湖南省株洲市某中学初中部2025-2026学年上学期九年级数学期末考试（解析版）

二中枫溪学校初中部九年级期末考试试卷数学学科

总分：120分考试时间：120分钟

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题

意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1.如果向前运动3m记作+3m,那么向后运动2吟记作（）

A.+5mB.+lmC.-2mD.-5m

【答案】C

【解析】

【分析】本题考杳正负数的实际应用，根据正负数表示一对相反意义的量，向前为正，则向后为负，进行

判断即可.

【详解】解：向前运动3nl记作+3m,那么向后运动2丁，记作-2m;

故选：C.

2.传统建筑中的窗格设计精巧、样式繁多，体现了我国建筑独特的艺术表现力和文化内涵.下列窗格图案

中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

【解析】

【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，解题的关键是掌握相关的定义.根据轴对称图形

的定义：将图形沿某直线对折，直线两边的部分能够重合，则该图形称为轴对称图形；中心对称图形：把

一个图形绕某一个点旋转180。，如果旋转后的图形与原来的图形重合，这个图形称为中心对称图形；据此

求解即可.

【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意；

B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；

C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；

D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；

故选:B.

3.下列运算正确的是（）

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A.fl4+a:=a6B.（2a9=2/

C.o1+o4=a2D.[a4]2=«'

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查指数运算的基本规则，包括合并同类项、积的乘方、同底数塞的除法和塞的乘方，根据

相关运算法则逐一计算即可.

【详解】解：A、/与/指数不同，不能直接相加，原计算错误，不符合题意；

B、（2。广=2'。'=32/工2J,原计算错误，不符合题意；

C、=Jw>,原计算错误，不符合题意；

D、（/1=产=/,原计算正确，符合题意：

故选：D.

4.马赫是航空航天领域里表示飞行速度的量词，1马赫就等于每秒声音传播的距离.我国国庆阅兵上展示

的DF-4I,其速度可达到15马赫，约18360千米/小时.其中数据18360用科学记数法表示为（）

A.0.I836X104B.1.836xlOJC.1.836x10,D.1.836x10$

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为ax10"的形式，其中14H<10,〃为

整数，确定〃的值时，要看把原数变成a时.，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同，

当原数绝对值大于等于10时，〃是正数，当原数绝对值小于1时”是负数；由此进行求解即可得到答案.

【详解】解：18360用科学记数法表示为1.836x10',

故选:C.

5.某航模社团开展某小型无人机飞行时长测试，随机抽取5架该型无人机，充满电后首次飞行时长记录如

下（单位：分钟）：18,20,22,23,24.这组数据的中位数为（）

A.18B.20C.22D.23

【答案】C

【解析】

【分析】本题考杳了中位数的概念及计算，解题的关键是熟练革握中位数的定义一将一组数据从小到大

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（或从大到小）排列后，若数据个数为奇数，中间位置的数即为中位数；若为偶数，则中间两个数的平均

数为中位数.

先确认所给数据是否已按从小到大顺序排列，本题数据18,20,22,23,24已有序：再根据数据个数为5

5+1,

（奇数），计算中间位置为一厂=3,即第3个数据就是这组数据的中位数.

【详解】解:根据中位数的定义,将数据按从小到大排列：18,20,22,23,24；

5+1.

数据个数为5（奇数），中间位置为第一，一=3个，第3个数据为22,故这组数据的中位数是22.

故选:C.

6.如图，点A,B,。在。。上，若N0=64°,则//=（）

Q

A.16°B.32°C.wD.64c

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查圆周角定理，掌握--条弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半是解题的关键.

直接运用圆周角定理求解即可.

【详解】解：・・・/0=64°,

ZJ=1zo=32°.

故选:B.

7.阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球.”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位

置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随处可见.如图甲，这是用杠杆撬石头的示

意图.当用力用打杆时.另一端就会撬动石头.如图乙所示.动力臂04=150cm,阻力臂08:50cm.

BD=20cm,则的长度是（）

A.80cmB.60cmC.50cmD.40cm

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【答案】B

【解析】

【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例

求得.4C的长度.解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式.

【详解】解：•・•ACLAB,BD1AB,

AC//BD,

:“OCSABOD,

.ACAO

一而一丽’

•.•动力臂0/=I50cm,阻力臂08=50cm,BD=20cm

•4c_150

'20--50,

AJC=60,

AAC的长为60cm.

故选：B.

8.若关于工的一元二次方程J・，i-c=Q有两个相等的实数根，则实数的值为（）

A.-16B.-AC.4D.16

【答案】C

【解析】

【分析】根据方程的根的判别式A=/>-4oc=|-4）2-4xjxc=0即可.本题考查了一元二次方程的根的

判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键.

【详解】•・•方程/•打・r二。有两个相等的实数根，。=14=-4.c=c,

/.A=/>-4oc=|-4r-4x|xc=0,

/.4c=l6.

解得c=4.

故选C.

9.已知反比例函数》=?，下列判断正确的是（）

x

A.函数图象分布在第二、四象限B,图象经过点（一L3）

C.若X>1,则J>3D.在各自象限内，y的值随x的增大而减小

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【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查了反比例函数图象与其系数的关系，求反比例函数值，熟练掌握反比例函数的图象

与性质是解题的关键.根据解析式可判断函数图象分布的象限，以及在每个象限内的增减性，再求出

X=-1和工=1时的函数值即可得到答案.

【详解】解：•・•反比例函数解析式为.y=3,A=3>0,

X

・••反比例函数图象分布在第一、三象限，且在每个象限内y的值随X的增大而减小，故A说法错误，D说

法正确；

在中，当x=-1时，v=-=-3,

.XZ-1

・•・图象不经过点（故B说法错误；

在中，当.1=1时，y=2=3,且在每个象限内），的值随X的增大而减小，

x1

・••若工>1,则0<F<3,故C说法错误，

故选：D.

10.李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之缘.后人有《李白

醉酒》的数学诗（见下图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（。处的大意为：先遇店后见花，如此三次）.则

诗中李白的壶中原未有酒（）

q李白醉酒

李白街上走，提壶去买酒。

盅店力口一宿，见花喝一印。

三遇店和花❶,喝光壶中酒。

试问壶中原有酒几斗？

735

A.I斗B.斗C.一斗D.一斗

848

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查一元一次方程的应用，设李白的壶中原来有酒工斗，根据题意列方程解应用题即可.

【详解】解：设李白的壶中原来有酒工斗，

2[2（2x-l）-l]-l=O,

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7

解得：工=1,

o

故答案为：B.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11.因式分解：r-I=.

【答案】

"T(xT)

【解析】

【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题关键.

使用平方差公式进行因式分解即可.

【详解】M：-V2-1=(A+1)(X-1).

故答案为：

2,

12.方程一^=1的解为____.

x-3

【答案】x=5

【解析】

【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是将分式方程化为整式方程求解.

通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，再检验即可.

【详解】解:--=1

x-3

方程两边同时乘以＜3,得2=x-3,

解得工二5,

检验：当x=5时，x-3=2*O,

所以原方程的解为x=5,

故答案为：x=5.

13.函数.F二一；中，自变量x的取值范围为_________

x-3

【答案】工工3

【解析】

【分析】本题考查了分式的意义，函数自变量的取值范围，解题的关键是掌握分式有意义的条件.

根据分式的定义，分母不能为零，因此1・3工0,即工工3.

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【详解】解：函数『=是分式形式,

x-3

所以x-3x0,

解得K工3.,

故自变量X的取值范围为工工3,

故答案为：xw3.

14.小明参加“阖家闹元宵，讲成语故事”活动，从卡片背面分别写着“龙蛇飞舞”“画蛇添足”“龙腾虎

跃”“虎头蛇尾”的4张卡片中，随机抽取I张卡片，则该卡片背面的成语含有，蛇”字的概率是__________

【答案】4

4

【解析】

【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，根据4张卡片中3张成语含有，蛇”字，利用概率公式求

解即可.

【详解】解：4张卡片中3张成语含有，蛇”字，

故随机抽取1张卡片，则该卡片背面的成语含有，蛇”字的概率是：2，

故答案为:

15.如图，在边长为6的菱形/BC。中，对角线4C,8。相交于点。，分别以8,C为圆心，大于;8c

的长为半径画弧，两弧相交于E,F两点，作直线EF交边8c于点连接,则0M=

叶

【答案】3

【解析】

【分析】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，中位线的性质，菱形的性质，

根据尺规作图的步骤可知EF是8c的垂直平分线，即点M是8c的中点，再根据菱形的性质可知OV是

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△8C0的中位线，可知QU=3。。，则答案可得.

【详解】解：根据题意可知EF是8c的垂直平分线，

・••点M是8c的中点.

•・,四边形版0是菱形,

・・.B0=DO,CD=6,

即点。是80的中点，

0M是△BCO的中位线，

・•・0M=1CD=3.

2

故答案为：3.

16.如图，二次函数y=。d+尿+c（。、八为常数，a*0）的图象交主轴于18两点，点4的坐标

是（7,0）,点8的坐标是（〃⑼，有下列结论：①abc<0；②4o+c>2b；③关于工的方程

0的解是M=-l,七=〃；④-丁二仪二.其中正确的有.

【解析】

【分析】本题考查二次函数的图象与性质、抛物线与工轴的交点等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是

解题的关键.

根据图象口J得：抛物线的开口向卜，交F轴十止半轴，即得。<0,O0,进而可判断/>>0,即口J判断结

论①；当x=-2时，F〈Q,即4。・26+。<0,可判断结论②；根据二次函数与工轴的交点结合二次函数

的对称性即可判断结论③④，即可得到答案.

【详解】解：根据函数图象可得：抛物线的开口向下，交『轴丁正半轴，

/.a<0,c>0,

又1抛•物线的对称轴在卜轴右侧,

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:.对称轴x=-->0,

2a

：.b>0,

/.a/)c<0,故结论①正确；

由函数的图象可得：当x=-2时，J<。，即4a・2八。<0,

即M+2b,故结论②错误；

•・•二次函数p=ad+/n+c的图象交工轴于A,8两点，点力(1,0),点阴〃,0),

・•・关于的方程0F+卜•c=0的解是M=一，毛=〃，

h-1+n//-1

对称轴与工轴的交点即线段48的中点，即-丁二二一二二一，

2a22

・••结论③④正确；

故答案为：①③④.

三、解答题(本大题共8个小题，第17、18题每小题6分，第19、20题每小题8分，第21、

22题每小题10分，第23、24题每小题12分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明

过程或演算步骤)

17.计算：+-2xsin45°-|n-2O25)0

【答案】3

【解析】

【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，解题的关键是正确化简每一项.

分别计算绝对值，负整数指数累，特殊角的三角函数值，零指数累，再进行加减计算.

【详解】解：忘-1+(口-2xsin45。一("2025)”

Ja--l.

18先化简，再求值：——+2卜——，其中。=2.

I。)a

a+1

【答案】

。一1

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【解析】

【分析】原式括号中两项通分计算，同时利用除法法则转化为夷法，约分得到最简结果，把〃的值代入计

算即可求出值.

/。2■+«1f、2t1

【详解】解：-----+2+-

I")a

d2+2x1+1a'-I

一MM________丁•____

aa

(o+1)2a

a(a+l)(o-1)

a+1

-^d，

，I

当q=2时，原式=；^―-=3.

2—1

19.为了推进体育教学改革，让学生喜欢体育运动，让每一位学生掌握一到两项终身受用的体育技能，教育

部鼓励基础教育阶段学校每天开设1节体育课.为了落实这项政策，某校开设了“一人一球”体育拓展课

程，学生可根据自己的喜好选择一门球类项目(4.篮球；B,足球；C.排球；D.羽毛球；E.乒乓球)，

学校随机对该校部分学生的选课情况进行调杳，绘制成两幅不完整的统计图(如图所示).请艰据以上信息,

回答下列问题:

(1)此次调查的学生总数是人，选择羽毛球的学生人数为人：请将条形统计图补充完整;

。)扇形统计图中，求〃项目所对■应的扇形圆心角的度数：

(3)若该校有学生950人，请估计有多少学生选修了排球.

【答案】(1)50,12

(2)28.8。

(3)估计有304名学生选修了排球

【解析】

【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体等知以点，掌握频率、频数、总数的关系是

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解题的关键.

（1）从两个统计图可知，样本中喜欢“A：篮球”学生有10人，占被调查人数的20%,根据频率=频数

总数即可求出被调查人数；再根据各组频数之和等于样本容量可求出喜欢“力：羽毛球”的人数，即可补

全条形统计图.

（2）求出样本中喜欢“乐足球”的学生人数占被调查人数的百分比，进而可求出相应圆心角的度数；

（3）求出样本中喜欢“C：排球”的学生人数占被调查人数的百分比，进而估计总体中喜欢“C排球”的

学生人数占被调查人数的百分比，根据频率=频数总数进行计算即可.

【小问1详解】

解：IO+2O%«5OA，

样本中喜欢羽毛球”的人数为50・10・4・16・8=12.

・•・补全条形统计图为：

故答案为：50,12.

【小问2详解】

解：360°x—=28.8°.

50

故答案为：28.8°.

【小问3详解】

解：950x—=304；.

50k

答：估计有304名学生选修了排球.

20.为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神.某校利用课后

服务时间，在八年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共16个班级参加.

（1）比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积分，负一场积分.某班级在15场比赛中获得总

积分为41分，问该班级胜负场数分别是多少？

（2）投篮得分规则：在分线外投篮，投中一球可得分，在分线内含分线投篮，投中一球可得2

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分，某班级在其中一场比赛中，共投中26个球只有2分球和分球，所得总分不少于56分，问该班级

这场比赛中至少投中了多少个分球？

【答案】（I）该班级胜负场数分别是3场和场；

（2）该班级这场比赛中至少投中了J个分球.

【解析】

【分析】（1）设胜了主场,负了F场,根据15场比赛中获得总积分为41分可列方程组.求解即可.

（2）设班级这场比赛中投中了，，个分球，则投中了（26-〃，）个2分球，根据所得总分不少于56分，列

出相应的不等式，从而可以求出答案.

【小问I详解】

解：设胜了主场，负了F场,

v=!5

根据题意得:

3x4-.v=41

fx=13

解味=2，

答：该班级胜负场数分别是13场和2场；

【小问2详解】

设班级这场比赛中投中了〃，个分球，则投中了（26-〃力个2分球,

根据题意得：3m+2（26-wl>56,

解得小>4,

答：该班级这场比赛中至少投中了J个分球.

【点睛】本题考查二元•次方程组应用和•元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相

应的方程组和不等式.

21.《综合与实践》在学习完《锐知三角函数》一章后，数学社才I的几位同学在老师的带领下，前往某景点

进行实物测量的实践活动.

活动主题景物的测量与计算

活动内容测量某景区标志性建筑物的高度

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D

测量数据的图1，图2

如图2所示：

步骤一：先在离地面高2.8米（即£广=2.8米）矩形平台上的

点A处用测角仪测得建筑物顶部D的仰角为45°.

步骤二：然后前进8米到8处，测得建筑物顶部。的仰角为

53。.

根据以上测量数据求该建筑物的高度CD.（结果保留整数，参

数据运用343

考数据：sin37°«—,cos37°«—,tan370*—）

554

［笞］35米

【解析】

【分析】本题主要考查了锐角三角函数解直角三角形，解题的关键是掌握锐角三角函数.

延长48交C。于点G,求出CG=2.8,得出4G二OG,假设==然后利用锐角三角函数

比列方程求解即可.

【详解】解：如图2所示，延长18交CO于点G,则.4G1CD,

图2

•山GD=AAGC=90°,

XVZE="=90。，

・•・四边形EFCG为矩形，

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：.CG=EF=2.8米，

•：iGAD=45°,

・•・△AGD是等腰直角三角形,

：.AG=DG，

设==i米，则8G="-8）米，

■:LGBD=53"

：.LBDG=90c-53°=37°,

vtanZBDG=tan37°=—=—,

DGx4

x=32,

・•・/G=0G=32米，

：.CD=OG♦CG=32♦2.8=34.8w35米，

・•・该建筑物的高度为35米.

22.如图，在半径为的。。中，A4是。。的直径，CO是过00上点C的直线，且4010C于点

AC平分/810,石是BC的中点，0E=3cm.

（1）求证：CO是。0的切线;

（2）求的长，

【答案】（1）证明见解析；（2）彳.

【解析】

【分析】（1）连接OC,由题意知ND4C=NO4C=/OC4,据此得』D，OC，根据4O_LOC即可得证;

（2）连接8C,证△ADCs^ACB即可得.

【详解】解：（1）如图，连接0C,

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D.E

•：OA=OC,

.•・NOAC=NOCA,

••FC平分NDAO,

・・・/O4C=NOAC,

：.^DAC=ZOCA,

・•・,”OC,

•・•从。_LOC,

：.OC±DC,

又；OC是(DO的半径，

・・・CO是。。的切线；

(2)如图，连接8C,OE,

•・•£是8c的中点，0E=3cm,

：.AC=6cm,

••MB是。。的直径，ADA.DC,半径0/=5cm,

••・/4DC=NACB=90°,AB=10cm,

又•：NOAC=NC48,

・•・HADCs^ACB,

ADAC

则

AC-AB

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.sAC26218

...w=------=-=—.

AB105

【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、平行线的判定与性质等知识：

熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解题的关键.

23.如图1,在平面直角坐标系中，已知二次函数J+卜彳（的图象与x轴交于点川-L0），例3,0|

,与），轴交于点U

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）如图2,连接8C,过点C作CO18C与抛物线相交于另一点O.

①求，点、D的坐标；

②如图3,点E,”为线段8c上两个动点（点E在点尸的右侧）,且EF=6,连接OF,DE.求

OF*DE的最小值.

【答案】（l）j=-r♦2i*3

⑵①。（L4l,②5

【解析】

【分析】（1）利用两点式求解抛物线解析式；

（2）①延长与x轴相交于点G,证明ACOG是等腰直角三角形，从而得到G点坐标，求出直线CG的

解析式，联立抛物线解析式求解即可；②过点。作OHHEF,且0H二EF二JT,连接〃£,。〃，设

。〃交工轴为点G,然后证明四边形OFEH是平行四边形，根据。E+E〃2。〃,得出

DE+EH=DH时，DE+EH最小，进一步求出DH即可.

【小问1详解】

解：・・・/（-1,01.6（3,0）在二次函数|=H+c的图象上，设该二次函数为y=-（x-X）（x-0）,

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=-V*4-2x4-3.

【小问2详解】

解：①把1=0代入，・=・/♦h7,

得广3,

.・・(?(0,3)

如图，延长OC与X轴相交于点G.

OB=OC=3.

v“OB=90°,

LCBO=45°.

v£DCB=90。=/BCG,

ZCGi=90o-ZC«O=90o-45o=45°.

LGCO=180fl-ZCOG-ZCGfi=180°-906-45fl=450,

；,OG=OC=3,

A6(-3,01.

设直线CG的解析式为：)，=h+MAwO|,把C(0,3).G(-3,0)代入,

3=〃？

得解得

0=-3k+mm=3

二.直线CG的解析式为：「.t+3,

•••点。是直线CG与二次函数的交点,

y=x+3

二•联立解析式

y=-x2+2x+3

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・•・

②如图，过点0作0,〃EF,且OH=£F=JT，连接〃E，DH,设。，交工轴为点G.

...四边形0FE”是平行四边形，

:.OF=EH.

vLCB0=45°,

"BOH=45°.

:.0GH为等腰直角三角形，

?.OG=GH,

•：。H=EF二亚，0G：+G//=0H'，

:.0G=GH=b

・・・DE+EH2DH，

••・当DE+EH=DH时,/)£+£//最小.

DH-5.

此时。、E、H三点共线且DH_L.x轴，

点尸的坐标为(0,3|与点C重合，满足EF在线段8c上.

；.DEiOF的最小值为5.

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，二次函数与一次函数交点

问题，二次函数与特殊四边形问题，两点之间线段最短，勾股定理，解题的关犍是添加适当的辅助线，通

过数形结合的思想求解：

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BCCEa

24.RtA/8C和RiADEC中，/"8=/0C£=90°,-=—=-.

【初步感知】

（1）如图I,若*=1,连接,则与/无'之间的数量关系是—，位置关系是；（直接写

0

出结论，不写推理过程）

（2）如图2,若"1，将"COE绕点。旋转，设直线住与交于点M,与交于点N,试确定

D

.40与/火之间的数量关系和位置关系，并说明理由；

⑶如图3,当点。在R58c内部，且//CD="8C时，球T-75C=凡连接

，4D,BE,作CF_L8E于点R交40于点G,求FG的长.

图3

BEa

【答案】（1）,4D=8E,ADLBE；Q）数量关系：方=工，位置关系：AD工BE,理由见解析；（3）

ADD

137

,30

【解析】

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【分析】（1）证明&KD（SAS）,则,4。=BE,ZCSE=ZC.4D,再由对顶角结合互余的性

质证明/018E；

（2）证明△8CESA/C0,则笑二线=:,ZCBE=ZC.4D,,再由对顶角结合互余的性质证明

ADACn

AD上BE;

（3）先求出“=10,CD=y,过点/作CO平行线交CG延长线于点〃，则〃=/〃，过点£作

8c延长线垂线，垂足为点J,证明ABC£SAC4H,则0£=££=些=2,求出=即可

CAAHC/I43

证明丝aOGClAAS）,piiCG=GH=,证明N£CJ=2ABC,则lan/£CJ二tanZ^^C

,求出E/=5，CJ=—,则=3C+CJ=?，那么由勾股定理得BE二JBJ，+J£?二］0，再对

5105

21

aBCE运用面积法求解CF=历，最后由FG=CG-CF求解即可.

【详解】（1）解：如图，

BC=