导数与函数的单调性2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.3.1函数的单调性选修第二册

第五章《一元函数的导数及其应用》5.3导数在研究函数中的应用基本初等函数的导数公式表导数的四则运算法则复合函数的求导法则y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.逐层求导可推广至n层复合函数求导1.导数正负与函数单调性的关系探究1：函数的单调性与导数正负的关系观察下列函数图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系.x∈(-∞,0)时，f'(x)=2x<0f(x)在R上单调递增f(x)在(-∞,0)上单调递减x∈R时，f'(x)=1>0x∈(0,+∞)时，f'(x)=2x>0f(x)在(0,+∞)上单调递增xyOf(x)＝xxyOf(x)＝x2xyOf(x)＝x3x∈(-∞,0)时，f'(x)=3x2>0f(x)在(-∞,0)上单调递增x∈(0,+∞)时，f'(x)=3x2>0f(x)在(0,+∞)上单调递增探究1：函数的单调性与导数正负的关系观察下列函数图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系.

f(x)在(-∞,0)上单调递减

xyOf(x)在(-∞,0)上单调递减探究1：函数的单调性与导数正负的关系为什么函数的单调性与导数的正负之间有这样的关系？在x=x1处，f(x1)<0；函数f(x)的图象在x1附近递减切线呈“左上右下”式下降在区间I上，f′(x)<0在区间I上，f(x)单调递减函数f(x)的图象在x0附近递增在区间I上，f′(x)>0在区间I上，f(x)单调递增在x=x0处，f(x0)>0；切线呈“左下右上”式上升新知1：函数f(x)的单调性与导数f′(x)正负的关系在某个区间(a,b)内,若f'(x)>0，则函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递增;若f'(x)<0，则函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递减.注：①若在某个区间内恒有f'(x)=0，则函数y=f(x)有什么特性?f(x)是常函数.xyOf(x)＝x3②f′(x)>0是f(x)单调递增的充分不必要条件.如：f(x)=x3在R上单调递增，

而f'(x)≥0.(当且仅当x=0时f'(x)=0)巩固1：利用导数判断函数的单调性导学：P80巩固2：利用导数求函数的单调性(三次函数)x(﹣∞,﹣1)﹣1(﹣1,2)2(2,+∞)f′(x)f(x)+0﹣+0单调递增单调递减单调递增巩固2：利用导数求函数的单调性(三次函数)利用导数判断函数单调性的步骤：①求f(x)的定义域;②求f'(x);③令f'(x)>0得增区间，令f'(x)<0得减区间.巩固2：利用导数求函数的单调性例1.利用导数判断下列函数的单调性，并画出大致图象：性质法：增+增=增,奇函数观察法：注：③函数f(x)的单调区间有多个时一般用“和”连接，不能用“∪”巩固1：利用导数判断函数的单调性例1.利用导数判断下列函数的单调性，并画出大致图象：提升：利用导数判断函数的单调性提升：利用导数判断函数的单调性提升：利用导数求函数的单调区间提升：导数图象与函数图象的关系[变式3](全优)已知函数f(x)=x2+2cosx，若f

′(x)是f(x)的导函数，则f

′(x)的图象大致是().知识要点回顾1.f′(x)正负与f(x)的单调性的关系：在区间I内,若f'(x)>0，则f(x)在区间I内单调递增；若f'(x)<0，则f(x)在区间I内单调递减.2.利用导数判断函数单调性的步骤：①求f(x)的定义域;②求f'(x);

③判断f'(x)的正负得f(x)的单调性.3.导数图象与函数图象的关系：①给f(x)找f'(x)：看f(x)的增减得f'(x)的正负；②给f'(x)找f(x)：看f'(x)的正负得f(x)的增减；