北师大版（2024）七年级下册 第四章 三角形 单元测试（含答案）

北师大版（2024）七年级下册第四章三角形单元测试一、选择题1.如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，若AB=5，CF=3，则BD的长是（A.2B.1.5C.1D.0.52.已知图中的两个三角形全等，则a+b﹣c是（）A.3B.4C.5D.73.三角形三个内角的度数分别是（x+y）°，（x-y）°，x°，且x＞y＞0，则该三角形有一个内角为（）A.30°B.45°C.90°D.60°4.下列图中不具有稳定性是（

）A.B.C.D.5.如图，O是AB的中点，要用角边角（ASA）来判定△OAC≌△OBD需要添加一个条件，下列条件正确的是（）A.∠A=∠BB.AC=BDC.∠C=∠DD.CO=DO6.如图，是一块三角形木板的残余部分，量得∠A=100°，∠B=40°，这块三角形木板另外一个角∠C的度数为（）A.30°B.40°C.50°D.60°7.如图，工具房有一个方形框架，小华发现它很容易变形，以下加固方案最好的是（）A.B.C.D.8.如图，已知∠1=∠2，添加下列条件，不能判定△ABD≌△ACD的是()A.AD⊥BCB.AD平分∠C.E为BC的中点D.AB=AC9.如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，AB=CD=10，∠DAC+∠BCA=180°，∠BAC+∠A.25B.40C.50D.10010.如图，△ABC的面积为40，AD平分∠BAC，AD⊥BD于D，连接CD，则△ACDA.10B.15C.20D.2511.如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点A，B，C均在格点上，则∠ACB=（）A.100°B.120°C.125°D.135°12.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，CD是△ABC的角平分线，AE⊥CD于点E，连接BE，AB=6，AC=8，BC=10，则△ABE的面积是（A.9B.2C.12D.24二、填空题13.在一个三角形中，三个内角的度数之比为1：5：6，则这个三角形是

三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）14.如图，∠ACB=∠DFE，BC=EF，用AAS判定△ABC≌△DEF，则需要补充一个条件，这个条件是

.15.如图所示的网格为正方形网格，则∠2−∠1=____°．

16.如图，BE⊥AE，CF⊥BE，垂足分别为E，F，D是线段EF的中点，CF=BF，若AE=4，DE=3，则△ABC的面积是

．17.[问题提出]图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张a×b的方格纸（a×b的方格纸指边长分别为a，b的矩形，被分成a×b个边长为1的小正方形，其中a≥2，b≥2，且a，b为正整数）．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？[问题探究]为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最较简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．探究一：把图①放置在2×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图③，对于2×2的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有4种不同的放置方法．探究二：把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图④，在3×2的方格纸中，共可以找到2个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有2×4＝8种不同的放置方法．探究三：把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图⑤，在a×2的方格纸中，共可以找到

个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有

种不同的放置方法．探究四：把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图⑥，在a×3的方格纸中，共可以找到

个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，

种不同的放置方法．[问题解决]把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有

种不同的放置方法．[问题拓展]如图，图⑦是一个由4个棱长为1的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为a，b，c（a＞2，b＞2，c＞2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体，在图⑧的不同位置共可以找到

个图⑦这样的几何体．三、解答题18.如图，△ABC≌△BAD，请指出两个全等三角形的对应边和对应角．

19.在利用一元一次方程解决问题时，借助表格和示意图可以直观分析问题，使问题中的数量关系更加清晰．实际上，借助图表直观分析数量关系，往往是解决问题的一种重要策略．我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》（1299年）一书中有一道题目是：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”译文是：快马每天走240里，慢马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？[直观分析]（1）设快马x天可以追上慢马，请你将如下的线段图补充完整；[解决问题]（2）根据（1）中线段图所反映的数量关系，列方程解决问题．20.如图，小明和小华两家位于A，B两处，隔河相望．要测得两家之间的距离AB，两人分别设计了不同的方案：小明设计的方案：如图，从点B出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取CD＝BC，过点D作DE∥AB，取点E使E，C，A在同一条直线上，则DE的长就是A，B两点间的距离；小华设计的方案：如图，在B点同侧选择一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠MBC＝75°，∠MCB＝35°，此时测得MB的长就是A，B两点间的距离．请你分别说明两人设计方案的道理．21.如图，阅读下列材料，回答问题．[任务]如图1，测量车祸现场A、B两点之间的距离．车祸现场因保护需要，测量不能进入场内．[工具]如图2，一把皮尺（测量长度略小于AB的两倍）和一个量角器，皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；量角器的功能是测量180°以内的角．除笔纸和上述工具外，再无任何工具可借用．小明利用皮尺测量，求出了车祸现场A、B两点之间的距离，测量及求解过程如下：①[测量过程]如图3，在车祸场地外选点C，测量AC=2a米，取AC中点O，测量OB=b米，并将皮尺延长至D，使OD=OB=b米，测量CD=c米．②[求解过程]由测量知，OA=OC=a，OB=OD=b，∵∠AOB=∠COD，∴△OAB≌△OCD，答：A、B两点之间的距离为c米．(1)小明求得AB，用到的几何知识是____________________；(2)小明仅利用皮尺，通过4次测量，求得AB．请你同时利用皮尺和量角器，通过测量长度（用字母a、b、c…表示）和角度（用字母α、β表示），并利用初二年上学期所学知识，求出车祸现场A、B两点之间的距离，并写出你的测量及求解过程．22.已知，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、CD边上的点．且∠EAF=12∠(1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当∠B=∠D=90°，小宁探究此问题的方法是：延长EB到点G，使BG=DF，连接AG，请你补全小宁的解题思路：先证明△ABG≌

；再证明△AEG≌

；即可得出线段BE、EF、FD之间的数量关系是(2)如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠(3)在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC、CD所在直线上的点，且∠EAF=北师大版（2024）七年级下册第四章三角形单元测试（参考答案）一、选择题1.如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，若AB=5，CF=3，则BD的长是（A.2B.1.5C.1D.0.5【答案】A【解析】解：∵FC∥∴∠A=∠ECF∵DE=FE，∴△ADE≌∴AD=CF，∵AB=5，CF=3，∴BD=AB−AD=AB−CF=5−3=2；故选：A．2.已知图中的两个三角形全等，则a+b﹣c是（）A.3B.4C.5D.7【答案】C【解析】解：∵两个三角形全等，∴a＝6，b＝4，c＝5，∴a+b﹣c＝6+4﹣5＝5，故选：C．3.三角形三个内角的度数分别是（x+y）°，（x-y）°，x°，且x＞y＞0，则该三角形有一个内角为（）A.30°B.45°C.90°D.60°【答案】D【解析】解：∵三个内角的度数分别是（x+y）°，（x-y）°，x°，三角形内角和为180°，∴x+y+x-y+x=180，∴3x=180，x=60，故选D．4.下列图中不具有稳定性是（

）A.B.C.D.【答案】B【解析】解：由三角形的稳定性、四边形的不稳定性可知，含有四边形，不具有稳定性，故选：B．5.如图，O是AB的中点，要用角边角（ASA）来判定△OAC≌△OBD需要添加一个条件，下列条件正确的是（）A.∠A=∠BB.AC=BDC.∠C=∠DD.CO=DO【答案】A【解析】解：添加∠A=∠B，∵O是AB的中点，∴AO=BO，在△ACO和△BDO中，∠A=∠B,OA=OB,∠AOC=∠BOD，∴△OAC≌△OBD（ASA），故选A．6.如图，是一块三角形木板的残余部分，量得∠A=100°，∠B=40°，这块三角形木板另外一个角∠C的度数为（）A.30°B.40°C.50°D.60°【答案】B【解析】解：∵△ABC中，∠A=100°，∠B=40°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-100°-40°=40°．7.如图，工具房有一个方形框架，小华发现它很容易变形，以下加固方案最好的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】解：根据三角形的稳定性可得D是最好的加固方案．故选：D．8.如图，已知∠1=∠2，添加下列条件，不能判定△ABD≌△ACD的是()A.AD⊥BCB.AD平分∠C.E为BC的中点D.AB=AC【答案】B【解析】解：∵∠1=∠2，∴BD=CD，而AD=AD，∴当添加AD⊥BC时，∠DEB=∠DEC=90°，则∠BDA=∠当添加AD平分∠BAC时，∠BAD=∠CAD，不能判断当添加E为BC的中点时，DE⊥BC，∠DEB=∠DEC=90°，则∠BDA=∠当添加AB=AC时，所以△ABD≌△ACD(SSS)，所以D故选：B．9.如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，AB=CD=10，∠DAC+∠BCA=180°，∠BAC+∠A.25B.40C.50D.100【答案】C【解析】解：如图，延长BC到点E，使得CE=AD，∵∠DAC+又∵∠ECA+∴∠ECA=在△ACD和△CAE中，AC=CA∠DAC=∠ECA∴△ACD≌△CAESAS∴AE=CD=10，∠CAE=∠ACD∵∠BAC+∴∠BAC+∠CAE=90°∴S△ABE∴四边形ABCD的面积S=S故选：C．10.如图，△ABC的面积为40，AD平分∠BAC，AD⊥BD于D，连接CD，则△ACDA.10B.15C.20D.25【答案】C【解析】解：延长BD、AC交于点E，∵AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D∴∠BAD=∠EAD，∠ADB=∠ADE=90°∴在△ABD和ΔAED中，∠BAD=∠EADAD=AD∴△ABD≌△AED(ASA∴AB=AE，BD=DE，∴S△ABD=∵△ABC的面积为40，∴S∴S故选：C．11.如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点A，B，C均在格点上，则∠ACB=（）A.100°B.120°C.125°D.135°【答案】D【解析】解：如图所示：结合网格特征∴NC=DM=DH，AN=CM=BH，∴∠∴△ANC≌△CMD，△CMD≌△BHD∴∠NCA=∠∴∠同理得∠∵CD=DB∴∠∴∠故选：D12.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，CD是△ABC的角平分线，AE⊥CD于点E，连接BE，AB=6，AC=8，BC=10，则△ABE的面积是（A.9B.2C.12D.24【答案】C【解析】解：延长AE交BC于点F，作AM⊥BC与点M，如图所示，∵AE⊥CD，CD是△ABC的角平分线∴∠AEC=∠在△AEC和△FEC中∠AEC=∠FEC∴△AEC≌△FEC∴AE=EF，FC=AC∵∠BAC=90°，AB=6，AC=8，∴BF=BC−FC=BC−AC=10−8=2∵∴AM=∴∵AE=EF∴故选：C．二、填空题13.在一个三角形中，三个内角的度数之比为1：5：6，则这个三角形是

三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）【答案】直角．【解析】解：根据题意得：三角形的最大角度数＝180°×61+5+6∴这个三角形是直角三角形．故答案为：直角．14.如图，∠ACB=∠DFE，BC=EF，用AAS判定△ABC≌△DEF，则需要补充一个条件，这个条件是

.【答案】∠A=∠D【解析】解：要使△ABC≌△DEF，根据AAS判定，两角及其一角的对边分别对应相等，添加∠A=∠D，可判定全等.15.如图所示的网格为正方形网格，则∠2−∠1=____°．

【答案】90【解析】解：∵△ABC和△CDE中，AC=CE=2∠ACB=∠CED=90°∴△ABC≌△CDESAS∴∠1=∠3，∵∠2是△CDE的一个外角，∴∠2=∠3+∠CED即∠2=∠3+90°，∴∠2=∠1+90°，∴∠2−∠1=90°．故答案为：90

16.如图，BE⊥AE，CF⊥BE，垂足分别为E，F，D是线段EF的中点，CF=BF，若AE=4，DE=3，则△ABC的面积是

．【答案】28【解析】解：∵BE⊥AE，CF⊥BE，∴∠E=∵DE=DF，∠ADE=∴△ADE≌∴AE=CF=4，∵CF=BF，∴BF=4，∴BE=2DE+BF=6+4=10，∴△ABC的面积======28，故答案为：28．17.[问题提出]图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张a×b的方格纸（a×b的方格纸指边长分别为a，b的矩形，被分成a×b个边长为1的小正方形，其中a≥2，b≥2，且a，b为正整数）．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？[问题探究]为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最较简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．探究一：把图①放置在2×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图③，对于2×2的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有4种不同的放置方法．探究二：把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图④，在3×2的方格纸中，共可以找到2个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有2×4＝8种不同的放置方法．探究三：把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图⑤，在a×2的方格纸中，共可以找到

个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有

种不同的放置方法．探究四：把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图⑥，在a×3的方格纸中，共可以找到

个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，

种不同的放置方法．[问题解决]把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有

种不同的放置方法．[问题拓展]如图，图⑦是一个由4个棱长为1的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为a，b，c（a＞2，b＞2，c＞2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体，在图⑧的不同位置共可以找到

个图⑦这样的几何体．【答案】解：探究三：根据探究二，a×2的方格纸中，共可以找到（a﹣1）个位置不同的2×2方格，根据探究一结论可知，每个2×2方格中有4种放置方法，所以在a×2的方格纸中，共可以找到（a﹣1）×4＝（4a﹣4）种不同的放置方法．故答案为：（a﹣1），（4a﹣4）；探究四：与探究三相比，本题矩形的宽改变了，可以沿用上一问的思路：边长为a，有（a﹣1）条边长为2的线段，同理，边长为3，则有3﹣1＝2条边长为2的线段，所以在a×3的方格中，可以找到2（a﹣1）＝（2a﹣2）个位置不同的2×2方格，根据探究一，在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有（2a﹣2）×4＝（8a﹣8）种不同的放置方法．故答案为：（2a﹣2），（8a﹣8）；问题解决：在a×b的方格纸中，共可以找到（a﹣1）（b﹣1）个位置不同的2×2方格，依照探究一的结论可知，把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有4（a﹣1）（b﹣1）种不同的放置方法．问题拓展：发现图⑦示是棱长为2的正方体中的一部分，利用前面的思路，这个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则分别可以找到（a﹣1）、（b﹣1）、（c﹣1）条边长为2的线段，所以在a×b×c的长方体共可以找到（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）个位置不同的2×2×2的正方体，再根据探究一类比发现，每个2×2×2的正方体有8种放置方法，所以在a×b×c的长方体中共可以找到8（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）个图⑦这样的几何体．故答案为：8（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）．三、解答题18.如图，△ABC≌△BAD，请指出两个全等三角形的对应边和对应角．

【答案】解：∵△ABC≌△BAD，∴对应边：AB与BA，BC与AD，AC与BD；对应角：∠CAB与∠DBA，∠ABC与∠BAD，19.在利用一元一次方程解决问题时，借助表格和示意图可以直观分析问题，使问题中的数量关系更加清晰．实际上，借助图表直观分析数量关系，往往是解决问题的一种重要策略．我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》（1299年）一书中有一道题目是：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”译文是：快马每天走240里，慢马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？[直观分析]（1）设快马x天可以追上慢马，请你将如下的线段图补充完整；[解决问题]（2）根据（1）中线段图所反映的数量关系，列方程解决问题．【答案】解：（1）补充线段图如下：（2）12×150+150x＝240x，解得x＝20，答：快马20天可以追上慢马．20.如图，小明和小华两家位于A，B两处，隔河相望．要测得两家之间的距离AB，两人分别设计了不同的方案：小明设计的方案：如图，从点B出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取CD＝BC，过点D作DE∥AB，取点E使E，C，A在同一条直线上，则DE的长就是A，B两点间的距离；小华设计的方案：如图，在B点同侧选择一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠MBC＝75°，∠MCB＝35°，此时测得MB的长就是A，B两点间的距离．请你分别说明两人设计方案的道理．【答案】解：∵DE∥AB，∴∠A＝∠E，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（AAS），∴DE＝AB．即DE的长就是A、B两点之间的距离．在△ABC与△MBC中，，∴△ABC≌△EDC（ASA），∴DE＝AB．即DE的长就是A、B两点之间的距离．21.如图，阅读下列材料，回答问题．[任务]如图1，测量车祸现场A、B两点之间的距离．车祸现场因保护需要，测量不能进入场内．[工具]如图2，一把皮尺（测量长度略小于AB的两倍）和一个量角器，皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；量角器的功能是测量180°以内的角．除笔纸和上述工具外，再无任何工具可借用．小明利用皮尺测量，求出了车祸现场A、B两点之间的距离，测量及求解过程如下：①[测量过程]如图3，在车祸场地外选点C，测量AC=2a米，取AC中点O，测量OB=b米，并将皮尺延长至D，使OD=OB=b米，测量CD=c米．②[求解过程]由测量知，OA=OC=a，OB=OD=b，∵∠AOB=∠COD，∴△OAB≌△OCD，答：A、B两点之间的距离为c米．(1)小明求得AB，用到的几何知识是____________________；(2)小明仅利用皮尺，通过4次测量，求得AB．请你同时利用皮尺和量角器，通过测量长度（用字母a、b、c…表示）和角度（用字母α、β表示），并利用初二年上学期所学知识，求出车祸现场A、B两点之间的距离，并写出你的测量及求解过程．【答案】解：（1）根据题意可知：小明求得AB，用到的几何知识是全等三角形判定与性质．故答案为：全等三角形判定与性质．（2）如图：测量过程：在场外选择点C，用皮尺从点A起到C再到B拉直摆放．①测量BC=b米，②测量∠ACB=α然后将量角器沿AC翻折，将皮尺CB绕点C旋转至D，③使∠ACD=α（∠ACD需要测量，CD由④最后测量AD=c米就是AB的距离．求解过程：在△ACB与△ACD中，AC=AC∠ACB=∠ACD