-8)或(6,8)

【分析】利用位似图形坐标变化特征解答即可.

【详解】解：由位似图形坐标变化的特征可知：

8'(6,8)或8'(-6,-8).

故答案为：(6,8)或(一6,-8).

【点睛】本题考查位似图形坐标变化特征：一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位

似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为亿那么与原图形上的点

(%y)对应的位似图形上的点的坐标为(乙,4)或(-kx,-ky).

16.3V5-3Z-34-3V5

【分析】先由折番判断出厂的运动轨迹是为以。为圆心，C。的长度为半径的圆，当氏D、

产共线且尸在6、。之间时4"最小，根据勾股定理及国的性质求出此时8。、6户的长度即

可.

【详解】解：由折叠知，尸点的运动轨迹为：以。为圆心，CO的长度为半径的圆，如图所

示，

可知，当点4、D、尸共线，且尸在4、。之间时，Ab取最小值，

VZC=90°,4C=8,AB=\0,

:・BC=6,

在Rt^BCD中，由勾股定理得：BD=\/CD2+BC2=V32+62=3瓜

:・BF=BD-DF=3痘-3,

故答案为：3V5-3.

初中

【点睛】本题考查了折叠的性质、圆的性质、勾股定理解直角三角形的知识，该题涉及的最

值问题属于中考常考题型，根据折叠确定出F点运动轨迹是解题关键.

17.=4,%2=2

【分析】先移项，再配方，开方求解.

【详解】解:x2-6x+8=0

x2-6x=-8

x2-6x+9=-8+9

(一)2=1

.,.%1=4,x2=2

【点睛】本题考查配方法，解题的关键是清楚配方法的步骤.

18.见解析

【分析】本题考查弦和弧为关系，根据等弧对等弦得到检=而,进而求解即可.

【详解】证明：•・•在00上，AB=CD,

：.AB=CD,

：.AB+AD=CD+AD,

：,§D=AC.

19.(1)见解析

(2)4(2,-2),%(3,0),Ci(O,-1)

【分析1本题考查了画旋转图形，写出点的坐标；

(1)根据旋转的性质找到48C的对应点41，%,6,顺次连接,即可求解；

(2)根据坐标系写出点的坐标，即可求解.

【详解】⑴解:如图所示,△48传］即为所求

初中

(2)解：4(2,-2),%(3,0),Ci(0,-1)

20.⑴见解析

(2)360

解

【分析】本题考查了列表法与树状图法，统计图，用样本估计总体数量.

(1)用“诚信''的人数和除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后计算出“友善”的人数

后补全条形统计图

(2)用1200乘以样本中“友善”为主题的人数的百分比；

(4)画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出“1男1女”的结果数，然后根据概率公

式求解.

【详解】(1)解：调查的总人数为3・6%=50(人)，

所以以“友善”为主题的人数为50x30%=15(人)),

条形统计图补充为：

学生选择征文七题条形统计图

(2)解：1200x30%=360,

所以估计选择以“友善”为主题的七年级学生有360名;

故答案为360；

(3)解:画树状图为:

冷女/K小女

男女女男男女

共有12种等可能的结果数，其中“1男1女”的结果数为8,

所以恰好选中“1男1女”的概率=3=3

21.(1)证明见解析;

初中

⑵=y-

【分析】（1）通过6〃*得到匕8二乙"C,然后利用三角形内角和定理有41+匕8+

^AEB=+乙DCE+乙DEC=180°,从而得出NDCE=々ETC,外力口对顶角々DEC=乙CEF,

从而得出结论；

（2）根据（1）的结论得到比例式笑=2，代入数据就可求出。少的长.

CU

［详解］（1"•ZA=ZD,LA+Z.B+^AEB=ZD+Z.DCE+乙DEC=180°,Z.AEB=乙DEC,

乙B=^DCE；

-CF//AB,

二=乙EFC,

:.乙DCE=乙EFC；

v乙DEC=乙CEF

:•△CEFs^DEC

（2）•:ACEFsADEC,

...竺=空

CEED

，：EF=3,EC=5,

:.E「D八=—25

nr?25o16

33

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，牢记“两组角对应相等的两个三角形相似''是解题的

关键.利用三角形内角和定理，结合平行线的性质，即可证出.

22.（1）见解析：（2）直线8C与所作。O相切，理由见解析

【分析】（1）作4。的垂直平分线交48于点。，以。1为半径画圆即可；

（2）连接OD,通过等边对等角和角平分线的定义可得出NC4O=NO£U,从而有OD//AC,

NOO8=NC=90。所以8c为。。的切线

【详解】解：（1）如图，3。为所作；

BD

初中

(2)直线8C与所作相切.

理由如下：连接0。，如图，

•：OA=OD,

：,ZOAD=ZODA,

T4D平分N8/1C,

:・N0AD=NCAD,

:・NCAD=/ODA,

：.OD//AC,

VZC=90°,

••・NODB=90。,

：・()DIBC,

・・・4。为。。的切线.

【点睛】本题考查了尺规作图作圆，切线的判定定理，掌握切线的性质与判定是解题的关键.

23.(l)/c=-6,6=5

⑵点C在函数(kVO)的图象上，证明见解析

【分析】(1)将4(一1,6)代入y=-x+b可求出b的值；将4(一1,6)代入/=：可求出忆的值；

(2)由一次函数的解析式求出8点坐标为(5,0).根据A0C8与AO48的面积比为1:2,得出C

为AB中点，利用中点坐标公式求出。点坐标为(2,3).过点C作CD1”轴，垂足为。，过点C'

作C'Elx轴，垂足为E.根据AAS证明三AOCD,得出。E=CO=3,C'E=0D=2,

又C在第二象限，得出C(-3,2),进而判断点C是落在函数y=-：的图象上.

【详解】(1)解：将火一1,6)代入y=-#+瓦

得，6=1+b,

••b=5,

将4(—1,6)代入y=

得，6==,

—1

解得，k=-6,

故所求k和b的值分别为-6,5；

<2)点C空落在函数y=-：的图象上.理由如下;

初中

vy=-%+5,

y=0时，-x+5=0,解得x=5,

•••8(5,0).

•••A0C8与A0A8的面枳比为1:2,

C为48中点，

v71(-1,6),8(5,0),

•••C(2,3).

如图，过点C作CZ)_Lx轴，垂足为。，过点C彳乍C'Elx轴，垂足为£

•.•将A08C绕点。逆时针旋转90°,得到△08C',

OC=OC,OB'=OB=5,Z-COCf=90°.

:.乙C'OE="CD=90°-乙COD.

在△Q幻/?与AOCO中.

乙CUE=Z.OCD

乙C笃0=Z.ODC，

0C'=OC

AOCO(7L4S),

OE=CD=3,C/E=OD=2,

•••C在第二象限，

•••Ct-3,2),

•••点C是落在函数y=-:的图象上.

【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，线段中点坐标公式，全等

三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，都是基础知识，需熟练掌握.

24.(l)y=x2+2x

初中

吟（-pD

（3）1嘴

【分析】（】）用待定系数法即可求得二次函数的解析式；

（2）用待定系数法求出线段718所在的直线方程为：y=x+2,由题意可设M（m,m+2）,

其中-2VmVl,则N（m,m2+2m）,进而得到MN=-（m+g）+孑从而即可得到答案;

（3）分当y=3%+b过点人时、直线与新图象有3个公共点，和当y=gx+b与新图象的封

闭部分有一个公共点（即相切）时，直线与新图象有3个公共点，分别求解即可得到答案.

【详解】⑴解:将4（一2,0）代入y=■+必得,

4-2b=0

解得：b=2

工二次困数的解析式为:y=X24-Zxx

（2）解：•:8（1,m）在y=/+2%图象上，

/.m=l+2=3,即8（13）,

设直线AB的解析式为：y=kx+bi,代入4（一2,0）,F（l,3）

则厂2忆+d=0

人4k+瓦=3'

解得:

.••线段力B所在的直线方程为：y=x+2,

如图1,

由题意可设M（m,m+2）,其中一2<mVl,则N（m,m24-2m）,

初中

2

MN=（77i4-2）—（m2+2m）=—m2—m+2=—（m+

当m=—凯寸，MN长度的最大值为京此时，点M的坐标为（号，I）；

当y=+b过点力时，直线与新图象有3个公共点，把4（一2,0）代入y=gx+b得b=1,

当y=+b与新图象的封闭部分有一个公共点（即相切）时，直线与新图象有3个公共点，

由于新图象的封闭部分与原图象的封闭部分关于“轴对称，

所以其解析式为》二一炉-2，

所以方程组［y=有一组解，消去v得到的方程无2+）%+/,=（）有两个相等的实数

y=-xz-2x

根，贝必=0-4b=0,

所以b=与

16

综上所述，b=l或匕=温.

【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、二次函

数与一次函数的交点问题、二次函数的最值，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式、二

次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题，是解题的关键.

25.（1）^C=3V3

（2）①力C+8C=&CE,见解析；②^见

【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角，进而解RtZ\4CB,即可求解.

（2）①如图：过点E分