北京工业大学耿丹学院《工程数学》2025-2026学年期末试卷

北京工业大学耿丹学院《工程数学》2025-2026学年期末试卷

一、选择题（总共10题，每题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，则\(A\)的行列式\(\vertA\vert\)的值为（）A.-2B.2C.-10D.102.设向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)，\(\vec{b}=(4,5,6)\)，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)等于（）A.32B.34C.36D.383.若线性方程组\(\begin{cases}x+y=1\\x-y=2\end{cases}\)有解，则其解为（）A.\(x=\frac{3}{2},y=-\frac{1}{2}\)B.\(x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}\)C.\(x=-\frac{1}{2},y=\frac{3}{2}\)D.\(x=1,y=0\)4.已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+2x\)，则\(f^\prime(1)\)的值为（）A.-1B.0C.1D.25.设随机变量\(X\)服从正态分布\(N(1,4)\)，则\(P(X\lt3)\)的值为（）（参考标准正态分布表）A.0.6915B.0.8413C.0.9772D.0.99876.若幂级数\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)在\(x=2\)处收敛，则该幂级数在\(x=-1\)处（）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性不确定7.已知\(A\)是\(n\)阶方阵，且\(\vertA\vert=0\)，则\(A\)的列向量组（）A.线性无关B.线性相关C.部分线性无关D.部分线性相关8.设\(z=x^2y+xy^2\)，则\(\frac{\partialz}{\partialx}\)等于（）A.\(2xy+y^2\)B.\(x^2+2xy\)C.\(2x+y\)D.\(x+2y\)9.已知\(f(x)\)是周期为\(2\pi\)的周期函数，且在\([-\pi,\pi]\)上\(f(x)=\begin{cases}0,-\pi\leqx\lt0\\x,0\leqx\lt\pi\end{cases}\)，则\(f(x)\)的傅里叶级数在\(x=\pi\)处收敛于（）A.0B.\(\frac{\pi}{2}\)C.\(\pi\)D.\(2\pi\)10.设\(D\)是由\(x=0,y=0,x+y=1\)所围成的区域，则\(\iint_Dxydxdy\)的值为（）A.\(\frac{1}{24}\)B.\(\frac{1}{12}\)C.\(\frac{1}{6}\)D.\(\frac{1}{3}\)二、填空题（总共5题，每题4分，请将答案填在题中横线上）1.已知矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)，则\(AB=\)______。2.向量\(\vec{a}=(1,-1,2)\)的模\(\vert\vec{a}\vert=\)______。3.函数\(y=x^3-6x^2+9x+1\)的单调递增区间是______。4.已知随机变量\(X\)的概率分布为\(P(X=k)=\frac{1}{5},k=1,2,3,4,5\)，则\(E(X)=\)______。5.幂级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}\)的收敛半径\(R=\)______。三、判断题（总共10题，每题2分，判断下列各题的正误，正确的打“√”，错误的打“×”）1.若\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，则\((AB)^k=A^kB^k\)（\(k\)为正整数）。（）2.若向量组\(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\)线性无关，则\(\vec{a}_1+\vec{a}_2,\vec{a}_2+\vec{a}_3,\vec{a}_3+\vec{a}_1\)也线性无关。（）3.函数\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上是单调递增函数。（）4.若\(f(x)\)在\(x_0\)处可导，则\(f(x)\)在\(x_0\)处连续。（）5.设随机变量\(X\)服从参数为\(\lambda\)的泊松分布，则\(E(X)=\lambda\)，\(D(X)=\lambda\)。（）6.若幂级数\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)的收敛半径为\(R\)，则当\(\vertx\vert\gtR\)时，幂级数发散。（）7.已知\(A\)是\(n\)阶方阵，且\(A^2=A\)，则\(A\)的特征值只能是\(0\)或\(1\)。（）8.设\(z=f(x,y)\)，若\(\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}=\frac{\partial^2z}{\partialy\partialx}\)，则\(f(x,y)\)具有二阶连续偏导数。（）9.若\(f(x)\)是奇函数，则\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\)。（）10.设\(D\)是平面区域，若\(\iint_Df(x,y)dxdy=0\)，则\(f(x,y)\)在\(D\)上恒为\(0\)。（）四、解答题（共3题，每题20分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）材料：已知线性方程组\(\begin{cases}x_1+2x_2+3x_3=1\\2x_1+3x_2+4x_3=2\\3x_1+4x_2+5x_3=3\end{cases}\)1.写出该线性方程组的增广矩阵，并对其进行初等行变换化为行阶梯形矩阵。2.根据行阶梯形矩阵判断该线性方程组是否有解，若有解，求出其通解。材料：设函数\(f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}\)1.求\(f(x)\)的定义域，并判断其奇偶性。2.求\(f(x)\)的单调区间和极值。3.求\(f(x)\)的渐近线。材料：已知随机变量\(X\)的概率密度函数为\(f(x)=\begin{cases}2x,0\ltx\lt1\\0,其他\end{cases}\)1.求\(X\)的分布函数\(F(x)\)。2.计算\