2026年北京第一次高中学业水平考试数学试卷真题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2026年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷考生须知1.考生要认真填写考场号和座位序号.2.本试卷共6页，分为两部分：第一部分为选择题，共54分；第二部分为非选择题，共46分.3､试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分必须用2B铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答.4.考试结束后，考生应将试卷､答题卡放在桌面上，待监考员收回.第一部分（选择题共54分）一､选择题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．已知，则下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．3．函数的定义域是（

）A． B． C． D．4．下列函数中，在区间上单调递减的是（

）A． B．C． D．5．已知函数，则（

）A．0 B．1 C．3 D．6．已知，则可以是（

）A．0 B． C． D．7．在空间中，若直线平面，直线平面，则与（

）A．相交B．平行C．是异面直线D．可能平行，也可能是异面直线8．已知向量，则（

）A． B．C． D．9．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度10．若实数满足，则的最大值是（

）A．4 B．6 C．7 D．911．如图，在平行四边形中，，则（

）A．3 B．4 C．5 D．712．某快递公司的取件码由8位数字组成，每一位置的数字随机选自，则取件码末位数字是奇数的概率是（

）A． B． C． D．13．如图，已知正方体的棱长为，则三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．14．已知，则（

）A． B． C． D．215．已知函数，则“”是“存在零点”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16．已知为等边三角形的中心，则（

）A． B． C． D．17．函数在人工智能领域有广泛应用．对于函数，下列结论正确的是（

）A．的定义域为B．是偶函数C．当时，D．当时，18．七巧板是我国的一种传统益智玩具，由七块板组成，用它们可以拼出丰富的图案.如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形由七巧板拼成（①②③⑤⑦均为等腰直角三角形，④为正方形，⑥为平行四边形）.若对数函数的图象经过这七个点中的两个点，则（

）A．2 B． C． D．第二部分（非选择题共46分）二､填空题共3小题，每小题4分，共12分.19．已知复数，则__________.20．两组各有4位同学，他们某周的课外运动时长（单位：）记录如下：A组5678B组689①设两组同学该周课外运动时长的平均数分别为，则__________；（填“”“”或“”）②设两组同学该周课外运动时长的方差分别为，则__________.（填“”“”或“<”）21．已知函数.给出下列三个结论：①；②；③.其中所有正确结论的序号是__________.三､解答题共4小题，共34分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.22．已知函数.(1)写出的最小正周期；(2)求在区间上的最小值.23．阅读下面题目及其解答过程.已知函数（1）判断是否为奇函数，并说明理由；（2）求的最小值.解：（1）因为，所以__________①，所以______②奇函数.（2）当时，，所以在区间__________③.所以__________④；当时，，所以__________⑤，所以的最小值为__________⑥.以上题目的解答过程中，设置了①~⑥六个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理!请选出符合逻辑推理的选项，并填写在答题卡的指定位置.（只需填写“A”或“B”）空格序号选项①（A）（B）②（A）是（B）不是③（A）单调递增（B）单调递减④（A）（B）⑤（A）（B）⑥（A）（B）24．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形.(1)求证：平面；(2)在直线上是否存在点，使得？说明理由.25．已知集合中恰有个元素是奇数.若是偶数，则称为“分偶集合”.(1)判断和是否为“分偶集合”；（结论无需证明）(2)若对任意的均为“分偶集合”，写出的三个取值；(3)设.若中任意两个元素之和均不等于1，且是偶数，判断是否可能为“分偶集合”，并说明理由.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．C【详解】因为，所以.2．B【分析】ACD可取特例证伪，对于B，由不等号的传递性即可证明.【详解】对于A，若则原式不成立，故A错误；对于B，，即，故B正确；对于C，若则原式不成立，故C错误；对于D，若则原式不成立，故D错误；3．C【详解】因为，所以的取值范围是，则定义域为：.4．C【详解】对于A：在上单调递增，所以A错误；对于B：在上单调递增，所以B错误；对于C：在上单调递减，所以C正确；对于D：在上单调递增，所以D错误.5．A【详解】因为，所以.6．C【详解】因为，所以，当时，.7．D【详解】由题意，在空间中，直线与没有公共点，即与不相交，则与可能平行，也可能是异面直线.8．B【详解】对于A，，A错；对于B，，B对；对于C，，所以，C错；对于D，，D错.9．A【详解】根据图形平移变换“左加右减”的规则，可得：向左平移一个单位得到的图像.10．D【分析】使用换元法将转化为关于的二次函数，再根据二次函数图象性质即可求解.【详解】因为，则，则，设，易得是开口向下的二次函数，对称轴为，则.11．D【分析】利用余弦定理直接求解即可.【详解】在中，，由余弦定理可得.12．B【详解】设末位数字是奇数为事件，则末位数字可以为：，共10种情况，而末位数字为奇数的情况有：，共5种情况，所以末位数字是奇数的概率.13．A【分析】借助体积公式计算即可得.【详解】.14．D【分析】借助诱导公式计算即可得.【详解】.15．A【分析】根据零点的定义计算即可.【详解】存在零点等价于有解，因为，故，所以是存在零点的充分不必要条件.16．C【详解】如图所示，作BC中点D，则，因为为等边三角形的中心，则，所以，，，则.17．D【详解】选项A：分母中，对任意实数都有意义，故的定义域为，故A错误；选项B：，，，故不是偶函数，故B错误；选项C：当时，，，，故C错误；选项D：当时，，，，即，故D正确．18．B【分析】先确定点的坐标，再代入计算判断求解.【详解】因为正方形的边长为4，则，当时，函数的图象只经过一个点，不合题意；当时，函数的图象经过两个点，符合题意；当时，函数的图象不经过点，不符合题意；当时，函数的图象不经过点，不符合题意；所以当对数函数的图象经过这七个点中的两个点，则.19．【分析】由复数的加法运算即可求解.【详解】由题意得.20．【详解】易知两组同学该周课外运动时长的平均数分别为，所以；两组同学该周课外运动时长的方差分别为，，所以，因此.21．①②③【分析】由三角函数的周期性结合诱导公式即可判断①②，对于③，额外讨论的正负并结合辅助角公式即可求解.【详解】①，故①正确；②，，所以，故②正确；③若，即，则，则，此时，若，即，则，则，此时，综上，，故③正确.22．(1)(2)【详解】（1）的最小正周期；（2）由，可得.则当或，即或时，取得最小值．23．（1）①A

②B（2）③B

④A

⑤B

⑥B【详解】因为，所以不满足奇函数的要求，即：，即：，所以不是奇函数；因为是分段函数，所以需要分段分析图象的特点，当时，，在区间上为对称轴是的抛物线，且开口朝上，所以在区间上单调递减，所以在该区间上；当时，，在区间上为底数是2的指数函数，所以在区间上单调递增，，所以；综上所述，的最小值为.24．(1)证明见解析(2)当点与点重合时，，理由见解析【分析】（1）由题意得，由线面平行的判定即可求证平面；（2）由题意可得平面，由线面垂直的性质可得，所以当点与点重合时，得证.【详解】（1）因为底面为正方形，所以.又平面平面，所以平面.（2）在直线上存在点，使得，证明如下：因为底面为正方形，所以，因为平面，所以，又平面，平面，，所以平面.因为平面，所以.所以当点与点重合时，.25．(1)不是“分偶集合”，是“分偶集合”.(2)（答案不唯一）；(3)不可能为“分偶集合”，理由见解析【分析】（1）根据定义可得答案；（2）根据定义举出例子即可；（3）分类讨论，推出矛盾，得到结论【详解】（1）不是“分偶集合”，是“分偶集合”.理由如下：中有3个元素是奇数，不是偶数，故不是“分偶集合”；中有4个元素是奇数，2为偶数，故是“分偶集合”.（2）对任意的均为“分偶集合”，其中为奇数，故一个为偶数，一个为奇数，故对任意的，一奇一偶，故为奇数，