2026年高考物理二轮复习（培优版）计算题培优2 带电粒子在电磁场中的运动（含答案）

计算题培优2带电粒子在电磁场中的运动

一、带电粒子在组合场中的运动

।.带电粒子的“电偏转”和“磁偏转”的比较

磁偏转电偏转

纥

!；*—£—H•：、

Ji

情景图E

进入磁场时速度与磁

进入日土场时迓度方向

垂直进入磁场场有一定夹角垂直进入电场

与电工勿有一淀:夹〕第

FB=qvOB,尸8大小不

变，方向变化，方向

受力F=q\x）Bs\n0FE=qE,任大小、方向均不变，尸E为恒力

总指向圆心，尸8为变

力

类斜抛运动

类平抛运动

螺旋式运动0LvA=vosin8,vv=vocos8-

匀速圆周运动

运动规律3=圈Vx=Vo»V尸争当

j_muo^_2nmRm

Bq'Bq2

螺距x=v（）cos0-t尸龄x=vosin产v（）cos

八1qE2

2m

2.常见运动及处理方法

电场中

带

电

粒

子

在

分

离

的

电

场

磁

场

中

的

运

助

磁场中

例1（2025•河南卷・15）如图，水立虚线上为区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，下力区域有竖直向上

的匀强电场。质量为〃?、带电荷量为成4>0）的粒子从磁场中的。点以速度如向右水平发射，当粒子进

入电场时其速度沿右下方向并与水平虚线的夹角为60。，然后粒子又射出电场重新进入磁场并通过右侧

b点,通过。点时其速度方向水平向右。。、。到水平虚线的距离均为小两点之间的距离为5=3次〃。

不计重力。

::黜：I：：皮＞.

MII

(1)求磁感应强度的大小；

⑵求电场强度的大小；

(3)若粒子从。点以次)竖直向下发射，长时间来看，粒子将向左或向右漂移，求漂移速度大小。(一个周

期内粒子的位移与周期的比值为漂移速度)

答案⑴鬻⑵嘴⑶4s联

2qn2qh8n+6v3

解析(1)根据题意可知，画出粒子的运动轨迹，如图甲所示

由题意可知公60。

设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r,由几何关系有Leos

解得r=2h

由牛顿第二定.律有外归=m包-

解得B芈

2qn

(2)根据题意，由对称性可知，粒子射出电场时，速度大小仍为小,方向与水平虚线的夹角为60。，由几何

关系可得AB=s-2rsin0=y[3h

在电场中，粒子在垂直电场方向做匀速直线运动，则粒子在电场中的运动时间片」、二幽1

VQCOSOVQ

粒子沿电场方向做匀加速直线运动，由牛顿第二定律有6/£＞机〃

由运动学公式有-vosin火。片y()sin0

联立解得后嘤

2qh

(3)作出粒子在磁场和电场中运动的部分轨迹，如图乙所示

乙

设粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为。粒子在磁场、电场中的运动具有周期性，在一个实际运动的

周期厂内，粒子在磁场中运动的时间

30_T+2^T=2T①

360036003

7①上X3二独②

VQVQqBqB

联立①②解得/尸霁

3（/0

将B聋代人可得f产产

2qh3v0

粒子在电场中运动一次的时间乃满足

争得哈

将所累代入可得'2二誉

根据困乙中的几何关系可知，一个周期内粒子运动的位移（以向右为正方向）%=0。产百万

说明经过一个周期后粒子运动到初始位置右侧，则漂移速度大，:、口区二具二包叫。

Titi+t28n+6V3

H提炼总结

“5步”突破带电粒子在组合场中的运动问题

（3万迹）》要清是场的性质、方向、强弱、范围等

带电粒子依次通过不同场区时，由受力

情况确定粒子在不同区域的运动情况

C嬴逋＞一正确地画出粒子的运动轨迹图

一_工_根据区域和运动规律的不同，将粒子

②规在〉一。运动的过程划分为几个不同的阶段，对

不同的阶段选取不同的规律处理

小:-一要明确带电粒子通过不同场区的交界处

G竺壑尸时速度大小和方向关系，上一个区域的

末速度往往是下一个区域的初速度

例2（2025•山东青岛市一检）如图所示，X。），平面直角坐标系中，在第二象限内存在垂直纸面向外的圆

形匀强磁场区域，Oi为圆心，半径为几磁场边界与两坐标轴相切；），W0区域内交替分布宽度均为d

的匀通电场和匀强磁场，其边界均与x轴平行，匀强电场的电场强度大小为瓦，方向沿y轴负方向，

匀强磁场的磁感应强度大小为国,方向垂直于纸面向里。一质量为，〃、电荷量为”的带电粒子，从圆

形边界上的P点以初速度出射入滋场，夕。|马x轴平行，物与尸。1夹角a=60。。粒子射出圆形磁场瞬

间，在）＞0区域内加上沿），轴正方向的匀强电场（图中未画出）。己知圆形磁场的磁感应强度大小为

翳，），＞0区域内匀强电场的电场强度大小为噤，不计粒子重力。

X5

(1)求粒子在圆形磁场区域做圆周运动的半径；

(2)求粒子离开圆形磁场区域后，到达x轴的速度人小;

(3)求粒子穿出区域内第二个电场时速度方向与竖直方向夹角的正弦值；

(4)若粒子到达)，W0区域内某个磁场下边界时，速度方向恰好沿x轴正方向，求此时速度大小。

答案⑴R(2)0⑶号展(4)鲁

解析(1)粒子在第二象限圆形磁场中，

v2

有qwB尸

其中B尸学

解得r=R

(2)如困甲所示

由几何关系得粒子射出圆形磁场时距高x轴d产R(I-cosa)

粒子从射出圆形磁场到x轴，由动能定理得-qE\d14〃2

解得v=0

(3)粒子在)忘0区域第一个电场中加速，由动能定理得=，w/

粒子在)W0区域第一个磁场中，有q\\B()=n

如图乙所示

由几何关系得Asin0\=d

粒子在区域经历两个电场加运，有ZqEodugmUz?,visin。尸也sin仇

解得疝6若底

(4)设粒子在第〃个磁场下边界的速度为外，粒子在)，＜0区域整个向下运动过程中，由动能定理得

〃心止鼻/〃17n

水平方向由动量定理得qvyBot=mvr

其中Vyt=nd

解得犷善

80

S思维建模

正则动量定理的应用

利用动量定理即洛伦兹力的冲量等于速度的动量变化，把粒子某一方向的位移和垂直该方向的速度变化联

系起来。具体用法如下:

①/产〃?(vA-vA)=/2?Avt=-^BV、△匚-qBA、或-qBby=mbvv

②Iy=m(vy'-4)=〃?

qB^x=m^vy

二、带电粒子在立体空间中的运动

带电粒子在立体空间中的运动问题，往往通过降维思想进行简化，常见示例及解题策略如下表:

运动类型解题策略

在三维坐标系中运动，每个轴方向将粒子的运动分解为三个方向的

都是常见运动模型运动

螺旋式运动：将粒子的运动分解

为一个轴方向的匀速直线运动或

一维加一面，如螺旋式运动

匀变速直线运动和垂直该轴所在

面内的匀速圆周运动

把粒子运动所在的面隔离出来，

运动所在平面切换，粒子进入下一

转换视图角度，把立体图转化为

区域偏转后运动凯迹曲线不在原来

平面图，分析粒了在每个面的运

的平面内

动

例3（2024・湖南卷・14）如图，有一内半径为2八长为L的圆筒，左右端面圆心O、O处各开有一小

孔。以O为坐标原点，取O'O方向为x轴正方向建立孙z坐标系。在筒内xWO区域有一匀强磁场，磁

感应强度大小为8,方向沿x轴正方向：筒外xNO区域有一匀强电场，场强大小为E,方向沿），轴正

方向c一电子枪在O'处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在X0，平面内，且在x轴正方

向的分速度大小均为物。已知电子的质量为〃7、电量为e,设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间

的相互作用及电子的重力。

(1)若所有电子均能经过。进入电场，求磁感应强度B的最小值；

(2)取(1)问中最小的磁感应强度从若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为仇求tan。

的绝对值；

(3)取U)问中最小的磁感应强度以求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。

27T2/%2m

答案(1声詈

⑵答⑶:EeL2

解析(1)电子在匀强磁场中运动时，将其分解为沿x轴的匀速直线运动和在y0z平面内的匀速圆周运动,

设电子入射时沿y轴的分速度大小为Vy,由电子在文轴方向做匀速直线运动得L=vot

在.y。平面内，设电子做匀速圆周运动的半径为R,周期为了，

由牛顿第二定律知Bev=m—

'vR

可得口=吧=—=—

Be'TVyBe

若所有电子均能经过。进入电场，则有

t=nT(n=\,2,3,…)

联立得8二军吗

eL

当〃=1时，8有最小值，可得

_27rmv0

dmin-eL'

(2)将也子的速度分解，有tan柒上

vo

。最大时，tan。有最大值，即为最大,

此时Rmax=詈空=心

e^min

联立可得vw=2手，tan月平

LL

⑶当心最大时，电子在电场中运动时沿y轴正方向有最大位移)，m,

根据匀变速直线运动规律有

V二皿

2a

由牛顿第二定律知听竺

m

2712r2Vo27n

联立得并产

EeL2

例4(2025•江西省一模)在如图所示的三维坐标系中，)，<0区域内有沿z轴负方向的匀强也场I,在

z>0和y>0区域内有沿x轴正方向的匀强磁场I,在zvO,)>0区域内有沿)，轴正方向的匀强电场H和

匀强破场H,两磁场的磁感应强度大小相同，在)，轴负半轴上坐标为(0,-24,0)的户点向yOz平面内

射出一个质量为用、电荷量为夕的带正电的粒子，粒子恰好从z轴上坐标为(0,0,4)的。点沿)，轴正

方向进入磁场i,经磁场i偏转后，垂直)，轴进入磁场n、电场n,粒子从p点射出的速度大小为

V0，粒子笫二次进磁场I时的速度人小也为小,不计粒子的重力。

⑴求匀强电场I的电场强度大小巴；

(2)求匀强电场II的电场强度大小E2;

(3)若粒子第一次经过磁场I的偏转经过)，轴后，立即将磁场【的方向反向，并调整磁场I的大小，使

得粒子第二次经过磁场【的偏转后恰好垂直xOz平面进入电场I,求改变后的磁场1的磁感应强度大

小与原磁场磁感应强度大小之比。

答案(嗒(2黑⑶鼻

解析(1)设粒子从P点射出的速度沿Z轴正方向的分速度为上沿)，轴正方向的分速度为5则占京二区

2d=vyt

解得于匕

由于与2+七2二均2

解得旷片条0

则粒子在。点的速度大小VQ=~V()

根据动能定理-夕上1心：〃《22〃?％2

解得E尸嘿

4qd

(2)由于粒子第一次经磁场I偏转后以垂直于y轴进入磁场1I,因此粒子经过)，轴的位置坐标为(()，dt0),

做圆周运动的半径r尸d

粒子第一次在磁场H和电场II中的运动由以小为半径的匀速圆周运动和沿电场II方向的初速度为零的匀加

速直线运动组成，则粒子从进入磁场n到第二次进磁场I的时间r=^-=—,由于粒子第二次进磁场I时

的速度大小仍为％,则粒子沿电场H方向分运动的末速度大小也为丑物，则有‘物二些T

22m

解得E户空/

〜2ttqd

⑶设原磁场I的磁感应强度大小为8,根据题意有＞(/=〃?¥，解得8=学?。根据题意可知，粒子第二

er/qa

次进磁场I时的速度与)，Oz平面平行，且速度与)，轴正方向、z轴正方向的夹角均为45。：第二次进磁场【

的位置坐标尸H|X,，(/=(呜)/设粒子第二次在磁场I中做圆周运动的半径为门，根据题意可知

r2=V2.v=V2(1+^)d

2

设改变后的磁场I的磁感应强度大小为B',根据洛伦兹力提供向心力qwB'=〃3

r2

解得B'二v晨2(l+盘-)qd〃

^-=—o

B2+1Z

三、带电粒子在叠加场中的运动

I.三种典型运动

（1）匀速直线运动

①只有两个场，所受合力为零。例如电场与磁场叠加满足4后夕1/时，重力场与磁场叠加满足mg=qi，8

时，重力场与电场叠加满足mg=qE时。

②三场共存，所受合力为零，其中洛伦兹力产的方向与速度口垂直。

（2）匀速圆周运动：三场共存，mg=qE,粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即qvB=m^o

（3）摆线运动：

①条件：在磁场和电场，磁场与重力场，磁场、电场与重力场叠加场中，磁场与电场（或重力场）正

交，粒子速度为零或速度与磁场方向垂直。

②运动分析：粒子在洛伦兹力、静电力（或重力）的作用下的运动，研究某个点的运动，其轨迹可以描

述为一个圆沿一条直线滚动时，圆上某点所经过的轨迹。

③求解方法：

a.利用配速法，将粒子的运动分解为•个匀速直线运动和•个圆周运动的合运动。

b.运用动量定理和动能定理求解。

2.分析思路

例5（2025・贵州卷・15）如图所示，工轴水平向右，z轴竖直向上，y轴垂直纸面向里（图中未画出），在

XOZ平面里有竖直向上的匀强电场上，在2=2。的平面下方存在垂直纸面向里的匀强磁场8,z=zo的平面

上方有垂直纸面向里的匀强磁场劭（未知）。有一带正电的粒子，质量为〃?，从坐标原点。出发，沿x

轴正方向以速度v射出后做圆周运动，其中为=孚，3尸吗P点坐标为（萼，0,0）o已如重力加速度

5gqv5g

为g，粒子电荷量为夕，sin37°=0.6,sin53°=0.8o

(1)求电场强度后的大小及该粒子第•次经过z=zo平面时的位置对应的X坐标值；

(2)当该带电粒子沿工轴正方向飞出到达P点时间最小时，求的大小；

⑶若将电场E改成沿)，轴正方向，粒子同样从坐标原点O沿x轴以速度u射出，求粒子的轨迹方程。

答案(|)%《(2)山。)产账

q5gqv2v£

解析(1)由题意可知，粒子受到重力、洛伦兹力和静电力做匀速圆周运动，可以判断粒子受到的静电力与

重力平衡，则mg=Eq

解得£=心

q

粒子做匀速圆周运动，圆周运动轨迹如图甲所示

洛伦兹力提供向心力得q国产〃笆

解得粒子运动的轨道半径/?!=-

9

根据圆周运动轨迹，由几何关系得一+(%-z°)2=A/

代入数据解得£二空。

5g

(2)粒子做匀速圆周运动，可能的运动枕迹如图乙所示

设粒子进入&磁场中速度方向与磁场分界面成夕角，由几何关系可得cos(900-6>)=^

可解得e53。

设粒子在助磁场中运动的轨道半径为R?,根据圆周运动轨迹可知粒子运动到尸点应满足〃(2Rsind2/?2sin

夕)=萼，且〃>2

当〃取最小值时，运动时间最短。所以当〃:3时，运动时间最短，代入R的值解得&二B

根据q\'B=n^

联立可得昆二38尸也里

即当该带电粒子沿X轴正方向飞出到达P点时间最小时，生的大小为陋。

QV

(3)若将电场方向改为沿)，轴正方向，由哽力分析，粒子受到沿2轴正方向的洛伦兹力、沿Z结负方向的重

力、沿)，轴正方向的电场力，根据8尸吗

qu

解得粒子受到的洛伦兹力大小为尸日叫

正好与重力相平衡，所以粒子在)，轴正方向做匀加速直线运动，有尸3F

由牛顿第二定律有Eq=ma

粒子在x轴正方向做匀速直线运动，有4W

联立解得轨迹方程尸］。

例6(2025•甘肃酒泉市一模)如图所示，MMPQ为带电金属板，金属板间电压为U,板间距离为

2d,同时板间有方向垂直于纸面I可里的匀强磁场。一束带正电粒子以平行于金属板的速度出自。点射

入复合场区域，恰好沿直线通过金属板。已知O为MP的中点，金属板足够长，带电粒子的比荷

2

&二号，不计带电粒子的重力及它们之间的相互作用，求：

mU

++++

x«

x?XX

XXXX

P----Q

(1)匀强磁场的磁感应强度大小B；

(2)若仅撤去电场，带电粒子将打在金属板上且被金属板吸收，则此位置距金属板左端的距离及粒子在

磁场中运动的时间；

(3)若仅将金属板间电压变为;U,则带电粒子在两板间运动的最大速率以及沿电场线方向上的最大偏移

量。

答案⑴悬⑵后等(3a°|d

ZuVQ5VQ35

解析(1)带电粒子能沿直线通过金属板，

有q詈qwB

解得B==

2dv0

(2)带电粒子在匀强磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有伏()8刁〃华

解得R=2d

带电粒子向上偏转，设打在MN板上距M端x处，由几何关系有炉

解得x=y/3d

带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期

-2nR4nd

7=——=——

v0v0

设此过程所对应的圆心角为仇有

sin()=-=—

R2

解得比60。

则带电粒子在＞1强磁场中的运动时间

e丁2nd

/=---T=---

36003v0

(3)通过配速法，使静电力与洛伦兹力平衡，

十7U

有磕二伙由n

解得Vl=-Vo

6

即将带电粒子的初速度W分解为向右的

7

V|=-V(i

O

和向左的V2=-Vo

6

如图所示

qu3

了嬴一

、/

,、、…J

则带电粒子在两板间运动的最大速率Vm=Vi+V2=^Vo

带电粒子做匀速圆周运动的半径

因2季d

例7(2025・湖南卷・14)如图，直流电源的电动势为a，内阻为ro,滑动变阻器R的最大阻值为2八)，平

行板电容器两极板水平放置，板间距离为d,板长为旧4平行板电容器的右侧存在方向垂直纸面向里

的匀强磁场。闭合开关S,当滑片处于滑动变阻器中点时，质量为〃?的带正电粒子以初速度钝水平向

右从电容器左侧中点。进入电容器，恰好从电容器下极板右侧边缘人点进入磁场，随后又从电容器上

极板右侧边缘c点进入电容器，忽略粒子重力和空气阻力。

⑴求粒子所带电荷量夕：

(2)求磁感应强度B的大小；

(3)若粒子离开8点时♦，在平行板电容器的右侧再加一个方向水平向右的匀强电场，电场强度大小为

噤，求粒子相对于电容器右侧的最远水平距离Xm。

答案⑴嘤(2)^⑶空警

解析(1)闭合开关S,当滑片处于滑动变阻器中点时，由串并联电路规律可得电容器两极板间的电压为

U=—^—E()=———Eo=-Eo

R+r02r0+r03

粒子从4点进入电容器后，在电容器中受到静电力的作用，做类平抛运动，设粒子从〃点运动到〃点的时

间为；，则在水平方向由运动学公式有次户

在竖jL方向由牛顿第二定律有37=’,仅

由运动学公式有/=

联立解解行噢

fc0

(2)设粒子经过点时的速度大小为也速度方向与水平方向的夹角为〃，则由平抛运动的推论可知tan

6t2X-1-=—

V3d3

则外30。

由几何关系可知口=*=这也

cos03

粒子进入磁场后在磁场中做匀速圆周运动，设粒子在磁场中的运动半径为乙作出粒子从。点运动到C点

的运动轨迹如图所示

由几何关系可知厂就李

在磁场中由洛伦兹力提供向心力有qvB=nv^

联立解得畸

(3)解法一配速法在平行板电容器的右侧再加一个方向水平向右的匀强电场，则粒子在平行板电容器的

右侧不仅受到洛伦兹力的作用，还受到水平向右的静电力的作月，则可将粒子在〃点的速度分解，如图乙

所示，使竖直向上的分速度也产生的洛伦兹力刚好平衡静电力的作用，则有qv】B=Eq

可仔vi=D-=—JV0

由于月和v的大小相等，则由几何关系可知粒子在b点的另一分速度也=2ucos30。=2y0,方向与竖:直方向的

夹角为30°,则粒子在平行板电容器右侧的运动可分解为速率为也的竖直向上的匀速直线运动和速率为v2

的匀速圆周运动，设粒子做匀速圆周分运动的半径为，，则由洛伦兹力提供向心力有＞28=/召

解得r'=d

作出粒子圆周分运动的大致轨迹如图丙所示

r

由几何关系可知xm=rcus30。十尸二”〃

解法二正则动量法当粒子的速度方向竖直向上时，粒子相对于电容器右侧的水平距离最大，设此时速

度大小为规定竖直向上为正方向，则对粒子从人点运动到该位置的过程，在竖直方向上由动量定理有

£(/Vv^A/=/nv-(-/z/vsin300)

即qBxm=mv-(-/??vsin30°)

对粒子从〃点运动到该位置的过程，由动能定理有Eqxm^im^-z-inxr

22

联立可得而产名/小

3思维建模

配速法的应用

(1)配速法要领

先分解出一个速度产生洛伦兹力与重力(或^电力、或重力和静电力的合力)平衡，并以这个速度做匀速直

线运动，另外一个分速度产生洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动。

(2)配速法解题流程

确定粒子的运动为受重力或静电力同时受重力和静

摆线运动.受力分析、（以受势电力为例）电力

确定狰电力（或重力,XX

B.E

或重力与酢电力的XIX“'二”：

LNF八

合力）1qE一XmgX”

画出一个与夕£（或

qE与mg的合力F*）

平衡的洛伦兹力，并q弋5

确定对应的速度小,—»

J日

因为qE=qu、B（或产合,qE

mg

气必8）,以切做匀速直

线运动

画出如，利用平行四

边形定则或三角形内・・・厉

%=（）/

定则把以分解为必和

v2,由药产生的洛伦中

兹力提供向心力吐、如6

做匀速阊周运动，如斜向下时—*如水平向右时

这样摆线运动就可

夕

以分解为以“I的匀

速直线运动和以为

如竖立向下时如竖直向上时

的匀速囿周运动

（3）常见问题

①求粒子的最大速度

当吸与也同向时速度最大Vmax=V|+V2o

②求粒子经过坐标轴的坐标

根据圆周运动规律，求出粒子一个周期内经过坐标轴所用时间，考虑周期性，写出经过坐标轴的所有时间

通式，计算出圆周运动的位移和匀速直线运动的位移的矢量和。

计算题培优练4带电粒子在组合场中的运动

［分值：25分］

1.（11分）（2025•安徽省一模）如图所示，沿x轴方向每间隔仁0.1m就有匀强电场和匀强磁场的交替分布，坐

标原点处有一带正电粒子，由静止释放。已知匀强电场方向均向右，电场强度大小均为E=1DN/C；匀强磁

场方向均垂直纸面向里，磁感应强度大小均为B=IT,带电粒子比荷5=2C/kg,粒子重力不计，求:

（1）（2分）粒子通过第一个电场区域后的速度大小V.：

（2）（5分）粒子通过第〃个磁场区域后竖直方向的速度大小期.；

（3）（4分）粒子运动的水平位移的最大值A-.no

答案(1)2m/s(2)0.2〃m/s(〃=l,2,3…)

(3)20m

解析(1)粒子通过第一个电场区域后，由动能定理跖户》必2

解得V1=怪运=2m/s

7m

(2)设粒子通过第〃个电场区域后，速度大小为外,粒子即将进入第〃个磁场区域，在磁场区域内，粒子做

匀速圆周运动，设轨迹半径为「〃，根据洛伦兹力提供向心力0店=吧匚如图所示，由几何关系可得为sin

夕力Rina=