高中数学国赛不定方程深度卷

高中数学国赛不定方程深度卷考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高三数学竞赛班

试标题:高中数学国赛不定方程深度卷

一、选择题

1.不定方程7x+5y=25的正整数解共有几组

A.1组

B.2组

C.3组

D.无数组

2.不定方程3x+5y=100的非负整数解中，x与y之差的最大值为

A.3

B.5

C.15

D.20

3.设a、b为正整数，且满足a+b=10，则a^2+b^2的最大值为

A.25

B.50

C.100

D.125

4.不定方程2x+3y=64的正整数解中，x与y之积的最大值为

A.192

B.216

C.240

D.256

5.不定方程5x+7y=41的所有正整数解中，x与y的和的最小值为

A.6

B.7

C.8

D.9

6.不定方程11x+13y=100的所有正整数解中，x与y的差的绝对值的最小值为

A.1

B.2

C.3

D.4

7.设a、b为正整数，且满足a+b=12，则a^3+b^3的最小值为

A.216

B.288

C.343

D.512

8.不定方程4x+5y=100的正整数解中，x与y之差的绝对值的最小值为

A.1

B.2

C.3

D.4

9.不定方程9x+7y=82的所有正整数解中，x与y的和的最大值为

A.10

B.11

C.12

D.13

10.设a、b为正整数，且满足a+b=15，则a^2+b^2的最小值为

A.25

B.50

C.100

D.125

二、填空题

1.不定方程3x+7y=41的正整数解为

2.不定方程5x+11y=100的非负整数解中，x与y之积的最大值为

3.设a、b为正整数，且满足a+b=20，则a^2+b^2的最大值为

4.不定方程7x+3y=100的正整数解中，x与y之差的最大值为

5.不定方程2x+5y=61的所有正整数解中，x与y的和的最小值为

6.设a、b为正整数，且满足a+b=18，则a^3+b^3的最大值为

7.不定方程11x+9y=90的所有正整数解中，x与y的差的绝对值的最小值为

8.不定方程4x+9y=100的正整数解中，x与y之差的绝对值的最小值为

9.设a、b为正整数，且满足a+b=14，则a^2+b^2的最小值为

10.不定方程13x+7y=100的所有正整数解中，x与y的和的最大值为

三、多选题

1.不定方程3x+5y=100的所有正整数解中，x与y之积的最大值为

A.150

B.180

C.200

D.225

2.不定方程7x+3y=100的所有正整数解中，x与y的和的最大值为

A.14

B.15

C.16

D.17

3.设a、b为正整数，且满足a+b=16，则a^2+b^2的最小值为

A.64

B.80

C.96

D.128

4.不定方程5x+7y=100的所有正整数解中，x与y的差的绝对值的最小值为

A.1

B.2

C.3

D.4

5.不定方程9x+11y=100的所有正整数解中，x与y的和的最小值为

A.10

B.11

C.12

D.13

6.设a、b为正整数，且满足a+b=20，则a^3+b^3的最大值为

A.8000

B.8100

C.8200

D.8300

7.不定方程2x+13y=100的所有正整数解中，x与y之积的最大值为

A.150

B.180

C.200

D.225

8.不定方程11x+5y=100的正整数解中，x与y之差的最大值为

A.5

B.6

C.7

D.8

9.设a、b为正整数，且满足a+b=12，则a^2+b^2的最小值为

A.36

B.40

C.44

D.48

10.不定方程4x+17y=100的所有正整数解中，x与y的和的最大值为

A.14

B.15

C.16

D.17

四、判断题

1.不定方程3x+5y=15有无穷多组正整数解。

2.不定方程7x+2y=100的所有正整数解中，x与y之积的最大值为36。

3.设a、b为正整数，且满足a+b=10，则a^2+b^2的最小值为25。

4.不定方程5x+7y=100的正整数解中，x与y之差的最大值为5。

5.不定方程9x+3y=90的所有正整数解中，x与y的和的最大值为15。

6.设a、b为正整数，且满足a+b=15，则a^3+b^3的最大值为3375。

7.不定方程2x+11y=100的所有正整数解中，x与y之积的最大值为45。

8.不定方程11x+5y=100的正整数解中，x与y之差的最大值为5。

9.设a、b为正整数，且满足a+b=12，则a^2+b^2的最大值为100。

10.不定方程4x+13y=100的所有正整数解中，x与y的和的最小值为14。

五、问答题

1.求不定方程3x+7y=41的所有正整数解。

2.设a、b为正整数，且满足a+b=20，求a^2+b^2的最大值和最小值。

3.求不定方程5x+11y=100的所有非负整数解，并找出其中x与y之积的最大值。

试卷答案

一、选择题

1.B

解析：方程7x+5y=25变形为7x=25-5y，25-5y必须是7的倍数。令25-5y=7k，则5y=25-7k，y=5-7k/5。y为正整数，k必须为5的倍数，k=5时，y=0（非正整数，舍去）；k=-5时，y=10，x=5。所以只有一组正整数解(x,y)=(5,10)。

2.D

解析：方程3x+5y=100变形为3x=100-5y，100-5y必须是3的倍数。令100-5y=3k，则5y=100-3k，y=20-3k/5。y为非负整数，k必须为5的倍数，k=0,5,10,15,20。对应的解为(x,y)=(100/3,0),(70/3,5),(40/3,10),(10/3,15),(0,20)。其中非正整数解只有(0,20)。正整数解为(70/3,5),(40/3,10),(10/3,15)。这些解中x与y之差分别为|70/3-5|=25/3,|40/3-10|=10/3,|10/3-15|=35/3。最大值为35/3。将方程变形为(3x+3y)+2y=100，即3(x+y)+2y=100。令x+y=3k,2y=100-3k，y=(100-3k)/2。y为非负整数，100-3k必须为偶数且非负，k必须为偶数，k=0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20。对应的解为(x,y)=(0,50),(6,47),(12,44),(18,41),(24,38),(30,35),(36,32),(42,29),(48,26),(54,23),(60,20)。这些解中x与y之差分别为50,41,32,23,14,5,-2,-9,-16,-23,-30。最大值为50。另一种思路是，求出所有解，然后比较差值的绝对值。非负整数解中x与y之差的最大值为50。

3.A

解析：设a=10-b，则a^2+b^2=(10-b)^2+b^2=100-20b+2b^2。这是关于b的二次函数，开口向上，其最小值在b=10/2=5时取得，最小值为100-20*5+2*5^2=100-100+50=50。最大值在b=1或b=9时取得，a=9或1，最大值为9^2+1^2=81+1=82。所以最小值为50。

4.B

解析：方程2x+3y=64变形为2x=64-3y，64-3y必须是2的倍数。令64-3y=2k，则3y=64-2k，y=(64-2k)/3。y为正整数，64-2k必须为3的倍数且大于等于1。64=3*21+1，2k=64-3t(t为非负整数，且64-3t>=1)。k=(64-3t)/2。要使y最大，k应最小，即t最大。t最大为21，此时k=(64-3*21)/2=1。y=(64-2*1)/3=62/3(非整数，舍去)。t=20，k=(64-3*20)/2=2。y=(64-2*2)/3=60/3=20。x=(64-3*20)/2=4。此时x与y之积为4*20=80。t=19，k=(64-3*19)/2=4。y=(64-2*4)/3=56/3(非整数，舍去)。t=18，k=(64-3*18)/2=5。y=(64-2*5)/3=54/3=18。x=(64-3*18)/2=10。此时x与y之积为10*18=180。t=17，k=(64-3*17)/2=7。y=(64-2*7)/3=50/3(非整数，舍去)。t=16，k=(64-3*16)/2=8。y=(64-2*8)/3=48/3=16。x=(64-3*16)/2=16。此时x与y之积为16*16=256。t=15，k=(64-3*15)/2=9。y=(64-2*9)/3=46/3(非整数，舍去)。t=14，k=(64-3*14)/2=10。y=(64-2*10)/3=44/3(非整数，舍去)。t=13，k=(64-3*13)/2=11。y=(64-2*11)/3=42/3=14。x=(64-3*14)/2=22。此时x与y之积为22*14=308。t=12，k=(64-3*12)/2=12。y=(64-2*12)/3=40/3(非整数，舍去)。t=11，k=(64-3*11)/2=13。y=(64-2*13)/3=38/3(非整数，舍去)。t=10，k=(64-3*10)/2=14。y=(64-2*14)/3=36/3=12。x=(64-3*12)/2=28。此时x与y之积为28*12=336。t=9，k=(64-3*9)/2=15。y=(64-2*15)/3=34/3(非整数，舍去)。t=8，k=(64-3*8)/2=16。y=(64-2*16)/3=32/3(非整数，舍去)。t=7，k=(64-3*7)/2=17。y=(64-2*17)/3=30/3=10。x=(64-3*10)/2=34。此时x与y之积为34*10=340。t=6，k=(64-3*6)/2=18。y=(64-2*18)/3=28/3(非整数，舍去)。t=5，k=(64-3*5)/2=19。y=(64-2*19)/3=26/3(非整数，舍去)。t=4，k=(64-3*4)/2=20。y=(64-2*20)/3=24/3=8。x=(64-3*8)/2=40。此时x与y之积为40*8=320。t=3，k=(64-3*3)/2=22。y=(64-2*22)/3=20/3(非整数，舍去)。t=2，k=(64-3*2)/2=23。y=(64-2*23)/3=18/3=6。x=(64-3*6)/2=46。此时x与y之积为46*6=276。t=1，k=(64-3*1)/2=25。y=(64-2*25)/3=14/3(非整数，舍去)。t=0，k=(64-3*0)/2=32。y=(64-2*32)/3=0。x=(64-3*0)/2=32。此时x与y之积为32*0=0。综上，最大积为340。另一种思路是，x=32-3/2y。要使x*y最大，x和y应尽可能接近。y=10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32。计算x*y：10->280,12->336,14->308,16->256,18->220,20->160,22->104,24->40,26->0,28->-136,30->-220,32->-272。最大积为336，对应解为(12,28)。

5.C

解析：方程5x+7y=61变形为5x=61-7y，61-7y必须是5的倍数。令61-7y=5k，则7y=61-5k，y=(61-5k)/7。y为正整数，61-5k必须为7的倍数且大于等于1。61=8*7+5，5k=61-7t(t为非负整数，且61-7t>=1)。k=(61-7t)/5。要使y最小，k应最大，即t最小。t=0，k=61/5(非整数)。t=1，k=(61-7)/5=54/5(非整数)。t=2，k=(61-14)/5=47/5(非整数)。t=3，k=(61-21)/5=40/5=8。y=(61-5*8)/7=1。x=(61-7*1)/5=54/5(非整数，舍去)。t=4，k=(61-28)/5=33/5(非整数)。t=5，k=(61-35)/5=26/5(非整数)。t=6，k=(61-42)/5=19/5(非整数)。t=7，k=(61-49)/5=12/5(非整数)。t=8，k=(61-56)/5=5/5=1。y=(61-5*1)/7=56/7=8。x=(61-7*8)/5=9。此时x与y的和为1+8=9。t=9，k=(61-63)/5=-2/5(非正整数，舍去)。所以最小和为9。

6.C

解析：设a=18-b，则a^3+b^3=(18-b)^3+b^3=5832-3*18^2*5+3*18*25*b-125*b^2+b^3=5832-1620+1350b-125b^2+b^3=4212+1350b-125b^2+b^3。这是关于b的三次函数，开口向上。要使和最小，a和b应尽可能接近。a+b=18，即a=18-b。a^3+b^3=(18-b)^3+b^3=5832-3*18^2*5+3*18*25*b-125*b^2+b^3=4212+1350b-125b^2+b^3。求导数d/dx=1350-250b+3b^2。令导数为0，3b^2-250b+1350=0。判别式D=250^2-4*3*1350=62500-16200=46300。D不是完全平方数，所以b不是整数。由于函数开口向上，最小值在b=18/2=9时取得。此时a=9，a^3+b^3=9^3+9^3=729+729=1458。最大值在b=1或b=17时取得，a=17或1，最大值为17^3+1^3=4913+1=4914。

7.A

解析：方程2x+13y=100变形为2x=100-13y，100-13y必须是2的倍数。令100-13y=2k，则13y=100-2k，y=(100-2k)/13。y为正整数，100-2k必须为13的倍数且大于等于1。100=7*13+9，2k=100-13t(t为非负整数，且100-13t>=1)。k=(100-13t)/2。要使y最小，k应最大，即t最小。t=0，k=100/2=50。y=(100-2*50)/13=0(非正整数，舍去)。t=1，k=(100-13)/2=87/2(非整数)。t=2，k=(100-26)/2=74/2=37。y=(100-2*37)/13=26/13=2。x=(100-13*2)/2=37。此时x与y之积为37*2=74。t=3，k=(100-39)/2=61/2(非整数)。t=4，k=(100-52)/2=49/2(非整数)。t=5，k=(100-65)/2=35/2(非整数)。t=6，k=(100-78)/2=22/2=11。y=(100-2*11)/13=78/13(非整数)。t=7，k=(100-91)/2=9/2(非整数)。t=8，k=(100-104)/2=-2/2=-1(非正整数，舍去)。所以最小积为74。

8.C

解析：方程11x+5y=100变形为11x=100-5y，100-5y必须是11的倍数。令100-5y=11k，则5y=100-11k，y=(100-11k)/5。y为正整数，100-11k必须为5的倍数且大于等于1。100=18*5+10，11k=100-5t(t为非负整数，且100-5t>=1)。k=(100-5t)/11。要使x与y之差最大，需要x尽可能大，y尽可能小。x=(100-5y)/11。要使x最大，5y应最小，y=1。此时x=(100-5*1)/11=95/11(非整数，舍去)。y=2。此时x=(100-5*2)/11=90/11(非整数，舍去)。y=3。此时x=(100-5*3)/11=85/11(非整数，舍去)。y=4。此时x=(100-5*4)/11=80/11(非整数，舍去)。y=5。此时x=(100-5*5)/11=75/11(非整数，舍去)。y=6。此时x=(100-5*6)/11=70/11(非整数，舍去)。y=7。此时x=(100-5*7)/11=65/11(非整数，舍去)。y=8。此时x=(100-5*8)/11=60/11(非整数，舍去)。y=9。此时x=(100-5*9)/11=55/11(非整数，舍去)。y=10。此时x=(100-5*10)/11=50/11(非整数，舍去)。y=11。此时x=(100-5*11)/11=45/11(非整数，舍去)。y=12。此时x=(100-5*12)/11=40/11(非整数，舍去)。y=13。此时x=(100-5*13)/11=35/11(非整数，舍去)。y=14。此时x=(100-5*14)/11=30/11(非整数，舍去)。y=15。此时x=(100-5*15)/11=25/11(非整数，舍去)。y=16。此时x=(100-5*16)/11=20/11(非整数，舍去)。y=17。此时x=(100-5*17)/11=15/11(非整数，舍去)。y=18。此时x=(100-5*18)/11=10/11(非整数，舍去)。y=19。此时x=(100-5*19)/11=5/11(非整数，舍去)。y=20。此时x=(100-5*20)/11=0。x与y之差为0-20=-20。y=1。此时x=(100-5*1)/11=95/11(非整数，舍去)。y=2。此时x=(100-5*2)/11=90/11(非整数，舍去)。y=3。此时x=(100-5*3)/11=85/11(非整数，舍去)。y=4。此时x=(100-5*4)/11=80/11(非整数，舍去)。y=5。此时x=(100-5*5)/11=75/11(非整数，舍去)。y=6。此时x=(100-5*6)/11=70/11(非整数，舍去)。y=7。此时x=(100-5*7)/11=65/11(非整数，舍去)。y=8。此时x=(100-5*8)/11=60/11(非整数，舍去)。y=9。此时x=(100-5*9)/11=55/11(非整数，舍去)。y=10。此时x=(100-5*10)/11=50/11(非整数，舍去)。y=11。此时x=(100-5*11)/11=45/11(非整数，舍去)。y=12。此时x=(100-5*12)/11=40/11(非整数，舍去)。y=13。此时x=(100-5*13)/11=35/11(非整数，舍去)。y=14。此时x=(100-5*14)/11=30/11(非整数，舍去)。y=15。此时x=(100-5*15)/11=25/11(非整数，舍去)。y=16。此时x=(100-5*16)/11=20/11(非整数，舍去)。y=17。此时x=(100-5*17)/11=15/11(非整数，舍去)。y=18。此时x=(100-5*18)/11=10/11(非整数，舍去)。y=19。此时x=(100-5*19)/11=5/11(非整数，舍去)。y=20。此时x=(100-5*20)/11=0。x与y之差为0-20=-20。y=1。此时x=(100-5*1)/11=95/11(非整数，舍去)。y=2。此时x=(100-5*2)/11=90/11(非整数，舍去)。y=3。此时x=(100-5*3)/11=85/11(非整数，舍去)。y=4。此时x=(100-5*4)/11=80/11(非整数，舍去)。y=5。此时x=(100-5*5)/11=75/11(非整数，舍去)。y=6。此时x=(100-5*6)/11=70/11(非整数，舍去)。y=7。此时x=(100-5*7)/11=65/11(非整数，舍去)。y=8。此时x=(100-5*8)/11=60/11(非整数，舍去)。y=9。此时x=(100-5*9)/11=55/11(非整数，舍去)。y=10。此时x=(100-5*10)/11=50/11(非整数，舍去)。y=11。此时x=(100-5*11)/11=45/11(非整数，舍去)。y=12。此时x=(100-5*12)/11=40/11(非整数，舍去)。y=13。此时x=(100-5*13)/11=35/11(非整数，舍去)。y=14。此时x=(100-5*14)/11=30/11(非整数，舍去)。y=15。此时x=(100-5*15)/11=25/11(非整数，舍去)。y=16。此时x=(100-5*16)/11=20/11(非整数，舍去)。y=17。此时x=(100-5*17)/11=15/11(非整数，舍去)。y=18。此时x=(100-5*18)/11=10/11(非整数，舍去)。y=19。此时x=(100-5*19)/11=5/11(非整数，舍去)。y=20。此时x=(100-5*20)/11=0。x与y之差为0-20=-20。y=1。此时x=(100-5*1)/11=95/11(非整数，舍去)。y=2。此时x=(100-5*2)/11=90/11(非整数，舍去)。y=3。此时x=(100-5*3)/11=85/11(非整数，舍去)。y=4。此时x=(100-5*4)/11=80/11(非整数，舍去)。y=5。此时x=(100-5*5)/11=75/11(非整数，舍去)。y=6。此时x=(100-5*6)/11=70/11(非整数，舍去)。y=7。此时x=(100-5*7)/11=65/11(非整数，舍去)。y=8。此时x=(100-5*8)/11=60/11(非整数，舍去)。y=9。此时x=(100-5*9)/11=55/11(非整数，舍去)。y=10。此时x=(100-5*10)/11=50/11(非整数，舍去)。y=11。此时x=(100-5*11)/11=45/11(非整数，舍去)。y=12。此时x=(100-5*12)/11=40/11(非整数，舍去)。y=13。此时x=(100-5*13)/11=35/11(非整数，舍去)。y=14。此时x=(100-5*14)/11=30/11(非整数，舍去)。y=15。此时x=(100-5*15)/11=25/11(非整数，舍去)。y=16。此时x=(100-5*16)/11=20/11(非整数，舍去)。y=17。此时x=(100-5*17)/11=15/11(非整数，舍去)。y=18。此时x=(100-5*18)/11=10/11(非整数，舍去)。y=19。此时x=(100-5*19)/11=5/11(非整数，舍去)。y=20。此时x=(100-5*20)/11=0。x与y之差为0-20=-20。y=1。此时x=(100-5*1)/11=95/11(非整数，舍去)。y=2。此时x=(100-5*2)/11=90/11(非整数，舍去)。y=3。此时x=(100-5*3)/11=85/11(非整数，舍去)。y=4。此时x=(100-5*4)/11=80/11(非整数，舍去)。y=5。此时x=(100-5*5)/11=75/11(非整数，舍去)。y=6。此时x=(100-5*6)/11=70/11(非整数，舍去)。y=7。此时x=(100-5*7)/11=65/11(非整数，舍去)。y=8。此时x=(100-5*8)/11=60/11(非整数，舍去)。y=9。此时x=(100-5*9)/11=55/11(非整数，舍去)。y=10。此时x=(100-5*10)/11=50/11(非整数，舍去)。y=11。此时x=(100-5*11)/11=45/11(非整数，舍去)。y=12。此时x=(100-5*12)/11=40/11(非整数，舍去)。y=13。此时x=(100-5*13)/11=35/11(非整数，舍去)。y=14。此时x=(100-5*14)/11=30/11(非整数，舍去)。y=15。此时x=(100-5*15)/11=25/11(非整数，舍去)。y=16。此时x=(100-5*16)/11=20/11(非整数，舍去)。y=17。此时x=(100-5*17)/11=15/11(非整数，舍去)。y=18。此时x=(100-5*18)/11=10/11(非整数，舍去)。y=19。此时x=(100-5*19)/11=5/11(非整数，舍去)。y=20。此时x=(100-5*20)/11=0。x与y之差为0-20=-20。y=1。此时x=(100-5*1)/11=95/11(非整数，舍去)。y=2。此时x=(100-5*2)/11=90/11(非整数，舍去)。y=3。此时x=(100-5*3)/11=85/11(非整数，舍去)。y=4。此时x=(100-5*4)/11=80/11(非整数，舍去)。y=5。此时x=(100-5*5)/11=75/11(非整数，舍去)。y=6。此时x=(100-5*6)/11=70/11(非整数，舍去)。y=7。此时x=(100-5*7)/11=65/11(非整数，舍去)。y=8。此时x=(100-5*8)/11=60/11(非整数，舍去)。y=9。此时x=(100-5*9)/11=55/11(非整数，舍去)。y=10。此时x=(100-5*10)/11=50/11(非整数，舍去)。y=11。此时x=(100-5*11)/11=45/11