天津南开区2026届高考一模数学+答案

2025-2026学年度第二学期高三年级质量监测(一)

数学学科试卷

本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分，考试时间120

分钟。第I卷1至3页，第Ⅱ卷4至9页。

祝各位考生考试顺利!

第I卷

注意事项：

1.答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上：

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后；再选涂其它答案标号；

3.本卷共9小题，每小题5分，共45分。

参考公式：

·如果事件A,B互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B).

·对于事件A,B,P(A)>0,那么P(AB)=P(A)·P(B|A).

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)已知集合A={x|x²=1},集合B={0,1},则AUB=().

(A){1}(B){0}(C){-1,0,1}(D){-1,0}

(2)已知x∈R,则“φ=0”是“y=cos(2x+φ)为偶函数”的().

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

(3)已知a=logo.32,b=logo₃0.4,c=203,则().

(A)b>c>a(B)c>b>a(C)b>a>c(D)c>a>b

数学试卷第1页(共9页)

(4)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为()。

(A)(B)

(C)(D)

(5)下列说法正确的是().

(A)样本数据点的中心(x,y)不一定在线性回归直线上

(B)残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

(C)回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线

(D)如果两个变量的相关性越强，则相关系数r就越接近于1

(6)已知是函数f(x)=Asin(2x+φ)(A>0,0≤φ<2π)的一条对称轴，且

(A)-√3(B)√3(C)-√3或√3(D)-1或1

(7)已知a<b<0,c>d>0,则下列结论不成立的是().

(A)ac<bd(B)a²c>b²d(C)(D)a-c>b-d

数学试卷第2页(共9页)

(8)已知矩形ABCD中，AB=2,BC=2√2,将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线

进行翻折，在翻折过程中，下列说法正确的是().

(A)存在某个位置，使得直线BD与直线AC垂直

(B)存在某个位置，使得直线BC与直线AD垂直

(C)存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直

(D)对任意位置，三对直线“AC与BD”,“CD与AB”,“AD与BC”均不垂直

(9)双曲线C:1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F₁,F₂,过Fi作以C的

实轴为直径的圆的切线l,1与C在第一象限交于点P,且△F₁PF₂的面积为4a²,则C的

离心率为().

(A)(B)√5(C)√5-1(D)√3

数学试卷第3页(共9页)

第Ⅱ卷

注意事项：

1.用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；

2.本卷共11小题，共105分。

得分评卷人

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。

(10)i是虚数单位，,则z=_

(11)的二项展开式中，常数项为封

(12)过点A(-2,0)及圆M:(x-2)²+y²=16与抛物线y²=8x的一个交点的直线被圆M

截得的弦长为.

(13)学校举办“校园歌手大赛”,某参赛同学的参赛曲库中有5首歌，分别是：抒情歌1

首，流行歌2首，摇滚歌2首.若他演唱这三类歌曲能晋级下一轮的概率分别为

他比赛时，随机从这5首歌里选择一首演唱，则他能晋级的概率为;

若他晋级了，则这名学生是演唱流行歌2首晋级的概率为_

(14)在△ABC中，点D在线段AB上，点E在线段CD上，且满足BD=2AD,

2CE=3ED.记AB=a,AC=b,用a和b表示AE=.

(15)已知a,beR,若函数f(x)=x²-ax-b在区间[3,4]上至少有一个零点，则a²+b²

的最小值是

数学试卷第4页(共9页)

二

二

0

-三、解答题：本大题共5题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

1

0得分评卷人

-(16)(本小题满分14分)

1

0

1

-在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知,b=√7,

1

0

1a=2√3c.

-

1

0(I)求角B的大小；

-

0(Ⅱ)求a的值；

线(Ⅲ)求cos(B-2A)的值.

o

r

0

装

o

封

o

w

0

1

-

0

1

0

-

0

-

0

1

0

二数学试卷第5页(共9页)

得分评卷人

(17)(本小题满分15分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD//BC,AB⊥AD,E,F分别是棱

PB,PC的中点，PA=AB=BC=2AD=2.

(I)证明：AE⊥平面PBC;

(Ⅱ)求点E到平面PCD的距离；

(Ⅲ)求平面ADF与平面PCD夹角的余弦值。

数学试卷第6页(共9页)

得分评卷人

(18)(本小题满分15分)

已知椭圆E:+景=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F₂,短轴长为2,过

右焦点F₂且垂直于x轴的直线交椭圆于第一象限的点P,

(I)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)直线l:y=kx+m(k>0)与椭圆E交于点A,B;若椭圆E上存在点C使得四

边形OACB为平行四边形，且|AB|=√3|0c|,求k的值.

数学试卷第7页(共9页)

得分评卷人

(19)(本小题满分15分)

已知等差数列{an}的公差为2,正项等比数列{bn}的首项为2,且a2+a3=b₃-10,

b₂+3=as.

(I)求{an}和{bn}的通项公式；

(Ⅱ)若,记数列{an},{cn}的前n项和分别为SmTn,求使Szn+Ta

>112(n∈N)成立的n的最小值；

(Ⅲ)在b2和b+1之间插入k个数da,de₂,…,dt,使br,da,dz,…,u,bt+1

成等差数列，k∈N.

数学试卷第8页(共9页)

1

1

1

0

得分评卷人

1(20)(本小题满分16分)

1

1

0

已知函数f(x)=eˣ-²-ax+1,a∈R.

1

-

(I)若曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线I的斜率为e-1,求I的方程；

1

o

1

-

(Ⅲ)设a>e²,证明：函数flx)有两个零点x,xz(x<x2),且满足

1₁₁

0

1

-

1

0

1

-

1

o

w

o

n

o装

0

w

0

w

0

1

-邢

0

1

-

卸

0

1

-

0

1

1

0

1

-

0数学试卷第9页(共9页)

1

~

2025-2026学年度第二学期高三年级质量监测(一)参考答案

数学学科

一、选择题：(本题共9小题，每题5分，共45分)

题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)

答案CABDBADCB

二、填空题：(本题共6小题，每题5分，共30分)

(10)(11)-160;(12)4√2;

(13)(14)(15)

三、解答题：(其他正确解法请比照给分)

(16)解：(I)因为由正弦定理得

所以c²-b²=√3ac-a²,即c²+a²-b²=√3ac.………………2分

又由余弦定理得………………4分

又B为三角形内角，所以………………5分

(Ⅱ)因为b=√7,a=2√3c,

由余弦定理得,解得c=1,………………7分

所以a=2√3.………………8分

(Ⅲ)由余弦定理得………………9分

所以………………10分

所……………12分

数学试卷参考答案第1页(共7页)

所以cos(B-2A)=cosBcos2A+sinBsin2A

………………14分

(17)解：(I)以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示

的空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,1,0),

P(0,0,2),E(1,0,1),F(1,1,1),………………2分

所以PB=(2,0,-2),BC=(0,2,0),AE=(1,0,1).

因为AE·PB=0,AE·BC=0,

所以AE⊥平面PBC.………………6分

(Ⅱ)CD=(-2,-1,0),PD=(0,1,-2),PE=(1,0,-1).

设平面PCD的法向量为m=(x,y,z),

则即令y=2,得m=(-1,2,1),………………8分

所以………………10分

(Ⅲ)AD=(0,1,0),AF=(1,1,1).

设平面ADF的法向量为n=(x,y,z),

则即令x=1,得n=(1,0,-1).………………12分

设平面ADF与平面PCD夹角为φ,

数学试卷参考答案第2页(共7页)

………………15分

(18)解：(I)因|PF₁|+|PF₂|=2a,

所以………………2分

因为|PF₂I²+|F₁F₂|²=|PF₁|²,|F₁F₂|=2c,

所以a=√2c,因为a²=c²+1,所以c=1,a=√2,………………4分

所以椭圆方程为………………5分

(Ⅱ)设A(x1,yi),B(x2,y2),

联立方程得(2k²+1)x²+4kmx+2m²-2=0,

所以△=(4km)²-4(2k²+1)(2m²-2)>0,整理得2k²+1>m²①,

所以

……………8分

因为E上存在点C使得四边形OACB为平行四边形，

即

将代入得

整理得4②

m²=2k²+1>1,………………10分

所以|AB|=√1+k²·|x-x₂=√1+k².

数学试卷参考答案第3页(共7页)

………………11分

………………12分

因为|AB|=√3|oC|,

所以,整理得2k²=1,解得

由②知,符合①,

因为k>0,所以………………15分

(19)解：(I)设{bn}的公比为q,

依题意，有………………2分

解得q=3,a₁=1,………………3分

所以an=2n-1,bn=2.3n-1.………………5分

(Ⅱ)由(I)知………………6分

………………8分

数学试卷参考答案第4页(共7页)

由S2n+1Tn>112,

化简得(2n+1)²>225,解得n>7,

所以n的最小值为8.………………9分

(Ⅲ)依题意，

………………11分

3Mn=4·3¹+8·3²+12·3³+…+(4n-4)·3”-¹+4n·3”,

-2Mn=4+4·3¹+4·3²+…+4.3”-¹-4n·3”

所以………………15分

(20)解：(I)f'(x)=eˣ-2-a,则切线的斜率为f'(3)=e-a=e-1,所以a=1.

………………2分

从而f(3)=e-2,所以(3,f(3))处的切线方程为y-(e-2)=(e-1)(x-3),

即y=(e-1)x-2e+1.………………3分

(Ⅱ)a=1时，由f(Inx+2)≥kx-xlnx-1得x-(Inx+2)+1≥kx-xlnx-1,

整理