河南郑州2025-2026学年下学期高三数学4月适应性考试（含答案）

数学注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷、答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={1,2A.{2,3}B.{2.样本数据2,4,6,8,10,12,14的中位数为A.7B.8C.9D.103.已知向量a=1,1,b=−A.-2B.-1C.1D.24.下列函数中,既满足f−x=fxA.fx=x+1x5.设a=0.2A.a<b<cB.b6.已知球O的半径为1,圆柱O1O2的上、下底面圆周都在球A.43π9B.πC.7.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1A.2−1C.22D.8.在△ABC中,AB=1,sin2A.14B.34C.1二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.已知复数z=mA.m=−1B.z=210.已知函数fx=A.fx的最小正周期为πB.fxC.fx在区间0,π6上单调递增D.当f11.正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为4,A1E=3EB1,C1F=3FD1，下列说法中正确的有A.若点M在底面A1C.平面AEF截正方体所得截面多边形是直角梯形D.平面AEF将正方体分成两个几何体的体积分别为V1,V2,且V三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12.曲线y=12x2+13.已知O为坐标原点,过点2,0的直线与抛物线y2=2pxp>0交于A,B14.已知数列an共有6项，ai∈{−1,1}，i=1,2,⋯,6.四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)如图，AC是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，B为圆周上不同于A，C的点，(1)若M为PA的中点，证明:OM//平面PBC(2)求平面APC与平面PCB的夹角的余弦值.16.(15分)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左焦点为(1)求C的方程；(2)过点P的直线与C相切于点B(异于点A)，证明:∠17.(15分)已知数列an的首项a1=32(1)求数列an(2)求数列nan的前n项和S(3)证明:a1a2⋯18.(17分)某学校围棋社团举行选拔赛，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军，有以下2种方案:方案1甲、乙、丙、丁四人由抽签决定两两对阵,失败者被淘汰,获胜者进入决赛，决出冠军.方案2甲、乙、丙、丁四人按如下流程进行四轮比赛，决出冠军.第一轮:抽签决定两两对阵，获胜者进入胜者组，失败者进入负者组；第二轮:胜者组与负者组分别组内对阵，负者组的失败者被淘汰；第三轮:胜者组的失败者与负者组的获胜者对阵，失败者被淘汰；第四轮:第二轮胜者组的获胜者与第三轮的获胜者进入决赛，决出冠军.设甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p0<(1)如果采用方案1，当p=2(2)如果采用方案2，经过抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁.当p=3(3)采用哪种方案对甲获得冠军更有利？请用概率知识加以说明.19.(17分)已知O为坐标原点,点A的坐标为1,0,以O为圆心的单位圆的上半部分(含端点)记为曲线E,B是E上异于A的任意一点.设∠AOB=x,x∈(0,π(1)求fx(2)令gx=ex2−(3)若ex+x2f2x数学试题参考答案及评分标准一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。1.A2.B3.D4.D5.C6.C7.A8.B二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.AB10.ACD11.ABD三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12.y=52四、解答题:本题共5小题,共77分。15.(13分)(1)证明:因为AC是⊙O的直径，所以O为AC又M为PA的中点，所以OM//又PC⊂平面PBC,OM⊄平面PBC,所以OM//(2)解:因为B在圆周上，AC=2AB，所以∠ABC=90在平面ABC内,过点A作AC的垂线AD.因为PA⊥平面ABC,所以PA所以AD,AC以A为原点，AD,AC,AP所在直线分别为x轴、y轴、zA0设m=1,0,0,则m是平面因为BC=设n=x,y,zn⋅BC=0,ncos⟨设平面APC与平面PCB的夹角为θ,则cosθ即平面APC与平面PCB的夹角的余弦值为155.1316.(15分)(1)解:因为点P1,1在直线x=a因为C的渐近线方程为y=±3x,所以ba=所以C的方程为x2−(2)证明:设F−c,0c>0，由c2=a2+b2，得c=12+3设其方程为y−1=kx由y=kx−k+1,x2因为直线PB与C相切,所以3−k2≠0解得k=2所以直线PB的方程为y=联立y=2x−1,x2−y所以直线BF的方程为3x−又因为点P到直线BF的距离d=3×1−4×1+又点P在∠AFB内部,所以∠AFP17.(15分)(1)解:因为an+1=1因此an−1是以a1−1所以an−1=12(2)解:S==记Tn则12①-②得12T所以Tn所以Sn=(3)证明:设fx=lnx+1−当0<x<1时,f′x<0,所以又f0=0,所以当0<x<1时,因为an=1+1所以lna即lna1a2⋯a18.(17分)解:(1)设A=“采用方案1甲获得冠军”因为甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p,且p=所以PA即采用方案1甲获得冠军的概率为425.4(2)设甲参与对阵的比赛场数为随机变量X，则X的所有可能取值为2,3,4.PPP故X的数学期望EX=(3)因为甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p0<所以采用方案1甲获得冠军的概率为p1采用方案2甲获得冠军的概率为p2p2−因为0<p<1,所以当0<p<12时,p2<p1;当p=12时,p当p=1当12<p<119.(17分)解:(1)由题意可得fx令hx=xcosx2−2sinx2,则当x∈0,π时,h′x=−x2sinx2<因此fx在区间(0,π](2)gx=函数gx的零点个数等于直线y=a与函数设φx当x∈0,π2时,φ′x<0所以φx在0,π2上单调递减,在又当x→0时,所以当a<22eπ4时,直线y=a与函数同理,当a=22eπ4,或a>1当22eπ4<a≤12e(3)不等式可化为ex令Fx又设Gx=ex+xcosx−设ωx=ex−x−1所以ωx在0,π2所以当x∈0,π2