沪科版数学八年级下册第18章勾股定理及其逆定理 单元学情评估测试卷

沪科版数学八年级下册第18章勾股定理及其逆定理单元学情评估测试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．下列各组数中，是“勾股数”的一组是（）A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．6，8，10 D．1，3，22．下列线段a，b，c组成的三角形中，能构成直角三角形的是（）A．a＝1，b＝2，c＝2 B．a＝2，b＝3，c＝4C．a＝3，b＝4，c＝6 D．a＝1，b＝1，c＝23．古代埃及人用如图的方法画直角，把一根长绳打上等距离的结，最后一个结与打的第一个结重合，这个结应标的数字是（)A．12 B．13 C．14 D．154．如图，在四边形OABC中，AB＝BC＝3，∠A＝∠OBC＝90°，∠AOB＝30°，则OC的长为（)A．32 B．33 C．6 D．355．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，由七块板组成，这七块板可以拼成许多图形．图①拼成的大正方形的面积为8，将图①中各块板子打乱位置重新拼成图②中的长方形，则图②中A，B两点之间的距离为（)A．2 B．22 C．5 D．256．如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角O处为0.7m．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3m，木板顶端向下滑动了0.9m，则小猫在木板上爬动的距离为（)A．3m B．2.5m C．2m D．1.5m7．如图所示，长方形纸片ABCD中，AB＝5cm，BC＝10cm，现将其沿EF折叠，使得点C与点A重合，则AF的长为（)A．3cm B．5cm C．5cm D．2548．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE，CE.若AB＝5，BC＝3，则AE2－CE2等于（)A．7 B．9 C．16 D．259．如图，在底面周长约为6m且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶（从点A到点C，B为AC的中点)，每根石柱刻有雕龙的部分的柱身高约16m，则刻在石柱上的雕龙的长度至少为（)A．10m B．12m C．16m D．20m10．如图，已知在Rt△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，AE＝13AB，AF＝13AC，分别以BE，EF，FC为直径作半圆，面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，SA．S1＋S3＝2S2 B．S1＋S3＝4S2C．S1＋S3＝S2 D．S2＝13（S1＋S3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，∠C＝90°，c＝10，a∶b＝3∶4，则a＝.12．如图，已知CA＝CB，BD⊥AC于点D，点D在数轴上所表示的数为－1，BD＝1，则数轴上点A所表示的数是.13．如图，在2×3的正方形网格中，∠1＋∠2＝°.14．如图，在四边形ABCD中，AC和BD是其对角线，∠BAD＝90°，AB＝AD＝2，∠ABC＝135°.（1）BD的长为；（2）若BC＝2，则BD：AC＝．三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分)15．如图，在锐角三角形ABC中，高AD＝12，边AC＝13，BC＝14，求BD的长．16．小刚准备测量一个泳池中水的深度，他把一根竹竿竖直插到离泳池边1.5m远的池底，竹竿高出水面0.5m，水面与池底平行，把竹竿的顶端拉向池边，竿顶和池边的水面刚好相齐，则泳池水的深度为多少米？四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分)17．漳州市在创建“全国文明城市”期间积极开展生态环境整治．志愿者在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地ABCD（如图)进行绿化．经测量∠ABC＝90°，AB＝7m，BC＝24m，CD＝20m，AD＝15m，求空地的面积.18．在4×4的正方形网格中，每个边长为1的小正方形的顶点叫作格点，点A、B、C、D是格点.（1）在网格中找一格点E，使得BE＝5；（2）作格点△BDF，使得BF＝10，DF＝17；（3）在（2）的条件下，∠DBA－∠FBC＝．五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分)19．如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲渔船沿北偏东60°的方向以每小时8nmile的速度前进，乙渔船沿南偏东30°的方向以每小时15nmile的速度前进，两艘渔船同时出发，2h后，甲渔船到达M岛，乙渔船到达P岛．求P岛与M岛之间的距离.20．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，c为最长边长，当a2＋b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用a2＋b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类)．（1）当△ABC的三边长分别为6，8，9时，△ABC为三角形；当△ABC的三边长分别为6，8，11时，△ABC为三角形；（2）猜想：当a2＋b2c2时，△ABC为锐角三角形；当a2＋b2c2时，△ABC为钝角三角形；（3）若a＝2，b＝4，那么当c分别满足什么条件时，△ABC是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形？六、（本题满分12分)21．对于任意大于或等于4的偶数，存在下列勾股数：组别abc第1组4＝2×23＝22－15＝22＋1第2组6＝2×38＝32－110＝32＋1第3组8＝2×415＝42－117＝42＋1（1）根据以上规律，请你直接写出第7组勾股数；（2）请你猜想出第n组（n为正整数)，并证明这是一组勾股数．七、（本题满分12分)22．项目背景如图①，某校八年级数学兴趣小组自主开展测量学校旗杆高度的项目研究．他们制订了测量方案，并进行实地测量．项目方案测量过程步骤一：如图②，线段MN表示旗杆高度，MN垂直地面于点N.将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段NE.用皮尺测出NE的长度．步骤二：如图③，小丽同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地面点B处．用皮尺测出点A与点B之间的距离．步骤三：用皮尺测量出小丽直立位置距旗杆底端的水平距离．各项数据绳子垂到地面多出的部分：0.5m小丽直立位置距旗杆底端的水平距离：6m点A与点B之间的距离：1.5m请根据表格所给信息，回答下列问题．（1）直接写出线段MN与AM之间的数量关系；（2）根据该数学兴趣小组的测量方案和数据，求学校旗杆MN的高度．八、（本题满分12分)23．综合与实践（1）【模型建立】如图①，在Rt△ABC与Rt△ADE中，D是边BC上的动点，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝2，AD＝AE，连接CE.①求DE的最小值；②判断BD，CD，AE之间的数量关系，并证明．（2）【模型应用】如图②，已知△ABC是等边三角形，∠CDB＝120°，AD＝2，求AB的最小值．

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：A、∵42∴4，5，6，不是勾股数，不符合题意；B、1.5，2.5这两个数都不是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意；C、∵62∴6，8，10是勾股数，符合题意；D、3不是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意；故选：C．

【分析】根据勾股数的定义逐项判断解答即可．2．【答案】D【解析】【解答】解：A、12+22=5≠22，此三条线段不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；B、22+32=13≠42，此三条线段不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；C、32+42=25≠62，此三条线段不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；D、12+12=2=（2）2，此三条线段能构成直角三角形，故此选项符合题意．故答案为：D．【分析】根据勾股定理的逆定理逐项判断即可。3．【答案】B【解析】【解答】解：依题意，AB=4-1=3，BC=8-4=4，∠B=9∴AC=∴8+5=13,故答案为：B.【分析】先理解题意得AB=3，BC=4,∠B=904．【答案】D【解析】【解答】解：∵∠A=9∴OB=2AB=6,又·∵∠OBC=9∴在Rt△BCO中，OC=6故答案为：D.【分析】根据30度所对的边是斜边的一半求得OB=6，根据勾股定理即可求得OC的长度.5．【答案】D【解析】【解答】解：∵图①拼成的大正方形的面积为8，

∴对角线长为4，

如图，连接AB，

则AC=2，BC=4，

∴AB=AC2+BC2=26．【答案】B【解析】【解答】解：如图，已知AE=1.3m，AC=0.7m，BD=0.9m，设CD=x，AB=DE=y，则BC=0.9+x，

则在Rt△ABC中，y2=0.9+x2+0.72,【分析】设CD=x，AB=DE=y，则根据木板长不会变这个等量关系列出方程组，即可求BC的长度，在]Rt△ABC中，根据BC，AC即可求AB.7．【答案】D【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=9由折叠得AE=CE，∵AB=5cm,BC=10cm,∴BE=BC−CE=BC−AE=∵A∴解得AE=∵∠AFE=∠CEF,∠AEF=∠CEF,∴∠AFE=∠AEF,∴AF=AE=故答案为：D.【分析】根据矩形的折叠可得AE=CE，然后根据勾股定理求出AE长，然后根据等角对等边得到AF=AE长解答即可.8．【答案】C【解析】【解答】解：如图所示：连接AC，与BD交于点O，∵对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，∴AC⊥BD，在Rt△AOE中，A在Rt△COE中，C∴A在Rt△AOB中，A在Rt△COB中，C∴A∴A故答案为：C.【分析】连接AC，与BD交于点O，根据题意可得AC⊥BD，在在Rt△AOE与Rt△COE中，利用勾股定理可得AE2−C9．【答案】D【解析】【解答】解：如图，将圆柱的侧面展开，则AB=6m，AD=16m,AE=12∴刻在石柱上的雕龙至少为2×10=20(m).故答案为：D.【分析】将圆柱的侧面展开，然后根据勾股定理求出BE长解答即可.10．【答案】B【解析】【解答】解：设AB=3c，AC=3b则：AE=c，BE=2c，AF=b，FC=2b，∵∠A=9∴E∴EF=∴EF=∴S2=S∵S1∴故答案为：B.【分析】根据半圆面积公式结合勾股定理得到结论解答即可.11．【答案】6【解析】【解答】解：设a=3x，则b=4x，由勾股定理得，3x解得，x=2，则a=3x=6，故答案为：6.【分析】设a=3x，则b=4x，根据勾股定理计算即可.12．【答案】1－5【解析】【解答】解：在Rt△BDC中，∵BD=1,CD=2,

∴CB=BD∴数轴上点A所表示的数是1−故答案为：1−5【分析】先根据勾股定理求出CB长，然后得到CA长，根据实数的减法解答即可.13．【答案】45【解析】【解答】解：如图所示，连接BC，所以A因为A所以△ABC是等腰直角三角形，所以∠BAC=∠BCA=4因为∠2+∠BAC+∠DAC=9所以∠DAC+∠2=∠1+∠2=90∘故答案为：45.【分析】根据网格特点得到△ABC是等腰直角三角形，即可得到∠BAC=∠BCA=4514．【答案】（1）22（2）2：【解析】【解答】解：1∴BD=AB2+A(2)如图，过点C作(CE⟂AB交AB延长线于点E.∵∠ABC=13∴∠CBE=180∴△BCE是等腰直角三角形.∵BC=∴CE=BE=1,AE=AB+BE=3.∴AC=A∴BD:AC=2故答案为：2:【分析】(1)由勾股定理直接求出BD的长即可；(2)过点C作CE⟂AB交AB延长线于点E.先证明△BCE是等腰直角三角形.求出CE与AC的长，最后求出BD：AC即可.15．【答案】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，在Rt△ACD中，CD＝AC2−A∵BC＝14，∴BD＝BC﹣CD＝9【解析】【分析】根据垂直关系在Rt△ACD中，利用勾股定理求出CD，已知BC，再根据线段的和差关系可求BD．16．【答案】解：根据题意画出示意图，如图，则AC＝0.5m，A'C＝1.5m，AB＝A'B，∴BC为泳池水的深度，A'B＝BC＋0.5m，易知A'C⊥AB，∴∠A'CB＝90°，∴A'C2＋BC2＝A'B2，∴1.52＋BC2＝(BC＋0.5)2，解得BC＝2m.答：泳池水的深度为2m【解析】【分析】根据河水的深度、竹竿的长、离岸的距离三者构成直角三角形，作出图形，根据勾股定理即可求解.17．【答案】解：连接AC，∵∠ABC＝90°，AB＝7m，BC＝24m，∴AC2＝AB2＋BC2＝72＋242＝625.∵CD＝20m，AD＝15m，∴AD2＋CD2＝202＋152＝625＝AC2，∴△ACD是直角三角形，且∠D＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ACD＋S△ABC＝12AD·CD＋12AB·BC＝12×20×15＋1【解析】【分析】由勾股定理得AC=25m，再由勾股定理的逆定理得△ACD是直角三角形且∠D=9018．【答案】（1）解：见解析；如图，点E即为所求．(答案不唯一)

（2）解：见解析；如图，△DBF即为所求．（3）45°【解析】【解答】解：(3)如图所示：连接EF，​​​由网格特点可得：∠DBA=∠EBC,由勾股定理可得：EF=12+22∴∠EBF=4∴∠DBA−∠FBC=∠EBC−∠FBC=∠EBF=4故答案为：4【分析】(1)根据勾股定理求出距离点B为5的格点即可；(2)根据勾股定理求出距离点B为10且该点距离点D为17的格点即可；(3)连接EF，由网格特点可得∠DBA=∠EBC,由勾股定理可得EF=12+2219．【答案】解：由题意可知，∠MBP＝180°－60°－30°＝90°，BM＝8×2＝16(nmile)，BP＝15×2＝30(nmile)，∴MP＝BM答：P岛与M岛之间的距离为34nmile【解析】【分析】由题意知，△BMP为直角三角形，在直角三角形中运用勾股定理求解.20．【答案】（1）锐角；钝角（2）＞；＜（3）解：∵c为最长边长，2＋4＝6，∴4≤c＜6.而a2＋b2＝22＋42＝20.当a2＋b2＞c2时，c2＜20，易得4≤c＜25，∴当4≤c＜25时，△ABC是锐角三角形；当a2＋b2＝c2时，c2＝20，易得c＝25，∴当c＝25时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2＜c2时，c2＞20，易得25<c<6，∴当25＜c＜6时，△ABC是钝角三角形．【解析】【解答】解：(1)两直角边分别为6、8时，斜边=6所以当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形.

故答案为：锐角；钝角；

(2)当a2+b2>c2【分析】(1)当两直角边分别为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当△ABC最长的边大于所求的斜边，则所对应的角大于90∘,反之小于(3)，由c为最长边，根据两边之和大于第三边，小于等于a，b二者最大的数，可得4≤c<6;根据a2+b2=21．【答案】（1）解：第7组勾股数为16，63，65（2）解：第n组是第一个数是2(n+1)；第二个是：n+12−1;证明：∵=4==故这是一组勾股数【解析】【解答】(1)解：观察前3组数据的规律可知：第一个数是2(n+1)；第二个是：n+12−1;所以第7组勾股数是16，63，65.

故答案为：16，63，65.【分析】(1)根据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系，如果是第n组数，则这组数中的第一个数是2(n+1)，第二个是：n+12−1,第三个数是：22．【答案】（1）MN＝AM－0.5m（2）解：过A点作AC⊥MN，

则∠ACM＝90°，NC＝AB＝1.5m，AC＝NB＝6m，

设AM＝xm，则MC＝MN－NC＝x－0.5－1.5＝x－2(m)，

在Rt△ACM中，可有AC2＋MC2＝AM2，即62＋(x－2)2＝x2，解得x＝10，∴AM＝10m，∴MN＝10－0.5＝9.5(m)．答：学校旗杆MN的高度为9.5m【解析】【解答】解：(1)MN=AM-0.5；理由如下：根据题意，可知NE=0.5m，则MN=AM-NE=AM-0.5；

故答案为：MN＝AM－0.5m.【分析】(1)根据AM=MN+NE，结合题意即可获得答案；

(2)结合题题确定NC=AB=1.5m，AC=NB=6m，AC⊥MN，设AM=xm，则MC=(x-2)m，在Rt△ACM中，利用勾股定理解得x的值，然后求解即可.23．【答案】（1）解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝2，AD＝AE