新定义专项练(新定义3以圆锥曲线为背景的新定义解答题)

新定义专项练(时间:45分钟分值:20分)1.(10分)(2024·潍坊模拟)焦距为2c的椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0),如果满足“2b=a+c(1)如果椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)是“【解题指南】(1)由新定义得出a,b,c的关系,结合c2=a2-b2可求得ba【解析】(1)因为椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)是“等差椭圆”,所以2所以c=2b-a,又c2=a2-b2,所以(2b-a)2=a2-b2,化简得ba=4(2)对于焦距为12的“等差椭圆”,点A为椭圆短轴的上顶点,P为椭圆上异于A点的任一点,Q为P关于原点O的对称点(Q也异于A),直线AP,AQ分别与x轴交于M,N两点,判断以线段MN为直径的圆是否过定点?说明理由.【解题指南】(2)设P(x0,y0)(x0≠0),则Q(-x0,-y0),写出AP方程求得M点坐标,同理得N点坐标,然后可得出以线段MN为直径的圆的方程,由方程可确定定点坐标.【解析】(2)过定点(0,±10),理由如下:由2c=12得c=6,由a2-b2=36椭圆方程为x2100+y264设P(x0,y0)(x0≠0),则Q(-x0,-y0),所以直线AP的方程为y=y0-令y=0,得x=-8x0y0-8,所以M(-8x0y0-所以以MN为直径的圆的方程为(x+8x0y0-8)(x+8x结合x02100+y0264=1,化简得x2+y2-25y0所以该圆恒过定点(0,±10).2.(10分)(2024·新余模拟)通过研究,已知对任意平面向量=(x,y),把绕其起点A沿逆时针方向旋转θ角得到向量=(xcosθ-ysinθ,xsinθ+ycosθ),叫做把点B绕点A逆时针方向旋转θ角得到点P,(1)已知平面内点A(-3,23),点B(3,-23),把点B绕点A逆时针旋转π3得到点P,求点P的坐标【解析】(1)由已知可得=(23,-43),则=(6+3,3-23),设P=(x0,y0),则=(x0+3,y0-23)=(6+3,3-23),所以x0=6,y0=3,即点P的坐标为(6,3).(2)已知二次方程x2+y2-xy=1的图象是由平面直角坐标系下某标准椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)绕原点(i)求斜椭圆C的离心率;(ii)过点Q(23,23)作与两坐标轴都不平行的直线l1交斜椭圆C于点M,N,过原点O作直线l2与直线l1垂直,直线l2交斜椭圆C于点G,H,判断2|MN|+1|OH|2是否为定值【解析】(2)(i)由y=x与x2+y2-xy=1交点为(1,1)和(-1,-1),则a2=2,由y=-x与x2+y2-xy=1交点为(-33,33)和(33,-则b2=23,所以c2=43,e=23(ii)法一:设直线l1:y-23=k(x-23),M(x1,y1),N(x2,y与斜椭圆x2+y2-xy=1联立:y-23=k(x-23),x2+y2-xy=1,有(k2因为x1+x2=232k2-3k+1所以|MN|=(1+(1+k2设直线l2:y=-1kx,代入斜椭圆x2+y2-xy=1,有x2+1k2x2+1所以x2=k2k2+k+1,所以|OH|2=k2+1k2+法二:将椭圆顺时针旋转π4,由(i)可得椭圆方程为x22点Q旋转后的坐标为(233,0当直线l1旋转后斜率不存在时,|MN|=22|OH|=2,2|MN|当直线l1旋转后斜率存在时,设直线l1旋转后为x=my+23旋转后M(x1,y1),N(x2,y2),与椭圆方程x22+3y即x=my+233,x22+y1+y2=-43m3(m