强基计划易错点突破卷

强基计划易错点突破卷考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高三/理科班

试标题:强基计划易错点突破卷

一、选择题

1.函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为

A.3

B.2

C.1

D.0

2.已知集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|ax=1},若B⊆A，则a的取值集合为

A.{1,2}

B.{1}

C.{1,1/2}

D.∅

3.不等式|2x-1|>x+1的解集为

A.(-∞,-1)∪(2,+∞)

B.(-1,2)

C.(-∞,-1)

D.(2,+∞)

4.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n=2a_(n-1)+1，则S_5的值为

A.31

B.32

C.33

D.34

5.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2b=a+c，则角B的大小为

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

6.已知直线l：y=kx+b与圆C：x^2+y^2=1相交于A、B两点，且|AB|=√2，则k^2+b^2的值为

A.1

B.2

C.3

D.4

7.若复数z=1+i满足z^2+az+b=0（a、b为实数），则a+b的值为

A.0

B.1

C.2

D.3

8.已知函数f(x)=sin(x+α)+cos(x+α)的图像关于y轴对称，则α的可能取值为

A.kπ+π/4

B.kπ-π/4

C.kπ+π/2

D.kπ-π/2

9.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_3+a_5=15，a_2+a_4+a_6=21，则该数列的前9项和为

A.45

B.63

C.72

D.81

10.已知三棱锥P-ABC的体积为V，底面△ABC的面积为S，高为h，若将△ABC沿BC边翻折，得到三棱锥P'-ABC，则三棱锥P'-ABC的体积为

A.V

B.2V

C.V/2

D.V√2

二、填空题

1.已知函数f(x)=x^2-2x+3，则f(x)在区间[-1,3]上的最小值为

2.若复数z=a+bi（a、b为实数）满足|z-1|=|z+1|，则a的值为

3.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a^2=b^2+c^2-bc，则cosA的值为

4.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n-S_(n-1)（n≥2），且S_1=2，则a_4的值为

5.若直线l：y=kx+b与圆C：x^2+y^2=1相交于A、B两点，且∠AOB=120°（O为坐标原点），则k^2+b^2的值为

6.已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|，则f(x)在区间[-2,2]上的最小值为

7.在等比数列{a_n}中，若a_1=1，a_2+a_3=6，则a_4的值为

8.已知直线l：y=kx+b与圆C：x^2+y^2=1相交于A、B两点，且|AB|=√3，则k^2+b^2的值为

9.若复数z=1+i满足z^2+az+b=0（a、b为实数），则|a|+|b|的值为

10.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2b=a+c，则sinB的值为

三、多选题

1.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是

A.y=x^2

B.y=2^x

C.y=log(x)

D.y=sin(x)

2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n-S_(n-1)（n≥2），且S_1=1，则下列关于{a_n}的说法正确的有

A.{a_n}是等差数列

B.{a_n}是等比数列

C.{a_n}是单调递增数列

D.{a_n}是单调递减数列

3.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足下列条件之一，则△ABC为直角三角形的有

A.a^2+b^2=c^2

B.a^2=b^2+c^2-bc

C.cosA=1/2

D.sinB=√3/2

4.下列命题中，正确的有

A.若函数f(x)在区间I上单调递增，则f(x)在区间I上连续

B.若函数f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上单调递增

C.若函数f(x)在x=a处取得极值，则f'(a)=0

D.若f'(a)=0，则f(x)在x=a处取得极值

5.已知直线l：y=kx+b与圆C：x^2+y^2=1相交于A、B两点，且|AB|=√2，则下列关于k、b的说法正确的有

A.k=±1

B.b=0

C.k^2+b^2=2

D.k^2+b^2=1

四、判断题

1.函数f(x)=x^3-3x在x=0处取得极值

2.若集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|ax=1},若B⊆A，则a的可能取值为1或1/2

3.不等式|2x-1|>x+1的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞)

4.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n=2a_(n-1)+1，则该数列是等比数列

5.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2b=a+c，则△ABC为等腰三角形

6.已知直线l：y=kx+b与圆C：x^2+y^2=1相交于A、B两点，且|AB|=√2，则k的可能取值为±1

7.若复数z=1+i满足z^2+az+b=0（a、b为实数），则a+b=0

8.已知函数f(x)=sin(x+α)+cos(x+α)的图像关于y轴对称，则α的可能取值为kπ-π/4

9.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_3+a_5=15，a_2+a_4+a_6=21，则该数列的公差为1

10.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2b=a+c，则sinB=√3/2

五、问答题

1.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx+1，若f(x)在x=1处取得极值，且f'(x)在x=2处为零，求a、b的值

2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n-S_(n-1)（n≥2），且S_1=1，求证{a_n}是等差数列

3.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a^2+b^2=c^2，求证cosC=1/2

试卷答案

一、选择题

1.C

解析：f'(x)=3x^2-a，由题意知f'(1)=0，即3-a=0，解得a=3。

2.C

解析：A={1,2}，若B⊆A，则B的可能为∅，{1}，{2}，{1,2}。对应a的可能取值为a=0，a=1，a=1/2，a=1或1/2。

3.A

解析：由|2x-1|>x+1，得2x-1>x+1或2x-1<-(x+1)，解得x>2或x<-1。

4.B

解析：a_1=1，a_n=2a_(n-1)+1，则a_2=3，a_3=7，a_4=15，a_5=31，S_5=1+3+7+15+31=57。

5.C

解析：由2b=a+c，得b=(a+c)/2，代入余弦定理a^2=b^2+c^2-2bc*cosB，得a^2=((a+c)/2)^2+c^2-2c*(a+c)/2*cosB，化简得cosB=1/2，故B=60°。

6.C

解析：由垂径定理知，圆心O到直线l的距离d=√(1-(|AB|/2)^2)=√(1-1/2)=√2/2。由点到直线距离公式d=|b-0|/√(1+k^2)=√2/2，解得k^2+b^2=2。

7.A

解析：由z^2+az+b=0，得(1+i)^2+a(1+i)+b=0，即2i+a+ai+b=0，即(a+b)+(2+a)i=0，故a+b=0，且2+a=0，解得a=-2，b=2，故a+b=0。

8.A

解析：由f(x)=sin(x+α)+cos(x+α)=√2sin(x+α+π/4)，图像关于y轴对称，则α+π/4=kπ+π/2，即α=kπ+π/4。

9.B

解析：由a_1=1，a_n=S_n-S_(n-1)（n≥2），得a_2=S_2-S_1=a_1+a_2-1，解得a_2=2。同理a_3=4，a_4=8，故a_n=2^(n-1)，S_5=1+2+4+8+16=31。

10.A

解析：翻折后，底面△ABC的面积S不变，高变为原高的一半，故体积为V/2。

二、填空题

1.2

解析：f'(x)=2x-2，令f'(x)=0，得x=1。f(1)=2，f(-1)=6，f(3)=3，故最小值为min{f(1),f(-1),f(3)}=min{2,6,3}=2。

2.0

解析：由|z-1|=|z+1|，得|(a-1)+bi|=|(a+1)+bi|，即(a-1)^2+b^2=(a+1)^2+b^2，解得a=0。

3.1/2

解析：由a^2=b^2+c^2-bc，代入余弦定理cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，得cosA=(b^2+c^2-(b^2+c^2-bc))/(2bc)=bc/(2bc)=1/2。

4.3

解析：由a_n=S_n-S_(n-1)（n≥2），得a_n=a_1+(n-1)d，故a_4=a_1+3d。由S_1=a_1=2，S_2=a_1+a_2=2+a_2，得a_2=S_2-2。又a_2=a_1+d=2+d，故d=a_2-2。a_4=2+3(a_2-2)=3a_2-4。由S_3=a_1+a_2+a_3=2+a_2+a_3，得a_3=S_3-2-a_2。又a_3=a_1+2d=2+2(a_2-2)=2a_2-6，故S_3-2-a_2=2a_2-6，解得a_2=4。故a_4=3*4-4=8。

5.3

解析：由∠AOB=120°，得圆心角∠AOB=120°，弦长|AB|=√2，圆的半径r=1。由正弦定理2r=|AB|/sin(∠AOB/2)，得sin(60°)=√3/2。故k^2+b^2=3。

6.2

解析：f(x)=|x-1|+|x+1|={2x,x≥1;2,-1<x<1;-2x,x≤-1}。在区间[-2,-1]上递减，取值[-4,-2]。在区间[-1,1]上恒为2。在区间[1,2]上递增，取值[2,4]。故最小值为2。

7.6

解析：由a_2+a_3=6，得a_1*q+a_1*q^2=6。由a_1=1，得q+q^2=6，解得q=2。故a_4=a_1*q^3=1*2^3=8。

8.1

解析：由垂径定理知，圆心O到直线l的距离d=√(1-(|AB|/2)^2)=√(1-(√3/2)^2)=1/2。由点到直线距离公式d=|b-0|/√(1+k^2)=1/2，解得k^2+b^2=1。

9.2√2

解析：由z^2+az+b=0，得(1+i)^2+a(1+i)+b=0，即2i+a+ai+b=0，即(a+b)+(2+a)i=0，故a+b=0，且2+a=0，解得a=-2，b=2。故|a|+|b|=|-2|+|2|=2+2=4。

10.√3/2

解析：由2b=a+c，得b=(a+c)/2，代入余弦定理a^2=b^2+c^2-2bc*cosB，得a^2=((a+c)/2)^2+c^2-2c*(a+c)/2*cosB，化简得cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(a^2+c^2-((a+c)/2)^2)/(2ac)=(4a^2+4c^2-(a^2+2ac+c^2))/(8ac)=(3a^2+3c^2-2ac)/(8ac)=(3(a^2+c^2)-2ac)/(8ac)=(3(2b^2)-2ac)/(8ac)=(6b^2-2ac)/(8ac)=3b^2/(4ac)-1/4。由sin^2B+cos^2B=1，得sin^2B=1-cos^2B=1-(3b^2/(4ac)-1/4)^2=1-(9b^4/(16a^2c^2)-3b^2/(4ac)+1/16)=16/16-9b^4/(16a^2c^2)+3b^2/(4ac)-1/16=15/16-9b^4/(16a^2c^2)+3b^2/(4ac)。由于b=(a+c)/2，故sin^2B=15/16-9((a+c)/2)^4/(16a^2c^2)+3((a+c)/2)/(4ac)=15/16-9(a^4+2a^2c^2+c^4)/(256a^2c^2)+3(a+c)/(8ac)=15/16-(9a^4+18a^2c^2+9c^4)/(256a^2c^2)+3a/(8ac)+3c/(8ac)=15/16-(9a^4+18a^2c^2+9c^4)/(256a^2c^2)+3/(8c)+3/(8a)。由于2b=a+c，故sinB=√3/2。

四、判断题

1.错误

解析：f'(x)=3x^2-3x=3x(x-1)，令f'(x)=0，得x=0或x=1。f(0)=0，f(1)=-1。f'(x)在x=0附近由负变正，在x=1附近由正变负，故x=0处取得极小值，x=1处取得极大值。

2.正确

解析：同选择题第2题解析。

3.正确

解析：同选择题第3题解析。

4.错误

解析：a_1=1，a_n=2a_(n-1)+1，则a_2=3，a_3=7，a_4=15，a_5=31，故该数列不是等比数列。

5.正确

解析：同选择题第5题解析。

6.正确

解析：同选择题第6题解析。

7.正确

解析：同选择题第7题解析。

8.正确

解析：同选择题第8题解析。

9.错误

解析：由a_1+a_3+a_5=15，得3a_1+6d=15，即a_1+2d=5。由a_2+a_4+a_6=21，得3a_1+9d=21，即a_1+3d=7。联立解得a_1=1，d=2。故公差为2。

10.错误

解析：由2b=a+c，得b=(a+c)/2，代入余弦定理a^2=b^2+c^2-2bc*cosB，得a^2=((a+c)/2)^2+c^2-2c*(a+c)/2*cosB，化简得cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(a^2+c^2-((a+c)/2)^2)/(2ac)=(4a^2+4c^2-(a^2+2ac+c^2))/(8ac)=(3a^2+3c^2-2ac)/(8ac)=(3(a^2+c^2)-2ac)/(8ac)=(3(2b^2)-2ac)/(8ac)=(6b^2-2ac)/(8ac)=3b^2/(4ac)-1/4。由sin^2B+cos^2B=1，得sin^2B=1-cos^2B=1-(3b^2/(4ac)-1/4)^2=1-(9b^4/(16a^2c^2)-3b^2/(4ac)+1/16)=16/16-9b^4/(16a^2c^2)+3b^2/(4ac)-1/16=15/16-9b^4/(16a^2c^2)+3b^2/(4ac)。由于b=(a+c)/2，故sin^2B=15/16-9((a+c)/2)^4/(16a^2c^2)+3((a+c)/2)/(4ac)=15/16-9(a^4+2a^2c^2+c^4)/(256a^2c^2)+3(a+c)/(8ac)=15/16-(9a^4+18a^2c^2+9c^4)/(256a^2c^2)+3a/(8ac)+3c/(8ac)=15/16-(9a^4+18a^2c^2+9c^4)/(256a^2c^2)+3/(8c)+3/(8a)。由于2b=a+c，故sinB≠√3/2。

五、问答题

1.解：f'(x)=3x^2-2ax+b。由题意知f'(1)=0，即3-2a+b=0①。f''(x)=6x-2a，由f''(2)=0，得12-2a=0，解得a=6。代入①，得3-12+b=0，解得b=9。故a=6，b=9。

2.证明：由a_n=S_n-S_(n-1)（n≥2），得a_n=a_1+(n-1)d。又S_n=na_1+n(n-1)/2*d，故a_n=S_n-S_(n-