二次根式及其性质（六大题型）（题型训练+易错训练）解析版-2024人教版八年级数学下册

专题01二次根式及其性质

（六大题型）

•题限梳理

【题型1二次根式的识别】........................................................1

【题型2求二次根式的值】........................................................1

【题型3求二次根式中的参数】...................................................2

【题型4二次根式有意义的条件】.................................................2

【题型5利用二次根式的性质化简】...............................................2

【题型6数轴与二次根式的化简】..................................................3

端专题训练

【题型1二次根式的识双】

1.下列各式中，是二次根式的是（）

K蟒VF+3V2%-1（X<1）

A.B.C.D.

2.下列各式一定是二次根式的是（）

Vx—2CVTV5

A.B.C.D.

3.下列各式中，不一定是二次根式的是（）

yp-CL（CL<0）y/a2-2fl+1Va2+1\Q，

A.B.C.D.

③④啊⑤滂其中一定是二次根

4.给出下列式子：①四②E；

式的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【题型2求二次根式的值】

L计算：）

A.25B.35C.45D.55

Y-1JTr+7

2.当=时，二次根式的值为（）

+2-2

A.B.2C.D.

屈

3.的值在（)

A.1至1」2之间B.2到3之间C.3到4之间D.4到5之间

yjn2+4

4.代数式的最小直为

计算心8）2的结果是

5.

6.化简:

【题型3求二次根式中的参数】

1.已知45万是整数，则正整数6的最小值是（）

A.1B.2C.3D.4

2.如果‘3+2m是一个正整数,则整数机的值可以是（

)

A.0B.3C.D.

3.若“、满足1"+"+传弓=°，则

4.二次根式12b+1与而刁的和为0,则0+'的值为

【题型4二次根式有意义的条件】

1.式子在实数范围内有意义,则〃的值可以是（）

A.B.0C.4D.6

_\la-17+2V17—a=b+8Q-b

2.己知,则的算术平方根是)

±3±5

A.B.3C.5D.

3.若二次根式x有意义，则的取值范围是,

【题型5利用二次根式的性质化简】

1.化简(⑥的结果是()

2.5

A.5B.25C.D.10

2.化简JV的结果是（）

—6+6「巡

A.B.6C.D.

3.化简师二'+而二’的结果是（）

1-17-7

A.B.C.D.

l（a+l）~=-a—1Q

4.若7,则的值可以是（）

-2

A.4B.2C.0D.

1<m<5<（1—m）〜+|m—5|

5.已知，化简：V的结果为（）

A.3B.4C.5D.6

6.已知-="一+则"的取值范围是（）

a>4a<4a>4a<4

A.B.C.D.

【题型6数轴与二次根式的化简】

1.实数相对应的点在数轴上的位置如图，则化简小（巾—2产+J（m—7产的结果为（）

111।111A

T0123m4

2m—9—59—2m

A.B.C.5D.

|a-2|+I（a—4产

2.已知实数。在数轴上的位置如图所示，则化简：7的结果为（）

a

[][\一

0

A.2B.-2C.2a-6D.・2a+6

3.如图中是实数。、b在数轴上的对应点的位置，化简m+切+一b产的结果是（）

111.

a0b

-2a—b—2a+b-2b—2a

A.B.C.D.

Qblb—al—，庐

4.实数、在数轴上对应点的位置如图，则卬a，的结果是.

ab0^

实数。，人在数轴上对应点的位置如图所示，化简(b—a—2)

5.的结果是.

h

-3-2-1012

易错擢醒

1.若二次根式V"-8在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

x>8x>8x>0%<8

A.B.C.D.

2.把,根号外的因式移入根号内,

下列结果正确的是（)

—\fa-yJ—Q

A.B.C.D.

3.若3,4,〃为三角形的三边长，则化简J.-—的结果为

()

6-62n-88-2n

A.

―..a*b、c

4.已知

a2c-a2b-a

A.cB.c.D.

专题01二次根式及其性质

(六大题型)

余题型J梳理_____________________________________

【题型1二次根式的识别】........................................................1

【题型2求二次根式的值1....................................................................................3

【题型3求二次根式中的参数】....................................................5

【题型4二次根式有意义的条件】..................................................6

【题型5利用二次根式的性质化简】...............................................8

【题型6数轴与二次根式的化简】..................................................10

jj专题训练

【题型1二次根式的识别】

1.下列各式中，是二次根式的是()

口狗VF+3V2x-l(x<i)

A.B.C.D.

【答案】C

【分析】本题考查了二次根式的识别，二次根式有意义的条件，解题关键是掌握上述知

识点并能熟练运用求解.

根据二次根式的定义，需满足被开方数非负且根指数为2.选项A被开方数为负，选项

B根指数不为2,选项D在给定条件下被开方数为负，只有选项C的被开方数恒为正，

符合定义.

【详解】解：二次根式定义为8(°20),且根指数为2.

,—6—6<0

，被开方数，故A不符合；

，根指数为3,故B不符合;

0

0

□犷+3之3>°,且根指数为2,故c符合;

则

迎口且f2x-1<0〜

，被开方数小于0,故D不符合.

故选：c.

2.下列各式一定是二次根式的是（）

y/x-2D.小

A.B.

【答案】D

【分析】本题主要考查了二次根式，关键是掌握二次根式定义，根据形如近9-0）的

式子叫作二次根式进行分析即可.

x—2

【详解】解：不一定是非负数，故A选项不符合题意,

“不一定是非负数，故B选项不符合题意,

-7<0

,故C选项不符合题意,

5>0,“是二次根式，故D选项符合题意,

故选：D.

3.下列各式中，不一定是二次根式的是（）

7=^（。£0）Va2-2a+lD,而

A•B.C.

【答案】D

业@？°）的式子叫二次根式.

【分析】本题考查了二次根式的定义，形如

根据二次根式的定义逐一判断即可.

Qv0—a>0网"°）是二次根式;

【详解】A.当一时一，即

2

Va—2a+1=1（（X_1））">0Ca?—2a+1

B.,即是二次根式;

22

c.a+1>0,即va+1是二次根式；

3

D.当a<0时a<0，即v不一定是二次根式；

故选：D.

4妗中天利中字①展②V~4③Va-+1④V%⑤"甘由，七息一出俎

4.给出下列式子：；：；；，其中一定是一次根

式的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】本题考查了二次根式的定义，需满足根指数为2且被开方数非负.逐一分析各

选项即可.

8>0

t详解】①v：根指数为2,被开方数，符合二次根式定义.

A/—4~4<0

@:被开方数为，无意义，不是二次根式.

③"a"1：根指数为2,且砂+1皂1>°恒成立，无论‘取何值均成立，一

定是二次根式.

_y/2a2a2a>0a>0a

④：根指数为2,但被开方数需满足一，即一.由于的

取值未限定，无法保证恒成立，故不一定是二次根式.

⑤：根指数为3,属于三次根式，不是二次根式.

故选B.

【题型2求二次根式的值】

V

1.计算：-v/2025=（）

A.25B.35C.45D.55

【答案】C

V2025

【分析】本题考查二次根式的化简，直接计算的值即可.

72025=45

【详解】解:

故选：C.

2.当”=一1时，二次根式匹”的值为（）

+2—2V2

A.B.2C.D.

【答案】B

【分析】本题主要考杳了二次根式的基本性质及化简，二次根式的定义，把代

入原式化简即可.

【详解】解：当时，原式=J3x（-l）+7="=2

故选:B.

3.v的值在（）

A.1到2之间B.2到3之间C.3到4之间D.4到5之间

【答案】D

【分析】首先确定v的范围，根据二次根式的性质即可得出答案.

>/T6<V19<V23

【详解】解:

4<V19<5

故选：D.

【点睛】本题考查了有理数的大小比较和二次根式的性质的应用，知道:

V16=4\^25=5

9•

+4

4.代数式v的最小道为.

【答案】2

【分析】根据二次根式成立的条件即可解答.

n2>0

【详解】解：根据题意可得一，

n2+4>4

Vn2+4>=2

-F4

0的最小值为2,

故答案为:

【点睛】本题考查了二次根式成立的条件，热练掌握和运用二次根式成立的条件是解决

本题的关键.

5.计算斤"*的结果是

【答案】8

【分析】根据二次根式去根号法则：一网计算即可.

=|-8|=8

【详解】

故答案为：8.

【点睛】本题考查了二次根式，熟练运用二次根式去根号法则是解题关键.

6价nj（百一=

6.化简：丫______.

■田g-5-y/3

【答案】

【分析】利用‘溪=同解答即可.

J®5）2

=|V3-5|

【详解】=53

故答案为：5.

【点睛】本题主要考杳了二次根式的计算，属于基础题，熟练掌握‘港=㈤是解

题关键.

【题型3求二次根式中的参数】

1.已知‘1s行是整数，则正整数机的最小值是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本题考查了求二次根式中的参数，以及二次根式的性质，把18分解成平方数

与另一个因数相乘的形式是解题的关键.

根据二次根式的性质进行整理分析，即可解题.

r他，用418=3?x2

【洋解】解：因为，

所以师=3面

因为^整数，

所以正整数机的最小值是2.

故选：B.

2.如果‘3+2m是一个正整数,则整数〃?的值可以是（）

-6-2

A.0B.3C.D.

【答案】B

【分析】本题考查了二次根式的性质与化简.把每个选项中的，〃的值代入二次根式化

简即可.

、［，m=03+2m=3,，3+2m=V3,,.....

【详解】解：A、当时，，不是一个正整H数，

故此选项不符合题意；

m=33+2m=9,，3+2m=V?=3「的鲂

B、当时，，是一个正整数，故此选项

符合题意：

C、当桁=一6时，3+2讥=-9,EH=口，没有意义，故此选项不符

合题意：

D、当巾=一2时，3+2m=-l,EH=V=I没有意义，故此选项不符

合题意；

故选：B.

xylx+11+Jl-y=0xy=

3.若「满足।1v丫，则.

【答案】1

【分析】本题考查了代数式求值，非负数的性质：掌握几个非负数的和为0,则这几个

非负数分别等于0,并正确得出未知数的值是解题的关键.根据非负数的性质列出方程

求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可.

|x+l|+V2^y=0

【详解】解:

x+1=02—y=0

，，

x=—1y=2

，，

炉=（-1厂=1

故答案为：

Ja—1a+力

4.二次根式V与"的和为0,则的值为.

1

【答案】2/0.5

+1+7a—1=0

【分析】本题考查了二次根式的非负性，求整式的值；可得，

Q—1=02b+1=0ab

由二次根式的非负性得，，求出和，代值即可

求解；理解二次根式的非负性v—（-）是解题的关键.

【详解】解：由题意得

V2b+1+Va77!=0

a-1=02b+1=0

，，

/，Q=1小一：

解得：，2,

a+b

1

=1--

―

2

9

1

故答案：2.

【题型4二次根式有意义的条件】

1.式子在实数范围内有意义，则。的值可以是（）

一3

A.B.0C.4D.6

【答案】D

【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式在实数范围内有意义的条件

是被开方数非负.据此求解即可.

\/0—5

【详解】解：•.・在实数范围内有意义，

a-5>0a>5

,即

-3<50<54<5.…

选项A.,B.,C.,均不满足；

6>5

选项D.一，满足.

故选D.

2.己知行F+2s7?=b+8,则"%算术平方根是（）

+3+5

A.B.3C.5D.

【答案】C

【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握二次根式中被开方数为非负数是解决问

题的关键.

aa—b

根据二次根式的被开方数非负，确定的值，进而求出b的值，再计算的

算术平方根.

Qa—17\/17-Q

【详解】解：回和都有意义,

a-17>017-a>0

团且，

Q=17

a=17Va_17=0V17—a=0

当时，，

=0+2x0=0

0方程左边

0=b+8

0

d=-8

回

a—b=25

a

0。一'的算术平方根为\[2S=5

故选：C.

3.若二次根式丁有意义，则”的取值范围是

2

3X*0

【答案】3且

【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件

一。和x*0

是被开方数非负，同时分母不能为零，因此需满足23%2，联立

求解即可.

另二次根式一7""有意义,

【详解】解:

2

2—3x>0

团被开方数~，解得

X工0

分母

2

%<;£H0

0的取值范围是3且

2

%H0

故答案为3只

【题型5利用二次根式的性质化简】

（灼2

1.化简'的结果是（）

2.5

A.5B.25C.D.10

【答案】A

（ny=a

［分析】本题主要考查二次根式的性质.根据二次根式的性质计算即可.

(百)2=5

【详解】解:

故选：A

2.化简,（一6）的结果是（）

-6±6

A.B.6C.D.

【答案】B

【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟知二次根式的被开方数是非负数是

"=划，结果应为非负数.

解题的关键.根据算术平方根的定义,

Q(-=>/36=6

【详解】解:

故选：B.

3.化简JO一切2+J，k-4、的结果是（

)

7

A.B.C.D.

【答案】A

【分析】本题考查的知识点是二次根式的性质，解题关键是熟练掌握二次根式性质

1。一团

根据二次根式性质即可得解.

v3<n<4

【详解】解:

J(3—yr)2+JGT—4)2=|3-n|+|n-4|=TT—3+4—rr=l

故选:

/(G+1)2=—a,—1a

4.若9,则的值可以是()

A.4B.2C.0D.

【答案】D

【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简即可求得结果，掌握二

次根式的性质是解题为关键.

W+l)2-a—1=—(a+1)

【详解】解：0

a+1<0

(3

a<—1

即

只有选项D符合题意,

故选：D.

1<?n<5(1-+|m—5|

5.已知，化简：的结果为()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】本题考查了二次根式及绝对值的化简，熟记化简规则

a(a>0)

V?=|a|=

一网。£0)即可.

【详解】解：0l<m<5

1—m<0,m—5<0

0

=|1-m|4-|m-5|=m-l+5-m=4

(3原式

故选：B

6.已知"a一守=a-4,则°的取值范围是(

)

a>4a<4a>4a<4

A.B.C.D.

【答案】C

a-4>0

【分析】此题考查了二次根式的性质，根据二次根式是非负数得到,即

可得到“的取值范围.

【详解】解：0姓"4)2=1"4|="4

a-4>0

团

a>4

回

故选：C

【题型6数轴与二次根式的化简】

1.实数相对应的点在数轴上的位置如图，则化简4m-2尸+/（m-7F的结果为（）

I11।111A

-I0I23m4

2m—9—59—2m

A.B.C.5D.

【答案】C

【分析】根据实数切对应的点在数轴上的位置得小的取值范围，即可进行化简求

值.

【详解】解：根据实数相对应的点在数轴上的位置得3cm<4,

m—2>0,?n-7<0

a,

-2>+-7F=-2|+|m—7|=m-2+7-m=5

故选：c

【点睛】此题考查了算术平方根，熟练算术平方根的性质是解题的关键.

2.已知实数。在数轴上的位置如图所示，则化简：7的结果为（）

0

A.2B.-2C.2a-6D.-2a+6

【答案】A

【分析［根据数轴即可确定。的范围,然后根据绝对值和二次根式的性质得出

a-2>0a-4<0

,再化简即可.

2<a<4

【详解】解：根据数轴可以得到:

a-2>0a-4<0

回，

|a—2|+I(a—4)'=a—2+(4—a)=2

回

故选：A.

Q—2>0

【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，以及绝对值的性质，得出，

a—4<0

是解题的关键.

3.如图中是实数在数轴上的对应点的位置，化简口+切+的结果是（）

111.

Q0b

-2a—b—2a+b-2b—2a

A.B.C.D.

【答案】D

【分析】根据数轴上点的位置确定出。+匕与的正负，原式利用二次根式性质

⑷=同及绝对值的代数意义化简即可求出值.

【详解】解：根据数轴上点的位置得：a<O<b,

^a+b<0,a-b<0,

|Q+b|+-b）2=-a-b+b-a=-2a

故答案为：D.

【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，以及实数与数轴，熟练掌握各自的性质是

解本题的关键.

Qblb—al—，庐

4.实数、在数轴上对应点的位置如图，则卬a，的结果是.

ab0^

2b—a—a+2力

【答案】i

【分析】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握绝对值的性质和二次

a<b<Q

根式的性质.由数轴得出，根据绝对，直性质和二次根式的性质化简即可.

a<b<0

【详解】解：由数轴得

b-a>0

\b—a|=b-a-|b|=b-a-(-b)=b-a+b=2b-a

2b-a

故答案为:

—

aJ(ab)”—{b-Q—2)

5.实数,b在数轴上对应点的位置如图所示，化简V的结果是.

-3-2-1012

【答案】2

【分析】本题考查了数轴上的点位置、化简二次根式、整式的加减运算法则等知识点,

熟练掌握和运用各运算法则是解题的关键.

—3<a<-2,0<b<la—b<0

先由实数"、匕在数轴上的位置可得，则，再

根据二次根式的性质化简，最后根据整式的加减法则求解即可.

-3<a<-2,0</?<1

【详解】解：由实数。、人在数轴上的位置.，可得

a-b<Q

回

j(a-b)2-