北京工业大学耿丹学院《工程计算方法》2025-2026学年期末试卷

北京工业大学耿丹学院《工程计算方法》2025-2026学年期末试卷

一、选择题（总共10题，每题3分，每题只有一个正确答案，请将正确答案填写在括号内）1.用二分法求方程$f(x)=0$在区间$[a,b]$内的根，若$f(a)f(b)<0$，则取区间中点$c=\frac{a+b}{2}$，那么下一个有根区间可能是（）A.$[a,c]$B.$[c,b]$C.当$f(a)f(c)<0$时是$[a,c]$，当$f(c)f(b)<0$时是$[c,b]$D.以上都不对2.已知函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且$f(a)f(b)<0$，利用牛顿迭代法求方程$f(x)=0$的根时，其迭代公式为$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^\prime(x_n)}$，这里$f^\prime(x_n)$表示（）A.$f(x)$在$x_n$处的函数值B.$f(x)$在$x_n$处的导数值C.以上都不对D.不确定3.对于线性方程组$Ax=b$，若系数矩阵$A$满足（），则可使用雅可比迭代法求解。A.严格对角占优B.非奇异C.对称正定D.以上都可以4.用高斯消去法解线性方程组时，在消元过程中可能会出现（）A.主元为零B.计算误差增大C.以上两种情况都可能出现D.不会出现任何问题5.已知插值节点$x_0,x_1,\cdots,x_n$及对应的函数值$f(x_0),f(x_1),\cdots,f(x_n)$，构造拉格朗日插值多项式$L(x)$，则$L(x)$的次数（）A.不超过$n$B.等于$n$C.大于$n$D.不确定6.数值积分中，梯形公式的代数精度为（）A.1B.2C.3D.47.若用辛普森公式计算定积分$\int_{a}^{b}f(x)dx$，其误差主要取决于（）A.$f(x)$的导数B.积分区间长度C.以上两者都有关D.与$f(x)$的具体形式有关8.计算矩阵$A$的特征值时，若采用幂法，其收敛速度与矩阵$A$的（）有关。A.最大特征值与最小特征值的比值B.特征值的大小C.矩阵的阶数D.以上都不对9.对于非线性方程$f(x)=0$，若$f(x)$满足（），则牛顿迭代法局部收敛。A.$f(x)$连续可微且$f^\prime(x)\neq0$B.$f(x)$可导C.$f(x)$二阶可导D.以上都不对10.用高斯-赛德尔迭代法解线性方程组时，与雅可比迭代法相比，其优点是（）A.收敛速度可能更快B.计算量更小C.对系数矩阵要求更低D.以上都是二、多项选择题（总共5题，每题4分，每题至少有两个正确答案，请将正确答案填写在括号内）1.以下哪些方法可用于求解非线性方程$f(x)=0$（）A.二分法B.牛顿迭代法C.割线法D.雅可比迭代法2.数值积分的方法有（）A.梯形公式法B.辛普森公式法C.高斯求积公式法D.拉格朗日插值法3.用高斯消去法解线性方程组时，可能采取的措施有（）A.交换行B.选主元C.迭代求解D.直接求解4.关于插值多项式，以下说法正确的是（）A.拉格朗日插值多项式具有唯一性B.插值多项式次数越高越接近原函数C.牛顿插值多项式便于计算D.插值多项式可能会出现龙格现象5.对于矩阵的特征值计算，以下方法正确的是（）A.幂法可求矩阵的按模最大特征值B.反幂法可求矩阵的按模最小特征值的倒数对应的特征向量C.QR算法可用于计算矩阵的全部特征值D.雅可比方法可用于计算实对称矩阵的全部特征值三、判断题（总共10题，每题2分，请判断对错，在括号内打“√”或“×”）1.二分法求根时，只要区间两端点函数值异号，就一定能求出根。（）2.牛顿迭代法一定收敛。（）3.线性方程组的解唯一时，高斯消去法一定能求出解。（）4.拉格朗日插值多项式在插值节点处与原函数值相等。（）5.数值积分的结果一定是精确值。（）6.高斯-赛德尔迭代法比雅可比迭代法收敛速度快的原因是它利用了最新计算出的分量。（）7.用幂法计算矩阵特征值时，初始向量可以任意选取。（）8.对于非线性方程$f(x)=0$，若$f(x)$在区间$[a,b]$上满足$f(a)f(b)<0$，则方程在该区间内至少有一个根。（）9.辛普森公式的精度高于梯形公式。（）10.矩阵的特征值一定是实数。（）四、解答题（总共3题，每题20分）1.已知函数$f(x)=x^3-2x-5$在区间$[2,3]$上满足$f(2)f(3)<0$，试用二分法求方程$f(x)=0$在该区间内的近似根，要求误差不超过$0.01$。2.给定线性方程组$\begin{cases}3x_1-x_2+2x_3=6\\x_1+4x_2-x_3=7\\2x_1+3x_2+5x_3=11\end{cases}$，用高斯消去法求解该方程组。3.已知插值节点$x_0=0,x_1=1,x_2=2$及对应的函数值$f(x_0)=1,f(x_1)=2,f(x_2)=4$，求拉格朗日插值多项式$L(x)$，并计算$f(1.5)$的近似值。五、综合题（总共2题，每题20分）1.材料：对于非线性方程$f(x)=x^3-3x+1$，在区间$[0,1]$上，$f(0)=1,f(1)=-1$，满足$f(0)f(1)<0$。题目：试用牛顿迭代法求方程$f(x)=0$在区间$[0,1]$内的根，取初始值$x_0=0.5$，计算迭代到$x_3$的值，并分析牛顿迭代法在该问题中的收敛性。2.材料：考虑线性方程组$\begin{cases}4x_1-x_2=1\\-x_1+4x_2-x_3=4\\-x_2+4x_3-x_4=4\\-x_3+4x_4=1\end{case