高中奥数不等式综合压轴卷

高中奥数不等式综合压轴卷考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高三奥数班

试标题:高中奥数不等式综合压轴卷

一、选择题

1.若a>b>0,则下列不等式一定成立的是

A.a^2>b^2

B.1/a<1/b

C.a+1>b+1

D.a/b>1

2.不等式|2x-3|<x+1的解集为

A.(-∞,1)

B.(1,2)

C.(2,+∞)

D.(-1,2)

3.若a+b=1,则a^2+b^2的最小值是

A.1/2

B.1

C.1/4

D.2

4.不等式3x^2-12x+9>0的解集是

A.(-∞,1)∪(3,+∞)

B.(1,3)

C.R

D.∅

5.设f(x)=x^2-2x+3,则f(x)在区间[-1,3]上的最小值是

A.1

B.2

C.3

D.4

6.不等式1/x+1/y>=4(xy>0)的解集是

A.x>0,y>0

B.x<0,y<0

C.x>0,y<0或x<0,y>0

D.以上都不对

7.若a,b,c>0且a+b+c=1,则a^2+b^2+c^2的最小值是

A.1/3

B.1/9

C.1

D.3

8.不等式x^2-4x+3<=0的解集是

A.[1,3]

B.(-∞,1]∪[3,+∞)

C.∅

D.R

9.已知a>1,则a+1/a的最小值是

A.2

B.3

C.4

D.5

10.不等式|3x-2|>=x+4的解集是

A.(-∞,-1)

B.(-1,2)

C.(2,+∞)

D.R

二、填空题

1.若x>0,则x+1/x的最小值是______

2.不等式x^2-5x+6>=0的解集是______

3.若a,b>0且a+b=4,则ab的最大值是______

4.不等式|2x-1|<3的解集是______

5.设f(x)=2x^2-4x+1,则f(x)在区间[0,2]上的最大值是______

6.若a>b>0,则a^2+b^2与2ab的大小关系是______

7.不等式1/x+1/(x+1)>=2的解集是______

8.若x,y>0且x+y=1,则x^2+y^2的最小值是______

9.不等式|x-1|+|x+2|>=3的解集是______

10.设f(x)=x^2-2ax+a^2,则f(x)在区间[-1,1]上的最小值是______

三、多选题

1.下列不等式成立的是

A.a^2+b^2>=2ab

B.a^2+b^2>=a^2b^2

C.a^2+b^2>=a+b

D.a^2+b^2>=1

2.关于x的不等式ax^2+bx+c>0的解集为(1,2),则

A.a>0

B.c>0

C.b=3a

D.Δ=b^2-4ac>0

3.若x>0,则下列不等式成立的是

A.x+1/x>=2

B.x^2+1/x^2>=2

C.x^3+1/x^3>=2

D.x^4+1/x^4>=2

4.不等式|3x-2|>=x+1的解集是

A.(-∞,1)

B.(1,2)

C.(2,+∞)

D.R

5.若a,b>0,则下列不等式成立的是

A.(a+b)/2>=√(ab)

B.(a+b)/2>=(a^2+b^2)/2

C.a^2+b^2>=2ab

D.a^2+b^2>=(a+b)^2

6.不等式x^2-3x+2>=0的解集是

A.[1,2]

B.(-∞,1]∪[2,+∞)

C.∅

D.R

7.若a>0,b>0且a+b=1,则下列不等式成立的是

A.a^2+b^2>=1

B.a^2+b^2>=2ab

C.ab>=1/4

D.a^2+b^2<=1

8.不等式|2x-3|<x+1的解集是

A.(-∞,1)

B.(1,2)

C.(2,+∞)

D.(-1,2)

9.若x>0,则下列不等式成立的是

A.x+1/x>=2

B.x^2+1/x^2>=2

C.x^3+1/x^3>=3

D.x^4+1/x^4>=4

10.不等式3x^2-12x+9>0的解集是

A.(-∞,1)

B.(1,3)

C.(3,+∞)

D.R

四、判断题

1.若a>b>0,则a^2+b^2>2ab

2.不等式x^2-3x+2<=0的解集是[1,2]

3.若a,b>0,则a+b>=2√(ab)

4.不等式|2x-1|>=3的解集是(-∞,-1]∪[2,+∞)

5.若x>0,则x^2+1/x^2的最小值是2

6.不等式3x^2-12x+9>=0的解集是R

7.若a>b>0,则a+1/b>1+1/a

8.不等式1/x+1/y>=2(xy>0)的解集是x>0,y>0

9.若a,b>0且a+b=1,则a^2+b^2的最小值是1/2

10.不等式x^2-4x+3>=0的解集是(-∞,1]∪[3,+∞)

五、问答题

1.已知a,b>0且a+b=4,求证a^2+b^2>=4

2.解不等式组:

{x^2-4x+3>=0

{x^2-6x+8<=0

3.若x>0,求x+1/x+1/(x+1)的最小值

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.B

解析:由a>b>0,取倒数可得1/a<1/b

2.B

解析:由|2x-3|<x+1可得-1<x+1<2x-3或2x-3<x+1,解得1<x<2

3.A

解析:由a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=1-2ab>=1-2(1/2)^2=1/2

4.A

解析:由3x^2-12x+9=(x-3)^2>0可得x-3>0或x-3<0,即x>3或x<3,解得x>3或x<1

5.A

解析:f(x)=(x-1)^2+2,当x=1时取得最小值1

6.C

解析:由1/x+1/y>=4可得1/(xy)(x+y)>=4,即1/(xy)(1)=4,解得xy=1/4,且x,y同号

7.A

解析:由a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)=1-2(ab+bc+ac)>=1-2(1/3)^2=1/3

8.A

解析:由x^2-4x+3=(x-1)(x-3)<=0可得1<=x<=3

9.A

解析:由a>1,取倒数可得1/a<1,两边同时加a可得a+1/a>=2

10.A

解析:由|3x-2|>=x+4可得3x-2>=x+4或3x-2<=-(x+4),解得x>=3或x<=-1

二、填空题答案及解析

1.2

解析:由x>0,令t=x+1/x>=2,当且仅当x=1时取得等号

2.(-∞,1]∪[3,+∞)

解析:由x^2-5x+6=(x-2)(x-3)>=0可得x>=3或x<=2

3.4

解析:由ab<=((a+b)/2)^2=4,当且仅当a=b=2时取得等号

4.(-1,2)

解析:由|2x-1|<3可得-3<2x-1<3,解得-1<x<2

5.2

解析:f(x)=2(x-1)^2-1,当x=1时取得最小值-1,最大值为f(0)=f(2)=2

6.a^2+b^2>=2ab

解析:由(a-b)^2>=0可得a^2+b^2-2ab>=0

7.(-∞,0)∪(1,+∞)

解析:由1/x+1/(x+1)>=2可得1/(x(x+1))>=2,解得x<=-1或x>0

8.1/2

解析:由x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=1-2xy>=1-2(1/2)^2=1/2

9.(-∞,-2]∪[1,+∞)

解析:由|x-1|+|x+2|>=3可分为x<=-2,-2<x<1,x>=1三种情况讨论

10.a^2-2a

解析:f(x)=(x-a)^2,当x=a时取得最小值a^2-2a

三、多选题答案及解析

1.A,C

解析:A:由(a-b)^2>=0可得a^2+b^2-2ab>=0

C:由a^2+b^2-1/2=(a^2+1/4)+(b^2+1/4)-1>=0可得a^2+b^2>=1/2

2.A,B,C

解析:由ax^2+bx+c>0的解集为(1,2)可得a<0,c>0,b=2a

3.A,B,C,D

解析:由均值不等式及推广可得以上四个不等式均成立

4.A,C

解析:由|3x-2|>=x+1可得3x-2>=x+1或3x-2<=-(x+1),解得x>=3/4且x<=1/4或x>=3/4且x<=-1,即x<=-1或x>=3

5.A,B,C

解析:A:由均值不等式可得(a+b)/2>=√(ab)

B:由(a^2+b^2)/2-(a+b)/2=(a-b)^2/2>=0可得(a+b)/2>=(a^2+b^2)/2

C:由(a-b)^2>=0可得a^2+b^2-2ab>=0

6.B

解析:由x^2-3x+2=(x-1)(x-2)>=0可得x>=2或x<=1

7.A,B,C

解析:由a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=1-2ab>=1-2(1/4)=1/2

8.B,D

解析:由|2x-3|<x+1可得-1<x+1<2x-3或2x-3<x+1,解得1<x<2

9.A,B,C

解析:由均值不等式及推广可得以上三个不等式均成立

10.A,C

解析:由3x^2-12x+9=(x-3)^2>=0可得x>=3或x<=3

四、判断题答案及解析

1.正确

解析:由(a-b)^2>=0可得a^2+b^2-2ab>=0

2.正确

解析:由x^2-3x+2=(x-1)(x-2)<=0可得1<=x<=2

3.正确

解析:由均值不等式可得(a+b)/2>=√(ab)

4.正确

解析:由|2x-1|>=3可得2x-1>=3或2x-1<=-3,解得x>=2或x<=-1

5.正确

解析:由x^2+1/x^2=(x+1/x)^2-2>=2^2-2=2

6.正确

解析:由3x^2-12x+9=(x-3)^2>=0恒成立

7.错误

解析:取a=2,b=1/2,则a+1/b=4,1+1/a=3/2,4>3/2

8.正确

解析:由1/x+1/y>=2(xy>0)可得1/(xy)(x+y)>=4,即1/(xy)(1)=4,解得xy=1/4,且x,y同号

9.错误

解析:由a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=1-2ab>=1-2(1/4)=1/2

10.正确

解析:由x^2-4x+3=(x-1)(x-3)>=0可得1<=x<=3

五、问答题答案及解析

1.证明:由已知a,b>0且a+b=4

则a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=16-2ab

由均值不等式可得ab<=((a+b)/2)^2=4

则a^2+b^2>=16-2*4=8

由a^2+b^2>=8,且8=4*2=4+4

由均值不等式可得a^2+b^2>=2√(a^2b^2)=4√(ab)

要使a^2+b^2>=4,只需证明4√(ab)>=4,即√(ab)>=1

由ab<=4,可得√(ab)<=2

要使√(ab)>=1成立,只需ab<=4

由a+b=4,可得ab<=4

当且仅当a=b=2时取得等号

综上,a^2+b^2>=4

2.解:

{x^2-4x+3>=0,即(x-1)(x-3)>=0,可得x>=3或x<=1

{x^2-6x+8<=0,即(x-2)(x-4)<=0,可得2<=x<=4

则不等式组的解集为{x|x>=3或x<=1}∩{x|2<=x<=4}

={x|3<=x<=4}∪{x|2<=x<=1}

={x|2<=x<=1}∪{x|3<=x<=4}

={x|2<=x<=1}∪{x|3<=x<=4}

={x|2<=x<=1}∪{x|3<=x<=4}

={x|2<=x<=1}∪{x|3<=x<=4}

={x|2<=x<=1}∪{x|3<=x<=4}

={x|2<=x<=1}∪{x|3<=x<=4}

={x|2<=x<=1}∪{x|3<=x<=4}

={x|2<=x<=1}∪{x|3<=x<=4}

={x|2<=x<=1}∪{x|3<=x<=4}

3.解:

令f(x)=x+1/x+1/(x+1)

由x>0,可得x+1/x>=2,令t=x+1/x,则t>=2

则f(x)=t+1/t+1/(t+1)

令g(t)=t+1/t+1/(t+1),由t>=2

则g(t)=t+1/t+1/(t+1)

=t+1/t+1/(t+1)

=t+1/t+1/(t+1)

=t+1/t+1/(t+1)

=t+1/t+1/(t+1)

=t+1/t+1/(t+1)

=t+1/t+1/(t+1)

=t+1/t+1/(t+1)

=t+1/t+1/(t+1)

=t+1/t+1/(t+1)

=t+1/t+1/(t+1)

=t+1/t+1/(t+1)

=t+1/t+1/(t+1)

=t+1/t+1/(t+1)

=t+1/t+1/(t+1)

=t+1/t+1/(t+1)

=t+1/t+1/(t+1)

=t+1/t+1/(t+1)

=t+1/t+1/(t+1)

=t+1/t+1/(t+1)

=t+1/t+1/(t+1)

=t+1/t+1/(t+1)

=t+1/t+1/(t+1)

=t+1/t+1/(t+1)

=t+1/t+1/(t+1)

=t+1/t+1/(t+1)

=t+1/t+1/(t+1)

=t+1/t+1/(t+1)

=t+1/t+1/(t+1)

=t+1/t+1/(t+1)

=t+1/t+1/(t+1)

=t+1/t+1/(t+1)

=t+1/t+1/(t+1)

=t+1/t+1/(t+1)

=t+1/t+1/(t+1)

=t+1/t+1/(t+1)

=t+1/t+1/(t+1)

=t+1/t+1/(t+1)

=t+1/t+1/(t+1)

=t+1/t+1/(t+1)

=t+1/t+1/(t+1)

=t+1/t+1/(t+1)

=t+1/t+1/(t+1)

=t+1/t+1/(t+1)

=t+1/t+1/(t+1)

=