2025-2026学年上海上外附外高二上学期数学期末试卷（含答案）

上外附外2025-2026学年第一学期高二年级数学期末一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1．若组合数满足，则正整数.

2．在空间直角坐标系中，已知点.设为线段的中点，则向量.

3．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，则点到轴的距离为.4．某校开设4门知识类选修课和3门技能类选修课.学生需从中选修2门，且至少包含一门知识类选修课，则不同的选课方案共有种.

5．已知正四棱锥的底面边长为6，高为4，则这个正四棱锥的侧面积为.

6．已知圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，圆柱的高和底面直径均为，则这个球的体积为.

7．如图所示，为梯形，，，现在将这个图形绕着直线旋转一周，得到一个几何体，那么这个几何体的体积是.

8．已知直线，若过点的直线与直线的夹角大小为，则直线的方程为.

9．某校举办中学生模拟联合国大会，参会代表按地域分为亚太、欧洲、非洲、美洲4个不同团组.现需将5名志愿者（甲、乙、丙、丁、戊）全部安排到这4个团组担任接引工作，每个团组至少安排1人，则不同的安排方案共有种.

10．地球可近似视为半径为的球体.已知我国的冰城哈尔滨市与意大利的都灵市的地理坐标分别约为北纬、东经和北纬、东经.若将两地视为同一纬度圈上的两点，则它们在该纬度圈上所对应的劣弧长度为.（用含的式子表示）11．二、选择题（共4题，第13,14题每题4分，第15,16题每题5分，共18分）

13．2025年12月，国产AI视频生成模型＂通义万相＂上线＂角色一致性＂功能，支持在多个场景中保持主角形象不变.现有5个互不相同的场景模板，需从中选出3个并按顺序生成短视频，每个模板至多使用一次.则不同的生成方案共有（）.

A.10B.60C.120D.125

14．已知圆的方程为，点为圆内一定点，若过点的弦满足为弦的中点，则直线的方程为（）.

A.B.C.D.

15．已知一个圆锥的侧面积为，体积为，则该圆锥的母线长为（）.

A.B.C.D.

16．设点是等轴双曲线上的任意一点，为坐标原点.考虑以下两个命题：命题①：过点作该双曲线的切线，分别与两条渐近线交于点，则的面积为定值；命题②：过点分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为，则线段的最小值为.下列判断正确的是（）.

A.命题①和命题②都正确B.命题①正确，命题②错误

C.命题①错误，命题②正确D.命题①和命题②都错误三、解答题（共5题，满分78分）

17．（本题满分12分）已知椭圆，其离心率，点为椭圆的上顶点.

（1）求椭圆的标准方程；（5分）

（2）若为椭圆上的一个动点，求的最大值.（7分）

18．（本题满分14分）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，对角线与相交于点.已知，且为等边三角形.

（1）求证：平面；（7分）

（2）过点作平面，使得，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.（7分）

19．（本题满分16分）已知抛物线，过点作直线与知物线交于两点（点异于原点）.

（1）若，求直线的方程；（8分）

（2）若向量关系满足（其中为坐标原点），求直线的方程.（8分）

20．（本题满分18分）如图20-1所示，已知与满足：，，二面角的大小为为线段的中点.

（1）证明：平面平面；（4分）

（2）求点到平面的距离；（6分）（3）如图20－2所示，若点满足平面且平面，求六面体的体积.（8分）

21．（本题满分18分）已知抛物线与椭圆有一个公共焦点.

（1）当椭圆经过两点和时，求椭圆和抛物线的方程.（4分）

（2）若抛物线与椭圆在第一象限和第四象限内的交点分别为和为坐标原点，记由曲线与构成的曲线为.

i．已知是曲线上的动点，求的最小值；（6分）

ii．已知为的重心，在曲线上还存在异于的点、，使得的重心也为.证明：、中有且只有两点在抛物线上，且这两点在同一象限内.（8分）

参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.11.已知双曲线的方程为，其左、右焦点分别为为该双曲线上第一象限内的点，且，则的内切圆圆心坐标为.

【解析】如右图所示，由双曲线定义及勾股定理，有，由切线的性质，可有，其中解得，故，故所求坐标为或利用双曲线焦点三角形的内切圆圆心在过第三点所在支的顶点且垂直于对称轴的直线上及直角三角形的内切圆半径为两直角边的和与斜边的差的一半12.在空间中有两个定点，点满足，且。平面与平面互相垂直，，且.则异面直线与所成角的余弦值为.

【解析】取的中点，连接，易有平面，故，设与所成的角为，则有二、选择题13.B14.A15.C16.A16．设点是等轴双曲线上的任意一点，为坐标原点.考虑以下两个命题：命题①：过点作该双曲线的切线，分别与两条渐近线交于点，则的面积为定值；命题②：过点分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为，则线段的最小值为.下列判断正确的是（）.

A.命题①和命题②都正确B.命题①正确，命题②错误

C.命题①错误，命题②正确D.命题①和命题②都错误【答案】A【解析】命题①：对于等轴双曲线，其渐近线方程为.

设点，因为点在双曲线上，所以.

对双曲线方程两边同时对求导，根据求导公式可得：，则，所以在点处的切线斜率，根据点斜式方程可得切线方程为，即.

联立切线方程与渐近线方程，可得，将代入得，即，解得，则，所以.

联立切线方程与渐近线方程，可得，将代入得，即，解得，则，所以.

因为两点在渐近线上，所以，则的面积.

根据两点间距离公式，可得.

所以，又因为，所以，为定值.因此，命题①正确.命题②：设点，因为点在双曲线上，所以.

点到渐近线的距离，根据两直线垂直斜率之积为-1，可知过点且与渐近线垂直的直线方程为，即.

联立，解得，所以.

点到渐近线的距离，过点且与渐近线垂直的直线方程为即联立，解得根据两点间距离公式可得：因为，即，所以

因为，所以当时，取得最小值，因此，命题②正确.故选A.三、解答题17.（1）可有，故椭圆方程为（2）设，则18.（1）提示：证与全等（2）以为原点，分别为轴的正向建立空间直角坐标系则易有所以由知为平面的一个法向量，设为平面的一个法向量，则由可有，令，可有所以所以，所求余弦值为19.（1）设，与抛物线方程联立，根据有，结合韦达定理可解出又过点，可有（2）20．【答案】（1）提示：证明平面（2）过作的垂线，易知即为点