2025-2026学年上海市西中学高二上学期数学期末试卷（含答案）

市西中学2025-2026学年第一学期高二年级数学期末一、填空题（本大题满分54分，共有12题，请在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每题填对得4分，7-12题每题填对得5分）1.直线的倾斜角为______．2.不等式的解集为______．3.椭圆的短轴长为______．4.数列为等比数列，，公比，则______．5.已知圆锥的底面半径为3，母线长为9，则该圆锥的体积为______．6.已知直线与圆，则圆截直线所得的弦长为______．7.设，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是______．8.已知在中，，，，则______．9.已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，则球的表面积为______．10.已知圆和圆内切，若直线既与圆相切，也与圆相切，则直线的斜率为______．11.粽子是我国南北各地的节令食品，因各地风俗不同，粽子的形状和食材也会不同．有一种各面都是正三角形的正四面体形粽子，若该正四面体粽子的棱长为，则现有体积的食材，最多可以包成这种粽子______个．12.已知椭圆的左、右焦点分别为，以为直径作圆，若椭圆与圆有四个不同的交点，且该四个交点恰为一个面积为的矩形的四个顶点，则椭圆的离心率为______．二、选择题（本大题满分18分，共有4题，每题有且只有一个正确答案，请在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13、14题选对得4分，15、16题选对得5分）13.设，则“”是“是实数”的______条件.A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分又不必要14.如图，平行六面体中，与交点为．设，，，则与相等的向量是______．A. B.C. D.（第14题）（第15题）15.如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面2米，水面宽6米，那么当水位上升1米时，水面宽度为______米．A. B. C. D.16.如图，平面中两条直线和相交于点，所成角的大小为．对于平面上任意一点，若、分别是到直线和的距离，则称有序非负实数对是点的“距离坐标”．给出下列命题：命题甲：“距离坐标”为的点有且仅有4个；命题乙：所有满足的点在一个以O为圆心的圆上．下列结论正确的是______．A.甲、乙均为真命题 B.甲、乙均为假命题C.甲为真命题，乙为假命题 D.甲为假命题，乙为真命题三、解答题（本大题满分78分，共有5题，请在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤，若需添加辅助线，请用黑色字迹钢笔或水笔添画在答题纸上）17.（本题14分）已知点，，．（1）（7分）求外接圆的一般方程．（2）（7分）为坐标原点，求直线与直线夹角的余弦值．18.（本题14分）已知函数，．（1）（6分）若函数是偶函数，求实数的值．（2）（8分）若，将方程的所有正数解从小到大排列，构成数列，其前项和为，求的值．19.（本题14分）如图，已知是正四棱柱，点是侧棱上的一点．（1）（6分）证明：直线直线．（2）（8分）若是中点，且直线与平面所成角的大小为，求二面角的大小．20.（本题18分）已知椭圆的左右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，且是正三角形．（1）（4分）求椭圆的标准方程．（2）（7分）已知点，若对于椭圆上任意一点，均有，求实数的取值范围．（3）（7分）是否存在椭圆上两个不同的点，使得两点关于直线对称？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．21.（本题18分）在空间直角坐标系中，已知圆柱下底面的圆心为坐标原点，旋转轴为轴，底面半径为1，高为2，点为该圆柱侧面（含上、下底面圆周）上的点．（1）（4分）写出点在平面上的投影的坐标，并证明：．（2）（6分）已知点，，在平面上，若，求点到平面的距离的最大值．（3）（8分）已知当时，点的轨迹是一个椭圆．求该椭圆所在平面的一个法向量及该椭圆的两个焦点的坐标．

参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.11.粽子是我国南北各地的节令食品，因各地风俗不同，粽子的形状和食材也会不同．有一种各面都是正三角形的正四面体形粽子，若该正四面体粽子的棱长为，则现有体积的食材，最多可以包成这种粽子______个．【答案】【解析】设为的中心，连接，如图所示：

因为，解得，所以，

所以，

因为，所以最多可以包成这种粽子111个．故答案为：111．二、选择题13.C14.B15.A16.C15.如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面2米，水面宽6米，那么当水位上升1米时，水面宽度为______米．A. B. C. D.【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系，由题意可知，椭圆的长半轴长，短半轴长，所以椭圆方程为：，

令得，，故水面的宽度为：，故选：．三、解答题17.（1）